Текстовые фрагменты публикации
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Махова Н.Б., Дедовская Е.В.
Махова И. Б., Ведовская Е.В.
Основные типы неопределенностей и методов их раскрытия при вычислении пределов.
Основные типы неопределенностей и методов их раскрытия при вычислении пределов.
Библиотека
МГАВТ
МОСКВА 2007
Москва 2007
УДК 51 7
ББК 22 161Я73
Махова Н.Б., Лейовская Е.В.
Основные типы неопределенностей и методов их раскрытия при вычислении пределов.
В пособии предложена методика решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределённостей различных типов
Пособие может быть использовано студентами при самоподготовке по соответствующему разделу, а также как сборник заданий на практических занятиях
Одобрено на заседании кафедры высшей математики (протокол №6 от] 4.02.2007)
Оглавление
Введение................................................................ 4
Основные понятия математического анализа...................................6
Правила предельного перехода..............................................16
о
’.Неопределенность вида — и методы ее раскрытия...........................17
0
СО 2.Неопределенность вида — и методы ее раскрытия......................... 22
со
З .Неопределенность вида «Iе⁰» и методы ее раскрытая......................23
4 .Неопределенность вида со-со и методы ее раскрытия......................24
З .Неопределенность вида 0 • оо и методы ее раскрытия.................. 25
Вариант 1............................................................... 26
Вариант 2............................................................ 29
Вариант 3............................................................... 31
Вариант 4........................................................... 33
Вариант 5........................................................... 36
Вариант 6........................................................... 38
Вариант 7........................................................... 40
Вариант 8.................1........................................... 42
Вариант 9................................ ...............................45
Вопросы по теме бесконечно малые и бесконечно большие величины............49
Список литературы....................................................... 52
Рекомендовано к изданию на Учебно-методическом совете МГАЕТ (протокол № _ от 03.05.2007)
■Л
3
Введение.
Пснятие предела является одниь/ из основных понятий высшей математики. С понятием предела мы встречаемся при изучении производных, интегралов, теории в эроятности.
Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если эта переменная при своем изменении аеограничетяно приближается к постоянной а. Необходимо обратить внимание на принципиальное различие между пре-делом независимого переменного и пределом функции. В первом случае нужно задать или указать этот предел, а во втэром случае нужно убе диться, что предел действит ельно существует и найти его.
На Тример, две переменные величины х и у связаны зависимостью х²-1 у = —~-.
При этом, вопрос о пределе, к которому стремится переменная х или у не имеет смысда. Нужно указать, как изменяется одна из величин х или у, г: тогда можно с: тросить, стремится ли другая к какому-нибудь пределу и если да, то к какому и иенно.
Например, пусть х-есть независимая переменная и х—>6. Т.е. х можег принимать значения 6,1, 6,01...6,001 или 5,9, 5,99... и т.д.
Тат им образом, независимая переменная х может изменяться как угодно, лишь бы абсолютная величина |х-б| неограниченно уменьшалось.
Пр j указанных способах изменения переменной х переменная у также меняется различным образом, но каждый раз она приближается в: одному и тому же пределу, а именно у —> 8.
Тат им образом Нт у = 8,тц.е у-=---или Нт--------= 8.
х—ьб X — 2 х~>6 х — 2
Рассмотрим теперь ту эке зависимость между переменными х и у, где х²-^
у =-----, но при х -> 2.
х~2
Рассуждения, подобные предыдущему, не дают никакого ответа на этот вопрос, т.к. при х-»2 и числитель и знаменатель дроби стремится к 0, однако О
выражение — неопределено.
Существуют также функции, не имеющие никакого предела, например
не существует предела Нт sin—. Действительно, в силу ограниченности х->0 х
функции у = sin а, где а = — -1 < sin— < 1 . т.е. не существует такого един-х х
ственного числа а к которому стремилась бы функция sin— при х -> 0.
X
Таким образом, существует отличие между пределом аргумента и пределом функции. Аргумент можно “заставить” стремиться к пределу, который мы сами назначим, а будет ли функция стремиться при этом к пределу - это еще подлежит выяснить, и если да, то необходимо найти этот предел.
