Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Законы распределения случайных величин, используемых в теории надежности

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 615066.01.99
Киселев, Д. М. Законы распределения случайных величин, используемых в теории надежности [Электронный ресурс] : Метод. рекомендации по изучению курса / Д. М. Киселев. - Москва : МГАВТ, 2006. - 19 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/401058 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РФ


МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Д.М.КИСЕЛЕВ

Законы распределения случайных величин, используемых в теории надежности


МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РФ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Д.М.КИСЕЛЕВ

Законы распределения случайных величин, используемых в теории надежности

Методические рекомендации по изучению курса

Альтаир -МГАВТ МОСКВА, 2006

Альтаир -МГАВТ МОСКВА, 2006

УДК 519.718.2

Киселев Д.М.
Законы распределения случайных величин, используемых в теории надежности.
Методические рекомендации по изучению курса.
М.: Издательство " Альтаир ”, МГАВТ, 2006 - 19 с.
В пособии рассматриваются вопросы формирования случайных величин, используемых в прикладных задачах теории вероятности - теории надежности. Определяется комплекс условий, в которых целесообразно использование конкретных случайных величин для моделирования технологических процессов.
Предназначена студентам инженерно-экономических специальностей МГАВТ.





Рецензент - доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Уварова


Издается по решению Учебно-методического Совета МГАВТ


Введение
   Настоящее пособие предназначено студентам МГАВТа различных специальностей, в программе обучения которым присутствуют, в том или ином виде, дисциплины, связанные с теорией надежности. Теория надежности, основываясь на понятиях и результатах теории вероятностей, имеет свою методологию для математического описания надежности технических систем. И основным, базовым понятием , использующимся для построения математической модели технической системы, является понятие закона распределения случайной величины - случайной величины , которая является характеристикой надежности технической системы. В связи с этим, важнейшим вопросом , вызывающим практический интерес, является вопрос о механизме формирования таких случайных величин.
  Настоящее пособие написано с целью свести воедино две части процесса описания реального физического явления , а именно, процесса описания механизма формирования тех или иных случайных величин и математической записи законов , их представляющих. Пособие является справочным и может быть использовано студентами в учебном процессе.

© Киселев Д.М.,2006
© Оформление. МГАВТ, 2006

1. Основные понятия теории надежности
   Основанием теории надежности является представление о вероятности безотказной работы устройства , которое случайно может выйти из строя. Вероятность безотказной заботы определяется как с учетом, так и без учета срока службы устройства (эксплуатационной долговечности , или ' возраста " устройства).
Можно ввести понятия индикатора состояния устройства X, который принимает значение Х=1, если устройство пригодно к эксплуатации; в противном случае - Х==0. Таким образом, вероятность безотказной работы устройства является математическим ожиданием случайной величины X , т.е.

     М(Х) = Р(Х=1)                        (1)

 Продолжительность срока службы Т некоторого устройства является случайной величиной , описываемой функцией распределения F(t) ( F(t)- вероятность того, что сбой в работе устройства произойдет до момента времени t).
 Тогда P(t) = 1- F(t) - вероятность того, что устройство будет работоспособным для любого момента времени из интервала от нуля до t.
 Вероятность безотказной работы P(t) = 1 - F(t), являющаяся функцией времени, называется также функцией надежности.
 Устройство может представлять собой элемент системы , Егзаимозаменяемый или сменный блок, либо целую систему. Надежность системы определяется надежностью ее элементов и их взаимосвязью и структурой системы. Для определения надежности элементов системы необходимо гнать их функции распределения, которые могут быть получены на основании теоретических предположений, либо в результате обработки эмпирического ( статистического ) материала.
 Таким образом, для определения работоспособности системы необходимо иметь представление о влиянии и взаимосвязи случайных физических факторов, формирующих такую случайную величин)' как время

безотказной работы ( наряду с этим практический интерес могут представлять вероятности выхода из строя последовательностей или групп элементов, работающих в тех или иных условиях; собственно условия их работы и будут определять количественные значения искомых вероятностей ).
  Условиям работы элементов системы и , как следствие, определению законов распределения случайных величин, участвующих в формировании функции надежности , посвящено настоящее методическое пособие.
  . Введем некоторые определения, которые потребуются для дальнейшего изложения.
Пусть F(t) - функция распределения времени безотказной работы. Тогда P(t) = I- F(t) - вероятность безотказной работы устройства в течение времени t (функция надежности).
Очевидно, функции F(t) и P(t) определены на положительной полуоси, т.е. для всех t > 0.
  Обозначим через Q(t, A t) условную вероятность того, что устройство, проработавшее в течение времени t, проработает еще в течение времени A t.
  Очевидно


        P(t+ A t)= P(t) Q(t, A t).


