Основные типы неопределенностей и методов их раскрытия при вычислении пределов


МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ  ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

                   МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Махова Н.Б., Дедовская Е.В.

Махова И. Б., Ведовская Е.В.





                Основные типы неопределенностей и методов их раскрытия при вычислении пределов.





            Основные типы неопределенностей и методов их раскрытия при вычислении пределов.







            Библиотека
            МГАВТ



МОСКВА 2007

Москва 2007

УДК 51 7
ББК 22 161Я73

Махова Н.Б., Лейовская Е.В.
Основные типы неопределенностей и методов их раскрытия при вычислении пределов.

В пособии предложена методика решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределённостей различных типов

Пособие может быть использовано студентами при самоподготовке по соответствующему разделу, а также как сборник заданий на практических занятиях





Одобрено на заседании кафедры высшей математики (протокол №6 от] 4.02.2007)


Оглавление

Введение................................................................   4
Основные понятия математического анализа...................................6
Правила предельного перехода..............................................16
                       о
’.Неопределенность вида — и методы ее раскрытия...........................17
                       0
                       СО 2.Неопределенность вида — и методы ее раскрытия.........................  22
                       со
З  .Неопределенность вида «Iе⁰» и методы ее раскрытая......................23
4  .Неопределенность вида со-со и методы ее раскрытия......................24
З  .Неопределенность вида 0 • оо и методы ее раскрытия..................  25
Вариант 1...............................................................  26
Вариант 2............................................................     29
Вариант 3...............................................................  31
Вариант 4...........................................................      33
Вариант 5...........................................................      36
Вариант 6...........................................................      38
Вариант 7...........................................................      40
Вариант 8.................1...........................................    42
Вариант 9................................  ...............................45
Вопросы по теме бесконечно малые и бесконечно большие величины............49
Список литературы.......................................................  52

Рекомендовано к изданию на Учебно-методическом совете МГАЕТ (протокол № _ от 03.05.2007)

■Л

3

Введение.
     Пснятие предела является одниь/ из основных понятий высшей математики. С понятием предела мы встречаемся при изучении производных, интегралов, теории в эроятности.
     Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если эта переменная при своем изменении аеограничетяно приближается к постоянной а. Необходимо обратить внимание на принципиальное различие между пре-делом независимого переменного и пределом функции. В первом случае нужно задать или указать этот предел, а во втэром случае нужно убе диться, что предел действит ельно существует и найти его.
     На Тример, две переменные величины х и у связаны зависимостью х²-1 у = —~-.


     При этом, вопрос о пределе, к которому стремится переменная х или у не имеет смысда. Нужно указать, как изменяется одна из величин х или у, г: тогда можно с: тросить, стремится ли другая к какому-нибудь пределу и если да, то к какому и иенно.
     Например, пусть х-есть независимая переменная и х—>6. Т.е. х можег принимать значения 6,1, 6,01...6,001 или 5,9, 5,99... и т.д.
     Тат им образом, независимая переменная х может изменяться как угодно, лишь бы абсолютная величина |х-б| неограниченно уменьшалось.
     Пр j указанных способах изменения переменной х переменная у также меняется различным образом, но каждый раз она приближается в: одному и тому же пределу, а именно у —> 8.


     Тат им образом Нт у = 8,тц.е у-=---или Нт--------= 8.
х—ьб            X — 2     х~>6 х — 2
     Рассмотрим теперь ту эке зависимость между переменными х и у, где х²-^
у =-----, но при х -> 2.
    х~2
     Рассуждения, подобные предыдущему, не дают никакого ответа на этот вопрос, т.к. при х-»2 и числитель и знаменатель дроби стремится к 0, однако О
выражение — неопределено.

