Основы дифференциального исчисления


OS

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА



В. А. Буресв В. А. Логинов





                исчисления




учебное пособие

Основы дифференциального исчисления

Учебное пособие

Авторы: к.т.н., доц. Бу ,еев В.А. к.т.н., с.н.с. Логинов В.А.

Москва 2002

з

      Учебное пособие одобрено на заседании кафедры высшей математики и рекомендовано для внутривузовской публикации.
      Протокол №8 от 31.03.99.

      Рекомендовано к изданию на учебно-методическом совете МГАВТ.
      Протокол № 5 от 26.04.2000

Содержание Предисловие.......................................................... ■■■■  5
I  .Функция...............................................................  6
      1.1.  Понятие о множестве.........................-.................. 6
      1.2.  Определение функции............................................ 6
      1.3. Возрастающие, убывающие и ограниченные функции.................. 11
II. Предел................................................................ 12
      2.1.  Числовая последовательность.................................   12
      2.2.  Определение предела последовательности........................ 14
      2.3.  Бесконечно малые последовательности. Теоремы о бесконечно малых последовательностях......................  17
      2.4.  Предел функции................................................. 18
      2.5.  Односторонние пределы........................................  20
      2.6.  Предел функции в бесконечно удаленной точке..................  20
      2.7.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции................. 21
      2.8.  Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях....... 22
      2.9.  Основные теоремы о пределах................................... 22
      2.10.  Понятие неопределенности при вычислении предела.............. 25
О
      2.11.  Неопределенность вида —..................................     25

      2.12.  Первый замечательный предел и его использование 0
      для раскрытия неопределенностей вида —.............................. 27

      2.13.  Неопределенность вида .................................................................. 28 «с
      2.14.  Неопределенность вида 0•  .................................... 29
      2.15.  Второй замечательный предел и его использование при вычислении пределов............................................. 29
      2.16.  Сравнение бесконечно малых. Применение эквивалентных бесконечно малых для вычисления пределов............................. 31
П1. Непрерывность функции................................................. 34
      3.1.  Определение непрерывности..................................... 34
      3.2.  Свойства функций, непрерывных   на отрезке.................... 35

5

IV. Производная и дифференциал.................................... 36
      4.1. Определение производной, ее механический и геометрический смысл......................................... 36
     4.2. Таблица производных основных элементарных функций....... 40
      4.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями..................................... 41
     4.4. Производная сложной функции............................. 42
     4.5. Производная функции, заданной параметрически............ 43
     4.6. Дифференциал...........................-................ 43
     4.7. Производные высших порядков............................■  ■ 44
     4.8. Формулы Тейлора и Маклорена............................. 46
     4.9. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида - и —. 47

V.  Применение производных к исследованию функций и построению графиков.........................................................  49
     5.1. Возрастание и убывание функции.......................... 49
     5.2. Экстремумы функции...-.................................. 51
     5.3. Необходимые условия экстремума.......................... 52
     5.4. Достаточные условия экстремума.......................... 53
     5.5. Практическое правило нахождения точек максимума и минимума... 53
     5.6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции.......... 55
      5.7. Практическое правило нахождения точек перегиба и участков выпуклости и вогнутости функции............................   56
     5.8. Асимптоты............................................... 58
     5.9. Общая схема исследования функции и построение ее графика. 61
      5.10. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке................................................... 65
Список рекомендуемой литературы................................... 66

ПРЕДИСЛОВИЕ




      Настоящее издание изготовлено в центре дистанционного обучения и на кафедре высшей математики Московской Государственной академии водного транспорта как пособие для студентов, изучающих основы дифференциального исчисления. В нем излагаются элементы математического анализа: понятие последовательности. функции, их пределы, понятие непрерывности, производной и дифференциала. Рассмотрены приложения производной для исследования функций и построения их графиков.
      Основное внимание в пособии уделено практической стороне дела: методике вычисления пределов, производных, технике дифференцирования и приложениям производной к исследованиям функций и построению их графиков. Приведенный в конце пособия список рекомендуемой литературы позволит студентам глубже ознакомиться с теоретическими основами математического анализа.
      В пособии приняты следующие обозначения. Буква О. за которой следует номер, обозначает определение какого-либо термина (01, 02 и т.д.). Аналогично буква II вместе с последующим номером используется для обозначения рассматриваемых примеров (П1. П2 и т.д.), а буква Т — для обозначения теорем (Т, Tl. Т2 и т.д.)

