Сборник задач по линейной алгебре, векторной алгебре и аналитической геометрии
Покупка
Основная коллекция
Год издания: 2002
Кол-во страниц: 31
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА В.А. БУРЕЕВ, В.А. ЛОГИНОВ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ для студентов факультета экономики н управления Москва 2002 к
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
В.А. БУРЕЕВ, В.А. ЛОГИНОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЕ,
ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
для студентов факультета экономики н управления
Москва 2002
СОДЕРЖАНИЕ
Одобрено на заседании кафедры высшей математики (протокол №3 от 28 ноября 2001 г.)
Предисловие.......................................4
1. Определители второго и третьего порядка..........5
2. Определители и-го порядка.......................7
3. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы. Обратная матрица. Элементарные преобразования матриц.........9
4. Системы п линейных уравнений с п неизвестными и их решение. Правило Крамера. Решение систем с помощью обратной матрицы...................................12
5. Решение произвольной системы т линейных уравнений с п неизвестными. Теория Кронекера-Капелли..........14
6. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Жордана-Гаусса......................................17
7. Векторы и действия над ними. Базис векторного пространства и координаты вектора. Проекции вектора и операции над ними. Скалярное произведение векторов... 19
8. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов..............................24
9. Прямая на плоскости.............................26
10. Плоскость и прямая в пространстве..............29
11. Кривые второго порядка на плоскости............35
12. Поверхности второго порядка в трехмерном пространстве.......................................39
13. «-мерное векторное пространство, «-мерное евклидово пространство.......................................41
14. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов...........43
15. Квадратичная форма.............................46
Ответы.........................................48
1. Определители второго и третьего порядка
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий задачник является составной частью комплекта учебно-методических материалов, разработанных авторами для обеспечения учебного процесса студентов факультета экономики и управления по курсу «Лилейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия». В состав комплекта учебно-методических материалов, кроме данного задачника, входит также курс лекций и учебное пособие по решению задач.
Содержание этих материалов полностью соответствует утвержденной рабочей программе по дисциплине «Математика», составленной на основании Государственного образовательного стандарта.
По своей структуре задачник состоит из трех основных разделов: линейной алгебры, векторной алгебры и аналитической геометрии, содержит 324 задачи и ответы к ним.
Вычислить определители:
11 2\ Icoscr — s/ncrl |a + i a~b\
2. . 3.
3 4 cosa | \a -t> a+o[
Решить уравнения:
I x x + /| |«и8х -ял5х| „
4. -С 5. -0.
-4 x+7 s/иох nwx
х 2х + 1
--- ---> --------6. Вычислить определитель । +
и +
1 и
1+х 1 + Х
7. а) вычислить определитель по правилу Саррюса:
1 2 3
4 5 6',
7 8 9
б) вычислить тот же определитель, сформировав два одинаковых столбца (один нулевой столбец ); сформировав две одинаковые строки (одну нулевую строку).
Вычислить определители:
112 225 335
8. 121 243 362
133 267 400
2 1 I
9. 1 2 I
1 1 2
11.
2 x+2 -1
X X с + х
1 2
-1
12. Вычислить определитель 3 7
2 , разложив erg по
2 3
-7
элементам 3-й строки.
13. Найти алгебраические дополнения всех элементов первой
а
строки определителя Л=
Ь х
и убедиться, что
18. Решить неравенство: 1
19. Проверить, что определитель
делится на
20. Построить график функции: у =Ь-а
а
Ь
а'
Ь'
1
(а*Ь).
з
к=1
sina cosa 1
14. Вычислить определитель: sin />
cos f) 1
siny cosy 1
3 X -х
15. Решить уравнение: 2 ■1 3=0.
х + 10 1 1
X х+1 х+2
16. Решить уравнение: х + 3 х+4 х г5 =0.
х+6 х+7 х+8\
3 -2 1
17. Решить неравенство: 1 х -2<1).
