Метод ортогонализации и некоторые аспекты его применения в технике

УДК 517.5

А.Н. ДЕГТЯРЕВ (Севастополь, СевНТУ)

МЕТОД ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ И НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В 
ТЕХНИКЕ

Введение. В теории и практике инженерной деятельности решение многих задач упро
щается, если исследуемые величины представляются в виде функциональных рядов. Доказано, что если данные ряды являются обобщенными рядами Фурье, то ошибку аппроксимации 
можно сделать сколь угодно малой. Часто необходимо составить такой ряд, чтобы при заданной заранее погрешности аппроксимации его конечная сумма содержала бы минимальное 
количество слагаемых. Известно, что базисные функции, по которым раскладывается исследуемая величина, в этом случае должны быть с ней связаны [1], [2]. Подобные базисные 
функции получили название экспериментального базиса. В работе [1] доказывается, что быструю сходимость рядов обеспечивает разложение Карунена-Лоева-Пугачева (К-Л-Празложение). Однако практическое применение К-Л-П-разложения затруднено, поскольку в 
общем случае определить базис можно только для стационарных случайных процессов с 
дробно-рациональным спектром [2]. В настоящее время широкое распространение находит 
вейвлет-анализ, обусловивший использование базисных функций – вейвлетов, «похожих» на 
исследуемую величину. Основным недостатком вейвлетов является то, что во многих случаях они не являются ортогональными функциями, и строгое доказательство сходимости соответствующего ряда встречает определенные трудности. Известная теорема ортогонализации 
Грамма-Шмидта приводит к искажению формы базисных функций, что почти всегда нежелательно. 

Представляется актуальным разработать метод получения систем ортогональных функ
ций, свободный от недостатков, присущих К-Л-П-разложению и вейвлет-анализу, и рассмотреть некоторые аспекты его технического применения.

Требования, предъявляемые к базисным функциям [3]. Координатные функции 
)
(t
n

в общем случае ортогональны с весовой функцией 
)
(t
h
. Средняя квадратическая ошибка 

(СКО) представления случайного процесса
)
(t
x
усеченным рядом по 
)
(t
n
запишется в виде

T
N

k

k
k
t
t
h
t
y
t
x
I

0

2

1

d
)
(
])
(
)
(
[
M
,     
(1)

где 
...
M
– оператор математического ожидания, 
ky –случайные величины, равные

T

k
k
t
t
h
t
t
x
y

0

d
)
(
)
(
)
(
.

С учетом ортогональности 
)
(t
k
с весовой функцией 
)
(t
h
и того, что 
)
(
)
(
)
(
M
t
D
t
x
t
x
x
и 

)
,
(
)
(
)
(
M
t
R
x
t
x
x
– соответственно дисперсия и корреляционная функция процесса 
)
(t
x
, а 

2
M
nk
n
k y
y
– коэффициенты корреляций величин 
ky и 
ny получаем

T
N

k

k
kk

T

k
x

N

k

k
x
t
t
t
h
h
t
R
t
t
h
t
h
t
D
I

0
1

2
2

0
1

d
)
(
)
(
d
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
. 
(2)

Функционал (2) достигает минимума, если 
)
(t
k
удовлетворяют уравнению

)
(
d
)
(
)
(
)
,
(
2

0

t
h
t
R
k
kk

T

k
x
,                      
(3)

где 
2
kk – дисперсии коэффициентов разложения 
ky процесса
)
(t
x
по функциям 
)
(t
k
.

СКО 
2
a аппроксимации случайного процесса усеченным рядом по 
)
(t
k
определяется как:

.
d
)
(
)
(
)
(
M

1

2

0

2

0

2

N
n

nn

T
N

n

n
n
a
t
t
h
t
y
t
x

Выбор базисных функций [3]. Если                                         

0

)
(
)
(

k

k
k
t
y
t
x
(4)

является эргодическим случайным процессом,  то 

,)
(
d
)
(
)
(
)
(
)
,
(

0
0
k
n

kn
n
k
x
x
R
y
y
t
t
x
t
x
R
t
R
(5)

где 
t
t
t
R
n
k
kn
d
)
(
)
(
)
(
.