Вообще, вычисление предела функции при заданном пределе аргумента представляет из себя довольно сложную задачу, и общего метода ее решения не существует.
в данном пособии будут изложены некоторые методы, полезные при вычислении пределов.
Особенно важным является отыскание предела частного, когда делимое и делитель одновременно имеют бесконечные или нулевые пределы.
В настоящем пособии имеются элементы теории пределов: предел последовательности, предел функции, бесконечно большая и бесконечно алая функции, основные теоремы о пределах, понятие неопределенности, I, II замечательный предел, эквивалентные бесконечно малые функции, правило Бернулли-Лопиталя.
Основное внимание в пособии уделяется практической стороне дела: рассмотрены пр ига еры решения задач, приведены 10 вариантов к/p. В каждом варианте задания разбиты по уровням сложности. Теоретический материал приводится в справочной форме, необходимой для решения задач по этим темам.
Контрольные работы могут быть использованы преподавателями для работы со студентами в группах.
х² ~ 4
Однако величина у =----
х~2
все же стремится к определенному пределу.
Hai ример, при х-1,9
х = 1,99
х = 1,999
х²-4
Оче видно, что Нт-------= 4.
х~*2 X — 2
у =3,9 у = 3,99 у = 3,999
4
5
ОСНОВНЫЙ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Второй:щмечательныйпредел Пт 7 + — । ~е. х->®\ X)
е = 2718 .. - основание натурального логарифма.
Критери й Коши существования предела функции.
Для того чтобы существовал конечный предел Пт У(х) необходимо и доста-х—>а
точно, чтобы функция У{х) была определена в окрестности точки а, за исключением, быть может самой точки а и для любого s > 0 существует окрестность (а-б;адб) б>0. такая, что каковы бы ни были точки х; х₂ е (а--б; а Тб) Xj^a, х₂^а выполняется неравенство |/(х₇) — у(х₂)|<£.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей. — i, — i
К,ооJ
Теорема о пределе отношения двух бесконечно малых величин.
Пусть функции f(x) и g(x) на некотором интервале удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в 0 в точке х = а, т.е. /(a)-g(o):=0, тогда если
существует предел отношения Пт —при х -> а, то существует и предел от-ма g(x)
/(х) ,■ /'(*) Г Лх)
ношения Нт —)—(■¹ !¹РИ’!СМ Вт —р~~:⁼ «т ——г ■ g{x) х->а g (х) g(x)
Теорема о пределе отношения двух бесконечно малых больших величин.
Пусть функции У(х) и g(x) непрерывны и дифференцируемые при всех х —> а в окрестности точки а, причем производная g(x) не обращается в 0, пусть Нт У(х =оо, Zz>4g(x) = <» и пусть существует предел отношения х-*а ' ХЧ'О
у^Гх) f (^) у^с^)
Нт —~ -= А. Тогда существует предел Нт и Нт ■ } ! -= Нт г = А.
*-*а£(*) g(x) g(x)
Множество -- совокупность некоторых объектов произвольной природы, объединяемых по какому-либо признаку.
Числовые множества X = {х}, У = {у}..
Операции над множествами
1) сложение С = А + Б = {х или |хе А, или х g BY;
2) вычитание R/=A\B, R₂=B\A;
3) умножение С=^-5 = {х |х g Л и х G В одновременно Y.
Неопределенности (виды) j—I, (Уд, (oo;⁻oo)> 0, oo.
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки х и /пиду=0или Нт у(х) = /(х) .
дХ->0 х—>х₉
Она определена в некоторой окрестности х = х₀ и для любого s > 0, существует б = б(е), что для всех |х - х₀| < б имеет место неравенство |/ (х)—f (хе)| < s.
Непрерывность функции на отрезке.
Функция называется непрерывной на отрезке [пй], если она непрерывна во всех точках интервала (ей), непрерывна справа от точки а и слева от точки в теореме о функциях непрерывных на отрезке.
Окрестностью точки а называется любой интервал (с;й), содержащий точку а.
В частности интервал ( « - s,a + s), где s > 0 называется е - окрестностью точки
а. Число а называется центром, а число е - радиусом.
6
Е:ли хб(в-в,т), то выполняется неравенство а-е <x<a+s или, что тоже |x-a|<s.
