Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 084861.02.99
Учебное пособие для технических институтов, посвященное специальным разделам математики: теории поля, теории аналитических функций, операционному исчислению, линейной алгебре, тензорам, вариационному исчислению, интегральным уравнениям и дополнительным вопросам обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложение ведется с позиций прикладной математики, особое внимание уделяется количественному описанию фактов. Отдельные главы, а в некоторых случаях и более мелкие разделы книги можно читать независимо. Пособие адресовано студентам, аспирантам, инженерам, преподавателям и научным работникам, специализирующимся в области технических наук. Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений.
Мышкис, А. Д. Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы : учеб. пособие / А. Д. Мышкис. - 3-е изд., доп. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 688 с. - (Математика. Прикладная математика). - ISBN 978-5-9221-0747-1. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/544653 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Предисловие к третьему изданию . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
10

Г л а в а I.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1. Понятие поля (11).
2. Скалярное поле (12).
3. Векторные линии, поток, дивергенция (13). 4. Линейный интеграл, циркуляция,
ротор (16).
§2. Оператор Гамильтона. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
18
1. Операции первого порядка (18).
2. Правила действий (20).
3. Интегральные формулы (21).
4. Операции второго порядка (22). 5. Разрывные поля (23).
§3. Специальные типы полей . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
25
1. Потенциальные поля (25). 2. Безвихревое поле в многосвязной
области (26).
3. Соленоидальные поля (28).
4. Примеры (31).
5. Ньютонов потенциал (33).
6. Построение векторного поля по
заданным ротору и дивергенции (35).

Г л а в а II.
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . .
37
§1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
§2. Дифференцирование и отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1. Производная (40).
2. Условия Коши–Римана (41).
3. Сопряженные гармонические функции (42).
4. Геометрический смысл
производной (43). 5. Конформные отображения (44). 6. Линейные
отображения (45).
7. Расширенная комплексная плоскость (46).
8. Дрoбно-линейное отображение (47).
9. Степенные отображения (50). 10. Многозначные функции и точки разветвления (52).

11. Отображение w = c

2

z + 1

z

(55).
12. Показательное и свя
занные с ним отображения (58).
13. Поверхность Римана (60).
14. Приложение к теории плоских полей (61).
15. Примеры (64).
16. Краевые задачи и конформные отображения (66).
17. Общие
замечания о конформных отображениях (69). 18. Применение метода малого параметра (72).
§3. Интегрирование и степенные ряды. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
75
1. Интеграл (75).
2. Интеграл от аналитической функции (76).
3. Ряды Лорана (78). 4. Разложение аналитической функции в ряд
Лорана (79). 5. Ряд Тейлора (82). 6. Аналитические отображения

СОДЕРЖАНИЕ

и принципы максимума (85). 7. Аналитическое продолжение (87).
8. Варианты (90).
§4. Особые точки и нули. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
94
1. Изолированные особые точки (94).
2. Полюс (95).
3. Теорема
Коши о вычетах (97).
4. Применение к несобственным интегралам (99).
5. Интегральные формулы Пуассона (107).
6. Поведение функции на бесконечности (110).
7. Логарифмические вычеты (112).
8. Теорема Руше (113).
9. Зависимость нулей от параметра (114).
10. Нули многочленов (117).
11. Результант двух
многочленов (121).
12. Мероморфные функции (122).
13. Формула Кристоффеля–Шварца (126). 14. Понятие об эллиптических
функциях (129).
§5. Асимптотические разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
1. Введение (131).
2. Свойства (133).
3. Интеграл типа Фурье (136).
4. Интеграл с параметрам в вещественном показателе (139). 5. Метод перевала (143).

Г л а в а III.
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . .
147
§1. Общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
1. Преобразование Лапласа (147).
2. Образы простых функций (149).
3. Основные свойства преобразования Лапласа (151).
4. Обратное преобразование Лапласа (154). 5. Разложение прообраза в сумму (158). 6. Численное определение прообраза (162).
§2. Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
1. Основная идея (163).
2. Обыкновенные дифференциальные
уравнения (164).
3. Разностные и дифференциально-разностные
уравнения (168).
4. Интегральные и интегро-дифференциальные
уравнения (169). 5. Уравнения с частными производными (170).
§3. Варианты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
1. Дискретное преобразование Лапласа (174).
2. Преобразование
Фурье растущих функций (176).
3. Другие интегральные преобразования на бесконечном интервале (178).
4. Интегральные
преобразования на конечном интервале (182).

