Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Основы интегрального исчисления

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 615054.01.99
К покупке доступен более свежий выпуск Перейти
Буреев, В. А. Основы интегрального исчисления [Электронный ресурс] : уч. пособие / В. А. Буреев. - Москва : МГАВТ, 2002. - 36 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/401040 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА



            В. А. Буреев В. А. Логинов



Основы интегрального исчисления

Учебное пособие

Авторы: к.т.н., доц. Буреев В.А. к.т.н,, с.н.с. Логинов В.А.

Москва 2002



            Москва 2002

Учебное пособие одобрено на заседании кафедры высшей математики и рекомендовано для внутривузовскои публикации.
        Протокол №8 от 31.03.99.

        Рекомендовано к изданию на учебно-методическом совете МГАВТ.
        Протокол № 5 от 26.04.2000


СОДЕРЖАНИЕ Предисловие....................................................... 5
1. Неопределенный интеграл........................................ 6
    1.1. Непосредственное интегрирование........................ 6
    1.2. Таблица основных интегралов.................... ....... 6
    1.3. Вычисление интегралов методом замены переменных (подстановки)............................................. 8
    1.4. Интегрирование по частям...............................  10
    1.5. Интегрирование рациональных дробей...................... 14
       1.5.1. Интегрирование простейших дробей .................. 14
       1.5.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью их разложения на простейшие дроби.............. 18
       1.5.3. Вычисление интегралов вида J R(e* )dx, гае Л — рациональная

функция............................................  24
1.6. Интегрирование простейших иррациональных функций........ 25

    1.6.1. Интегралы вида J/?fx/ar + Z»)' ,(ax+b)"‘ ,...)dx, где целые числа.............................................. 25
    1.6.2. Интегралы вида Г—==                                26
                       !^ах!+Ъх + с
    , j. ,             г Ах + В .
    1.6.3. Интегралы вида ,    .>=?ах......................   26
J т/ах’ +Ьх + с f        ctx
    1.6.4. Интегралы вида -----, ... —и =...................
² (x-a)Jax’ +Ьх+с                       ²⁷

   1.6.5. Интегрирование дифференциальных биномов............ 29
   1.6.6. Вычисление интеграла вида Vox'’ + te+c)<fc с помощью подстаново кЭйлера........................................ 30
1.7. Интегрирование тригонометрических функций............... 33
   1.7.1. Интегралы вида j R(sin x,cos х )dx................. 33
   1.7.2. Интегралы вида р”'"’ xcos" xdx....................  35
   1.7.3. Интегралы вида
        I sinmxcosnxdx. Icosmxcmsnxdx, \sinmxsinnxdx........ 37

1.8. Вычисление интегралов
            -х'’)т£с,      +x²)<&,j7j(x₎Vx⁷-д’ )<ir с помощью

тригонометрических подстановок............................ 38
2. Определенный интеграл...................................... .   40
    2.1. Основные свойства определенного интеграла................ 40
    2.2. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона Лейбница...................................... 41
    2.3. Замена переменной в определенном интеграле.............. 41
    2.4. Интегрирование по частям................................. 42

4

   2.5. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.................................................... 44
       2.5.1. Вычисление площадей в прямоугольной системе координат. 44

       2.5.2 Плошадь криволинейного сектора в полярных координатах . 47
       2.5.3. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме.................................... 49
       2.5.4 Длина дуги плоской кривой.......................... 49
       2.5.5. Вычисление объема тела по площадям поперечных сечений 53
       2.5.6 Объем тела вращения................................ 54
       2.5.7. Площадь поверхности тела вращения................. 56
       2.5.8. Вычисление работы с помощью определенного интеграла ... 57
       2.5.9. Вычисление координат центра тяжести............... 58
    2.6. Приближенное вычисление определенных интегралов........ 61
       2.6.1 Метод прямоугольников.............................. 61
       2.6.2. Метод трапеций.................................... 62
       2.6.3. Метод Симпсона (метод парабол).................... 62
    2.7. Несобственные интегралы.............................    64
       2.7.1. Интегралы с бесконечными пределами................ 64
       2.7.2. Интеграл от разрывной функции..................... 65
       2.7.3. Теоремы о сходимости несобственных инте!ралов..... 65
Список литературы............................................... 68

ПРЕДИСЛОВИЕ
      Настоящее пособие предназначено для студентов Московской государственной академии водного транспорта, изучающих основы интегрального исчисления. Как и в первом пособии, посвященному дифференциальному исчислению, авторы ставят перед собой цель ознакомления студентов с практическими методами решения задач. На многочисленных примерах рассмотрены основные приемы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод замены переменных, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функций. Широко освящаются геометрические и физические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов и площадей поверхностей тел вращения, моментов инерции и центров тяжести сплошных плоских тел. Даны также сведения о несобственных интегралах и приближенных методах вычисления определенных интегралов.
      В пособии приняты следующие обозначения Буква П вместе с последующим номером используется для обозначения рассматриваемых примеров (П1, П2 т.д.), а буква Т - для обозначения теорем (Т, Tl, Т2 и т.д).