7

                             I. Функция

1.1. Понятие о множестве

      Множество в математике относится к простейшим, неопределяемым понятиям и понимается как собрание, коллекция, совокупность некоторых объектов, объединяемых по какому-либо признаку. Задают множество, либо перечисляя его элементы, либо указывая характеристические свойства его объектов. Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами: А. В и т. д. Запись х еА означает, что объект х принадлежит множеству А , а х g А- не принадлежит множеству А. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом 0.
      Мы в дальнейшем будем оперировать понятием числового множества, т. е. множества, элементами которого являются числа. Из школьного курса математики мы знаем, что между действительными числами и точками числовой (координатной) оси имеется взаимно однозначное соответствие: каждому числу соответствует единственная точка на оси, а каждой точке оси - единственное действительное число. Поэтому часто числа называют точками (числовой прямой) и, наоборот, точки числами.
      Приведем примеры числовых множеств.
      1.      Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь, называется отрезком ( с концами а , Ь) и обозначается так : (л, ft].
      2.      Множество чисел, удовлетворяющих неравенству а< х< Ь, называется интервалом ( с концами а, Ь) и обозначаются (а, Ь).
      3.      Полуинтервалами (a,ft], [<т, ft) называются множества чисел х, удовлетворяющих неравенствам а< х< b,а< х< b.
      4.      Часто рассматривают бесконечные интервалы:
1) (-оо, оо), 2) (-ос,а], 3) (-ос, а), 4) (а, оо), 5) {я, со). Им соответствуют неравенства: 1)-со < х < оо (множество всех действительных чисел), 2) х< а, 3) х< а, 4) х> а, 5) х > а .
      5.      В курсе высшей математики часто используется понятие произвольной окрестности какой-либо точки х = хс. Это произвольный интервал (a,ft), содержащий точку х„ внутри себя: (a<xc<ft).
      Под произвольной с- окрестностью точки х-х^ понимается интервал радиуса s> 0, в центре которого находится точка х₀. Другими словами, с-окреетность точки х₀ есть интервал (х₀-т.х₀ + ь-)

1,2.Определение функции

      Если даны числовые множества X = |х] и Y = (у) и по некоторому закону f каждому элементу х е .V поставлен в соответствие единственный элемент у еУ, то говорят, что на множестве X задана функция у- f(x). х называется аргументом функции, а у - ее значением. Множество X называется областью определения функции, а множество Y - областью изменения функции, или областью ее значений.
      Графиком функции называется геометрическое место точек (х.у) плоскости. координаты которых х и у связаны соотношением y = f(x) и х принадлежит области определения функции.


        П1. Составить список элементов множества
              Л = {х: х еХ, -3<х<5}.
        Здесь множество задано характеристическим свойством, а именно: его элементы х есть натуральные числа (х еЛ). удовлетворяющие неравенству 3 < х < < 5. Очевидно, это числа 1.2 3.4.5. Другими словами. А = {1.2.3.4,5}. Последняя запись задает множество А путем перечисления всех его элементов.
        П2. Описать множество точек М числовой прямой, таких, что {М: I ОМ? =1). и перечислить его элементы.
        Множество задано характеристическим свойством: его элементы - точки числовой прямой, удаленные от начала координат О на расстояние 1. Очевидно, Л/={-1,1}.
        ПЗ. Построить график функции у = 2х -4 .
        Приведенная функция называется линейной, т.к. ее график ~ прямая линия. Для построения достаточно на плоскости (х,у) взять две точки графика и соединить их прямой. Например, полагая г=0, найдем у=-4. а считая х =3, найдем, что у =2. График имеет вид прямой, проходящей через точки .4(0; - 4) и В(3; 2) (рис.1).



      П4. Построить график функции у - х² +1.
Сначала построим график функции у = х² (рис.2). Из школьного курса математики известно, что графиком этой функции является порабола, проходящая через начало координат.
      Теперь заметим, что все значения функции _>• = х² + 1 на единицу превышают соответствующие значения функции у ~ х². Поэтому искомый график будет сдвинут на единицу вверх и имеет вид (рис.З).

'}


б) Для существования функции надо потребовать, чтобы знаменатель был отличен от нуля, а подкоренное выражение было неотрицательным. Область определения является, таким образом, решением системы неравенств.
  х * О
■ (x-tX-Y 2)^₀

       Для решения этой системы неравенств используем известный из школьного курса метод интервалов. Нанесем на ось х критические точки, соответствующие равенствам:
       х - 1 = О,
       х-2 - О,
       х = О,
т.е. точки х—0. х-1 и х-2 (см. рис. 4).