Г л а в а IV.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
§1. Сопряженные отображения. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
186
1. Прямая сумма (186).
2. Инвариантные подпространства (187).
3. Сопряженные отображения (188).
4. Разложение, связанное с
сопряженными отображениями (189).
5. Отображение пространства в себя (191). 6. Самосопряженное отображение (192). 7. Экстремальное свойство собственных значений (193).
§2. Квадратичные фoрмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
1. Введение (195).
2. Закон инерции квадратичных форм (197).
3. Метод Як´oби и теорема Сильвестра (197).
4. Одновременное
приведение двух квадратичных форм к диагональному виду (199).
§3. Структура линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
1. Отображение с единственным собственным вектором (200).
2. Отображение с единственным собственным значением (203).

СОДЕРЖАНИЕ
5

3. Общий случай (204).
4. Отображение вещественного пространства (207).
5. Применение к вычислению функций от матриц (209).
6. Другое представление отображения вещественного пространства (211).
7. Структура перестановочных отображений (213).
§4. Некоторые численные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
1. Метод Гаусса (214).
2. Норма матрицы и обусловленность
системы (216).
3. Метод улучшения невязки (218).
4. Спектр
симметрической матрицы (219).
5. Метод Якоби (220).
6. Вычисление старшего собственного значения путем итераций (221).
7. Вычисление
последующих
собственных
значений
(223).
8. Матрицы с неотрицательными элементами (224).
9. Метод
А. Н. Крылова
(226).
10. Метод
малого
параметра
(226).
11. Метод непрерывного продолжения (227).
§5. Задачи линейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
1. Основная задача (230).
2. Примеры (231).
3. Геометрические
замечания (232). 4. Геометрический смысл основной задачи (235).
5. Стандартный вид основной задачи (236).
6. Метод последовательного улучшения решения (238). 7. Приложение к матричным
играм (241). 8. Варианты (248).

Г л а в а V.
ТЕНЗОРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
§1. Тензорная алгебра. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
252
1. Примеры (252).
2. Евклидовы
тензоры,
общее
определение (254).
3. Действия
над
тензорами (255).
4. Тензоры
2-го ранга (257).
5. Примеры из механики (258).
6. Общие
аффинные тензоры (260).
7. Аффинные тензоры в евклидовом
пространстве (262).
8. Индефинитные метрические формы (264).
9. Замечание о размерностях (266).
§2. Тензорные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
1. Поле евклидова тензора (267). 2. Поступательный перенос вектора в криволинейных координатах (269).
3. Ковариантное дифференцирование (272).
4. Поле на многообразии евклидова пространства (275).
5. Внутренняя геометрия и римановы пространства (277).

Г л а в а VI.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . .
281
§1. Первая вариация и необходимые условия экстремума . . . . . . . . .
281
1. Примеры задач вариационного исчисления (281).
2. Функционал (284).
3. Функциональные пространства (285).
4. Вариация
функционала (289). 5. Уточнение (292). 6. Необходимое условие
экстремума (294). 7. Уравнение Эйлера (295). 8. Примеры (298).
9. Функционалы
с
производными
высшего
порядка
(300).
10. Функционалы от нескольких функций (301). 11. Функционалы
от
функций
нескольких
переменных
(303).
12. Условный
экстремум
с
интегральными
связями
(305).
13. Условный
экстремум с конечными или дифференциальными связями (308).
14. Задачи, сводящиеся к задаче Лагранжа (311).
15. Задачи
с
подвижными
концами
на
плоскости (312).
16. Условия