В яполнение последнего неравенства, означает попадание точки .иг - окрестное гь точки а.
Основные теоремы о пределах.
1; Сходящаяся последовательность имеет только один 1тредел.
2} Сходящаяся последовательность ограничена.
3) Пусть даны две сходящиеся последовательное™ {х„}, {ув}. Справедливы неравенства
lⁱm (хп ⁺ Уп) = 1™ хп + Нт уп;
и-—>со и—и—►оо
Нт (ху | = Нт х ■ Нт у\ «-><» FI—>00 л-->00
Нт х
Нт — = F~>°° , если Нт у = 0. п-ис у Нт у и—
4) Если элементы сходящейся последовательности Ья}, начиная с некоторого нс мера, удовлетворяют неравенству xₙ>h (хп <6), то предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а >Ь (а<Ь}
5) Пусть {х,,} и сходящиеся последовательности, имеющие общий предел <i. Пусть, кроме того, начиная е некоторого номера, элементы последоьа-тельносги {уп} удовлетворяют неравенствам |х„ - п| < Е, |у„ - а] < Е.
Тогда последовательность {у„} сходящаяся и имеет предел а
Нт у„ = а. п-кв
ГТ . „ sinx
Первый замечательный предел. Нт--------— 1
х->0 JC
Последовательность (частный случай функции) - множество занумерованных чисел Х]Х₂х₃. ,хп в котором каждому натуральному значению п ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число х.
Последовательность, имеющая предел называется сходящей Нт х„ — А .
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого А>0 можно указать номер N = ./У(Л)такой, что при n>N все члены хэтой последовательности удовлетворяют неравенству хп> А.
Последовательность называется бесконечно малой, если для любого Е>0 можно указать номер W=JV(£) такой, что при n>N все члены х этой ап последовательности удовлетворяют неравенству а„ <Е.
Число а называется пределом последовательности хп, если для любого Е>0 существует N = N(E), что для всех n>N выполняется неравенство к’а1<£-
Геометрический смысл определения предела последовательности.
Неравенство |х„ -а|<с равносильно неравенству -е <хп-а<8 или а~Е< хп<а + е, которые показывают, что элемент хп находится в s - окрестности точки а
Рис.
Чем меньше е , тем больше число N, но в любом случае внутри е - окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.
Число h называется пределом функции у = /"(xJb точке х = а, если для любого Е>0 можно указать 3 - 3(E) такое, что для всехх, для которых |х-а< 3 выполняется неравенство I/(х) -b| < Е
9
Un f(x) = b. X-* r
On «деление 1.
Нт f^x)~b. Х-><Ю
Геометрический смысл предела функции (опр.1 по Коши) b = limf^xₙ^, если х—>с
для любсй £ - окрестности точки b натдется такая ё - окрестность точки а, что для всех х*а из этой ё - окрестности соответствующие значения функции /(х) лежат в е - окрестности точки Ь.
Иными словами точки графика функции у = /(х) лежат внутри полюса шириной 2е , ограниченной прямыми
у-b-£
у-Ь + г.
При этом, ё зависит от выбора г, поэтому минимум ё = tS'ff).
Геометрический смысл для любого е>0, существует М>0, что при хе(-х,-М) или х€(М,-ню) соответствующие значения функции у = /(х) попадают в £ - окрестности точки Ь, т.е. точки графика лежат в полюсе шириной 2е , ограниченной прямыми у = Ь + £, у-Ь-е
Рис.
Число Ъ называется пределом функции у = /(х) в точке а₀ (или при х->а₀), если для любой последовательности допускаемых значений аргумента хп, п е N (х„ * а), сходящейся к а (т.е. Нт хп ~ а), последовательность соответствующих Л—>00
значений « -> со функции f (хя), п е N сходится к числу Ь, т.е. Нт /(хя) = Ъ , т.е. Нт f(x„) = b. х—>а
Определение 2.
Геометрический смысл предела функции (опр. 2 по Гейне) Нт f(xₙ) = b очнача-
Л-><1
ет, что для всех точек х, достаточно близких к точке а, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа Ь.
Число Ь называется пределом функции у- /(х) прих —><ю, если для лобого £д > 0 сут чествует такое число М = М(а) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|> М выполняется неравенство (х)-b\ < г
О
Принцип вложенных отрезков.