---I 2 -1
24. Вычислить определители, разложив их соответственно по элементам 3-й строки и 2-го столбца:
a)
42 4з 45 4з
4б V27 410 -243
410 2415 5 4б
2 24б 410 415
О -a -b ~d а 0 ~с —е b с О О d е О О
Вычислить определители:
2 -1 1 0 2 3 -3 4
0 1 2 -1 2 1 -1 2
25. 26.
3 -1 2 3 6 2 1 0
3 1 6 1 2 3 0 -5
Obed b 0 d с с d О Ь d с b О
Вычислить определители n-го порядка путем приведения их к треугольному виду:
27.
1
2
3
4
— 2 3 4
1 4 3
— 4 -7 — 2
3 2-7
28.
-I -1 -I
-1 -2 -4
-3 -9
-4 -16
-1
-1
-1
-8
-27
64
1 2 3 . . п 3 2 2 . . 2
- 1 0 3 . . п 2 3 2 . . 2
34. -1 -2 0 . . п 35. 2 2 3 . . 2
-1 -2 -3 . . 0 2 2 2 . . 3
10
12
29. О
О
О
2
10 12 О О
О
2
10
12 О
О О 2 10 12
О
О
2
10
1+а
1
1
1
1 1 I
1-а 1 1
1 1 + Ь 1
1 1 1-Ь
36, В ычислить определитель, элементы которого заданы условиями а;/- = max(j, у).
37. Вычислить определитель, элементы которого заданы условиями а;у = min (i,j) .
3. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы. Обратная матрица. Элементарные преобразования матриц
38. Доказать следующие свойства алгебраических операций над матрицами:
и
a) A+B = B+A; A+(B+C) = (A+BJ+C;
6)(a + P)A -aA + PA, a(A + B) = aA + aB; (afi)A = a(PA); в) A(BC) = (AB)C; A(B+C) = AB+AC .
40. Вычислить линейную комбинацию ЗА i2В матриц А и В:
45.
47.
О
1
2
3
О
1
2
3
аеВ. 48.
3
2
2'
50. Дана матрица А= 13 1
5
3
4
46.
Лей. 49.
cosa
sina
— sina
cosa
Найти обратную матрицу.
51. Дана матрица А =
1
3
2
О
— 2
-I
2
5
Найти Л ' .
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
'2-13-2 4'
52. 4 -2 5 1 7
2 -1 1 8 2,
'3 -1 3
5-3 2
54.
1 -3 -5
7 -5 1
2 5 '
3 4
0 -7
4
'13 5 -Л
2-1-3 4 5 1-17
J 7 9 1 ,
Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
12
'25 31 17 43
75 94 53 132
75 94 54 134
25 32 20 48 J
'47 ---67 35 201 155'
56. 26 98 23 -294 86
J6 -428 1 1284 52 >
'24 19 36 72 -38'
49 40 73 147 -80
73 59 98 219 -118
J7 3 6 71 141 -72;
Методом элементарных преобразований найти обратные для следующих матриц:
(3 3 — 4 -3>
U 3 3 2₂
'1 1 0 . . О'
0 I / 0
62. 0 0 1 0
0 0 . ■ Л
4. Системы п линейных уравнений с п неизвестными и их решение. Правило Крамера. Решение систем с помощью обратной матрицы
Решить системы уравнений по правилу Крамера:
63.
66.
68.
2х₂ + Зх₂ = 1.
Зх, +5х, = 4.
2х+у = 5, x+3z = 16, 5y—z —10.
5x, + 3x, —
2x,-i
(х + У=1.
64. ।
8x₂ + x,
2x, + 6x,
65.
x+2y+z = 8, Зх + 2y+z= 10, 4x + 3y-2z = 4.
4x, + 4x₂ + 5x, + 5xₜ = 0, 2x, +3x, —x, = 10,
x, + x₂ —5Xj =-10
3x₂ + 2x, = 1.