СОДЕРЖАНИЕ

трансверсальности (314).
17. Задачи с подвижными концами
в
пространстве (316).
18. Трансверсальность
для
функций
нескольких переменных (318). 19. Высвобождающие связи (320).
20. Разрывные задачи (321).
§2. Вторая вариация и достаточные условия экстремума. . . . . . . . . .
324
1. Вариации высших порядков (324).
2. Условия экстремума в
терминах второй вариации (326).
3. Необходимые условия Лежандра (327).
4. Квадратичный функционал (328).
5. Условия
Якоби (331).
6. Геодезические линии (334).
7. Условия сильного
экстремума (337).
8. Вариационная теория собственных значений (338).
9. О существовании минимума (343).
10. Основное
условие минимума (345).
11. Зависимость собственных значений
от функционала (348).
§3. Канонические уравнения и вариационные принципы . . . .. . . . . . .
350
1. Канонические уравнения (350).
2. Первые интегралы (352).
3. Канонические преобразования (353).
4. Контактные преобразования (355).
5. Теорема Нётер (357).
6. Случай функций
нескольких переменных (360).
7. Уравнение Гамильтона–Якоби (361).
8. Плоскость Лобачевского (364).
9. Вариационные
принципы (366).
10. Принцип Гамильтона в простейшем случае (368). 11. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом
степеней cвободы (370).
12. Принцип Гамильтона для сплошных
сред. Струна (373). 13. Стержень и пластинка (376). 14. Общая
схема вариационного подхода к физическим полям (379). 15. Уравнения движения упругой среды (382).
16. Диссипативные системы (384).
17. Принцип минимума потенциальной энергии (385).
18. Примеры (387). 19. Запас устойчивости (389). 20. Вариационные принципы в конформных отображениях (391).
§4. Прямые методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392
1. Метод Ритца для квадратичного функционала (393). 2. Применение к решению краевых задач (399).
3. Метод счетного множества переменных (400).
4. Метод Ритца для функционалов от
функций нескольких переменных (402). 5. Метод Трефтца (406).
6. Метод Ритца для собственных значений (408). 7. Метод Ритца
для неквадратичных функционалов (410).
8. Метод наименьших
квадратов (413).
9. Метод Канторовича (414).
10. Метод Эйлера (416).

Г л а в а VII.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . .
419

§1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
419
1. Примеры (419).
2. Основные классы интегральных уравнений (421). 3. Еще о пространстве Гильберта (423).
§2. Теория Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
424
1. Уравнения
с
вырожденными
ядрами
(424).
2. Общий
случай (430). 3. Применение бесконечных систем алгебраических
уравнений
(434).
4. Применение
численного
интегрирования (437).
5. Уравнения с малыми ядрами (441).
6. Принцип
сжимающих
отображений (444).
7. Возмущение
ядра (447).
8. Характер
решений
(449).
9. Уравнения
Вольтерра
2-го

СОДЕРЖАНИЕ
7

рода (450).
10. Уравнения
со
слабой
особенностью (452).
11. Уравнения
с
вполне
непрерывными
операторами
(454).
12. Уравнения с положительными ядрами (456).
§3. Уравнения с симметричными ядрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
457
1. Аналогия с конечномерными уравнениями (457). 2. Разложение
ядра по собственным функциям (458). 3. Следствия (460). 4. Переход от несимметричного ядра к симметричному (464). 5. Экстремальное свойство характеристических чисел (466). 6. Уравнения с
самосопряженными операторами (469).
§4. Некоторые специальные классы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .
472
1. Уравнения Вольтерра 1-го рода (472). 2. Уравнения Фредгольма
1-го рода с симметричным ядром (475).
3. Понятие о некорректных задачах (477).
4. Уравнения Фредгольма 1-го рода, общий случай (477).
5. Применение производящих функций (480).
6. Уравнение Вольтерра с разностным ядром (484).
7. Уравнение
Фредгольма с разностным ядром на оси (486). 8. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси (492).
§5. Сингулярные интегральные уравнения . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
496
1. Сингулярные интегралы (496).
2. Формулы обращения (499).
3. Непосредственное применение формул обращения (501). 4. Переход к краевой задаче, простой пример (503). 5. Общий замкнутый контур (506). 6. Незамкнутый контур (510). 7. Приведение к
бесконечной системе алгeбрaичеcких уравнений (512).
§6. Нелинейные интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
514
1. Переход к
конечным
уравнениям (514).
2. Метод
итераций (516).
3. Метод малого параметра (518).
4. Применение
теории
симметричных
ядер
(520).
5. Применение
теории
неподвижных
точек (521).
6. Вариационные
методы (524).
7. Уравнения с параметром (525). 8. Разветвление решений (526).