Рис. 4

П5. Найти область определения функций: а) у = х³ - х² - 1,

о, V -Г'

      Точку х = 0 окружим кружком, т к. х = 0 не входит в область определения (из-за того, что выражение х" находится в знаменателе). Теперь рассуждаем так: если значение х выбрать большим, чем самая правая критическая точка (х >2). то в числителе выражения в обеих скобках (х-1) и (х-2) будут положительными, выражение х² в знаменателе также положительно, поэтому знак дроби положителен. На рисунке это соответствует знаку + при х > 2. Если теперь 1 < г < 2, т.е. х выбран слева от критической точки х=2 и справа от критической точки х = 1, то выражение (х- 2) изменяет свой знак, а остальные выражения в скобках (величина х=(х - 0 ) — это тоже скобка!) знака не изменяют. Поэтому общий знак дроби станет отрицательным. Продолжая эти рассуждения, получим так называемую кривую знаков, изображенную на рис. 4. Заметим, что так как х входит в знаменатель в квадрате (скобка(х-О)²). при переходе от положительных х к отрицательным выражение х² знака не меняет, поэтому при переходе критической точки х = 0 знак всей дроби не меняется. Кривая знаков как бы “отражается” от критической точки. После того, как кривая знаков изображена, решение системы неравенств легко записывается: х е (- со , 0 )U(0 . 1 ]U [ 2 , + со ).3нак U обозначает объединение множеств.
в) Выражение х/9-4х² определено при 9-4х²>0. Логарифмическая функция 2х +1
определена при --— > 0. Таким образом, необходимо для нахождения области

           s) у = 1/9-4х² - log, -.—.'J..
                              X- 1
а) Областью определения функции являются все вещественные числа -<х> <х< ао (х е(-оо, oo)j. т.н. при любых х можно выполнить указанные действия.

определения функции решить систему неравенств

9-4х: >0

                                                            to



Первое неравенство решается так: 9-4х‘>0       9>4х"

Второе неравенство можно решить методом интервалов: получим

Н

Объединим решение этих неравенств графическим путем (см. рис.5).



1 J ¹

Рис. 5

      Окончательный результат соответствует заштрихованным областям на рисунке. Таким образом, область определения функции:


                 ³ С, Л ³


            х е — и 1, —
                 2 2J \ 2J
      П6. Найти множества значений функций:
            a) j = l + 2"‘,
            б) у = sinx — cosx,
            в) у - >1~х' -х+2.
а)  Запишем у в виде: у = 1 + 2-2'.Показательная функция у-2' имеет множество значений у е( 0, + ое ). аналогичные значения может принимать величина 2-2 . Таким образом, множество значений исходной функции у = 1 + 2-2 есть ( I. + ао ).
б)  Преобразуем выражение
             /i    I         1
sinx - cost = V2 sinx—т=-cosx—= =V2 smx-cos—-cosx-sm- =
              <    41        W      <4                 47

Множество значений функции siu|xесть отрезок [“1,1]- Поэтому множество значений нашей функции есть л/2, V? j.
в) Рассмотрим сначала функцию у = -х‘ - х + 2 = -(х² + х~ 2) .Выделим ее полный

квадрат:

Очевидно, максимум этой функции равен -. а максимум исходной функции, есте-4
               [9 3
ственно, равен         Теперь заметим, что по определению арифметического

корня у > 0. Надо понять, возможно ли равенство у =0.
Если приравнять подкоренное выражение нулю:
            - х: - х + 2 = О,

             .Г +х-2 = 0,

то легко убедиться, что это равенство справедливо при х, = -2 и х= 1 Таким образом, равенство г=0 возможно и область определения исходной функции




             1.3.Возрастающие, убывающие и ограниченные функции

       О). Функция у = /(х), определенная на множестве X, называется возрастающей, если для любых х, и хг из множества 'X из неравенства xₜ<x, следует, что                  если большему значению ее аргумента соответствует
большее значение функции.
       02. Функция у = /(х), определенная на множестве X. называется убывающей, если для любых х, и х, из множества X из неравенства х^х, следует, что /(.х|)>/(х₁), т.е. если большему значению ее аргумента соответствует меньшее значение функции. Примеры графиков возрастающей и убывающей функции приведены на рис. 6,7.


Рис. 6. Возрастающая функция.

Рис. 7. Убывающая функция.

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. Если в определении возрастающей функции неравенство /(г,)</(*,) заменить на нестрогое /(х,)</(х,). то такая функция называется неубывающей. Если в определении 2 неравенство /(x₁)>_f(x₁) заменить на нестрогое/Ех,)^/^,), то такая функция называется невозрастающей.
      Примеры )рафиков таких функций приведены ниже.



      Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными.