= 2, =-7, = -5.
2x, + 2x₂ - X₃ +x₄ =4,
4xₜ+ 3x₂ -x} +2x₄ =6,
8x,+ 5x₂ -3x} +4x„ =12,
3xj+ 3x₂ ~2x₃ +2x₄ =6.
2x, + 5x, + 4x₂ + x₄ - 20 - 0, x₍ + 3x₂ + 2x, + xₜ-ll = 0. 2x,+ 10x₂+ 9x₃+ 9x₄-40 - 0, Зх, + 8хг+ 9xₛ+ 2xₜ-37 =0.
Решить системы уравнений с помощью обратной матрицы:
{Зх, + х, =4, 2х, + 4х₂ — I.
72.\3х
4х
у+ 3z =9, 5у+ z =-4, 7у+ z =5.
15
73.
5х+
У~
Зу-2у +
2z 6, 7z = 16, z = 16.
78.
х~^!3у = 1, 43х-3у = 4з.
\j5x—5y=j5, ( x-j5y = 5.
74.
2х, Зх, +
Зх, —
Зх,
Зх, + 2х₄
Зх, + 2х, х₃ — 2х₄ Зх₃ - х,
= 4, = 6, = 6, = 6.
2х~- У + Z = -2, х + 2у- 4z = 1,
80.5 х + 2у + 3z = -1, 81. 2х + у- 5z
х--- Зу- 2z = 3. X- у- z = -2.
2х, - Зх₂ = х. = -7,
4х, + 2х, = -7,
Зх, — 2х₂ — 5х, + х₄ —3,
2х,- Зх, + х, I 5х, =-3,
х, + 2х₂ - 4х, =-3,
х,- х₂— 4х} + 9х₄ -- 22.
х, - 4х₂ = -5.
'2х,+ Зх₂ + 11х₃ + 5х₄ = 2,
х, + х₂ + 5х₃ + 2х„ = 1,
2х, + х₂+ Зх₃ + 2х„ = -3,
х, + х₂+ Зх₃ + 4х₄ — —3.
83.
2х, + Зх, + 9х, +
7х₂ +
Зх₂ т
4х, +
Зх₃ + х₄ 2х₃ + 2х₄ х₃ + 7х₄
= 6, = 4, = 2.
Зх,+ 4х₂+ х₃ + 2х, +3 =0,
Зх, + 5х, + Зх, + Зх,+6 =0,
6х,+ 8х₂+ х₃ + 5х,+8 = 0,
Зх, + 5х, + Зх„ + 7х„+8 =0.
Зх,- 5х2 4 2х3 + 4х4 = 2,
84. 7х;- 4х2 + х3 +3х4 = 5,
5х, + 7х2- 4х3-6х4 = 3.
85.
5. Решение произвольной системы т линейных уравнений с п неизвестными. Теория Кронекера-Капелли
Исследовать совместность и найти общее решение следующих систем уравнений:
Зх, + 2х₂ + 2х. + 2х₄ = 2, 2х, + Зх, + 2х, +5х₄ = 3, 9х, + х₂ + 4х₃ - 5х₄ = 1, 2х, + 2х₂+3х, + 4х₄ = 5, L 7х,+х₂ + 6х₃-х₄=7.
17
86.
2х, + Зх, +
2xj +
x₂ + Зх₃ ~ 2x₂ + 4x₃ — 3x₂ + 5x₃ — 2x₂ + 8x₃ —
2х₃+Зх₅ = 1, x₃+3x₅ ~2, 2x₃+3xₛ = 1, 3x₄ + 9xₛ = 2.
Исследовать совместность и найти общее решение в зависимости от значения параметра 2 .
5х, - Зх2 + 2х3 + 4х, = 3,
87. 4х,~ 2х2 + Зх3 + 7х4 = 1,
8х, - 6х2 --- Хз ^х< = 9.