Г л а в а VIII.
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
531

§1. Линейные уравнения и системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
531
1. Общие
свойства (531).
2. Периодические
системы (536).
3. Уравнение Хилла (538).
4. Параметрический резонанс (543).
5. Гамильтоновы системы (544).
6. Неоднородные системы (546).
7. Почти-периодические
функции
(549).
8. Aсимптотическое
разложение решений при t → ∞ (551).
9. Еще об асимптотическом поведении решений (554).
10. Осцилляция решений
уравнений второго порядка (557).
11. Системы, зависящие от
параметра (561). 12. Точки поворота (564).
§2. Автономные системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
567
1. Общие
понятия (567).
2. Предельное
поведение
траекторий (568). 3. Точки покоя на плоскости, линейные системы (570).
4. Общий случай (574).
5. Циклы на плоскости (576).
6. Вращение векторного поля (579).
7. Точки покоя в пространстве (583).
8. Циклы
в
пространстве (585).
9. Структурно
устойчивые
системы (588).
10. Разрывные системы (589).
11. Системы на

СОДЕРЖАНИЕ

многообразиях (592).
12. Системы с интегральным инвариантом (594). 13. Эргодичность (596).
§3. Устойчивость решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
600
1. Введение (600). 2. Уравнения первого порядка (601). 3. Метод
функций Ляпунова (603).
4. Устойчивость по первому приближению (607).
5. Особые случаи (611).
6. Специальные классы
механических систем (617).
7. Системы автоматического регулирования (623). 8. Техническая устойчивость (628).
§4. Нелинейные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
629
1. Введение (629). 2. Свободные колебания автономной консервативной системы с одной степенью свободы (636). 3. Вынужденные
колебания системы с малой нелинейностью, основной случай (641).
4. Особые случаи (643).
5. Субгармонические колебания (648).
6. Еще о вынужденных колебаниях (649). 7. Автоколебания (651).
8. Релаксационные колебания (654).
9. Пограничный слой (657).
10. Непериодические колебания (659).
11. Асимптотические разложения по Н. M. Крылову–Н.Н. Боголюбову (665).
12. Системы
с дискретным временем (668).
Литературa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
672
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
678
Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
687

Предисловие к первому изданию

Эта книга представляет собой пособие по специальным главам
курса математики для инженерно-технических специальностей высших
учебных заведений, написанное с единых позиций современной прикладной математики, какими их понимает автор. Книга предназначается в основном для студентов старших курсов высших технических
учебных заведений и инженеров различных специальностей, но она может быть полезной также физикам и другим специалистам, имеющим
дело c прикладной математикой. Книга основана на курсах лекций,
прочитанных автором в разные годы, и рассчитана как на аудиторное
обучение, так и на самообразование.
По стилю изложения книга близка к «Лекциям по высшей математикe» (третье издание, издательство «Наука», 1969 г.; в дальнейшем
будет именоваться «ЛВМ») того же автора и может рассматриваться
как их продолжение, хотя и читается независимо. Она опирается на
общий курс математики (этим объясняется ее название) и имеет целью
развить и укрепить отвечающие современной прикладной математике взгляды на основные математические понятия и факты, а также
облегчить применение математики к специальным дисциплинам. Значительное внимание обращается на развитие правильной интуиции и
возможно больший показ работающего аппарата, тогда как формальная полнота формулировок и доказательств не является самоцелью.
(Поэтому хочется специально подчеркнуть, что эта книга не может
обучить доказательству теорем на уровне «чистой» математики, она
имеет совсем другое назначение.)
По каждому из освещаемых разделов систематически излагается
некоторый необходимый минимум — основные понятия и идеи, представление об области приложений и т. п. За дальнейшими сведениями
и деталями читатель отсылается к дополнительной литературе, список
которой приведен в конце книги; ссылки на этот список обозначаются
номерами в квадратных скобках. При выборе этих разделов, в значительной мере условном, автор в некоторой степени ориентировался на
официальную программу 1969 г. спецкурсов математики для втузов.
Отдельные главы, а в некоторых случаях и более мелкие разделы
книги можно читать более или менее независимо, в соответствии
c потребностью. Примеры, а также материал, который при первом
чтении можно опустить, напечатаны петитом. Для облегчения чтения
материал, уже освещенный в ЛВМ, в необходимых случаях кратко
напоминается. Этой же цели должен служить подробный алфавитный
указатель, помещенный в конце книги; с его помощью легко разыскать разъяснение встретившегося непонятного термина. В целом стоит
отметить, что данная книга написана более сжато, чем ЛВМ, и не
рассчитана на быстрое чтение.
В каждой главе параграфы, в каждом параграфе пункты и формулы
нумеруются подряд, начиная с первого номера. При ссылках номер´а

