О некотором проекционном итерационном методе решения нелинейных уравнений

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА 
№ 184 
 

 

УДК 517.988.8 
 
О НЕКОТОРОМ ПРОЕКЦИОННОМ ИТЕРАЦИОННОМ МЕТОДЕ 
РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 
 
А.А. ФОНАРЁВ 
 
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л. 
 
Для отыскания решения уравнения в гильбертовом пространстве с оператором, являющимся сжатием, предлагается проекционный итерационный процесс. Проекционный итерационный процесс строится с использованием 
проекционно-итеративного метода. 
 
Ключевые слова: проекционный итерационный процесс, нелинейное уравнение. 
 
Введение 
 
Итеративные и прямые методы получили широкое применение при исследовании и построении решений различных классов уравнений. На их базе возникли методы аппроксимационно-итерационного типа, к числу которых принадлежат проекционные итерационные методы, 
сочетающие в себе проекционный метод и итерационный процесс. 
Важное место среди методов аппроксимационно-итерационного типа занимают методы 
проекционно-итеративного типа [1], к созданию которых привели развитие метода осреднения 
функциональных поправок, предложенного Соколовым Ю.Д. [2], и обобщения метода осреднения функциональных поправок. 
В статье предлагается проекционный итерационный процесс, сочетающий в себе проекционный метод и итерационный процесс (т.е. проекционный итерационный метод) и построенный 
с использованием проекционно-итеративного метода [1; 3], для отыскания решения нелинейного уравнения 

 
x
Tx
=
 
(1) 

в гильбертовом пространстве H  со скалярным произведением 
,x y  и нормой 

1/2
,
x
x x
=
 для 

,
.
x y
H
∈
 И доказывается сходимость последовательности проекционного итерационного процесса к решению уравнения (1). Оператор T  в уравнении (1) задаётся на шаре пространства H  
и является сжатием. 
В исследуемом в работе проекционном итерационном методе проекционный итерационный 
процесс является процессом нестационарного типа. 
 
1. Постановка и формализация задачи 
 
Для шара с центром в нуле пространства H  радиусом 
0
δ >
 используется обозначение 
,
Dδ  

т. е. 
{
}
:
.
D
x
H
x
δ
δ
≡
∈
≤
 

Предположим, что выполняются следующие условия (I-IV). 

I. Оператор 
2
:
r
T D
H
→
 является сжатием с постоянной сжатия 
1
0,
,

2

q


∈




 т.е. 

 
Tx
Ty
q x
y
−
≤
−
 

для 
2
,
.
r
x y
D
∀
∈