     Существуют также функции, не имеющие никакого предела, например

     не существует предела Нт sin—. Действительно, в силу ограниченности х->0 х

функции у = sin а, где а = — -1 < sin— < 1 . т.е. не существует такого един-х                                   х

ственного числа а к которому стремилась бы функция sin— при х -> 0.
X
     Таким образом, существует отличие между пределом аргумента и пределом функции. Аргумент можно “заставить” стремиться к пределу, который мы сами назначим, а будет ли функция стремиться при этом к пределу - это еще подлежит выяснить, и если да, то необходимо найти этот предел.
     Вообще, вычисление предела функции при заданном пределе аргумента представляет из себя довольно сложную задачу, и общего метода ее решения не существует.
     в данном пособии будут изложены некоторые методы, полезные при вычислении пределов.
     Особенно важным является отыскание предела частного, когда делимое и делитель одновременно имеют бесконечные или нулевые пределы.
     В настоящем пособии имеются элементы теории пределов: предел последовательности, предел функции, бесконечно большая и бесконечно алая функции, основные теоремы о пределах, понятие неопределенности, I, II замечательный предел, эквивалентные бесконечно малые функции, правило Бернулли-Лопиталя.
     Основное внимание в пособии уделяется практической стороне дела: рассмотрены пр ига еры решения задач, приведены 10 вариантов к/p. В каждом варианте задания разбиты по уровням сложности. Теоретический материал приводится в справочной форме, необходимой для решения задач по этим темам.
     Контрольные работы могут быть использованы преподавателями для работы со студентами в группах.


х² ~ 4
Однако величина у =---х~2

все же стремится к определенному пределу.

Hai ример, при х-1,9
х = 1,99
х = 1,999
х²-4
Оче видно, что Нт-------= 4.
х~*2 X — 2

у =3,9 у = 3,99 у = 3,999

4

5

    ОСНОВНЫЙ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА


Второй:щмечательныйпредел Пт 7 + — । ~е. х->®\                           X)

е = 2718 .. - основание натурального логарифма.
Критери й Коши существования предела функции.
Для того чтобы существовал конечный предел Пт У(х) необходимо и доста-х—>а
точно, чтобы функция У{х) была определена в окрестности точки а, за исключением, быть может самой точки а и для любого s > 0 существует окрестность (а-б;адб) б>0. такая, что каковы бы ни были точки х; х₂ е (а--б; а Тб) Xj^a, х₂^а выполняется неравенство |/(х₇) — у(х₂)|<£.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей. — i, — i
                                                     К,ооJ
Теорема о пределе отношения двух бесконечно малых величин.
Пусть функции f(x) и g(x) на некотором интервале удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в 0 в точке х = а, т.е. /(a)-g(o):=0, тогда если
существует предел отношения Пт —при х -> а, то существует и предел от-ма g(x)

            /(х)         ,■ /'(*) Г Лх)

ношения Нт —)—(■¹ !¹РИ’!СМ Вт —р~~:⁼ «т ——г ■ g{x)                     х->а g (х) g(x)
Теорема о пределе отношения двух бесконечно малых больших величин.
Пусть функции У(х) и g(x) непрерывны и дифференцируемые при всех х —> а в окрестности точки а, причем производная g(x) не обращается в 0, пусть Нт У(х =оо, Zz>4g(x) = <» и пусть существует предел отношения х-*а '         ХЧ'О
    у^Гх)                               f (^)               у^с^)
Нт —~ -= А. Тогда существует предел Нт и Нт ■ } ! -= Нт г = А.
*-*а£(*)                                          g(x) g(x)

Множество -- совокупность некоторых объектов произвольной природы, объединяемых по какому-либо признаку.
Числовые множества X = {х}, У = {у}..
Операции над множествами
     1) сложение   С = А + Б = {х или |хе А, или х g BY;
     2)  вычитание R/=A\B, R₂=B\A;
     3)  умножение С=^-5 = {х |х g Л и х G В одновременно Y.



Неопределенности (виды) j—I, (Уд, (oo;⁻oo)> 0, oo.
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки х и /пиду=0или Нт у(х) = /(х) .
                      дХ->0        х—>х₉
Она определена в некоторой окрестности х = х₀ и для любого s > 0, существует б = б(е), что для всех |х - х₀| < б имеет место неравенство |/ (х)—f (хе)| < s.
Непрерывность функции на отрезке.
Функция называется непрерывной на отрезке [пй], если она непрерывна во всех точках интервала (ей), непрерывна справа от точки а и слева от точки в теореме о функциях непрерывных на отрезке.


Окрестностью точки а называется любой интервал (с;й), содержащий точку а.

В частности интервал ( « - s,a + s), где s > 0 называется е - окрестностью точки

а. Число а называется центром, а число е - радиусом.