(2)

  Из уравнения (2) получим:


         . P(t + А/) п. .
Q₍ₜ, д ₜ₎= — L ₍ р(/) > о).       (3)
р(0


  Соответственно , условная вероятность Q At, A t) того, что устройство, проработавшее время t , выйдет из строя в интервале времени (t, A t), равна :

   Qi&At) = 1 - Q(t,Ar) = 1 -            =
)         (4)
   _ P(t) - P(t + AO _ F(t + AO - ^(0
P(0       “        P(0
Ииедем функцию Л(0 (условную функцию интенсивности отказов ) следующим образом :

         Л(/) = lim           .                 (5)
                Ar->o At


 Если интегральной функции F(t) соответствует функция плотности f(t), то выражение для A(t) примет вид :
                       ₗᵢₘ , At &-*0 P(t)At                (6)
     7 F(r + A0-F(0 /(О
   P(f) м>о At              P(t)

 Справедливы следующие соотношения:
        Я(/) = - £[ln(P(0)];                   rn
t
- |А(х)б&
          P{t} = e °          ;                (8)
t
— jA(x)dx
          f(t) = A(t)e «             .         (9)
   Для малых At величина A(t)At может быть интерпретирована как условная вероятность отказа в интервале времени (t, t+ At) устройства, проработавшего время t.

2. Механизм формирования распределений случайных величин, определяющих долговечность технических систем.

  Функция распределения F(t) времени безотказной работы системы, согласно формулы (8), имеет вид:
t
- $A(x)dx
    F(_t) = l-P(t)^l~e ⁰           ,        (10)

 где Л(х) т интенсивность отказов ( коэффициент смертности).
 Таким образом, конкретизация вида функции распределения F(t) полностью определяется видом функции Я(х) . Многочисленные экспериментальные данные [2] в области анализа надежности технических элементов и систем, а также в области демографии, показывают, что в широком классе случаев функция Л(х) имеет следующий вид (рис.1):





                ад.|





Рис. 1 Зависимость интенсивности отказов от времени функционирования технического устройства

  Из рисунка видно, что время жизнедеятельности устройства можно разбить на три самостоятельных участка, характеризующихся определенным поведением функции Я(х).
  Первый участок ( t G (tbt;)) характеризуется тем, что значения функции Л(х) достаточно высоки, но при этом dA(t)
ярко выражена тенденция к ее убыванию ( -------< 0 ).


            dt


Технически это можно объяснить наличием в системе элементов с явными и (или) скрытыми дефектами ( сборки, некондиционности отдельных свойств и т.п. ), которые приводят к относительно быстрому выходу из строя этих элементов. Этот период принято называть периодом "приработки" ("обкатки"). (Аналогия с биологическими системами позволяет лучше понять механизм формирования неисправностей в период "приработки". Действительно, в первые часы (месяцы, годы) в популяции живых организмов веника смертность от так называемых врожденных дефектов организма, причем поток смертей с течением времени убывает.)
Второй участок ( tC (t₂,t₃)) соответствует периоду нсрмальной эксплуатации, характеризующийся


            dA(t)


приблизительно постоянным (------=0) и сравнительно


            dt


низким уровнем " смертности ". Природа отказов в этот период носит внезапный характер (аварии, несчастные случаи и т.п.) и не зависит от возраста объекта.

  Последний период эксплуатации ( жизни ) элементов (t>t₃) - так называемый период старения и износа. Этот период характеризуется тем, что интенсивность А(х) начинает


            dA(t)


достаточно резко возрастать (---->0). Природа отказов в


            dt



этот период - в необратимых физико-химических явлениях, приводящих к ухудшению качества элемента, к его старению". (Сравните с периодом "старения" живых организмов, характеризующимся лавинообразным нарастанием болезней и, как следствие, смертей.)

  Каждому периоду соответствует свой вид функции Л(х) и, следовательно, свой закон распределения времени жизни элемента.

3. Распределение времени безотказной работы в период "приработки"


 Для этого периода работы технического устройства применима степенная форма интенсивности отказов:
2 (Г) = Л оа ta~} ■ (Л ₀>0, 0<«<1) (11)


  Распределение времени безотказной работы, соответствующее периоду "приработки", с функцией интенсивности (11) называется распределением Вейбулла и имеет вид:

F(t) = 1-е ² ⁰ t<X ;(t>0 ) .         (12)
  Соответственно, функция плотности вероятности распределения Вейбулла имеет вид:
f(f) = Aₒat а-}е~л°*а- (t >0).       (13)
 Если х - время жизни анализируемого объекта в период "приработки", то
_ L /
М(х)=Л ₀ а Г\1 + — } ;      (14)
а
--                   Г Л
  D(x)=Zₒa[ Г(1 + ~)~ Г²[ 1 + — \ 1; (15)
а \          a) J

Где F(z) - так называемая гамма-функция Эйлера ;


I\z) = Jxz ¹ е Xdx . о
  М(х) - математическое ожидание;
D(x) - дисперсия .