6

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

                 1.1. Непосредственное интегрирование

      Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F’(x) = f(x) или dF(x) = f(x)dx
      Если функция f(x) имеет первообразную Fix), то любая функция Ф(х) = F(x) + C (С =const) также является первообразной. Таким образом, все первообразные могут быть записаны в виде F(х)+С, где С - постоянная.
      Совокупность всех первообразных функции f(x) называют также неопределенным интегралом от f(x) и обозначают:
]f(x)dx = F(x)+C.
Здесь J - знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение, f(x) - подынтегральная функция, х - переменная интегрирования.
      Нахождение неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции f(х) называется интегрированием этой функции
      Из определения неопределенного интеграла следуют его основные свойства:
      I -        ~f(x);
      2 .d\f(x)dx = f(x)dx;
      3 .jdF(x) = F(x)+C;
      4 . Jkf(x)dx =kf ff x)dx, (k = const);
      ■?. J I//V ± Л Cx)]dc = J f/x)dx ± J//x)dx.
Последнее свойство справедливо для любого конечного числа функций.

1.2. Таблица основных интегралов

      Поскольку операция интегрирования обратна операции дифференцирования, то из таблицы производных можно составить (вывести) соответствующую таблицу интегралов. Например, известно, что (х"/ = нх'“/. Это означает, что Гnx’-'dx = х" + С, или Гх"с&= ——
      J                    J т + 1
      Таблица основных интегралов имеет вид:

Z.pe=x + C

II. Гх*сЬг= ——- + С (т*-1). ■' т +1


    г dx
IV.     - = arctgx + С.
   ■’ 1 + х
V.      Г , & ~ arcsin Х +С.
  J /1-х¹
V	I.$e'dx = e' + С.

V	II. Гa’dx - ~ + С (а>0;а^1).
    J Ina
У	Ш. J sin xdx — - cos x + С.
IX. J cos xdx = sin x + C.
Xf-^~ = tgx + C.
  J COS' X

XI. f —= -ctgx + C.
   J Sin' x

      К указанным формулам, которые получены из таблицы основных производных, обычно добавляют еще несколько простых формул, правильность которых легко устанавливается дифференцированием:

J г' +а²

/ х „
— arctg— + С. а а

хш. Г+ с.
¹ х' - а' 2а х + й|
XIV. f ■ ■■ /к--= arcsin — + С.
/а¹ - х¹ а

XV.  f — = ln\x + /х: + к| + С. J /х¹ + к ’                     ¹
XVI. J tgxdx - - /л|саг х| + С.
АЧШ. J ctgxdx - /л|з7н xj + С.

XVIII
      J sinx



      Вычисление неопределенных интегралов с помощью приведенных выше таблиц называют непосредственным интегрированием.

Ш. Найти интеграл -2х‘ +х'-x+7)dx.
      Представляя интеграл от алгебраической суммы функций в виде алгебраической суммы интегралов и пользуясь свойством 4, получим:
      | (Зх! ~2х' +х' -х+ 7)dx- jJx³dx—2^x'dx+jx'dx- jxdx+/|<Лг.
Теперь воспользуемся формулами II и I таблицы интегралов:
           - 2х‘ + х: - х + 7)dx- 3-——2' — +~— —+ 7х + С =
      J                          6     5   3    2

      = — х³ ~—х³ + — х'~ — х'+7х + С.
        2     5     3   2
      П2. Найти интеграл j 2' e’dx.
      [Ге'Л = [(2e/dx = ^L+C = ^- + C.
      ¹       J         ln(2e) l+ln2


  1.3. Вычисление интегралов методом замены перемеиных(подстановки)

      Если в интеграле           сделать замену переменных x = y(t),
dx = <p’(t)dt, то интеграл приобретает вид


             f f(x)dx- J[ф<V]q>?t)dt.


      При удачной замене переменных интеграл в правой части оказывается проще исходного и может быть вычислен
I
      П1. Вычислить инте1-рал J(ах¹ + b)³ xdx .
Величина xdx с точностью до множителя является дифференциалом функции ax'+b : dfax²+bj = 2axdx. Поэтому естественно сделать замену переменных:
ax' +b~t, 2axdx = dt, xdx-~dt, после чего интеграл легко вычисляется:

      [(ax' + b)'xdx = [tJ —dt~—[t'dt — + C = —P + C =
      J             J 2a 2a² 2a 4 8a
                                           3
      = ~(ax: +bp +C.
        8a
      Замечание. После того, как сделана замена переменных и интеграл вычислен, необходимо вернуться к прежней переменной х, т.е. в полученный результат вместо г подставить его выражение через х.
      П2. Вычислить интегралы:

а) Сделаем замену sin х -1, cos xdx = dt, тогда

       $ 4 sin х ■ cos xdx = J 4tdt = p 'd! = ■—-+£= ■j/'’ + C = -^(sinx)² +C.