6

     Е:ли хб(в-в,т), то выполняется неравенство а-е <x<a+s или, что тоже |x-a|<s.
     В яполнение последнего неравенства, означает попадание точки .иг - окрестное гь точки а.
Основные теоремы о пределах.
     1;  Сходящаяся последовательность имеет только один 1тредел.
     2}  Сходящаяся последовательность ограничена.
     3)       Пусть даны две сходящиеся последовательное™ {х„}, {ув}. Справедливы неравенства
lⁱm (хп ⁺ Уп) = 1™ хп + Нт уп;
и-—>со       и—и—►оо
Нт (ху | = Нт х ■ Нт у\ «-><»   FI—>00 л-->00
        Нт х
Нт — = F~>°° , если Нт у = 0. п-ис у Нт у и—
     4)       Если элементы сходящейся последовательности Ья}, начиная с некоторого нс мера, удовлетворяют неравенству xₙ>h (хп <6), то предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а >Ь (а<Ь}
     5)       Пусть {х,,} и сходящиеся последовательности, имеющие общий предел <i. Пусть, кроме того, начиная е некоторого номера, элементы последоьа-тельносги {уп} удовлетворяют неравенствам |х„ - п| < Е, |у„ - а] < Е.
Тогда последовательность {у„} сходящаяся и имеет предел а
           Нт у„ = а. п-кв
ГТ .                  „            sinx
Первый замечательный предел. Нт--------— 1
                               х->0 JC

Последовательность (частный случай функции) - множество занумерованных чисел Х]Х₂х₃. ,хп в котором каждому натуральному значению п ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число х.
Последовательность, имеющая предел называется сходящей Нт х„ — А .
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого А>0 можно указать номер N = ./У(Л)такой, что при n>N все члены хэтой последовательности удовлетворяют неравенству хп> А.
Последовательность называется бесконечно малой, если для любого Е>0 можно указать номер W=JV(£) такой, что при n>N все члены х этой ап последовательности удовлетворяют неравенству а„ <Е.
Число а называется пределом последовательности хп, если для любого Е>0 существует N = N(E), что для всех n>N выполняется неравенство к’а1<£Геометрический смысл определения предела последовательности.
Неравенство |х„ -а|<с равносильно неравенству -е <хп-а<8 или а~Е< хп<а + е, которые показывают, что элемент хп находится в s - окрестности точки а

                     Рис.



Чем меньше е , тем больше число N, но в любом случае внутри е - окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.


Число h называется пределом функции у = /"(xJb точке х = а, если для любого Е>0 можно указать 3 - 3(E) такое, что для всехх, для которых |х-а< 3 выполняется неравенство I/(х) -b| < Е


9

      Un f(x) = b. X-* r

     On «деление 1.

Нт f^x)~b. Х-><Ю

Геометрический смысл предела функции (опр.1 по Коши) b = limf^xₙ^, если х—>с
для любсй £ - окрестности точки b натдется такая ё - окрестность точки а, что для всех х*а из этой ё - окрестности соответствующие значения функции /(х) лежат в е - окрестности точки Ь.
Иными словами точки графика функции у = /(х) лежат внутри полюса шириной 2е , ограниченной прямыми
                                  у-b-£
                                  у-Ь + г.
При этом, ё зависит от выбора г, поэтому минимум ё = tS'ff).

Геометрический смысл для любого е>0, существует М>0, что при хе(-х,-М) или х€(М,-ню) соответствующие значения функции у = /(х) попадают в £ - окрестности точки Ь, т.е. точки графика лежат в полюсе шириной 2е , ограниченной прямыми у = Ь + £, у-Ь-е




                               Рис.

Число Ъ называется пределом функции у = /(х) в точке а₀ (или при х->а₀), если для любой последовательности допускаемых значений аргумента хп, п е N (х„ * а), сходящейся к а (т.е. Нт хп ~ а), последовательность соответствующих Л—>00
значений « -> со функции f (хя), п е N сходится к числу Ь, т.е. Нт /(хя) = Ъ , т.е. Нт f(x„) = b. х—>а
     Определение 2.


Геометрический смысл предела функции (опр. 2 по Гейне) Нт f(xₙ) = b очнача                                                     Л-><1
ет, что для всех точек х, достаточно близких к точке а, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа Ь.
Число Ь называется пределом функции у- /(х) прих —><ю, если для лобого £д > 0 сут чествует такое число М = М(а) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|> М выполняется неравенство (х)-b\ < г
                                    О

Принцип вложенных отрезков.