Пусть дана бесконечная система отрезков [а;,каждый последующий из которых содержится в предыдущем. Пусть разность (Ь - а) стремится к О при «—>оо. Тогда существует и притом единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Односторонние пределы предел слева или справа от точки а
Нт f(x) = b, Нт f(x) = c. z-ю-О х-^а+О
Производной функции у = f (х) в точке х называется предел, если он существу /(х+дх)-f(x} ,
вует Нт — = Нт —------—:-*-*■ = f (х) приращения функции к приращению
дХ дх
аргумента, когда последний стремится к 0.
Основные правила и формулы дифференцирования.
(»± v) =u' + v' 1. (x")' = nx"-‘ 4. (a*) =a*lna
(»• и) =u'v+uv' (4 1 (e^ = ef
( и _ urv --- uv
V2 < л 1 5- (^Л) - f
(Си ) -Си / X x In a
(x)’=J <lnx)'=~
2. С = 0, :ще С - const.
3. (sinx) = cos х 6. (arctg x) -] + x2
(cos x) = -sin x ( arcs in x 1 = Д=
(rgx)'=----- V ' yll-e
CO i X
, V 1
(etgx) = (arecas x) ----?=*---=
sm x
(arcctg x) =
.. ___________________ ....
Разрывы первого и второго рода.
Точка С называется точкой разрыва функции /(х) не определена при х=С или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Если пункция имеет конечные пределы /(С + 0) и /(С-t¹), но /(с+о»=/(с-о), то функция имеет в точке С разрыв первого рода.
Если у функции не существует ни левого, ни правого предела, либо од лога из них, лиС о эта пределы бесконечны в точке С, то функция имеет разрыв второго рода.
Свойст w непреры вных функций.
1) Д)я непрерывных функций можно поменять местами операции предела и вз ггие функции;
2) Теорема 1. Если /(х) и g(x) непрерывны в точке х, то функции Q’(x)’ Дх) ⁺ &(*)’ /(x)/g(x), (если g(x)^O) непрерывна
в точке х;
3) Теорема 2. Любая непрерывная пункция непрерывна в каждой точке, в кото зой она определена.
4) Теорема 3 (непрерывность сложной функции'). Пусть функция у-gf х) непрерывна в точке х. а функция /(у) непрерывна е точке
?2
y = g(x). Тогда сложная функция F(x) = /(g(x)) также непрерывна в точке х, т.е. Пт /(g(x)) = /(g(xf₎)).
1->Х„
Способы задания функции - табличный, графический, аналитический.
Расходящаяся последовательность — последовательность, не имеющая предел. Например уп = (-7)” ■ п ■
Сходящаяся последовательность - последовательность, имеющая один предел.
Например, последовательность уп- — , т.к. Пт — = 0, т.е. все элементы данной П л-хя п
последовательности сходятся к 0.
Теорема Больцано - Вейерштрасса.
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся под-
последовательность.
Теоремы о бесконечно малых последовательностях (б м п)
1) Суммой двух б. м. п. называется б. м. п.;
2) Разностью двух б. м. п. называется б. м. П.;
3) Б. м. п. ограничена;
4) Если {х„}сходящаяся последовательность и Нт х„-а, то {ая} = {хп-а}
б. м. п.;
5) Произведение ограниченной последовательности на б. м. п. есть б. м. п.;
6) Если [хл] б. б. п., то начиная некоторого номера п определена последова-
тельность
которая является б. м. п. Если все элементы {ап}
Теорема о пределе промежуточной функции.
Если функция у = /(х) заключены между функциями ^(х) и g(x), стремящимся к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому же пределу, т.е. если
limq>(x) = b, limg^x'j-b
Х->42
13
p(x)</(x)<g[x),ro limf(x) = b. x-+a
Теорема э монотонной последователыости, ограниченной с обеих сторш.
Если монотонная последовательность oi-раничена с обеих сторон, то она сходится.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [ай], то существует ее минимум и максимум на отрезке [ай], т.е. существуют точки e[ab] такие, что /(а) </[х) </(/?) для всех хе [ай].