                                           2
       6)   !nx = t, — =dt, f—= f—= /л|г1 + С = /и|/лх1+С.
                     X ² x In X ² t

       B) a+bx=t, bdx=dt, j.vjz?fa+6x^dx = |.S7nz-^J/ = -^-cost+C —


        = - - cos(a+bx)+C.

      ПЗ Вычислить интегралы:
a) [(2x + J):tdxₜ 6)      + 5da, s)je’‘xdx.

      a) 2x+!-t, 2dx~dt, dx~-dt, 2



              42
      °) 4x' +5 =1. x³ +5-1², 3x'dx = 2tdt, x'dx =—tdt. 3
        [x³4^r+5dx=r[t--tdt^-[t:dt = --- + C = — + C=-(xy + 5/¹+C.
        J            J 3 P 3 3                  9      9

      B) x³ = t, 2xdx = dt. xdx - —dt,
                            2

         [ех⁾хс&:= [e' -—dt = — fe’dl =—e' +C = — e'~ +C.
        J J 2 2s 2                         2
      П4. Найти интегралы:
. r dx .. г sin2xdx . rz₁ . x , , x , a) —< в) ](2sm- + 3) cos—dx.
J xj2x-9                   J 2             2
      a) j2x-9 -t, 2x-9=t:, x- * -⁺⁹, dx-tdt,
                                   2
         r dx _ <■ tdt r di
        J x^2x~9     t'+9 { it'+9
                      2
      Если применить формулу ХП, то получим
       f dx      2 t      ., 2      j2x-9   „
        —— = - arete —+С = —arete----------+ С.
       J xj2x-9  3   S3 3         S 3
      6) cos³x=t, -2cosxsinxdx = dt, sin2xdx--dt,

sin 2xdx
y/3 cos' x

dt           . t _              cos'x
....= - arcs/n-^=r + C ~ - arcstn —+ C -d3-t³            43                 43

(мы использовали формулу XIV)

ч х                х
в) 2 sin—л- 3-t. cos—dx = dt, 2                   2

2sin— + 3): cos—dx — (t,dt = — + C =-(2 sin- + з} +C.
 2        2    ³     3      3\    2 J

      П5. Найти интстрал ------;--.
                        ³x +2x +5
Т.к. x' + 2x: + 5 = (x' + 1)! + 4, то сделаем замену /=х'’+/, dt = 2 xdx, xdx-—dt.
2

dv(x) - такую часть, интеграл ст которой либо известен, либо может быть найден
       Замечание. Если вместо v в формулу (1) подставить выражение v+C, то легко убедиться, что С не влияет на результат, это означает, что при промежуточном вычислении функции v(х) по ее дифференциалу dv ( интегрировании выражения dv(х)) константу С можно опустить (положить С= 0).

Тогда

p xdx
³ xe +2x: +5

  J r dt  11      t     1     х’ч
= - —---------arctg — + C = —arctg  2³ f+4 2 2      2     4       2

П6. Вычислить интеграл j ——-dx.

      Некоторые рекомендации при интегрировании по частям'
I. Если вычисляются интегралы вида
|Р(х) arcsin xdx. Jpf x)arccosxdx, jp(xjarctgx, j P(x)arccigx, x)lnxdx,
тцс P(x)— многочлен, то в качестве u(x) следует выбирать обратную тригонометрическую функцию или логарифм, а в качестве dv- Р(x)dx.
      П1. Найти интеграл Jx’/zrxcfc.
      u = lnx, dv-x‘dx,

e⁷‘ — t, 2e~'dx = dt, e:’dx = —dt, 2

Мы воспользовались формулой XIII. Заменяя I на е*’", окончательно получим

г ,,  , х> , г х³ dx х³ ,   1 г ₂ . х³, Xs х‘ In xdx - —lux-----—lnx- -l x dx - —lnx- — + C.
j         3 J 3 x 3          3³     3     9

П2. Вычислить интеграл Jxarcrgxdr

и = arctgx, dv = xdx.

      m n                   rsin-jx +cosdx ,
      П7. Вычислить интеграл I--у=----==— dx .
                            ¹ dxsin2dx

Пусть Jx-t, х = Г, dx = 2tdi.

dx
du ----
f            x² 1 г
J xarctgx dx = — arctgx — J

(sint +cost)2t , rsint+cost .
-------------at = -----------dt -tsin2t ⁱ sintcost

2

1 f . 1

1

dx

   2
, X¹            1 rX! +1
r’          X I            _
— arctgx ⁺ arctSx + ■


dx =

Мы воспользовались формулами XVIII и XIX

      2. Если интеграл имеет вид
J Р(х)e°dx. JР(х) sin kxdx, у Р(x)cos kxdx, то следует положить и-Р(х), dv-e^dx, dv = sinkxdx. dv = coskxdx.

u-X,   sinxdx-dv,

1.4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям назынается вычисление по формуле |и/и,                                         (1)
где и(х) и v(x) — непрерывно дифференцируемые функции от х Эту формулу надо применять в тех случаях, когда интеграл в правой части проще, чем в левой. При этом в исходном интеграле за и(х) принимают такую часть подынтегрального выражения, которая при дифференцировании упрощается, а за

du-dx, V= j5//I.w/x = — COS X, xsin xdx = -xcctf x + ycosxdx = ■ xcos x+sinx + C. П4. Вычислить интеграл У xe³‘dx .
             u-x, e:‘dx-dv.