Предисловие к третьему изданию

текущих главы и параграфа не упоминаются: например, в тексте § 3
гл. IV выражение «формула (2)» означает «формула (2) § 3 гл. IV», выражение «формула (1.2)» означает «формула (2) § 1 гл. IV», а «формула
(III.4.2)» означает «формула (2) § 4 гл. III».
Содержание книги ясно из подробного оглавления. Из-за недостатка
места за ее пределами остался ряд важнейших в современной прикладной математике разделов, таких, как математическая физика, элементы функционального анализа с приложением к теории численных
методов, дополнительные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и т. д. Конечно, хорошо бы написать продолжение,
содержащее указанные разделы, но трудно сказать, удастся ли это
осуществить...
Первоначальный
текст
рукописи
был
переработан
на
основе
замечаний
Р. С. Гутера,
Н. Д. Копачевского,
М. А. Красносельского,
А. Д. Тюпцова, а также коллектива преподавателей кафедры высшей
математики МИХМ, в частности Г. Л. Лунца и А. Г. Младова. Всем
этим моим товарищам я рад выразить свою глубокую признательность.

А. Д. Мышкис
1 октября 1969 г.

Предисловие к третьему изданию

Второе издание этой книги, вышедшее в 2002 г., отличалось от
первого только своим переплетом. В настоящее, третье издание не
только внесены некоторые исправления и уточнения, но и включены
небольшие добавления (в частности, в гл. I и II), чтобы чтение этой
книги по возможности не требовало привлечения других источников.

Г л а в а I

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Основные понятия теории скалярных и векторных полей (производная по направлению и градиент, векторные линии и поток, дивергенция, циркуляция и ротор) входят в общий курс математики; см.,
например, ЛВМ, пп. IX.9, XII.1, 2, 4, XVI.21–27 (там же приведены
примеры физических полей, встречающихся в реальных исследованиях). Здесь мы коротко напомним эти понятия и продолжим изложение
теории. Дальнейшие сведения см., например, в книгах [15, 53].

§1. Введение

1. Понятие поля. Говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины, если в каждой точке пространства или некоторой
его области определено значение этой величины. Например, при рассмотрении потока газа приходится исследовать температурное поле,
поле плотностей, поле скоростей и т. д. Поле может быть скалярным
или векторным в зависимости от характера исследуемой величины:
например, поля температур или плотностей — скалярные, а поля
скоростей или сил — векторные. Поле может быть стационарным
(установившимся), если в каждой точке пространства оно не меняется
с течением времени, или нестационарным (неустановившимся), если
такое изменение имеет место.
Обозначим величину (для определенности, скалярную), образующую поле, буквой u, а произвольную точку пространства буквой M.
Тогда каждому положению точки M отвечает значение величины u,
т. е. u является функцией точки M, u = f(M). Если поле нестационарное, то u = f(M, t).
Если в пространство ввести координаты, то функция точки превращается в функцию координат. Например, если это декартовы координаты x, y, z, то u(M) = u(x, y, z), где x, y, z — координаты точки
M. (Обратно, при заданной системе координат любую функцию от них
можно рассматривать как функцию точки.) Однако поле u = f(M) как