Преобразование Фурье от обеих частей равенства (5) дает

0
0

)
(
)
(
j

0
0

*

)
(
)
(
)
j(
)
j(
)
(

k
n

n
k
n
k

k
n

n
k
n
k

n
k
e
F
F
y
y
F
F
y
y
,   
(6)

где 
)
(
– энергетический спектр 
)
(t
x
, 

)
(
j
)
(
)
j(
i
e
F
F
i
i
– спектральная плотность базисной 

функции 
)
(t
i
, 
)
(
iF
и 
)
(
i
– соответственно ее модуль и аргумент, 
)
j(

*

iF
– функция, ком
плексно сопряженная с 
)
j(
iF
.

Уравнение (6) разбивается на два уравнения: 

.0
)
(
)
(
sin
)
(
)
(

),
(
)
(
)
(
cos
)
(
)
(

0
0

0
0

k
n

n
k
n
k
n
k

k
n

n
k
n
k
n
k

F
F
y
y

F
F
y
y

(7)

Поскольку правая часть первого уравнения в (7) отлична от нуля, то хотя бы одно сла
гаемое в нем не равно нулю. Положим, что в (7) отличны от нуля только слагаемые, для которых 
n
k
.

Тогда из первого уравнения системы (7) получаем

)
(
)
(

0

2
2

k

k
k F
y
.             
(8)

Примем 
)
(
)
(
F
Fk
, и из (8) имеем:

)
(
)
(

0

2
2

k

k
y
F
,          
(9)

и                                             
)
(
)
(
F
,            
(10)

1

0

2

k

ky
.           
(11)

Во множестве функций, обладающих модулем (10) существует минимально-фазовая 

функция [3]. Примем минимально-фазовую функцию 
)
j(
0
F
в качестве спектральной плот
ности функции 
)
(
0 t . Остальные функции базиса получим путем смещения  
)
(
0 t на величи
ну n :

)
(
)
(
0
n
t
t
n
.                
(12)

Сформированную таким образом систему функций будем называть базисом с минималь
но-фазовым спектром (МФС-базисом).

Из выражений (6) и (11) следует, что 
k
y
некоррелированы между собой.

Представим 
)
(t
x
в виде ряда (4) по координатным функциям МФС-базиса. При условии, 

что
k
y
некоррелированы, получим корреляционную функцию процесса 
)
(t
x
:

.)
(
)
(
)
(
)
(
M
)
(
)
(
M
)
,
(

0

2

0
0
k

k
k
k

k

k
k

k

k
k
x
t
y
t
y
x
t
x
t
R
(13)

Подставляя (13) в (3),  получаем 

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
2

0
0

2

0

t
d
h
t
d
h
t
R
n
n

T

n

k

k
k
k

T

n
x
.

Таким образом, функции, составляющие МФС-базис, являются собственными функция
ми уравнения (3), а дисперсии коэффициентов разложения случайного процесса 
)
(t
x
по дан
ному базису обратно пропорциональны собственным числам данного уравнения.

Определение весовой функции МФС-базиса [4]. Условия ортогональности N функций 

)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
t
t
N
с весом 
)
(t
h
имеет вид 

,
,0

,
,1
d
)
(
)
(
)
(

2

1
j
i

j
i
t
t
h
t
t

t

t

j
i
(14)

где 
)
,
(
2
1 t
t
– интервал выполнения условий ортогональности (14).

Теорема 1 [4]. Пусть заданы системы линейно независимых функций 
)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
t
t
N
и 

)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
l
t
l
t
l
k
, тогда, если 
2

)1
(N
N
k
– количество уравнений в системе           

,1
d
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(
d
)
(
)
(

......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........

,0
d
)
(
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(
)
(
d
)
(
)
(
)
(

,1
d
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(
d
)
(
)
(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2
1

2

1

2
1
2
2
1
2
1
2
1
1

2
1
2

2
1
2
1

2
1
1

t

t

k
N
k

t

t

N

t

t

N

t

t

k
k

t

t

t

t

t

t

k
k

t

t

t

t

t
t
l
t
b
t
t
l
t
b
t
t
l
t
b

t
t
l
t
t
b
t
t
l
t
t
b
t
t
l
t
t
b

t
t
l
t
b
t
t
l
t
b
t
t
l
t
b

которая имеет решение относительно 
ib , то функция 

k

i

i
i
t
l
b
t
h

1

)
(
)
(
, является весом ортого
нальности функций 
)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
t
t
N
.