du = dx.

v = Уe:‘dx - -j Уel’d(2x)

t  -tj. x  .  7г,      x ,, 1  ,, xe'<zr--e' —le'dx = —e- —+C.
J 2            2J      2     4
      j. Интегралы вида Je¹" eospxcfc, Je“’ slrfyxdx,

13

где а. £ - некоторые числа, вычисляются двукратным интегрированием по частям. При этом можно через w обозначать как е“, так и cos fix или swTpx.
      П5. Вычислить интеграл Je'cosxcfr. и = е', dv = cosxdx, du-e’dx, v = jcosx<ir = sizix,
      Je'cosxt&^e’s/nx-Je'siTjxcfr.             (»)
Интеграл Je’ sinxdx снова вычисляем по частям: и, = е‘, dvₜ = sin xdx, du.—c’dx, vₜ~^sinxdx--cosx.
|e'sinxdx = -<?* twx + jVcosxdx.                (» ♦).
      Подставим полученное выражение (* ♦) в правую часть (*):
      Je’ cosxdx = е’ sin х-[-е* cosxrfr+Je’cosxtfe]
      Теперь перенесем интеграл Je'cosxA из правой части последнего равенства в левую, получим
      2 jе‘ cos xdx - е* sin xdx + е‘ cos х.
      Поэтому
          cosxdx- — e‘(sinx+cosx)+C.
      Не следует думать, что приведенные примеры исчерпывают все случаи интегрирования по частям. Приведем другие примеры
      Пб. Найти интеграл J4а: -x³dx, а>0. u = slaJ-x³, dv-dx,

f da: - .r dx = хл/а"’ ~ xJ - Г4a’ - x'dx+ а¹ Г , .
J                     '             JVa--x’
Отсюда
2Г - xJ dx = x-Ja¹ - x³ +a! - arcsin — + C, J                                a
J\ia : - x³dx = ^x-Ja^-x¹ + arcsin- + C,,(C₁
      П7. Вычислить интеграл Гу—&   , n - натуральное число (n S N).
                             [x- +aj
Преобразуем заданный интеграл (считая, что п > 1):

Очевидно интеграл --------имеет тот же вид, что и у исходного интегра                  J(x-’+a-J
ла, только показатель степени на единицу меньше; обозначим его

Интеграл [р-;-----— попробуем вычислить по частям.
          J (х‘ + а:)



      du = dx, v = f 4—4г = - f (х³ + a³)‘"rf(x'’ + о’)= J(x*+a7 2^
      -L (х ⁺а'У^' _ __________!___
        2    -п+1        2(п-1)(х³+а³} '
Поэтому
      г x:dx             х_________ г_______dx
      ■'(х'+<г)г    2(п-1)(х! +а:р‘ J 2(п-1)(х: +а³}
                 X 1 ¹ !
          2(п-1)(х³ +а³У 2п~2


Теперь из (ж) получаем
z,=4 - 4 ——~г—⁺—■
    a'         2(п-1)(х²+а'У  2п-2
! ₌--------1-------- ₊ 4/. //- ——\
' 2а'(п-!){х!+а:У а' к 2п-2}
,          х          12п-3
   ~;------7~.----⁺      ■ 7--7
    2а'(п-1)\х‘+а) а 2п-2
      Таким образом, мы выразили Ц через /и.₍. Вычислим интеграл /„ при л=1:
Д = Г..  - = —arctg- +С (этотабличный интеграл, см. формулу ХП).
    J х' + а’ а а
      Теперь используя формулу (**), можно найти интеграл 1г, выразив его через 1,. Затем можно найти 1,, выразив его через 1, и т.д. Формулы вида (**) называются рекуррентными.

1.5. Интегрирование рациональных дробей

1.5.1. Интегрирование простейших дробен


ле       J ( ■* /     Г!/ 1
      Рациональной дрооью называется дрооь вида ■, где 1 (х) и Q(*)
Of х)-многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
      Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

      I.
        х-а
            д
      II.    , где т - целое число (m > 7);
        fr-crj'
            Jy J-Й
      III. ——------, где x! + px+q - квадратный трехчлен, не имеющий дей          x'+px + q

ствительных корней (т.е. — -q<0);


      ... Ах+В                     .  ,. р~ \ л
      IV. —;, где л- целое число (n> I) и -— q<0.
         (х'+рх+q)"                        4
Во всех четырех случаях предполагается, что A.B,p,q,a - действительные числа. Перечисленные дроби будем называть простейшими дробями I, П, Ш, IV типов.
      Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов.
      I. (  dx = A Znlx- oj + С.
       J х-а
      II (“—-—dx = d\(x-a)~d/x-a)-A-^——-------нС =
       J (х-а)”     ’                 -m + Z