Гл. I. Теория поля

функция точки u = f(M) имеет смысл и может быть исследовано без
всяких систем координат. Кроме того, если вводить системы координат
различным способом, то выражение одного и того же поля через
координаты получится, как правило, различным. Таким образом, при
рассмотрении поля функция точки является первичной по отношению
к функции координат этой точки.
Если исследуемая величина u по своему смыслу задана в плоскости,
то соответствующее поле называется плоским. Такие поля получаются,
например, при рассмотрении тепловых процессов в пластинке, толщиной которой мы пренебрегаем. Если поле пространственное, но в
некоторой декартовой системе координат x, y, z оно не зависит от z,
то это поле называется плоскопараллельным. В таких случаях часто
бывает возможно отвлечся от координаты z, т. е. исследовать поле как
плоское.
2. Скалярное поле.
Пусть в пространстве задано стационарное
поле скалярной величины u. (Для нестационарного поля дальнейшие
рассмотрения надо проводить в любой, но фиксированный момент времени.) Пусть, кромe того, в пространстве задана точка M, из которой
по некоторому направлению l выходит линия (L). Тогда производной
от u по этому направлению в точке M называется скорость изменения
поля (в расчете на единицу длины пройденного пути), когда точка,
выходя из M, проходит бесконечно малый путь по линии (L):

∂u
∂l = lim
N→M
u(N) − u(M)

| ⌣ MN|
,

где N — точка линии L. Легко выводится формула
∂u
∂l = gradl u,
(1)

где в правой части стоит проекция вектора gradu, взятого в точке M,
на направление l. Здесь gradu — градиент поля u, вычисляемый в
декартовых координатах по формуле

gradu = ∂u

∂x i + ∂u

∂y j + ∂u

∂z k.
(2)

Из формулы (1) видно, что производная ∂u/∂l не зависит от
конкретной линии L, а определяется полем u, выбором точки M и
направления l. Из (1) следует также, что в каждой точке M вектор
gradu указывает направление, по которому поле возрастает быстрее
всего, причем скорость этого возрастания равна модулю этого вектора.
Отсюда, в свою очередь, вытекает, что хотя определение (2) градиента «привязано» к конкретной системе координат, в действительности
градиент скалярного поля не зависит от выбора этой системы — он
образует векторное поле, однозначно определенное исходным полем u.
Покажем применение градиента к вычислению скорости изменения
скалярного поля вдоль траектории. Пусть задано скалярное поле

§1. Введение
13

u, вообще говоря, нестационарное, т. е. u = u(M, t). Пусть, далее,
задан закон движения M = M(t) некоторой малой частицы. Значение
u в M в процессе движения представляет собой сложную функцию
времени: u = u(M(t), t). Скорость изменения этого значения, в расчете
на единицу времени, равна

du
dt = gradu · v + ∂u

∂t ,
(3)

где v — скорость движения частицы. Здесь левая часть называется
полной производной по времени. Первое слагаемое в правой части называется переносной (конвективной скоростью, а второе — местной
(локальной). Реальный смысл этих слагаемых очевиден.
Градиент стационарного скалярного поля u непосредственно связан
с поверхностями уровня этого поля, на которых оно имеет одинаковое значение u(M) = const; в зависимости от физического смысла
поля они называются изотермическими, эквипотенциальными и т. п.
поверхностями. А именно, в каждой точке M0 вектор gradu нормален
(т. е. перпендикулярен касательной плоскости) к поверхности уровня
u(M) = u(M0), проходящей через эту точку.
Все сказанное в этом пункте непосредственно распространяется
на скалярные поля, определенные в евклидовом пространстве любой
размерности; естественно изменяется только формула (2). Для случая
плоского поля надо говорить не о поверхностях, а о линиях уровня.