7х,- 5х2 + 7х3 + 17 х. = Л.
>Ьс, + х2 + х,+ Х4 = 1,
88. ■ xi+ Лх2 + X. + х3 = 7.
Х1 + х2 + + х. =1,
Х! + х2 + х3 + 2х3 = 1.
Определить значения параметра а, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:
93.
а²х, + Зх, + 2х₃ ах,- х₂ + х₃ 8х,+ х₂ + 4х₃
= 0, 2х₃ + х₂ + Зх₃ = О,
= 6, 94. • 4х,- х₂+ 7х₃ = 0, = 0. х,+ ах₂ + 2х₃ = 0.
Найти общее решение следующих систем уравнений:
6. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Жордан а-Г аусса
Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующих систем уравнений:
xₜ + 2х₂ —х₃ — О, 2х₃ + 9х₂-Зх₃ = 0.
90.
Зх, +
2х, +
Зх, +
2х₂ + х₃
5х₂ + Зх₃
4х₂ + 2х.₍
=о
= 0.
91.
X. + 2х2 + 4х2- = 0,
Зх, + 5х2 + 6х, - 4х, = 0,
4х, + 5х2- 2х2 Ь Зх4 = 0.
Зх, + 8х2 + 24х, - 19х. = 0.
х} + 2х₂ + х₃ = 8,
х₂ + Зх₃+ х₄ = 15,
4х} + х₃ + х₄ = 11,
х} + х₂ + 5х₄ = 23.
Xj- х₂ + х₃ - х₄ = -2,
х^ + 2х₂ — 2х₃ — х₄ — ~5,
2xₗ - х₂ - Зх₃ + 2х₄ = -1,
Х;+ 2х₂ + Зх₃- 6х₄ =-10.
18
xₜ + 2x? + Зх₃ + 4x₄ = 0,
7xj+ 14x₂+ 20x₃+ 27x₄ —0, 5х₄ + 10x₂ + 16x₃ + 19x₄ = —2, 3x} + 5x₂ + 6x₃ + I3x₄ - 5.
102.
x, + 7x{ +
Xf +
2x} +
5x₂ — 2x₂ — x₂ + 3x₂ +
2x₃ — 3x₃ — x₃ + 2x₃ —
3x₄
4x₄ x₄ 3x₄
xi ~
= 1, = 2, = 5, = 4, = -3.
7. Векторы и действия над ними. Базис векторного пространства и координаты вектора. Проекции вектора и операции над ними. Скалярное произведение векторов
105х, - 175х2 --- 315х,+245х, = 84,
99. 90х,- 150х2 --- 270х3 +210xs = 72,
75х, - 125х2 ~ 225x1-vl75x, = 59.
103. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' векторы т,п,р представлены ребрами АВ, AD, АА' соответственно.
Построить векторы:
а) т+и+р; б) ~т+—п-р-, в) -т-п-г—р.
104. Даны векторы й, и а₂. Построить векторы За„ —а₂,
WO.
14x₁
101.
12x21x₂ llx₄
= 20, = 35, = 0,
16х3 + 20х4 = 0,
10х5 + 12хб = 22,
15xs + 18х6 = 33.
7х}- 5х2- 2х3 --- 4х4 = 8,
--- 3xY + 2х2 + х3 + 2х4 = -3,
2х} - Х2 ~ хз ~ 2х4 = 1,
--- х{ + хз + 24х4 = 1,
--- х2 + + 2х4 = 3.
105. AD, BE, CF- медианы треугольника ЛВС. Доказать равенство AD + BE + CF = 0.
106. В параллелограмме ABCD AB-a,AD = b. Выразить через а и Ь векторы МА, МВ, МС и MD , гдеМ-точка пересечения диагоналей параллелограмма.
107. М - точка пересечения медиан треугольника АВС, О -произвольная точка пространства. Доказать равенство ОМ=</₃(ОА + ОВ+ОС').