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [ай] и числа /(а) и /(й) не равны 0 t имеют противоположные знаки, то на интервале (аЬ) имеется, по крайней мере, одна точка С такая, что / (С) = 0.
Последовательность, называется фундаментальной, если для любого найдется номер ?r = jV(E)такой, что для всех т, п > Лг справедливо неравенство
Y есть функция от х, если каждому значению переменной х, принадлежнщему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой пер сменной у У = /(х).
у
Экви вал :ятные бесконечно малые функции. Нт (1 + а)а = е
а-Ю
Бесконечно малые функции tz(x) и /?(х) называются эквивалентными оеско-г а(х) I нечно мал ыми, если ат —7—7 = 1.
х-ю ^(х)
Пары экий валентных бесконечно малых.
sinx-x х->0 ех -1 ~х х-->0
tgx-x х->0 ₐx_j -xlna ₓ-+o’
arcsin x~ x x->0 ln{l+x}~x x- 4-0
arctg x~ x x---^0 Г,---- , x
-Jl + x-1 --- x - + 0
2
1 - COS X --- x^O (j + x)*-2~Ax x -
2
4
15
Правиле предельного перехода.
Часть I, Непосредственное вычисление пределов.
1. Предел алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме пределов этих слагаем ых.
(*) + fl {х) +... + fₙ(х)] =: Нт f (х) + Пт /₂ (*) + •■ •+ Нт fₙ(х) x -i-a х—
Пример 1. Нт^Зх* + Зх). Так как в точке х = 2 заданная функция непрерывна, => lint fjx² + Зх)= 5 ■ 2² +3 ■ 2 == 26 х-+2' '
2. Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей.
lⁱm [//(*) ■ Л(х)■-•/„(*)] = Нт /,(х)• Нт f₂(х) ■... Нт fₙ(х; х->а J х-+а х—>с х—*а
число, либо один из символов оо,-ню,-оо,причем и числитель, и знаменатель одновременно стремятся к нулю при х —> я. Для того, чтобы охарактеризовать эту особенность, говорят, что данное выражение представляет неопределенность ви-0
да О'
2) Если при отыскании предела отношения двух функций окажется таким, что и числитель, и знаменатель одновременно стремятся к бесконечности - име-
00
ем неопределенность вида —.
ОО
3) При нахождении предела разности двух функций, каждая из которых име-
ет
бесконечный предел, возникает неопределенность вида со - оо ,что можно свести
О ОС'
к виду - или — .
О оо
4) Если при нахождении предела произведение двух функций окажется, что один из сомножителей стремится к нулю, а другой к бесконечности, то получим
£ О
Пример 1. Нт [5х-7пх]. Так как в точке х = 7 заданная функция непрерызна,=>
неопределенность 0 - со. Эту неопределенность также можно свести к виду
Нт(5х ■ 1пх) = Нт Зх ■ Нт 1пх = 5 ■ 1 • Ini = 0 х~*1 х-*1
3. Предел частного равен частному ст деления пределов, если только предел знаменателя не равен О
/,(х) Hmf^x)
Hmf₂(x) х->я
если lim f₂(x)*0. x->a
Пример 3. Нт-----. Так как заданная функция непрерывна в точке
х +х-б
х = 0
(многочлен в знаменателе не обращается в 0), то
.. х³ +3х²-х—3 О³+ 3 О²-0-3 -3 1
Нт-----₅--------=--------------= — - —
х->о х² + х-6 + 0-6 -6 2
Для того чтобы найти предел элементарный функции, когда аргумен" стремится к значению, принадлежащему области определения функции, нужно в выражение функции вместо аргумента; подставить его предельное значение .
Часть II. Раскрытие неопределенностей.
4. При нахождении пределов могуг возникнуть особые отучай, треб)тощие специаль {ых преобразований.
1) Пу< ть надо найти предел отношеь ия двух функций при г—><т, а- любое
00
ИЛИ —.
00
5) Кроме перечисленных неопределенностей возможны неопределенности ви-
да 7 , 0 , оо , О
В этих случаях для нахождения пределов приходится применять специальное исследование, которое получило название раскрытие неопределенностей.
Иногда один и тот же пример можно решить несколькими способами.