3. Векторные линии, поток, дивергенция. Будем рассматривать
стационарное векторное поле A = A(M) в пространстве. Характерными физическими примерами таких полей могут служить поле скоростей
v или поле массовых скоростей ρv (ρ — плотность) для потока
жидкости или газа, поле сил, поле электрической или магнитной напряженности и т. д.
Векторной линией поля A называется линия (L), в каждой точке
которой вектор поля, отвечающий этой точке, касается (L); другими
словами, это — линия, идущая в каждой своей точке вдоль поля и
ориентированная в соответствии с направлением касающихся ее векторов поля. В зависимости от физического смысла поля векторная линия
может называться линией тока для поля скоростей, силовой линией
для поля сил и т. д.
Если ввести в пространство декартовы координаты x, y, z, то можно
представить поле A в виде

A = A(x, y, z) = Ax(x, y, z)i + Ax(x, y, z)j + Ax(x, y, z)k
(4)

и записать систему дифференциальных уравнений для построения векторных линий этого поля в симметричном виде:

dx

Ax(x, y, z) =
dy

Ay(x/y/z) =
dz

Az(x, y, z).

Гл. I. Теория поля

Для плоского поля вместо этой системы получаем дифференциальное
уравнение
dx

Ax(x, y) =
dy

Ay(x/y).

Из теории дифференциальных уравнений известно, что через каждую
неособую точку проходит ровно одна интегральная линия, т. е. векторная линия поля, а вблизи такой точки эти линии напоминают совокупность параллельных отрезков, несколько искривленных. Вблизи
особой точки (например, такой, в которой все знаменатели обращаются
в нуль) семейство векторных линий может иметь очень сложный вид.
Пусть теперь в пространстве, в котором задано поле вектора A,
выбрана ориентированная замкнутая или незамкнутая поверхность (σ)
(ориентированность означает указание наружной и внутренней сторон). Потоком вектора A через поверхность (σ) называется интеграл
по поверхности
Q =
(σ)

Andσ,

где An — проекция вектора A на внешнюю нормаль n к (σ). Выражение для потока можно преобразовать к виду

Q =
(σ)

A · dσ =
(σ)

(Ax(x, y, z)dσx + Ay(x, y, z)dσy + Az(x, y, z)dσz) .

Здесь в первом слагаемом в правой части надо подставить выражение
x = x(y, z) для (σ), a dσx заменить на sgn (i · n)dy dz и аналогично надо
преобразовать два других слагаемых.
Физический смысл потока зависит от физического смысла поля A.
Так, для поля скоростей газа поток равен объему газа, проносимого
через воображаемую поверхность (σ) изнутри наружу за единицу времени. Для поля массовых скоростей вместо объема получается масса
газа и т. д. Поток поля A через поверхность (σ) иначе называется
количеством векторных линий этого поля, пересекающих (σ) изнутри
наружу. Это «количество» понимается в алгебраическом смысле: если
одна часть (σ) пересекается векторными линиями изнутри наружу,
а другая часть — снaружи внутрь, то общее количество векторных
линий, пересекающих (σ) изнутри наружу может быть любого знака
или равным нулю в завиcимости от того, какую часть пересекает
больше линий.
Пусть теперь в пространстве, где задано поле A, выбрана некотoрая
область (Ω), ограниченная поверхностью (σ), которую будем считать
ориентированной так, что (Ω) прилегает к ее внутренней стороне.

Тогда поток Q =
(σ)

A · dσ вектора A через (σ) называется обильно
стью источника векторных линий в (Ω) (источник с отрицательной

§1. Введение
15

обильностью называется также стоком). Представление о векторных
линиях. начинающихся в (Ω), оправдывается тем, что если область (Ω)
разбита на несколько областей (Ω1), ... , (Ωk), то поток поля A через
поверхность области (Ω) равен сумме аналогичных потоков, взятых
для каждой из областей (Ω1), ... , (Ωk).
Из предыдущего абзаца следует, что обильность источника векторных линий представляет собой величину, распределенную в пространстве. Поэтому можно говорить не только о средней плотности источника Q/Ω (под Ω понимается объем области (Ω)), но и о плотности
источника в любой точке M пространства, равной

lim
(∆Ω)→M
∆Q
∆Ω =
lim
(∆Ω)→M





(∆σ)