Пусть дана бесконечная система отрезков [а;,каждый последующий из которых содержится в предыдущем. Пусть разность (Ь - а) стремится к О при «—>оо. Тогда существует и притом единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Односторонние пределы предел слева или справа от точки а

  Нт f(x) = b, Нт f(x) = c. z-ю-О       х-^а+О

Производной функции у = f (х) в точке х называется предел, если он существу              /(х+дх)-f(x}                    ,
вует Нт — = Нт —------—:-*-*■ = f (х) приращения функции к приращению
        дХ            дх

аргумента, когда последний стремится к 0.


Основные правила и формулы дифференцирования.

(»± v) =u' + v'  1. (x")' = nx"-‘ 4. (a*) =a*lna
(»• и) =u'v+uv'        (4 1       (e^ = ef      
( и _ urv --- uv                                
    V2                < л 1       5- (^Л) - f   
(Си ) -Си               / X       x In a        

 (x)’=J                      <lnx)'=~              
 2. С = 0, :ще С - const.                          
 3. (sinx) = cos х           6. (arctg x) -] + x2  
 (cos x) = -sin x            ( arcs in x 1 = Д=    
 (rgx)'=-----                V       ' yll-e       
 CO i X                                            
 , V      1                                        
 (etgx) =                    (arecas x) ----?=*---=
 sm x                                              
                             (arcctg x) =          
 .. ___________________ ....                       

Разрывы первого и второго рода.
Точка С называется точкой разрыва функции /(х) не определена при х=С или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Если пункция имеет конечные пределы /(С + 0) и /(С-t¹), но /(с+о»=/(с-о), то функция имеет в точке С разрыв первого рода.
Если у функции не существует ни левого, ни правого предела, либо од лога из них, лиС о эта пределы бесконечны в точке С, то функция имеет разрыв второго рода.
Свойст w непреры вных функций.
   1) Д)я непрерывных функций можно поменять местами операции предела и вз ггие функции;
   2) Теорема 1. Если /(х) и g(x) непрерывны в точке х, то функции Q’(x)’ Дх) ⁺ &(*)’              /(x)/g(x), (если g(x)^O) непрерывна
     в точке х;
   3) Теорема 2. Любая непрерывная пункция непрерывна в каждой точке, в кото зой она определена.
   4) Теорема 3 (непрерывность сложной функции'). Пусть функция у-gf х) непрерывна в точке х. а функция /(у) непрерывна е точке
?2

     y = g(x). Тогда сложная функция F(x) = /(g(x)) также непрерывна в точке х, т.е. Пт /(g(x)) = /(g(xf₎)).
                 1->Х„
Способы задания функции - табличный, графический, аналитический.
Расходящаяся последовательность — последовательность, не имеющая предел. Например уп = (-7)” ■ п ■

Сходящаяся последовательность - последовательность, имеющая один предел.
Например, последовательность уп- — , т.к. Пт — = 0, т.е. все элементы данной П л-хя п
последовательности сходятся к 0.
Теорема Больцано - Вейерштрасса.
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Теоремы о бесконечно малых последовательностях (б м п)
   1) Суммой двух б. м. п. называется б. м. п.;
   2) Разностью двух б. м. п. называется б. м. П.;
   3) Б. м. п. ограничена;
   4) Если {х„}сходящаяся последовательность и Нт х„-а, то {ая} = {хп-а}


    б.  м. п.;
   5) Произведение ограниченной последовательности на б. м. п. есть б. м. п.;
   6) Если [хл] б. б. п., то начиная некоторого номера п определена последова

тельность

     которая является б. м. п. Если все элементы {ап}


Теорема о пределе промежуточной функции.
Если функция у = /(х) заключены между функциями ^(х) и g(x), стремящимся к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому же пределу, т.е. если
                limq>(x) = b, limg^x'j-b
                Х->42

13

               p(x)</(x)<g[x),ro limf(x) = b. x-+a

Теорема э монотонной последователыости, ограниченной с обеих сторш.
Если монотонная последовательность oi-раничена с обеих сторон, то она сходится.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [ай], то существует ее минимум и максимум на отрезке [ай], т.е. существуют точки e[ab] такие, что /(а) </[х) </(/?) для всех хе [ай].
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [ай] и числа /(а) и /(й) не равны 0 t имеют противоположные знаки, то на интервале (аЬ) имеется, по крайней мере, одна точка С такая, что / (С) = 0.
Последовательность, называется фундаментальной, если для любого найдется номер ?r = jV(E)такой, что для всех т, п > Лг справедливо неравенство