И. Предел

2.1 .Числовая последовательность

      Частным случаем функции является функция натурального аргумента v = f(n). (н е N). которая обычно обозначается х„ и называется числовой последовательностью. Областью определения такой функции является множество Лг натуральных чисел, а каждое значение г, называется членом последовательности. Последовательность считается заданной, если указано правило, по которому каждому значению п ставится в соответствие число х„. Выражение хя называют также общим членом последовательности, имея в виду, что хл = /(«) и для любого п по правилу f можно определить соо тветствующее значение хя.
                                                     п' -1
      Ш. Найти десятый член последовательности х„ = —:—
                                                     w +5
      Подставим в правую часть выражения для общего члена ха и =10, получим


      10²-1   99 33
х,₀ = —з--= - —■
      10+5 105 35
Последовательность хп называется ограниченной снизу (сверху), если существует число т (Л/), такое, что для всех п е iV справедливо неравенство х > т (хм < Л/). Последовательность х„ называется ограниченной, если существует такое число L > 0, что для всех п е N справедливо неравенство
            I хя I < L.
Последнее определение равносильно тому, что последовательность хл ограничена и сверху, и снизу.
Последовательность ха называется возрастающей (неубывающей), если для всех
п е .V справедливо неравенство
            X„ₜ| > х„
и убывающей (невозрастающей), если для всех и е /V справедливо неравенство - Если верны строгие неравенства х„₊₁>хя или х„м<х„. то последовательность называется строго возрастающей или строго убывающей. Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными .
      П2. Найти формулу общего члена арифметической последовательности хл, если х₍ = а, хя = хл_₁ + d .
      Докажем, что
            х„ = a+rf(n~I)                           (*).
      Воспользуемся методом математической индукпии. При и=1 из формулы (*) имеем х, = а, т.е. формула (*) справедлива. Предположим, что формула справедлива для п-к. т.е. xₜ = a +d(k ~ 1) и докажем, что она справедлива и для п~к+1. По определению х₄ н = х₄ +d = а + d(k -1) + d = а + d(k - I +1) = а + dk .
Следовательно, равенство (*) справедливо для любого натурального п .
      ПЗ. Доказать, что последовательность

ограничена.
                 n +1 л" + 2 -1 I               I
      Поскольку —----= —-----------= 1 - --- и 0 <—-< 1. то
                 л‘+2  и +2        и'+2       п‘+2

0 < I- ₂ ₊“ < I' 0 I- Последовательность ограничена сверху, снизу и просто ограничена.
      114. Доказать, что последовательность х„ = lg(H+l)-lgrt монотонная.

      Т.к. х„ =lgO; + l)-lg/i = lg-, то

15

= lg

n + 2

n + 1

n

  . н{п + 2) , /г + 2л+ 1-1
= 1g------= 1g-----------;--(и + 1)- s («+!)’

n

                                    Заметим, что если —2 < 0, т.е. s > 2. то неравенство (*) выполняется для всех е
                                                             4
натуральных п. Если же —2 > 0. то в качестве Л(£’) можно выбрать целую

₌ ₗg<^;J. ₌ ₗg < о, (н+1)- к («+!)-;
то хя₊!<хп, что свидетельствует о монотонном убывании членов последовательности.
      П5. Найти наименьший член последовательности хл = п~ — 5п + 1.
      Преобразуем выражение для х,, выделив полный квадрат.

1         5
х_ = п - 5п -1 = и - 2 -п —ь ”                                2

T.k. ft - натуральное число, то величина

п—
  2,

■_2]
   4
з
принимает минимальное значе

           1 , , „
пне, равное — , при п -2 и п -3. Поэтому минимальными членами являются

        1 21
х, = х =----= -5.
*   ’ 4 4


2.2.Определение предела последовательности


      Число А называется пределом последовательности хп, если для любого s > 0 существует такое число N - N(t'). что для всех п > N выполняется неравенство |хл - А\ < г . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противоположном случае последовательность расходящаяся. При этом записывают так: при ос х„->Л или |imx„ = А.

      П6. Доказать, что г "~²-1 Inn—~ - 1
часть числа

Таким образом, если окончательно выбрать


V = max 1.'
\ L +

, то при п > JV неравенство (*) будет выполнено. Это означает.