Потребуем, чтобы энергия веса 

2

1

d
)
(
2

t

t

t
t
h
была минимальной.  

Теорема 2 [4]. Вес, оптимальный по условию минимума энергии, представляет собой 

квадратичную форму от ортогонализуемых функций:

n
m

m
n
nm
t
t
t
h
)
(
)
(
)
(
,
(15)

где 
nm определяются после подстановки (15) в условия ортогональности (14).
Доказательство данной теоремы сводится к определению минимума энергии веса при 

условиях (15).

Функции МФС-базиса являются эквидистантными: 
)
(
)
(
i
t
t
i
, где 
– постоянная 

величина, 
,...
2,1,0
i
. Тогда весовая функция с минимальной энергией имеет вид периодиче
ской функции с периодом α [4]:

n
n

m
n
n
m
n
n

n

n
n

n

n
t
t
t
t
t
t
t

t
t
t
t
t
t
t
t
h

...
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(

2
2
1
1

2

0

2
2
0
2
1
1

2
1
0
1
0
1

2
0
0

Скорость сходимости рядов, составленных из координатных функций МФС
базисов [5]. Пусть детерминированная функция 
)
(t
f
, имеющая спектральную плотность 

)
j(
, раскладывается в ряд по МФС-базису:

n

n

n

n
n
n
t
a
t
a
t
f
)
(
)
(
)
(
0
,                                          (16)

где 
t
t
h
n
t
t
f
an
d
)
(
)
(
)
(
0
, 

и                                    

n

n

n
a
F
j

0
e
)
j(
)
j(
.             
(17)

Тогда                        

n

n

n

G
a
j
)}
j(
arg{
j
e
e
,
1
2

n

n
a
,            
(18)

где 
)
j(

)
j(
)
j(

0
F
G
.

Определение 1 [5]. Количеством степеней свободы функции 
)
(t
f
будем называть эф
фективное количество коэффициентов ряда (слагаемых) (16):

n

n

n

n

n

n

a
n

a

a
n

N
2
2

2

2
2

.                  
(19)

Известно, что если функция имеет непрерывную вторую производную, то коэффициенты 

ее ряда Фурье 
n
a таковы, что 
2
n

C
an
( С – максимальное значение модуля второй производ
ной данной функции) [6].

Первое выражение в (18) является рядом Фурье функции
)}
j(
arg{
je
G
. Введем обозначение 

)}
j(
arg{
)
(
G
и найдем условия, при которых модуль второй производной 

2
4
)
(
j

2

2

)
(''
)
('
e

d

d
.         
(20)

функции 
)
(
je
максимален.

Выражение (20) имеет экстремум, если 

0
)
(''
,              
(21)

или                                       
0
)
(''
)
('
2
4
,       
(22)

или                                 
0
)
('''
)
('
2
3
.                                 
(23)

С учетом нечетности функции
)
(
получим решения дифференциальных уравнений 

(21), (22) и (23)  соответственно

1
)
(
С
,         
(24)

0
)
(
2
С
,                    
(25)

)
2
sin(
)
(
6
1

3
С
,        
(26)

где 
i
С – постоянные интегрирования.
Для того, чтобы уяснить физический смысл постоянных интегрирования, рассмотрим 

графики функции 
)}]
(
arctg[tg{
)
(
, где 
)
(
определяется выражениями (24) – (26). Гра
фики 
)
(
при 
1
)
(
С
и 
15
1
C
,
5
1
C
показаны на  рисунках 1, а) и б) соответственно. 

Из рисунка 1 видно, что 
1
C
равно количеству точек разрыва функции 
)
(
на интервале 

2
,
2
. Данный случай соответствует функции 
)
(t
f
, имеющей спектральную плотность ви
да

1
jC

0

j

0
)
j(
e
)
j(
)
j(
e
F
a
F

n

n

n
,        
(27)

т.е. ряд (17) состоит из одного слагаемого, причем 
k
C1
, где k – целое число, коэффициент 

1
k
a
. 