Y есть функция от х, если каждому значению переменной х, принадлежнщему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой пер сменной у У = /(х).
                                                  у
Экви вал :ятные бесконечно малые функции. Нт (1 + а)а = е
                                         а-Ю
Бесконечно малые функции tz(x) и /?(х) называются эквивалентными оеско-г а(х) I нечно мал ыми, если ат —7—7 = 1.
                 х-ю ^(х)
Пары экий валентных бесконечно малых.
sinx-x     х->0      ех -1    ~х         х-->0
tgx-x      х->0      ₐx_j     -xlna      ₓ-+o’

arcsin x~ x    x->0  ln{l+x}~x     x-  4-0
arctg x~ x    x---^0 Г,---- , x           
                     -Jl + x-1 --- x - + 0
                     2                    
1 - COS X --- x^O    (j + x)*-2~Ax x -    
2                                         

4

15

Правиле предельного перехода.


           Часть I, Непосредственное вычисление пределов.


1.   Предел алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме пределов этих слагаем ых.


            (*) + fl {х) +... + fₙ(х)] =: Нт f (х) + Пт /₂ (*) + •■ •+ Нт fₙ(х) x -i-a                                           х—


Пример 1. Нт^Зх* + Зх). Так как в точке х = 2 заданная функция непрерывна, => lint fjx² + Зх)= 5 ■ 2² +3 ■ 2 == 26 х-+2'                    '
2.   Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей.
          lⁱm [//(*) ■ Л(х)■-•/„(*)] = Нт /,(х)• Нт f₂(х) ■... Нт fₙ(х; х->а                   J х-+а х—>с            х—*а

            число, либо один из символов оо,-ню,-оо,причем и числитель, и знаменатель одновременно стремятся к нулю при х —> я. Для того, чтобы охарактеризовать эту особенность, говорят, что данное выражение представляет неопределенность ви-0
да О'


   2)    Если при отыскании предела отношения двух функций окажется таким, что и числитель, и знаменатель одновременно стремятся к бесконечности - име
                         00
ем неопределенность вида —.
                         ОО
   3)   При нахождении предела разности двух функций, каждая из которых име
      ет

бесконечный предел, возникает неопределенность вида со - оо ,что можно свести
       О     ОС'
к виду - или — .
       О     оо

   4)    Если при нахождении предела произведение двух функций окажется, что один из сомножителей стремится к нулю, а другой к бесконечности, то получим

£ О

Пример 1. Нт [5х-7пх]. Так как в точке х = 7 заданная функция непрерызна,=>

неопределенность 0 - со. Эту неопределенность также можно свести к виду

           Нт(5х ■ 1пх) = Нт Зх ■ Нт 1пх = 5 ■ 1 • Ini = 0 х~*1            х-*1

3.   Предел частного равен частному ст деления пределов, если только предел знаменателя не равен О

                /,(х) Hmf^x)
                      Hmf₂(x) х->я


если lim f₂(x)*0. x->a

Пример 3. Нт-----. Так как заданная функция непрерывна в точке
                х +х-б
х = 0

          (многочлен в знаменателе не обращается в 0), то
           .. х³ +3х²-х—3 О³+ 3 О²-0-3 -3 1
           Нт-----₅--------=--------------= — - —
           х->о х² + х-6         + 0-6      -6 2
    Для того чтобы найти предел элементарный функции, когда аргумен" стремится к значению, принадлежащему области определения функции, нужно в выражение функции вместо аргумента; подставить его предельное значение .


Часть II. Раскрытие неопределенностей.


4.   При нахождении пределов могуг возникнуть особые отучай, треб)тощие специаль {ых преобразований.


   1) Пу< ть надо найти предел отношеь ия двух функций при г—><т, а- любое

    00
ИЛИ —.
    00
   5) Кроме перечисленных неопределенностей возможны неопределенности вида 7 , 0 , оо , О
     В этих случаях для нахождения пределов приходится применять специальное исследование, которое получило название раскрытие неопределенностей.
     Иногда один и тот же пример можно решить несколькими способами.