1 .Неопределенность вида - и методы ее раскрытия.
В зависимости от вида первоначального выражения, данную неопределенность возможно раскрыть следующими способами (иногда один и тот же пример можно решить несколькими способами);
1а) Применение первого замечательного предела.
., ₜ , sin3x (0)
Пример 4. Нт ■■ ■ ■ неопределенность —
л-»оо X
„ sin3x 3sin3x
Представим ------- в виде------
х Зх
Если х бесконечно малая величина, то и Зх также бесконечно мало. Поэтому sin3x ------> !
Зх
IE
17
Тшзгм образом Нт s‘ⁿ^x = 3 цт -!И^. = 3.]=3, x-tO X x->(J Зх
16) Применение эквивалентных бесконечно малых
Ра< смотрим предыдущий пример. Тот же самый результат может быть по-
лучен еще быстрее. При этом необхсдамо понимать, что формула Нт ——, оз-
*->о А
smx
начает, что при «достаточно малом» х величина-----практически равна 1, т.е.
х
sinx ,.. _ , . „
-— «1 Итак, при х—> 0 sinx ~ х или s пЗх - Зх.
X
„ sin3x .. Зх
1о]да 1т-------= lim— = 3. При этом вместо приближенного равенства,
x-х? г x-to х
относящегося к «достаточно малому» л, здесь имеет место точное равенство, от-носящее< я к бесконечно малому х
„ , „ sin5x (ОУ 5х 5
Пример lim----------= I— = hm— = -
x~*osin'3x \0) х-*оЗх 3
1в) Сокращение на множитель, дающий неопределенность.
О
О
„ ,. х³ + 5хг + 7х + 3
Пример (I. 1гт —----т-------
х-»-/х + 4х² + 5х + 2
Определяем вид неопределенности, под-
ставив bs [вето х значение -1, к котором f х стремится.
Получим: (^₊5(-7)^7(-7)±3J
(-1)³+<l(-I)²+ 5(-1) + 2 С
Разложим многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, на множители. При этом необходимо учитывать, что неопределенность возникает за счет содержания в многочленах критического множителя (т.е. множителя, равного 9, при предельном значение х) (х + 7)(т.к. х-7), на который необходимо сократить оба мног зчлена.
х³+5х² + 7х + 3+х + 1 = х²+4х+3
-х‘ + X²
— 4х‘ + 7х
4х! + 7х
-Зх + З
Зх + 3 О
х³ + 4х² + 5х + 2 ч х + 1 = х² + Зх + 2
х' + х*
- Зх' + Зх
Зх’ + Зх
- 2х + 2
2х + 2 О
(х + 7)(х + 3)(х + 7) .. х+3 — 1 + 3 2
hm ----——■——------= 1т-------=-----= —
х-»-/(х + 7)(х + 2)(х + 7) х-»-/х + 2 — 1 + 2 7
1г) Умножение на сопряженное выражение.
х²-9 (О
Пример 7. 1т , -------- —
При х-3 числитель и знаменатель дроби обращается в нуль. Знаменатель содержит иррациональное выражение Vx + 7 .
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение 1с'х + 7 +2). Получаем:
(x - 3)(x + 3)(-Vx + 7 + 2) У^+2 2)=(3 + 3) = 24.
.. х²-9 (x-3)(x + 3)(VT+7+2)
hm —f=^=--= hm г ,—— v\----------r ⁼
\'x+ I - 2 \4x +1 - 2)^х +1 + 2j
₌ ₗᵢₘ (j-jX^+-?)(V^+7+2) ₌ Uₘ ₊₃y-^j₊
^3 (x+l)-4 л
Q .. i/T^-i
Пример s. Im -------.
x-+0V7 + x-7 *■
i-ый способ: аналогично рассмотренному ранее примеру, избавимся от иррациональности в числителе и знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, применяя формулы для разности квадратов и кубов.
