О вариационных неравенствах с равномерно непрерывными операторами

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА 
№ 145 
серия Прикладная математика. Информатика 

 
УДК 517.946:988.8 
 
О ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВАХ 
С РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 
 
А.А. ФОНАРЕВ  
 
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л. 
 
В статье исследуется итерационный процесс для отыскания решения вариационного неравенства в банаховом 
пространстве с нелинейным равномерно непрерывным оператором и выпуклым функционалом при наличии аппроксимаций выпуклого множества. 
 
Ключевые слова: вариационное неравенство, итерационный процесс, непрерывность, рефлексивность. 
 
Введение 
 
Вариационные неравенства вызывают активный интерес у специалистов как по дифференциальным уравнениям, так и у механиков, занимающихся проблемами теории пластичности, 
фильтрации, физиков, исследователей в области оптимального управления.  
Теория вариационных неравенств исследует многомерные обобщения проблем минимизации и дает общую методику решения многих проблем, в которых присутствует выпуклость. 
Развитие теории вариационных неравенств и ее применение к задачам механики, физики и оптимального управления отражено, например, в [1-4]. 
В статье исследован итерационный процесс для отыскания решения вариационного неравенства в банаховом пространстве с нелинейным равномерно непрерывным оператором и выпуклым функционалом при наличии аппроксимаций выпуклого замкнутого множества. Получен результат (теорема 1) о сходимости последовательности итерационного процесса к решению вариационного неравенства без использования рефлексивности пространства, а также теоремы 2, 3 о компактности и слабой компактности последовательности итерационного процесса 
для вариационного неравенства в рефлексивном пространстве. В качестве приложения рассмотрена задача о сильном изгибе тонких пластин. 
 
1. Построение итерационного процесса 
 
Введем обозначения: ВН – вариационное неравенство; ИП – итерационный процесс. 
Далее будем использовать терминологию функционального анализа из [5]. 
Пусть E  – вещественное банахово пространство с сопряженным пространством 
;
E∗
⋅  – 

норма в 
;
E
,y x  – значение линейного ограниченного функционала y
E∗
∈
 на элементе 
,
x
E
∈

K
E
⊂
 – выпуклое замкнутое множество. 
Предположим, что заданы такие функционалы 
:
,
g K → ℝ  
: K
ϕ
→ ℝ  (ℝ  – действительная 

прямая) и оператор (нелинейный) 
:
,
F K
E∗
→
 что:  

1) для каждого x
K
∈
 множество {
}
: ( )
( )
z
K g z
g x
∈
≤
 ограниченное;  

2) функционал g  является ограниченным снизу на 
,
K  т.е. существует 
 
0
inf
( )
;
x K
d
g x
∈
≡
∈ℝ  
3) функционал ϕ  выпуклый на 
,
K  ограничен снизу на каждом ограниченном множестве из 

K  и выполняется неравенство ( )
( )
,
( )
( )
g u
g v
Fv u
v
u
v
ϕ
ϕ
−
≥
−
+
−
 для  
,
;
u v
K
∀
∈