          г                                           п ~ 2
ч то число I является пределом последовательности х„ = —— при ft -+ ос. п + 2
      При вычислении пределов последовательностей часто встречается предел

lim — -п
      Докажем, что этот предел равен нулю. Зададим произвольное г > 0 и потребуем, чтобы
             1  \         1
             — 01 < е , т.е. — < е .
             ft ।         п

Очевидно, это неравенство выполняется при п > —. Если выбрать N = N(e) = — . £                                                                          1С.
то при л? > Лг - < ~ < £ и утверждение доказано. Таким образом, ]jm- ”0.
                п Л                                                „.+» п
Приведем также основную теорему о пределах сходящихся последовательностей, широко используемую при вычислении пределов.
      Т1. Если хп и у„ — сходящиеся последовательности и
             1ш1^ = «,       = то
             м-мо      п—
             lim(T„±T„) = limT,±limx =а+ь л-нос               Л-+-С
                    =            = «-ь
             л ><•=    л—мо л~>ес
                v limx« „
             11 m —■ = — = —                 (если 6*0).
                    lim>, ъ

      Рассмотрим примеры вычисления пределов последовательностей.
      П7. Вычислить предел

       Зададим произвольное число е> 0. По определению предела надо найти такое ,V = N(e), чтобы при любых n>N выполнялось неравенство !л-2 I----------------1 < е.
            In+ 2
       Преобразуем левую часть этого неравенства следующим образом :

\п~2      J |п-2-п-2
■- ------           
;И+ 2     1 1 " + 2 
1 "4      4
п + 2 п + 2

Теперь надо решить неравенство

              4                   4
             ---- < е откуда п > — н + 2-’              t

5 _ _ 5
-9 " 9'

IS

     118. Найти

f2n-l 1 + 2я’~1 llJSl5n + l 2+ 5/? J

    2л-1 1 + 2л’>    . (2n - 1X2 + 5л’)-(1+ 2л’)(5и +1)
    5л + | 2 + 5л’_/          (5л +1)(2+ 5л’)


     Юл⁴ -5л' + 4л - 2 - Юл⁴ - 2л³ - 5л - 1
1^2       25л⁴ + 5л¹+10»+ 2
                          _7   1 _ 3
_.. ___-7л’ - л-3  _ . л л³ п⁴ _ ° _ Г₁
*SS2S»‘ + 5»J+10»+2 1—„ 5 10 2 25 ’
                        ²⁵⁺;⁺р"7
При вычислении этого предела мы использовали, например, тот факт, что
lim 4⁼ lim-’--—Him-lim-lim-~ = ⁰,⁰-° = ⁰
»ос П »—>* П Л /7 я-+*. fl л—нс 7? и-*<л fl
     П9. Вычислить предел
           lim(V«+2-V«).

Очевидно, что -Jn + 2 -> оо и л/71~>еа при п—>оо. Поэтому под знаком предела имеем неопределенность вида со - ос.
      При вычислении пределов с радикалами иногда удается упростить вычисления, домножая некоторое иррациональное выражение на сопряженное. В данном примере это делается так
. , I--— г-.     Nn + 2 - э/лХ^л + 2 +н)   л+2-л
11т(э/«+2 -V») - lim  --    —7=7-------⁼ Нт г „—г ⁼
»г-нню         м-+л    (vtz + 2 4-“Vп) л-*=© -у/ц + 2 4- vи


т.к. при л—><» числитель равен 2, а знаменатель неограниченно возрастает, т.е. стремятся к + со.
      П10. Найти предел
                2" + 3”
            lim •


Чтобы получить окончательный результат, надо найти lirnl " I ■ Докажем, что \ ЗУ


если 0 < q < 1, то lim?” ⁼ ®• Зададим произвольное е > 0 и будем решать неравен-г—
ство \q" - ol < s . т е. q" < е.
      Поскольку обе части последнего неравенства положительны, а функция у = lu x - возрастающая, это неравенство эквивалентно неравенству

1п(7") < 1° е •

                                                     п In q <. In £ .

      Так как 0 < q < 1. то Ing < 0. Разделив на это отрицательное число нера-III £
венствс nhg < 1ns, получим « >-----. Теперь заметим, что если е > 1. то 1лт > 0.
                                 In <7

—— < 0 и наше неравенство выполняется при любом п . Если же £ < 1. то In s < 0.
In /7

In fl
-— . Окончательно, выбирая lug

> .V выполняется неравенство

\q" - Oj < е , т.е. число 0 является пределом последовательности q" при и -> ос. Вернемся к нашему примеру. Теперь очевидно, что

1ns
Ing

0 и можно выбрать ,V = ,\’(е) =

»- 17 \ fl Г¹ПЙН
A - A(s) - max 1; ----\ Llⁿ<7.
, получим, что при п

2.3. Бесконечно малые последовательности. Теоремы о бесконечно малых последовательностях