А т-1

      III. Прежде, чем вычислить интеграл от дроби III типа, предварительно найдем, что f —т~—~---- ——"■—.^arcig ■ ?Х + С .     (*)
           Jx+px+q yjAq-p³ <J4q-p:
      Эта формула получается следующим образом. Представим знаменатель в виде

               ( рУ¹ р: ,         ,       р J4q~p:
     х' +• рх + q = ^х + -j I + q-x~ = t +<г, где t = х + -у, а--——
(т.к. — -q < 0, то 4q — p: > 0) Тогда dx-dt я

     „.   ..           f 6х + 5 ,
     П1. Найти интеграл --------dx.
                      ■‘x'+Vv + P
     Выделим в знаменателе полный квадрат: х: + 4х+9 = (х+ 2)³ +5.
Сделаем замену переменной интегрирования х + 2 =/, x = t-2, dx-dt,. г бх + 5  ,  г <5x4-5     ,  ₍6(t-2)+5 , f6t-7 ,
—-------₍/ᵣ ₌ ---------(А- = -1-/.—dt = —--------dt =
Jx'+4x + 9   J(x+2) +5 J Г+5             *l‘+5

— 3 f —---7 Г ■,— = 31n( t¹4-5j —arctg —= + C — 3tn(x' +4x+9) —
  Jr+5 Jt +3                       v5
  7       x+2 „
—arctg—~ +0.
V5 V5
      Приведенный пример дает представление о том, как вычисляется интеграл от простейшей дроби III типа, т.е. интеграл вида
           г С Ах + В)dx
           J х" 4- рх 4- q

      Напомним, что ~--q<0. Сначала в числителе выделим выражение, пропорциональное производной от знаменателя, т.е. представим выражение Ах-хВ в виде:
      Ах + В=(2х+р)----'^- + В. 2                 2
     Тогда
t(Ax + B)dx , А г 2х + р , f „ Ap\r dx j---------dx = —\   - —-— dx 4- В —•-          .
J х 4- рх 4- q 2 ³ х' + рх + q <   2 р х' + рх + q
      В первом шггсграле числитель является дифференциалом знаменателя, поэтому г 2х+ р ,           , , ,       ,
       —-------—dx-bqx‘ + px + q) + c.
     J X' 4- рХ 4- </
      Второй интеграл вычисляется по формуле (*). Окончательный результат записывается в виде
С Ах + В , А , . ,        , 2В-Ар        2х + р  „
----------dx~-- utf х' + px + q ...■■/-■ arctg , 4- С.
Jxj+px₊<? 2 z                7^7
Вряд ли стоит заучивать эту формулу. Гораздо полезнее понять методику вычисления таких интегралов и научиться использовать ее в каждом конкретном случае.
                       г xdx
     П2. Найти интеграл --------.
                      J2x-+2x + 5
      ,      -(4х + 2)-^     ,     ,                ,
Г xdx г J              2 , i f 4х±2      , I ( dx
—-------- - >   -------£ dx = ~\ —-—.....dx------—;-----=
J 2x +2x + 5 J 2x‘+2x4-5     4}2x +2x + 5        2: 2x' +2x + 5

г dx
■J х: + pxxq

  ■ dt 1 t                2         2х+р
  —----- - — arctg — + С =  —==• arctg .+ С.
  /' +(Г a a ^4q - р‘ q4q - р'

Теперь

16

                                          Если теперь сделать подстановку x + --=t,dx-di и учесть, что

                                       р ■ С р: 'I
q------а-    $----->0 I то получим

так что
С------------ L /„( 2х: + 2х + 5) - - Г- arctg +с/] =
Ъх'+2х+5 4                  Лз 3 J
  1     ,         1 2х + 1
~-ln(2x- +2X+5J-— arctg——+С.
  4               6     3
                       е 2х‘ + 3х . ПЗ. Найти интеграл —---—-ах
                       J X +х +1

Г ²х' ⁺ ³х ₍!х _ f^x-~ + 3Jx6tr ₌ 7 г 2t+3 л _ £ r(2t+!) + 2 dₜ _ Jx'-f-x' +/   • х'+х^ + У 2' i¹ +i + J 2 t³+t + l

                       I ^-ln(r +t + !) + —=■ arctg—tJ-+C =
  2           ±L IL
               2       2
  I ,     ,     2      2x: +1
^-lu(x л-x' +l)+—j=arclg—4
  2           ■ -i/3   y/3


      Рассмотрим теперь в общем виде интеграл от простеишей дроби IV типа, т.с. интеграл
       С Лх+В , р;
        —;---------ах, -— q <0.
       ¹(x¹ ² ³ * + px + q)" 4
      Сначала, как и при вычислении интеграла III типа, выделим в числителе производную от знаменателя:

¹ ( х* + рх + qj" J (х- + рх + q)
Л f
   2 ³ fx' +px + q)'       2 ³(x‘ + px + q)
В первом интеграле сделаем замену переменных г" + рх + q = /, (2х + p)dx = dt:

f-           dx =    = J fdt = —+ C =

³(x: + px+qf ³ i" J -/« + /               (n~i)(x +px+q)