A · dσ/∆Ω




 ,
(5)

где под (∆Ω) понимается малая область, содержащая точку M, а под
(∆σ) — ее поверхность. Эта плотность источника называется дивергенцией (расходимостью) векторного поля A и обозначается div A. Таким
образом, дивергенция векторного поля — это количество векторных
линий, начинающихся в бесконечно малом объеме, отнесенное к единице этого объема. Дивергенция векторного поля образует скалярное
поле.
Формулу (5) можно записать в виде div A = dQ

dΩ , т. е. dQ =
= div A dΩ. Получилось выражение для количества векторных линий,
начинающихся в элементарном объеме (dΩ). Произведя суммирование,
получаем выражение для количества векторных линий, начинающихся
в конечной области (Ω):
(σ)

A · dσ =
(Ω)

div A dΩ,
(6)

где (σ) — поверхность области (Ω). Эта важная формула называется
формулой Остроградского.
Физический смысл дивергенции векторного поля зависит от физического смысла этого поля. Так, если рассматривается поле скоростей
v при течении газа, то div v равна скорости относительного увеличения
бесконечно малого объема в процессе движения: в зоне расширения
дивергенция положительна, в зоне сжатия она отрицательна, а если объем не меняется, то она равна нулю. Для массовой скорости
ρv дивергенция равна плотности источника масс. Если массы малых
частиц газа не меняются в процессе его движения, то div ρv = 0;
это уравнение неразрывности. Для поля электрической напряженности дивергенция пропорциональна плотности распределенных зарядов
и т. д.
Если поле A имеет источники векторных линий, распределенные
по поверхностям или линиям или даже сосредоточенные в отдельных

Гл. I. Теория поля

точках, то для сохранения справедливости формулы (6) в ее правую
часть надо добавить интегралы, взятые по соответствующим поверхностям или линиям, а также отдельные слагаемые. Отметим еще, что
определение (5) дивергенции и формула Остроградского (6) естественно преобразуются для рассмотрения плоских векторных полей.
Напомним простую формулу для вычисления дивергенции в декартовых координатах: если поле A задано в виде (4), то

div A = ∂Ax

∂x + ∂Ay

∂y + ∂Az

∂z .
(7)

В некоторых простых случаях удается найти дивергенцию непосредственно, опираясь на ее определение. В качестве примера найдем
дивергенцию центрально-симметричного поля A = f(r)r0. Поток этого поля через сферу радиуса r с центром в начале координат изнутри
наружу равен f(r) · 4πr2. Значит, в слое между такими сферами радиусов r и r + dr начинается d(4πr2f(r)) векторных линий поля. Так как
дивергенция поля во всех точках упомянутого слоя одинакова, то

div A = d(4πr2f(r))

4πr2dr
= r−2 d(r2f(r))

dr
.

Мы видим, в частности, что дивергенция тождественно равна нулю
вне начала координат, когда f(r) ≡ Cr−2 (C = const). Для такого
поля поток через рассмотренные сферы равен πr2 · Cr−2 = 4πC, т. е.
рассматриваемое поле имеет источник векторных линий обильности
4πC в начале координат и сток такой же обильности на бесконечности,
т. е. div A = 4πCδ(r), где δ — дельта-функция в пространстве. Такими
являются гравитационное поле от точечной массы и электростатическое поле от точечного заряда.

4. Линейный интеграл, циркуляция, ротор. Пусть в пространстве, в котором задано поле вектора A, выбрана ориентированная
линия (L), т. е. линия, для которой указано направление ее обхода.
Тогда линейным интегралом вектора A по линии (L) называется
интеграл
I =
(L)

AτdL,
(8)

где Aτ — проекция вектора A на касательную к (L), проведенную в
направлении обхода. Этот интеграл можно записать также в виде

I =
(L)

A · dr =
(L)

(Axdx + Aydy + Azdz) .
(9)

Линейный интеграл обладает свойствами обычных интегралов; при
перемене ориентации линии (L) он множится на −1.