4. Распределение времени безотказной работы в период нормальной эксплуатации


Для периода нормальной эксплуатации интенсивность отказов постоянна:
A(t) = Л ₀= const              (16)


 Легко заметить, что выражение (16) получается из формулы (11) при Ct = 1.
Таким образом, это тоже распределение Вейбулла , имеющее самостоятельное название экспоненциального, или показательного распределения.
 Для экспоненциального распределения справедливо:
F(0 = 7-e"'¹«' (t>0)           (17)

f(t) = Aₒe~l°' (t>0)           (is)

 Экспоненциальный закон ( и только он ) обладает , в частности, тем важным свойством, что вероятность безотказной работы элемента на интервале (t,t+At) не зависит от времени предшествующей работы t, а зависит только от интервала A t.
Экспоненциально распределенную случайную величину можно интерпретировать также как промежуток времени между двумя последовательными наступлениями событий в так называемом простейшем (стационарном пуассоновском ) потоке событий.
  Поток событий называется простейшим, если он :
а) стационарен, т.е. вероятностные характеристики не зависят от времени (интенсивность Л стационарного потока постоянна);
б) ординарен, т.е. события в потоке появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу ;
в) не имеет последействия, т.е. число событий, попадающих в интервал (t,t+ A г) не зависит от того, что происходило в

потоке в интервале (0,1).
  Экспоненциальное распределение может быть использовано для описания таких случайных величин как : 1) время обслуживания обслуживающим устройсгвом в системах массового обслуживания;
2) длительность технологической операции;
3) промежуток времени меж;1у двумя последовательными сбоями оборудования, работающего в отлаженном стационарном режиме.
  Если, как и раньше , х - случайная величина, подчиненная экспоненциальному закону распределения, то:

               1 1
        М(х)=----- ;   D(x)=-----    .         (19)
                             Л о

5. Распределение времени безотказной работы в период старения и износа (возрастающая интенсивность отказов)


Для этого периода работы технического устройства применима степенная форма интенсивности отказов:
Л (() = 2 Qa ta~! (2 0>O,<Z>1) (20)
   Это снова распределение Вейбулла , но при а > 1.
Числовые характеристики распределения Вейбулла представлены формулами (14) и (15).
  Кроме распределения Вейбулла поведение элементов в период старения и износа также может быть описано логарнфмически-нормальным и усеченным нормальным распределениями.
  Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностностатистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению оно впервые рассматривалось А.Муавром в 1733 г. Независимо от А.Муавра и независимо друг от друга К.Гаусс (1809 г.) и П.Лаплас (1812 г.) пришли к нормальной функции в своих работах по теории ошибок наблюдений.
  Механизм формирования нормально распределенной случайной величины в следующем :
случайная величина формируется под воздействием очень большого числа независимых между собой факторов, причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер воздействия - аддитивный (т.е. при воздействии случайного фактора z на величину а получается величина a+Az, где случайная добавка A z мала и равновероятна по знаку).
  Функция плотности нормального распределения имеет вид:

                             (х~а)


            1 f{x,a,(j) = —,                          (21)


                 <Т д/ 2 71 где
  Функция плотности усеченного нормального распределения имеет вид:
(х~«)²
/(х,я,//,сг) =---------.==е ²а ; (22)


            jU(7 у/27Г


               (t>0; СГ>0);

                 X
где константа /2 -                - 1,      (23)


                 О


шляется нормирующей постоянной.

  Если значение а более чем в три раза превышает зеличину(7, то значение/2 может быть опушено. В результате выражение (22) соответствует обычному (неусеченному) нормальному распределению с математическим ожиданием (средним) (2 и дисперсией 2
(J .Усеченное распределение относится к распределениям с возрастающей интенсивностью отказов.


Логарифмически-нормальное распределение.
  Случайная величина Y называется логарифм и чес ки-нормальной распределенной , если ее логарифм ( In Y ) подчинен нормальному закону распределения. В отличие от схемы формирования механизма нормального закона последовательный характер воздействия случайных факторов таков, что случайный прирост, вызываемый действием каждого следующего фактора, пропорционален



уже достигнутому к этому моменту значению исследуемой величины ( так называемый мультипликативный характер воздействия факторов ). Математически это означает, что если а - неслучайная компонента исследуемого признака Y ( "истинное" значение признака Y в идеализированной схеме, когда устранено влияние всех случайных факторов), а
- численные выражения эффектов
воздействия упомянутых выше случайных факторов, то последовательно трансформированные действием этих факторов значения исследуемого признака будут :


            У₁=а + ^а\


    У2=У1⁺&УГ>
(24)



            yN ~yN-I ⁺        <УЫ-1

  Из уравнений (24) легко получить:


“Й + £₂+-+<^,

(25)



            где Ayᵢ=yᵢ₊}~yᵢ



  Правая часть выражения (25) - есть результат

аддитивного действия множества случайных факторов, что

должно приводить ( согласно центральной предельной

теореме ) к нормальному распределению этой суммы.
Учитывая достаточную многочисленность числа случайных слагаемых (полагая N—> 00) и относительную незначительность воздействия каждого из них (т.е. Ау,- -> О ), можно левую часть выражения (25) рассмат -

ривать как интегральную сумму, которая при N —> оо равна


          ■У

          j — = lnj?-= Injz-lnor -            (26)


            УО У


 Это означает, что логарифм интересующей нас величины (уменьшенной на постоянную величину 1п <7 ) подчиня ется нормальному закону, т.е.

        /г(х) = Р(у <х) = /’(Inу < 1пх) =


(27)

 Из формулы (27) дифференцированием получаем выражение для функции плотности распределения логарифмически-нормальной случайной величины :
(1пх-1па)^


            f(x) =------²а .                    (28)


              «тхДг


 Числовые характеристики логарифмически-нормального распределения имеют вид :



            M(Y) = ае ² ;

                ,   2    2

        D(Y) = а² е (е - 7) .


(29)

(30)

доминирующих . Но центральное место нормального закона не следует объяснять его универсальной приложимостью. Нормальный закон - один из многих типов распределения , имеющихся в природе , правда, несколько чаще других практически используемых. А.Пуанкаре в работе " Исчисление вероятностей "   ( Париж,1912 г.) цитирует
Липмана : " Каждый уверен в справедливости нормального закона: экспериментаторы - потому, что они думают , что это математическая теорема; математики - потому, что они думают, что это экспериментальный факт ".
  Но , несмотря на иронию этого высказывания , следует признать, что полнота теоретического исследования нормального закона, а также сравнительно простые его математические свойства делают его удобным в применении.
  Даже в случае отклонения экспериментальных данных от нормального закона его использование целесообразно по следующим соображениям:
а)  нормальное распределение можно использовать в качестве первого приближения ;
б)  можно подобрать такое преобразование исследуемой случайной величины, которое видоизменяет исходный " не нормальный " закон распределения , превращая его в нормальный.
  Важным для статистических приложений является свойство " самовос производимое™ " нормального закона, заключающееся в том, что сумма любого числа нормально распределенных случайных величин также подчиняется нормальному закону распределения.

  В заключение обзора случайных величин , связанных с нормальным распределением , сделаем следующее замечание.
  Во многих случайных величинах различного физического происхождения естественно видеть суммарный эффект большого числа независимых причин , среди которых нет

6. Другие распределения, используемые в теории надежности и теории массового обслуживания

Биномиальное распределение.

Это - случайная величина X ( дискретная ) - число дефектных изделий (к) в партии определенного объема (т), отобранной из массовой продукции, производимой в сационарном режиме.
Р(Х = к) = Сктрк(1-р)п-к .         (31)

Характеристики распределения (математическое ожидание -М(х), дисперсия - D(x)):
М(х) = тр\                (32)
£>(х) = тр{1 ~ р) .         (33)

Отрицательное биномиальное распределение.

Это - случайная величина X ( дискретная ) - долговечность системы ( в числе циклов функционирования ) , имеющей (Л-7) резервных (автоматически подключающихся) элементов.
Р(Х = п)=Скп:,₁рк(1-рГ-к ; (34) (п- к,к + 1,к + 2,...              ),
где р - вероятность появления интересующего исследователя события в одном испытании ( р - COHSt ).
  Характеристики распределения (математическое
ожидание - М(х), дисперсия - D(x)):

М(х) = —;                   (35)
Р

D(x)=k^Pl Р

(36)

Гипергеометрическое распределение.


Этому распределению подчинена случайная величина X ( дискретная ) - число дефектных изделий ( к) в выборке объема (т) , извлеченной из партии изделий объема N, в которой содержалось М дефектных изделий.
^т-г
Р(Х = к) =                     (37)
Ст
N
к = тах{0,/и - (TV - М)}, max{0,w-(7V -           ..
Характеристики распределения (математическое ожидание -М(х), дисперсия - D(x)):

, ,, ч М М(х)~т~   (38)


D(x) = т
       N-1

(39)

Распределение Пуассона ( редких событий)

Распределению Пуассона подчинена случайная величина X ( дискретная ) - число наступлений интересующего исследователя события за единицу времени, когда факт наступления такого события в данном эксперименте не зависит от того, сколько раз и в какие моменты времени оно наступило в прошлом и не влияет на будущее, а испытания проводятся в стационарном режиме.
  Примерь! распределений Пуассона:
а)   число сбоев отлаженного процесса (т.е.