Второй интеграл преобразуем, выделяя из квадратного трехчлена пол
ный квадрат:

      В разделе 1.4 мы вывели для этого интеграла рекуррентную формулу (**), которая позволяет его вычислить для любого «
      Таким образом, интегралы IV типа также вычисляются и выражаются через элементарные функции. При этом может возникнуть необходимость многократного использования рекуррентной формулы (**) раздела 1.4.
          ,т -           г  2х + 3
      114. Наити интеграл I--------dx.
³(х!+2х+5)³
      Производная от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, равна 2х + 2. Выделяя ее в числителе, получим
f—²У ⁺ ⁵        = Г ⁺ / ■ dx- f- ./х⁺². . efr+f--------±.
³(х + 2х+5)     ³ (х +2х+5)~    ³(х³ + 2х+5)'    ³ (х¹ + 2х + 5/
      Первый интеграл методом замены переменной сводится к табличному' х! + 2х +3 = /, (2х + 2)dx = dt.

f 2х+2
J (х³ + 2х + 5)‘

dx^^ = \r³dt

х: + 2х+5

      Второй интеграл представим в виде г dx г dx г dt ³(х:+2х + 5): J [|Гх + //’ +-// ³(г+4)³’ ГДв Z ¹ ⁺
      Воспользуемся рекуррентной формулой (**). В нашем м = 2, а = 2, поэтому


случае

Л        ‘    ¹ ¹ г    г ¹       ¹ г          ----4----/ а/, --arctg—+ С..
■ 2-4-(Г+4) 4 2 ‘         2   S 2   ³
      Возвращаясь к старой переменной х, получим г dx               x + i ! x + J „
JfxJ + 2x + 5/ 3(x³+2x + S) 16   ⁶ 2
Окончательно же имеем:
г 2х + 3     ,     1          х + 1    1 х +
—----------- (Ух ------₊------------₊ — arctg —
Vx-+2x+3/          х-+2х+3 8(х' + 2х+5) 16    2
     х-7      1    Хт/ _
--------------।--------arctg---+ С. 8(х-^2х + 5) 16--------2

19

1.5.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью их разложения на простейшие дроби


      При вычислении интеграла f —dx , т е. при интегрировании раиио-J Q(x)
нальной дроби, следует действовать следующим образом:
              Р(х)
1) Если дробь----- неправильная, то следует выделить из нее целую часть
              Q( х)
(делением “уголком”), т.е. представить ее в виде

Q(x)         О(х)
                       R/ х1
где 1¥(х)~ многочлен, а ——— правильная рациональная дробь;

2)  Разложить знаменатель дроби О(х) на линейные множители и множители в

виде квадратичных трехчленов с отрицательными дискриминантами: Q(x)-(x-a)~../x: + px+q)’..₄ — -q<0;
                              4
      Здесь т - кратность действительного корня х = а, а п - кратность комплексно-сопряженных корней квадратного трехчлена х' +рх + д с отрицатель

ным дискриминантом,
3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
Rfx) А, Л,                  А              В,х=С,
-4-d- =--*—+------=--+... + —=-+... +------'■-— +
О(х) (х-а)~ (х-а)~~ х-а            (x'+px + q)’
     В.х+С,          Вх+С                               ⁽ }
+ -—- - *—' - +... 4--------+ ...,'
  (х- xpx + q)”-  (x'+px+q)
      При разложении следует знать, что каждому действительному корню многочлена О(х) х — а кратности т соответствует сумма простейших дробей вида
   4 Л,              А
---■— +--------—-+... + —=-,
(х-а)" (х-а) х-а
а каждой паре комплексно-сопряженных корней кратности п соответствует сумма дробей вида
   В.х+С, В,х+С,                Вх+С
___¹  - - ± -ф. ,              [_ ф      2_" -(x:+px + q)” (x'+px+q)"'¹_______________(x:-px + q)'


4)  Вычислить все неопределенные коэффициенты А₁,...,АМ,..„В₁,С₁,В,,С₁......
В„,С„...Для их нахождения надо воспользоваться равенством (1). Умножим
обе его части на общий знаменатель О(х) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества. Эти равенства представляют собой систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Можно находить коэффициенты и другим способом: приравнивая переменную х в левой и правой частям разложения подходящим числовым значениям. Можно использовать комбинацию указанных методов;
5)  После нахождения неизвестных коэффициентов вычисление интеграла сводится к интегралам от простейших дробей (см. п. 1.5 I ).