      Последовательность ал называется бесконечно малой, если hmc»~0- При                                                 1
меры бесконечно малых последовательностей: хл = —= q" (-1 <g <1).
                                                 п
Для вычисления пределов важны следующие две теоремы о бесконечно малых последовательностях.
       Т1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью,
       Т2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.
       ПИ. Найти предел
                Vz? sm(n:)
             11 m—---;---■
                   И — 1


    iTi ■ ₜ            ᵣ=--siii<n²) lim ;7“-siu(n:)
    Vn sin(w )                                ⁷ 0
1 im------;— = h m  ------;---= —ж— = 



При вычислении предела Jim—sinpr)мы воспользовались теоремой 2. Последо

вательность -р-- - бесконечно малая, а последовательность sin(«²) - ограниченная (|Stn(H²)!< 1 при любом н).

П12. Найти предел

IS

     Каждое слагаемое является бесконечно малой последовательностью. Нс число таких слагаемых равно л-1 и при н->® бесконечно возрастает. Условия теоремы 2 не выполняются и применить ее нельзя. Поэтому будем действовать следующим образом: заметим, что
¹tl2r.22 -₍„_п
I 2       П-1 14-2 4-••-+<»-1)  2   ¹    ⁷ н(н-1)
—-г —т        =--------------=      s    ~~~2 ■
п~ п' п              п             п         2п
Мы воспользовались тем, что сумма 1+2+,. ,+(н-1) является арифметической последовательностью и сумма ее (н-1) членов может быть вычислена по формуле
          5„ =        .(,.. 1).l±fcB«А=-!>.

„          ( 1  2 Я-ft н(н-1) п--н ¹ ~п 1
Поэтому hm —+—+■•■+—~ =lim-——-= hm-r-r = iim —
                tl      ГТ / п-+=с ЛИ п->* лП а-*»  — Л


2.4. Предел функции


      Число а называется пределом функции f{x) в точке х=х₀. если функция определена в некоторой окрестности точки х₀. исключая, быть может, саму эту точку, и для любого £ > О существует такое число 3 = 6(e) > 0. что для всех х * х₀. таких, что |x-xₒj < 3, выполняется неравенство |/(x)-ari < £. При этом записывают: lim/(x) = а ■ п-+^>
      Иными словами, число а называется пределом функции /(х) при х->х .. если для произвольной £-окрестности точки у-а существует 3-окрестность точки х = х₀, для всех точек которой (кроме, быть может, точки х = х₀) значения функции /(г) попадают в £ -окрестность точки а.
      Размер (5-окрестности (х₀-3, х^+З) определяется размером £-окрестности (а-£. a+s), т.е. 8 есть функция от е, что и подчеркивается обозначением <5(г). Рисунок, на котором изображен график функции у — /(х). дает геометрическую иллюстрацию равенства Нт/(х) = а : Для х е(ха-5,х₀+J) график размещается *-»Лй
внутри полосы, ограниченной прямыми у = л±£. При этом размер этой полосы 2 к может быть взят как угодно малым: для любого s найдется соответствующее 6(e) (см. рис. 10).
      III. Доказать, пользуясь определением предела функции, что lim(2x + 5)sl. Каким должно быть число 3 > 0, чтобы для х е(-2 - 8-2 + 8) значения функции 2х + 5 отличались от 1 меньше, чем на 0,1; 0,01; 0,001 ?
      Зададим произвольное число £ > 0. Надо убедиться в существовании такого числа <5(£) > 0. чтобы из неравенства |х + 2| < 8, х * -2, следовало неравенстве»


|2г + 5-1| < £, т.е, |2r + 4j < £. Последнее неравенство запишем в виде: |х + 2| <


Поэтому можно выбрать 3(e)— — (или любое положительное число, меньшее, чем

—). Значит Iim(2x 4-5) = 1, т.к. для любого числа £ > 0 найдено 3- ■ такое, что
2                                                             2


для всех х -2 и удовлетворяющих неравенству |х + 2| < — , выполняется неравенство |(2x+5)-l|=|2(x + 2)| = 2jx + 2! < £. Таким образом, если £=0,1, то <5=0.05: значениям £=0,01 и 0.001 соответствуют 8 =0,005 и <5=0,0005.


      П2. Доказать, исходя из определения предел^ функции, что lᵢₘ(x’-4x+5) = 2.

      Возьмем произвольное число е > 0 и выясним, существует ли такое число 8 > 0, что из неравенства Jx-lf < 8, х#1, следует неравенство |х²-4х + 3| < е. Если положить х-1=/. то доказательство сводится к решению вопроса: найдется ЛИ такое число 3 > 0. чтобы из неравенства < 3 вытекало, что |г -2/! < £ ?
      Используя известное неравенство |н + ^ < |ф+|й|, получим р² - 2zl < |rf + |2?)