1  .Неопределенность вида - и методы ее раскрытия.

     В зависимости от вида первоначального выражения, данную неопределенность возможно раскрыть следующими способами (иногда один и тот же пример можно решить несколькими способами);
  1а) Применение первого замечательного предела.
., ₜ        , sin3x                     (0)
Пример 4.   Нт ■■ ■ ■  неопределенность —
            л-»оо X
  „             sin3x 3sin3x
  Представим ------- в виде-----                  х           Зх
   Если х бесконечно малая величина, то и Зх также бесконечно мало. Поэтому sin3x ------> !
  Зх

IE

17

     Тшзгм образом Нт s‘ⁿ^x = 3 цт -!И^. = 3.]=3, x-tO X x->(J Зх
  16) Применение эквивалентных бесконечно малых
     Ра< смотрим предыдущий пример. Тот же самый результат может быть получен еще быстрее. При этом необхсдамо понимать, что формула Нт ——, оз                                                           *->о А

                                              smx
начает, что при «достаточно малом» х величина-----практически равна 1, т.е.
                                                х
sinx ,..            _ ,             . „
-— «1 Итак, при х—> 0 sinx ~ х или s пЗх - Зх.
  X
     „ sin3x .. Зх
     1о]да 1т-------= lim— = 3. При этом вместо приближенного равенства,
            x-х? г x-to х
относящегося к «достаточно малому» л, здесь имеет место точное равенство, от-носящее< я к бесконечно малому х
„       ,  „ sin5x (ОУ 5х 5
Пример lim----------= I— = hm— =            x~*osin'3x \0) х-*оЗх 3
   1в) Сокращение на множитель, дающий неопределенность.
  О
  О

„          ,. х³ + 5хг + 7х + 3
Пример (I. 1гт —----т------х-»-/х + 4х² + 5х + 2

Определяем вид неопределенности, под
ставив bs [вето х значение -1, к котором f х стремится.
Получим: (^₊5(-7)^7(-7)±3J
         (-1)³+<l(-I)²+ 5(-1) + 2 С
Разложим многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, на множители. При этом необходимо учитывать, что неопределенность возникает за счет содержания в многочленах критического множителя (т.е. множителя, равного 9, при предельном значение х) (х + 7)(т.к. х-7), на который необходимо сократить оба мног зчлена.

           х³+5х²      + 7х + 3+х + 1 = х²+4х+3
     -х‘ + X²
           —   4х‘ + 7х
            4х! + 7х
                 -Зх + З
                  Зх + 3 О

       х³ + 4х²    + 5х + 2 ч х + 1 = х² + Зх + 2
  х' + х*
     - Зх' + Зх
       Зх’ + Зх
            - 2х + 2
              2х + 2 О


    (х + 7)(х + 3)(х + 7) .. х+3 — 1 + 3 2
hm ----——■——------= 1т-------=-----= —
х-»-/(х + 7)(х + 2)(х + 7) х-»-/х + 2 — 1 + 2 7
  1г) Умножение на сопряженное выражение.
              х²-9 (О
Пример 7. 1т ,    -------- —

При х-3 числитель и знаменатель дроби обращается в нуль. Знаменатель содержит иррациональное выражение Vx + 7 .
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение 1с'х + 7 +2). Получаем:


(x - 3)(x + 3)(-Vx + 7 + 2) У^+2 2)=(3 + 3) = 24.

..  х²-9         (x-3)(x + 3)(VT+7+2)
hm —f=^=--= hm г ,—— v\----------r ⁼
   \'x+ I - 2    \4x +1 - 2)^х +1 + 2j
₌ ₗᵢₘ (j-jX^+-?)(V^+7+2) ₌ Uₘ ₊₃y-^j₊
  ^3      (x+l)-4                л

       Q .. i/T^-i
Пример s. Im -------.
         x-+0V7 + x-7                     *■
     i-ый способ: аналогично рассмотренному ранее примеру, избавимся от иррациональности в числителе и знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, применяя формулы для разности квадратов и кубов.

