О некотором свойстве строго монотонных нелинейных операторов в нормированных пространствах

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА                                                        № 114 
серия Математика и физика 

 
УДК 517.988.8 
 
О НЕКОТОРОМ СВОЙСТВЕ  
СТРОГО МОНОТОННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ  
В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 
 
А.А. ФОНАРЁВ 
 
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л. 
 
В статье приводятся критерии для строго монотонных нелинейных операторов и для обобщённого решения 
нелинейного уравнения в нормированных пространствах. В качестве примеров рассматриваются сходимость галёркинских приближений к обобщённому решению уравнения и оператор средней кривизны. 
 
1. Общая постановка задачи 
 
Метод монотонных операторов [1–3] широко применяется в теории нелинейных уравнений 
и вариационных неравенств с монотонными операторами. Этот метод применяется при изучении интегральных уравнений, нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, эллиптических и параболических квазилинейных граничных задач, вариационных 
неравенств и задач оптимизации. С использованием метода монотонных операторов построены 
приближенные методы решения нелинейных уравнений и вариационных неравенств с монотонными операторами. В частности, при построении приближенных методов применяются 
сильная и равномерная монотонности нелинейных операторов [1], которые были заменены автором в [4–5] на понятие обобщенного решения при построении итерационных процессов в 
гильбертовых пространствах. 
Автор рассмотрел в статье критерии для строго монотонных нелинейных операторов и для 
обобщённого решения нелинейного уравнения в нормированных пространствах. Условия критериев позволяют строить приближенные методы решения нелинейных уравнений и вариационных неравенств с монотонными операторами, заменив сильную и равномерную монотонности нелинейных операторов на условия из критериев. В качестве применения условий из критерия для обобщённого решения для нелинейного уравнения в нормированных пространствах 
рассматривается сходимость галёркинских приближений к обобщённому решению нелинейного уравнения. Введённое автором понятие обобщённого решения нелинейного уравнения в 
нормированных пространствах сформулировано в [4–5] в гильбертовом пространстве. 
В качестве примера к критерию для строго монотонных нелинейных операторов рассматривается оператор средней кривизны. 
 
2. Критерии для строго монотонных нелинейных операторов и для обобщённого 
решения нелинейного уравнения в нормированных пространствах 
 
Далее используются терминология и обозначения из [1]. 
Пусть E  — вещественное нормированное пространство с нормой x  для 
,
x
E
∈
E∗  — со
пряженное с E  пространство; 
,y x  — значение линейного непрерывного функционала y
E∗
∈
 

на векторе 
,
x
E
∈
 множество 
.
K
X
⊆
 И пусть 
:
F K
E∗
→
 — нелинейный оператор.