и потребуем, чтобы каждое слагаемое в правой части было меньше


|2/| < —, т.е. будем решать систему неравенств:


и за 3 можно взять любое число, не превышающее


£ £ „
— и —. Например, вьюерем

V2 4

Таким образом, если 3 задано в таком виде , то из неравенства

20

j/j < 3 вытекает неравенство        < «, или, ЧТО то же самое, из неравенства
[х-1, < 3 вытекает неравенство |№ -4х+з| < б . Это и означает, что lim(*²-4x + 5) = 2. я—»!


2,5, Односторонние пределы


       Число а называется левосторонним пределом функции /(г), или пределом слева, в точке х = х₀, если функция f(x) определена в некоторой левосторонней окрестности точки х = а, исключая, быть может, саму эту точку, и если для любого числа s >0 существует такое число 3~3(е) > 0. что из неравенства х^-<5’< х < <Ха следует неравенство |/(х)-спот. Для предела слева применяется обозначение lim ~а- Правосторонний предел, или предел справа, определяется аналогично и
обозначается Um /(х),
              -г*+-*д*я
       Пределы слева и справа могут либо совпадать, либо не совпадать. Условие Um /(х)= Um /(*) является необходимым и достаточным условием существо-х-* ,чс +0
вания обычного предела ЦщДх).

                            X
      ПЗ. Доказать, что U m г» не существует.
                            |х|
Вычислим левосторонний и правосторонний пределы.
Т.к. при х > 0 |х| = х, а при х < 0  |х| = -х , то
                 X       X
             1йпп ⁼ [im-= L
             »-»+о |Х • <о X
                 X       X
             lim гт - lim — = -t

Поскольку пределы слева и справа не совпадают, Um А не существует.
                                                   И


2.6. Предел функции в бесконечно удаленной точке


       Число а называется пределом функции /(х) при x->-kn. если для любого х > 0 существует число /.’= А(г) > 0, такое, что при х > b выполняется неравенство |/(х)-а| < б. При этом записывают lim/(x) = e- Аналогично определяется предел при X - 00, 9_y -1-5                             9
       П4. Доказать, что [jm~— = —• Каким должно быть число А(х), чтобы 4х 4
                                          9
для х > Ь значения функции отличались от — меньше чем на 0,1: 0,001; 0.000005"’ 4
Пусть S > 0 —- произвольное число, Доказываемое утверждение верно, если существует такое число h > 0, такое что при х > b выполняется неравенство

!     9|         9г 4-5 9            5
         < £т у.е. ----— < х, или           . Последнее неравенство при х>0

эквивалентно следующему:
5                  ,5                          ₜ 5           9х + 5 91
х > —, так что положив Ь - —, получим, что при х > Ь - , . <е или--------1
4х                     4s                         4|х|          4х 4|

                 9.x + 5 9                                            
< с . Следовательно. ]jm---= --- ■                                    
                    4х 4                                              
На остальные вопросы получим ответ, вычисляя                          
ставлены в таблице                             i(i’). Результаты пред£          0,1                  0.002                 0,000005        
ь         12,5                   625                   250000         

П5. Доказать, что

          Нт —т~ ⁼ ⁰

      Исходя из определения предела функции, для любого е > 0 надо найти та
кое b, что для всех х < b выполняется неравенство х + 1 J




Преобразуем последнее неравенство:

< £. Потребуем, чтобы каждое из слагаемых было


меньше — . тогда их сумма будет меньше s.


      Так как х -> -® , можно считать х < 0, тогда |х| =— х и полученные два нера
2             2             е          2 й ,
венезъа запишем так: -х > — и -х >         - или х < --, х <         ■ Выберем


Г т /F1                                                   ! г +1
b ~ пмгк —г Тогда при любом е > 0 выполняется неравенство I—-—0 I е V е I                                                    | х


что и означает, что Um — = 0.
                          X' + 1


             2.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции


      Функция /{х) называется бесконечно малой при х —> х₀. если        = 0.

       Функция /(х) называется бесконечно большой при х —> х₀, если lim/h) = °o (или +«=). X

П6. Доказать, что функция .т-1 есть бесконечно малая при х—>1, Зафиксируем число е > 0 и покажем существование такого числа Л'(г) > 0, что неравенство |(х—1>—0 |<4,- или I г-1 | <£ выполняется для всех х, удовлетворяющих неравенству | х I | <<>'. Очевидно. 8-е. Если выбрать 6-Е. то неравенство |x-l|< 3 эквивалентно неравенству I (х-1)-01 < ь-, т.е. Пт(х-1) = 0 и функция я-»1
г-1 - бесконечно малая при х->1.