      П1. Найти интеграл ]------------dx .
³ (х-1)(х-2)(х-4)
      Степень многочлена в числителе равна 2. а в знаменателе -3, причем знаменатель уже разложен на множители. Каждый из двучленов (х-1),(х-2),(х-4) входит в знаменатель в первой степени, поэтому правильная рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, представляется в виде простейших дробей I типа:
          х!+2х + 6 А В С
      (х-1)(х-2)(х-4) ~ ~1⁺ 'х^2 ⁺ 7^4‘
      Найдем неопределенные коэффициенты А, В и С. Приводя последнее равенство к общему знаменателю, получим
      х: + 2х + 6 — А( x-2)(x-4) + B(x-l)(x-4) + C(x-J)(x-2).
      Раскроем скобки в правой части и сгруппируем члены с одинаковыми степенями х:
х²+2х + б = (А + В + С)х' + (-6А-5В-ЗС)х+(8А+4В + 2С). (*)
      Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений:
      (А+В + С = 1
      1-бА-5В-ЗС = 2
      [8А + 4В+2С=б,
из которой следует, что А-З.В = -7,С = 5. Таким образом, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
          х: +2х+б    ~ 3     7    5
      (х — 1)( х —2 )(х-4) х—1 х-2 х-4
      Укажем еще один, в данном случае более удобный способ вычисления коэффициентов А, В и С. Для этого в равенстве (*) последовательно придадим переменной х три частных значения, равные корням, т.е. х = 1, х=2и х=4.
      При х=1 в правой части равенства (*) обнуляются второе и третье слагаемые и мы получаем
        -2-1-6 = А( 1-2)(1-4), откуда сразу находим А = 3 .
Аналогично, полагая х=2, получим
      242-2 + 6 = В(2-1 )(2 — 4), т.е. Я = -7.

И наконец, если х =4, то
      4: + 2-4 +6 ~С(4-1)(4-2) и С = Э.
Таким образом, г х: - 2х + 6     , ,r dx _dx . г dx
 —----------------4 = 31----71------+ з --³ (x-!)(x-2)(x-4) ³x-l ³ x-2         ³ x-4


= 3 ln\x -]\ - 7 ln\x - 21+5/w|x - + C = hi


(x-I)*(x-4)s (x-2f

      П2 Найти интеграл I------~--------dx.
³ (x-'l)’(x+3)

го

      В данном случае многочлен, стоящий в знаменателе, имеет .два корня: Х=1 кратности Зи Х = -3 кратности 1. Дробь правильная, поэтому ее разложение ищем в виде х"’+7             _ А В C D.
      (х -1)’( х+3)~ (х -1)’⁺ ( х -1)¹ х-1 х + 3
      Для нахождения неизвестньтх коэффициентов А, В, С и D применим комбинированный способ. Сначала освободимся от знаменателя х!+1 = А( х +3)+В(х-1 )(х+ 3) + С(х-1)!( х + 3) +D( х-1)‘.
Полагая х=1, азатем х = —3, найдем
2-4А, А--,
          2

10 =-64D, D
               32
      Сравним коэффициенты при х³. В левой части членов с х³ нет, а в правой имеются члены CxJ+Dx’. Таким образом, £> = C + D, т.е. С = -Д = -~. Остается найти коэффициент В. Для этого, например, приравняем свободные члены в левой и правой частях разложения: 1 = 3A-3B + 3C~D.
, 3 , _ 75 5            _ 3
1 =— jB +—+—, откуда В = -.
   2       32 32     }      8
      Разложение дроби на простейшие имеет вид
    Г+1      _    1  ₊      3  ₊  5__________5
(х--1)'(х + 3)~ 2(х-1)³ 8(х-1)² 32(х-1) 32(х + 3)‘ а интеграл вычисляется в виде

J (х-З/Гх + З) 2³(х~1)      8-(х-1)    32* х-1 32-х + 3

 7         3      5 , х-1
4(х-1)! 8(х-1) ' 32"' х+3

      ПЗ. Найти интеграл I —--.
                      J X 4- X
      Разложим знаменатель на множители:
х¹ + х² = х²(х³ + 1) = х²(х + 1)(х² -х+1). Квадратный трехчлен х: - х+3 имеет отрицательный дискриминант Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби имеет вид:
        7 ABC Dx + E —---_ = _ + _4--+ —:........
      X +Х" X' X Х + 1 X' -Х + 1
Освободимся от знаменателя и найдем неопределенные коэффициенты.
1 = А(х + 1)(х:-х + 1)+Вх(х + 1)(х!-х + 1)+Сх²(х!-х+1)+
+(Dx+E)x²(x + l).
Подставляя в это равенство х=0 и х = -1, получим
1=А:1 = ЗС: т.е. Л = /,С = -,
                       3

а переписав равенство в виде
/ = Afx³ + 1)+Вх(х³ +1)+С(х‘-х! + х² ) + Dx‘ + Dx! + Ех* +Ех²
и приравняв в нем коэффициенты при х^.х’.х², получим систему уравнений:
      B+C+D = O,

      ■ A-C + D + E = 0, С+Е = 0.

     Из третьего уравнения найдем Е = -С , а первые два запишем в


виде:


     B+D = -ч

     D=C-A-E.


Теперь находим D = — !+- = -—,В = 0.
                  3      3   3

Таким образом, искомое разложение найдено и интеграл вычисляется:

1 ?2х-/+3
6 -I х’ -х+7

    I I , , и 7 . . ,       ,, 1          2х-1 „
=------к — brix + 7—Infх' —х+1)—arctg—=*-+С.
    х з ' 6                 ... Гз Гз
При вычислении последнего интеграла мы воспользовались заменой переменных х-----= 1. dx = dt и применили формулу ХИ таблицы основных интегралов.