18

Получим:


tyl+x-1 (^7 + х -7^<7 + х/ + l/l + x + l\jl + x + l} lui ,  = hm т¹-------------г.— v—           , Л--------—x
     J⁴°-v7 + x-7 x~*’°(y/T+x -l\jl + x + 1h[(I + x) +a/7 + x + 7J



          (7 + x-/)(V7+^ + 7)               Vz + x + 7
= lim -7— ■.=----■_ ---r----------= hm .    i— । -rnr-' = =
  хчвИ7+^ + ^7 + x + 7 (7 + X-7) х-⁺⁰<((7 + х}г+^ + х+7

= ’                  ₌ z
  ^(7 + ;:)²+VT+O + 7 ³ * *
     2-ой способ.
Введем новую переменную z: 1 + х - z⁶ (такая замена ввод ится, чтобы можно было извлечь корни из второй и трегьей степени) Таким образом z —»/ при х->-0,
Подстав тяем                      замену,                       пз лучим
    </Лх + 7     V?-7         z²-?          (z-7)(z + 7)        z + 1   2
hm —f= — = hm .— = hm —; = hm-------------------=-------= hm —x------= —
x->o y/1 н x -1            z-*iz—,' *-»/(z —7)(z² 4-z +7) *-+/z²-i-z + 7 3





  1д) Применение правила Лопиталя-Бернулли
     П]>авила Логиталя - Бернулли является эффективном средством нахождения пре, ;елов фунщии в тех случаях., когда аргумент неограниченно возрастает, или стрк мится к значению, которое не входит в область определения функции.

„ п sinxez-5x
Пример 9. hm-----т---          х-»0 4х + 7х

При х-*0 числитель и знаменатель дроби обращается в нуль. Применяя правило Лош таля-Бернулли заменяем числитель и знаменатель .дроби на их произ
ВОДНЪГС.
Получас м:
               sinxex-5х , (sinxe* - 5х)' cosxex + sinxe¹ - 5 hm--------—— = hm-------т-------= hm--------------------=
4x² + 7x          (4x² + 7x)' x+-o 8x - 7
_ cosOe* + sinOe⁰ -5 1 + 0- 5 _ 4
        3-0 + 7         0 + 7  ~7'
В некоторых случаях правило Лопитачя приходится применять несколько раз:
ГТ ,л ,■ sir^xe -X (0 \
Пример 10. hm-----т.-т- - .
           ■^0 5;:²+х³ {О )

При х —> 0 получаем неопределенность —

    sinxe²x - х (sinxe²x - х)'   .. cosxe²x + 2sinxe²x -1
      hm---------— = hm----------г— - hm----------------r----      *-»0 5x²+xJ (5x²+xj)' x-tO 10x + 3x²

Подставляем 0 вместо переменной x, снова получаем неопределенность вида .

Применяем еще раз правило Лопиталя.
    (cosxe²x + 2sinxe²x - 7)  - sinxe²x + 4cosxe²x -I- 4sinxe²x
hm---------------------- — hm---------------------------=
x-tO (10x + 3x²)           x->0          10 + 6x
  sinOe²⁰ + 4cosOe²⁰ + 4sinOe²'⁰ 4   2


             10 + 60            10 5
Для применения правила Лопиталя не обязательно стремление к 0 переменной х, достаточно, чтобы при подстановке в выражение предельного значения этой пе        „                                                 0 оо
ременной, само выражение сводилось к неопреденности вида — или —. О оо

Пример 11. Нт x^tg3x

              2

₁{м ы _ cos²3x , -6cos3xsin3x sin6x hm ' y = hm---------= hm----------------= hm-------.
x->^(fg3x) X^13cos²x -6cosxsinx X^sin2x


oj

Снова получаем неопределенность вида —,


применяя еще раз правило Лопиталя,

находим


               sin6x      6cos6x 6

            h?n ±= lim —— --------= J .

           ₓ sin2x        2cos2x 2


Иногда случаи раскрытия неопределенности вида — приходится комбинировать (или предварительно применять некоторые математические зависимости).
Пример 12. Нт — f—]

          х^о^х + 9-3 \0J
Числитель и знаменатель обращается в нуль при х = 0 при этом знаменатель содержит иррациональность. Освободимся от иррациональности - используется случай (1г).


, sinx                     згихМх + Р -3)               sinxi-Jx + 9-3) sinx
hm -------------= hm г x у ,                ' ч = hm---------ⁱ-----------L - hm-------=
x-+04x + 9-3 x-+o\4x + 9 -3^4x + 9 + 3) x+0 (x + 9)-9 x^o x

                                                                         случай la) замечательный предел


21

20