2.8. Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях


      Если /(х) и <р(х) - бесконечно малые при х-> х₀, то их сумма и произведение есть бесконечно малые. Кроме того, произведение бесконечно малой функций на ограниченную функцию есть также бесконечно малая функция.

      Если /(х) при - бесконечно малая, то —-— при х—>хс - бесконеч-f(x)

но большая, и наоборот.

     П7. Доказать, что функция ——бесконечно большая при х-> -2. 2х + 4

азать это само
      Функция 2х + 4 при х—> -2 является бесконечно малой (док: стоятельно!). Поэтому функция —*-----бесконечно большая.
                               2х+4
      118. Доказать, что г xsⁱⁿx-n lim—г?г~у


                 г, х «sinx . ,   .    , . х
     Обозначим / (х) - -, у?(х) = sin х. (z(x) =


Тогда f(x) =          Заметим, что |inV/ix)-O, т.е. Их) ~ бесконечно малая


при х—> сс (докажите самостоятельно), а <р(х) - ограниченная функция, т.к. |sinx[<l. Тогда lim/(«) = lim^OO ^(х)] = 0 как предел произведения бесконечно Х~*ЗВ                 *-+®
малой функции на ограниченную.
     П9. Доказать, что 2- является бесконечно большой при х —> от. Здесь необходимо доказать, что 2'¹ > Е, где Е > 0 - произвольное число, если х > b, Если найдем Ь-Ь(Е). то утверждение доказано. Неравенство 2'л > Е можно записать (используя свойство возрастания логарифмической функции) в виде
Г InE Г1пЕУ г, г ,fbfiV                                  =■
■vx >■ х > [дэ J . Выбирая о (£         , получим, что для любого Е > О


при х > Ь выполняется неравенство 2'л > Е, а это означает, что Ijm^" -⁰⁰ ■


Функция 2'л является бесконечно большой при х->от.


2.9. Основные теоремы о пределах

      ТЕ Если lim/fx) существует, то он единственный.

    ,, . lim/(«) f(xj
I i m       ’----.если
   (£>(x) iini^(x)

      T3. Если функция

      Т2. |imC=C (С-const). Х-ЬЛГд
lim [/(«) ± сЕп] = lim /(«) ± lim <з(х).

lim [/(«) ’ Р(*>] ⁼ Пт /(«) ■ Jim <з(х) Л 
limpCvi^o

/(х) при х —> х₀ имеет конечный предел и су

ществует предел функции Ф(х). то
             ltm[/(«)-7’(«)] = c-iiₘ^(x).

      14.        Если в некоторой окрестности точки xₙ /(х) < tp(x) < (у(л) и lim/(«) *■= lim И«) = Л, то и цга ^(х) = А.
      Т5. Если при некотором 8 > 0 функция /(х) возрастает на (х₀ - 5, xD) (убывает на (x„.J+x₀)) и ограничена сверху (снизу), то существует Ит /(«) (lim /(*))■ х-м-0     ''х->д+0  /

      Тб. Если для любого е > 0 существует 6 > 0 такое, что для произвольных х' и х" из интервала (х₀-8, х₀ + 5), отличных от х₀, |/(х')-/(х”)| < е, то существует lim/(x).
      Т7. Для существования предела |ш1/(*)⁼Л необходимо и достаточно.
                                      ■*•“**& чтобы для всякой последовательности { х„ }, сходящейся к х₀, последовательность {/(х„)} сходилась к А.
      Т8. Если в некоторой окрестности точки х ⁼ х₁₎, кроме, может быть, самой этой точки, /(х) > <р(х), то и lim f(x) > Цщ а>(х), если эти пределы существуют и -'-На конечны.
      ШО. Вычислить Пт(х:-5х + 6). По теореме 2

lim(*! -5х + 6) = Jim-V - ]im5x + lim б = 9 4s 15 + 6 = 30. з->-3           х->-1  л-ь-3
      ПИ. Доказать, что

= 0.

      Отметим одно важное обстоятельство. Любую числовую последовательность можно рассматривать как частный случай функции, для которой аргумент принимает целочисленные значения. Поэтому все теоремы о пределах функций справедливы (при естественном изменении формулировок) и для последовательностей.

7            А    п      п
Заметим, что 0 <-----< —
7п + 3 7н

По теореме 4 (распространяя ее на случай последовательностей) получим;