1.5
1
0.5
0.5
1
1.5

w

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

15 w

1.5
1
0.5
0.5
1
1.5

w

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

5 w

а)                                 
б)

Рисунок 1 – Графики функции 
)}]
(
arctg[tg{
)
(
для: а) 
15
1
C
; б) 
5
1
C

Если 
0
)
(
2
С
, то ряд (17) состоит из одного слагаемого – самой функции 
)
j(
.

Если 
)
2
sin(
)
(
6
1

3
С
, то выражения (20), принимает вид

6
1

2
2
3

6
1

4
4
3

3
1

)
(
j

2

2

2
sin
2
cos
2
e

d

d
C
C
.          
(28)

Выражение (28) представляет собой периодическую функцию, максимальное значение 

которой равно

2
3

3
1

)
(
j

2

2

2
e

d

d
max
C .          
(29)

Следовательно, коэффициенты ряда (17), подчиняются неравенству

2

2
3
3
1

2

n

C

an
.
(30)

Подставим (26) в первую формулу выражения (18) и получим 

n

n

n

C
a
j
)
2
sin(
j
e
e

6
1

3
.              
(30)

Как известно [7], для функций Бесселя первого рода 
)
(
J
t
n
справедливы соотношения: 

n

n

n

C
C
j

3

)
sin(
j
e)
(
J
e
3
,         
(31)

)
(
J
)1
(
)
(
J
3
3
C
C
n

n

n
.          
(32)

С учетом (31) и (32) из равенства (30) получаем:

6
1

2 ,               
(33)

)
(
J
)1
(
3
C
a
n

n

n
.          
(34)

Известно [7], что общий член асимптотического разложения функции Бесселя первого 

рода при больших значениях порядка ( n
) имеет вид

n

n
n

C

n

C
2

e

2

1
~
)
(
J
3

3
.
(35)

Следовательно, описание функции с помощью МФС-базиса, обеспечивает более высо
кую скорость сходимости ряда (17), чем разложение в ряд по другим функциям, для которых
скорость сходимости таких рядов обратно пропорциональна целой степени n.

Подставим (34) в (19) и найдем количество степеней свободы функции:

.
)
(
J
)
(
J
)1
(
2

3

2
2

3

2
2
2

n

n

n

n

n

n

n
C
n
C
n
a
n
N
(36)             

После суммирования ряда, стоящего в (36) под знаком корня, получаем:

)
(
J
2
2
3

2
1

3
C

C

N
.
(37)

Как и ранее 
3
C
связано с количеством точек разрыва функции 
)}]
(
arctg[tg{
)
(
. Гра
фики функции 
)}]
2
sin(
arctg[tg{
)
(
6
1

3
C
для 
2

10
3
C
и 
2

7
3
C
показаны на рисунке 2 а), б)  

соответственно. Как видно из рисунков, количество R точек разрыва функции 
)
(
зависит 

от
3
C как

2
)1
(
1
2

1

2

3

3
C

C

R
.

При большом значении R можно принять 
3
2C

R
. 

1.5
1
0.5
0.5
1
1.5

w

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

5
Sin 21 6 w

1.5
1
0.5
0.5
1
1.5

w

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

7
2
Sin 21 6 w

а)                                                               б)

Рисунок 2 – График функции 
)}]
2
sin(
arctg[tg{
)
(
6
1

2
C
, 
2
2
для:

а) 
2
/
10
3
C
; б) 
2
/
7
3
C

Адекватность метода ортогонализации [8]. Покажем, что предложенный метод орто
гонализации распространяется  на все виды линейно независимых функций на примере полиномов Чебышева и Эрмита. Согласно предложенному методу оптимальный по условию 
минимума энергии вес ортогональности функций 
)
(
T
x
n
должен иметь вид

j
i
j

j
i
ij
x
x
x
h

0

)
(
T
)
(
T
)
(
.       
(38)

Принимая во внимание свойства произведения данных полиномов, получаем

0

)
(
T
)
(

n

n
n
x
x
h
,
(39)

где 
n – некоторые постоянные коэффициенты.