18
Получим:
tyl+x-1 (^7 + х -7^<7 + х/ + l/l + x + l\jl + x + l} lui , = hm т¹-------------г.— v— , Л--------—x
J⁴°-v7 + x-7 x~*’°(y/T+x -l\jl + x + 1h[(I + x) +a/7 + x + 7J
(7 + x-/)(V7+^ + 7) Vz + x + 7
= lim -7— ■.=----■_ ---r----------= hm . i— । -rnr-' = =
хчвИ7+^ + ^7 + x + 7 (7 + X-7) х-⁺⁰<((7 + х}г+^ + х+7
= ’ ₌ z
^(7 + ;:)²+VT+O + 7 ³ * *
2-ой способ.
Введем новую переменную z: 1 + х - z⁶ (такая замена ввод ится, чтобы можно было извлечь корни из второй и трегьей степени) Таким образом z —»/ при х->-0,
Подстав тяем замену, пз лучим
</Лх + 7 V?-7 z²-? (z-7)(z + 7) z + 1 2
hm —f= — = hm .— = hm —; = hm-------------------=-------= hm —x------= —
x->o y/1 н x -1 z-*iz—,' *-»/(z —7)(z² 4-z +7) *-+/z²-i-z + 7 3
1д) Применение правила Лопиталя-Бернулли
П]>авила Логиталя - Бернулли является эффективном средством нахождения пре, ;елов фунщии в тех случаях., когда аргумент неограниченно возрастает, или стрк мится к значению, которое не входит в область определения функции.
„ п sinxez-5x
Пример 9. hm-----т----
х-»0 4х + 7х
При х-*0 числитель и знаменатель дроби обращается в нуль. Применяя правило Лош таля-Бернулли заменяем числитель и знаменатель .дроби на их произ-
ВОДНЪГС.
Получас м:
sinxex-5х , (sinxe* - 5х)' cosxex + sinxe¹ - 5 hm--------—— = hm-------т-------= hm--------------------=
4x² + 7x (4x² + 7x)' x+-o 8x - 7
_ cosOe* + sinOe⁰ -5 1 + 0- 5 _ 4
3-0 + 7 0 + 7 ~7'
В некоторых случаях правило Лопитачя приходится применять несколько раз:
ГТ ,л ,■ sir^xe -X (0 \
Пример 10. hm-----т.-т- - .
■^0 5;:²+х³ {О )
При х —> 0 получаем неопределенность —
sinxe²x - х (sinxe²x - х)' .. cosxe²x + 2sinxe²x -1
hm---------— = hm----------г— - hm----------------r-----
*-»0 5x²+xJ (5x²+xj)' x-tO 10x + 3x²
Подставляем 0 вместо переменной x, снова получаем неопределенность вида .
Применяем еще раз правило Лопиталя.
(cosxe²x + 2sinxe²x - 7) - sinxe²x + 4cosxe²x -I- 4sinxe²x
hm---------------------- — hm---------------------------=
x-tO (10x + 3x²) x->0 10 + 6x
sinOe²⁰ + 4cosOe²⁰ + 4sinOe²'⁰ 4 2
10 + 60 10 5
Для применения правила Лопиталя не обязательно стремление к 0 переменной х, достаточно, чтобы при подстановке в выражение предельного значения этой пе-
„ 0 оо
ременной, само выражение сводилось к неопреденности вида — или —. О оо
Пример 11. Нт x^tg3x
2
₁{м ы _ cos²3x , -6cos3xsin3x sin6x hm ' y = hm---------= hm----------------= hm-------.
x->^(fg3x) X^13cos²x -6cosxsinx X^sin2x
oj
Снова получаем неопределенность вида —,
применяя еще раз правило Лопиталя,
находим
sin6x 6cos6x 6
h?n ±= lim —— --------= J .
ₓ sin2x 2cos2x 2
Иногда случаи раскрытия неопределенности вида — приходится комбинировать (или предварительно применять некоторые математические зависимости).
Пример 12. Нт — f—]
х^о^х + 9-3 \0J
Числитель и знаменатель обращается в нуль при х = 0 при этом знаменатель содержит иррациональность. Освободимся от иррациональности - используется случай (1г).
, sinx згихМх + Р -3) sinxi-Jx + 9-3) sinx
hm -------------= hm г x у , ' ч = hm---------ⁱ-----------L - hm-------=
x-+04x + 9-3 x-+o\4x + 9 -3^4x + 9 + 3) x+0 (x + 9)-9 x^o x
случай la) замечательный предел
21
20
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