      П4. Найти интеграл F—*—X~xdx
                        •< fx" +1)
      Квадратный трехчлен (точнее - двучлен) х"+7 действительных корней не имеет, следовательно разложение имеет вид:
       х³-х Ах + В Cx + D
      (х:+1): (х²+1)² х² + Г
Освободимся от знаменателей и приравняем коэффициенты при одинаковых

степенях х:
      х‘ -х = Ах+В+(Сх + D)(x² +1) х‘   / = С
х²   0 = D
х    -1=А+С
Xе   0 = B + D.


Из этой системы легко находим: В - D = 0. С = I. А = -2. Тогда

23

f xJ~x A₂Г xdx ₊ f ₌ _₍ * ³ * * *                +
 ( x² +1 )²   ³(x²+l)² }x²+l     ³(x² + l)² 2³ хг +1

=—7.— jᵣLjₙ(X;+i)JrC.
  х' +2 2
       Замечание. Хотя метод интегрирования, основанный на разложении рациональной дроби на простейшие, позволяет всегда вычислить интеграл, это не значит, что только так и надо действовать всегда. Иногда подходящая замена переменных приводит к цели гораздо быстрее. Например, в только что вычисленном интеграле можно было сделать подстановку
х‘ + 7 = I, 2xdx = dt, xdx = ~ dt, (xJ - x}dx - x(x‘' - l)dx -~^dt -(t-2).
Тогда

г XJ -х     1 e(t-2)dt  I (dt  (dt  1  . . 7 „ 1 .   , , I
Vx’ + //    2- Г        2³ t   Jr   2  ¹   t 2-             x²+l
Поэтому надо запомнить: вычисление интеграла не является такой шаблонной операцией, как дифференцирование: порою здесь надо проявить изобретательность и сообразительность, что представляет некоторую трудность для начинающих, Только большое число примеров, решенных самостоятельно, позволяет преодолеть этот барьер.

П5. Найти интеграл J

■■dx.

      В данном примере подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь. Делением “уголком” выделим ее целую часть:

             2xJ + 2 x! + 2x




2

Таким образом,

= x² + 2x -1 +

2
-----, так что

                                                dx

x¹

4

x‘
7

3_ 4

                        = ~ + х" -x + -=arctg—
                          3        Я у13


      Пб. Найти интеграл Г—-----------dx

³ х’+бГ +//Х+6

Сначала найдем корни многочлена г' +6х! + Их + б . Легко заметить,

что он обращается в нуль при х = -1. Это означает, что многочлен делится без

остатка на х +1. Убедимся в этом:

      х¹ + 6х² + Их+6 I х+ 7
     ~xJ + х~ ______ |х' +5х+б
         _ ?х‘ + /7х
           5хг + 5х
             _ 6х + 6
               ЙХ +6 О
Это означает, что х³ +бх² +11х + б ~(x + J)(x: + 5х + б) . Раскладывая квадратный трехчлен х’ +3х+б на множители, получим х‘ +<5х" +■ 11х + 6 =■(х + 1)(х + 2)(х +3). Теперь запишем разложение
       х+4          АВ С
(х + !)(х+2)(х+3) х + 1 х+2 х + 3
Освободимся от знаменателей;
х+4 = А(х + 2)(х + 3)+В(х + 3)(х+3)+С(х+/)(х+2).
Полагая х=-7, получим 3 = 2.4, те. = ~ Если х=~2, то получим 2 =-В,

т.е В = -2. Если же х = -3, то получим 7 = 2С, т.е. С =
Итак,
Г—-------------dx = -       -2f-^—+ -      =—fri|x + 7|-2/»|x+-2l+■’х'+бх- +llx + 6   2³х + / ³ х + 2 2³ х+3 2 ‘       ¹    ¹¹

+ —Лфс + 31-t-C.
  2 ¹    ¹
      П7. Найти интеграл [--------                        J х +бх* +5
      Беглого взгляда на интеграл достаточно, чтобы убедиться, что он замет-,                                    ³ j
но упрощается, если сделать замену х' -t, xdx =—dt :

г xdx _ / г dt
³х'+6х:+5 2³ t² +6t + 5
Если теперь выделить в знаменателе полный квадрат, то 1 г dt 1 г dt ~2³ f +6t+5~l³ (t + 3)²-4'
Сделаем еще одну замену t + 3 = u.dt = du, получим
    --~~—— = j J' 7 - Это интеграл табличный (см. формулу XIII):

I г du 1 !,\и-2\ „ „
     —-- = --—tn— -| + С. Переходя последовательно к переменным t и х,

окончательно получим:           г- 3 ,           
 f xdx      J . \н-2  3, 1 + 3 +С ~---1п х2 +1 +С
 3х‘т6х:+5 8 |« + 2   8  t + 5         8 х2 +5   


К покупке доступен более свежий выпуск Перейти