С учетом области определения функции 
)
arccos(x
и свойств произведения полиномов

)
(
T
x
n
, условия ортогональности полиномов Чебышева с весом 
)
(x
h
можно переписать в виде                                                  

.0
,0
d
)
(
T

2
1
d
)
(
T

2
1

,
d
)
(
T
d
)
(
T

0

1

1
0

1

1

0

1

1

1

1

1

0
0

k
x
x
x
x

c
x
x
x
x

n

k
n
n

n

k
n
n

n

n
n

(40)

Поскольку 

1

)1
(
1
d
)
arccos
cos(
2

1

1
n

x
x
n

n

, и n – четное число, из (40) получаем

.0
,0

,0
,

2
1
)
(
4

1

1
)
(
4

1
0

0

2
2

k

k

c

k
n
k
n
n

n
(41)

На рисунке 3 изображены графики весовых функций, полученные для первых десяти и 

двадцати полиномов 
)
(
T
x
n
, и представлен график функции 

2
1

1

x

. Как видно из данного 

рисунка, можно говорить о том, что полученные весовые функции при увеличении 

количества полиномов 
)
(
T
x
n
сходятся к функции 

2
1

1

x

, которая в таком случае является 

весом, оптимальным по условию минимума энергии.

а)                                                                   б)

Рисунок 3 – Графики функции 

2
1

1

x

и весовых функций, вычисленных для:

а) первых 10-ти полиномов 
)
(x
Tn
, б) первых 20-ти полиномов 
)
(x
Tn

Определим вес ортогональности полиномов Эрмита. Как и в случае с полиномами Че
бышева, вес ортогональности полиномов Эрмита будем искать в виде

j
i
j

j
i
ij
x
x
x
h

0

)
(
H
)
(
H
)
(
.
(42)

Используя формулу произведения двух полиномов Эрмита, из (42) получаем

0

)
(
H
)
(

k

k
k
x
x
h
.                 
(43)

Определим вес ортогональности для первых трех полиномов Эрмита. В качестве интер
вала ортогональности примем 
)
,
(
a
a
, где a может принимать как конечные, так и  бесконеч
ные значения. Система уравнений для определения 
k имеет вид

.
8
d
)
(
)
(
H
8
d
)
(
))
(
H
)
(
H
8
)
(
H
8
(
d
)
(
)
(
H

,0
d
)
(
)
(
H
d
)
(
))
(
H
)
(
H
4
(
d
)
(
)
(
H
)
(
H

,
2
d
)
(
)
(
H
2
d
)
(
))
(
H
)
(
H
2
(
d
)
(
)
(
H

,0
d
)
(
)
(
H
d
)
(
)
(
H
)
(
H

,0
d
)
(
)
(
H
d
)
(
)
(
H
)
(
H

,
d
)
(
)
(
H
d
)
(
)
(
H

0
4
0
4
2
0

2
2

3
3
1
2
1

0
0
2
0

2
1

2
2
0

1
1
0

0
0

2
0

c
x
x
h
x
c
x
x
h
x
x
x
x
x
h
x

x
x
h
x
x
x
h
x
x
x
x
h
x
x

c
x
x
h
x
x
x
h
x
x
x
x
h
x

x
x
h
x
x
x
h
x
x

x
x
h
x
x
x
h
x
x

c
x
x
h
x
x
x
h
x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

(44)

Подставляя (43) в (44), вычисляя интегралы и решив систему уравнений относительно 

k , получим: 
0
3
1
, 
9

6
4
2

0

2
2048

)
40
276
810
945
(
105

a

a
a
a
c
, 
9

4
2

0

4
8192

)
4
20
35
(
945

a

a
a
c
,

9

8
6
4
2

0

0
2048

)
240
1120
3864
7560
6615
(
15

a

a
a
a
a
c
, откуда видно, что 
k являются функциями от a. 

Следовательно,  три первых полинома Эрмита ортогональны с полученным весом на любом 
симметричном интервале, в том числе и на бесконечном. Аналогичным образом можно вычислить коэффициенты 
k , определяющие вес ортогональности, для любого количества по
линомов Эрмита. На рисунке 4 показаны графики весовых функций для различных интервалов ортогональности и различного количества полиномов 
)
(
H
x
n
. Там же представлен график 

известного веса ортогональности данных полиномов

2
e x .

а)                 
б)
в)

Рисунок 4 – Графики весовых функций, вычисленных для: а) первых трех полиномов 
)
(
H
x
n
; 

a=3, б) первых пяти полиномов 
)
(
H
x
n
, а=3; в) первых пяти полиномов 
)
(
H
x
n
; а=15

Как видно из рисунка 4, полученный вес ортогональности хорошо аппроксимирует 

функцию 

2
e x на конечном интервале. Можно сделать вывод о том, что функции Эрмита ор
тогональны не только с весом 

2
e x , но имеют бесконечное количество весовых функций, ко
торые можно рассчитать для любого симметричного интервала изменения аргумента. 

Дополнительные свойства специальных функций. Используя представленный метод 

ортогональности можно доказать следующие теоремы.

Теорема 3
[9]. Бесконечномерный базис, с координатными функциями вида 

)
(

)
(
sin
)
(
n
t

n
t
t
n
, которые ортогональны с весом, имеющим минимальную энергию, суще
ствует при целых 
(что совпадает с теоремой отсчетов В.А. Котельникова), нецелых 
1 и 

не существует при 
1. 

Теорема 4. Функции вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
, где n – целое число, ортогональны на беско
нечном интервале изменения аргумента с весом 

1
4

)1
(
1

2

1

)
2

)1
(
1
(

1

1

)
(sin
)
(

n

i
n

i

i

i
t
a
t
h
, где 
ia – ко
эффициенты тригонометрического полинома.

Теорема 5 [8]. Моменты весовой функции определяют не только систему ортогональных 

полиномов, но и саму эту весовую функцию.

В работе [8] показано, что для функций Бесселя можно получить условия ортогонально
сти в виде

),
(
)
(
,

),
(
)
(
,0

d
)
(
)
(
J)
(
J

2

1

)
(
)
(
m
n
q

m
n

x
x
h
x
x

x

x

m
n
(45)

где 
)
(n и 
)
(n – порядок функций Бесселя (такое обозначение введено для того, чтобы пока
зать, что порядок может быть как полуцелым, так целым числом), 
1x и 
2
x – пределы интег

рирования, которые могут быть приняты для функций Бесселя полуцелых порядков как 

0
1x
, 
2x
, а для функций Бесселя целых порядков 
1x
, 
2x
. 

Вес ортогональности, входящий в условия (45), может быть представлен в виде ряда 

1

2
)
(

n

n
n

x

a

x
h
.
(46)

Дискретизация 
функций 
с 
ограниченным 
спектром
[10]. 
Функции 
вида 

n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
имеют ограниченный спектр, следовательно, их можно использовать для 

дискретизации функций с ограниченным спектром.

Лемма 1 [10]. Если функции отсчетов 
)
(

)
sin(

)
(
n
t

n
t

t

m

m

n
можно разложить в ряд по экви
дистантным функциям 
)
(t
sk
, причем

k

k
n
n
t
s
k
t
)
(
)
(
)
(
,                          
(47)

где
– некоторый параметр, n=0,1,2,…), то тогда для любой функции с ограниченным спек
тром существует ряд по выборкам 

k

k t
s
k
f
t
f
)
(
)
(
)
(
.

Теорема 6 [10]. Любую функцию 
)
(t
f
с ограниченным спектром, который определен на

интервале 
)
,
(
m
m
, можно представить в пространстве, определяемом базисными функция
ми 

2

2

)
2
(

)
2
(
sin

)
(

k
t

k
t

t
u

m

m

k
, в виде ряда по выборкам

.

)
(

)
(
cos
1

)
(
2

)
2
(

)
2
(
sin

)
2
(
)
(

2
2
2

2

k

m

m

m

m

m
k
m

m

m

F
k
t

F
k
t

F
k
f

k
t

k
t

k
f
t
f

Теорема 7 [10].  Функции 

)
(

)
(
sin

)
(
2

)
(
2
sin
)
(
2

2

k
t

k
t

k
t

k
t
t
uk
, где α – некоторый параметр, 

ортогональны на бесконечном интервале с единичным весом.

Теорема 8 [10]. Функцию, имеющую спектр, ограниченный интервалом 
)
,
(
m
m
, можно 

представить в виде ряда   

k
m

m

m

m

m
m
k
t

k
t

k
t

k
t
k
f
t
f

)
2
(

)
2
(
sin

2

)
2
sin(

)
2
(
e
1
)
(

2
1
jarctg
2

.

Как следует из теорем 6 и 8 частота дискретизации может быть снижена в 2 раза по срав
нению с частотой, предлагаемой теоремой отсчетов.

Исключение межканальных помех и межсимвольной интерференции при передаче 

информации [11]. Пусть в трех соседних каналах связи передаются сигналы 
)
(
1 t
x
, 
)
(
2 t
x
и 

)
(
3 t
x
соответственно. Эти сигналы раскладываются в ряды по функциям 
)
(t
n
, 
)
(t
n
и 
)
(t
n
:

n

n
n

n

n
n

n

n
n
t
c
t
x
t
a
t
x
t
b
t
x
),
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
3
2
1

где из 
)
(t
n
, 
)
(t
n
и 
)
(t
n
составлены МФС-базисы сигналов 
)
(
1 t
x
, 
)
(
2 t
x
и 
)
(
3 t
x
, и для них вы
полняются условия:

,
,0

,
,1
d
)
(
)
(
)
(
k
n

k
n
t
t
h
t
t
k
n
(48)

,
и
 любых 
при
,0
d
)
(
)
(
)
(
k
n
t
t
h
t
t
k
n
(49)

,
и
 любых 
при
,0
d
)
(
)
(
)
(
k
n
t
t
h
t
t
k
n
(50)

причем 

n
k

k
n
nk

n
k

k
n
nk

n
k

k
n
nk
t
t
t
t
t
t
t
h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
.
(51)

Коэффициенты 
nk
nk
nk
,
,
определяются после подстановки (51) в (48), (49) и (50). 

Для выделения сигнала 
)
(
2 t
x
из аддитивной смеси

)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y

достаточно получить все коэффициенты разложения 
)
(
2 t
x
по 
)
(t
n
: 

n
n
a
t
t
h
t
t
y
d
)
(
)
(
)
(
,

увеличить 
)
(t
n
в 
n
a раз, и сложить все произведения 
)
(t
a
n
n
.

Исключение межсимвольной интерференции достигается за счет ортогональности базис
ных функций, по которым раскладывается сигнал каждого канала связи.

Пропускная способность физически реализуемого канала связи [12]. Пусть 
)
(t
x
–

принимаемый сигнал, который представляется суммой N первых членов ряда (4), где величина N понимается в смысле (37). Сигнал 
)
(t
x
имеет энергетический спектр 
)
( f . Для вы
вода формулы пропускной способности канала связи повторим последовательность рассуждений К. Шеннона, описанную в работе [13].

Энергия сигнала 
)
(t
x
описывается формулой

,
d
)
(
)
(

0
1

2
2

T
N

n

n
x
y
t
t
h
t
x
E
(52)

где 

T

n
t
t
h
t

0

2
d
)
(
)
(
, T – длительность сигнала 
)
(t
x
. Все передаваемые сигналы имеют одина
ковую энергию. В N -мерном базисе расстояние от начала координат до данной точки равно 

N

n

n
y
d

1

2 . Тогда из (52) имеем 

T
P
E

d
x
x
2
, где 
T

E

P
x

x
– мощность сигнала.

Принятые сигналы имеют среднюю мощность 
n
x
P
P
, где 
f
N
f
K
T
Pn
d
)
(
1

0

2
– мощность 

шума, 
)
( f
K
- амплитудно-частотная характеристика канала связи, 
0
N
– спектральная плот
ность мощности белого шума, или среднюю энергию 
T
P
P
n
x
и должны лежать на поверх
ности сферы радиуса 
n
x
P
P
T
.

Различимых сигналов будет не больше, чем объем N-мерной сферы радиуса 
n
x
P
P
T
, 

деленной на объем сферы радиуса 
n
P
T
. Т.е. количество различимых сигналов равно 

N

n

n
x
P

P
P
. Отсюда следует, что максимальная скорость передачи информации равна 

n

n
x

N

n

n
x

P

P
P

T
N

P

P
P

T
C
2
2
log
2
log
1
.