Непротиворечивая теория связи

 

2010ѝ20thѝInt.ѝCrimeanѝConferenceѝ“Microwaveѝ&ѝTelecommunicationѝTechnology”ѝ(CriMiCo’2010).ѝ13-17ѝSeptember,ѝSevastopol,ѝCrimea,ѝUkraineѝ
©ѝ2010:ѝCriMiCo’2010ѝOrganizingѝCommittee;ѝCrSTC.ѝISBN:ѝ978-966-335-329-6.ѝIEEEѝCatalogѝNumber:ѝCFP10788 
329

НЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ  
 
Дегтярев А. Н. 
Севастопольский государственный технический университет 
99053, Севастополь, Студгородок 
тел.: (0692) 23-51-18, e-mail: rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua 
 
Аннотация — Для описания сигнала использованы физически реализуемые функции. Модули спектральных плотностей сигнала и базисных функций совпадают. Рассмотрен 
метод ортогонализации базисных функций путем определения весовой функции. Получены аналитические выражения 
для количества степеней свободы сигналов и пропускной 
способности канала связи. Показана возможность исключения межсимвольной интерференции и межканальных помех. 

I. Введение 

Теория рассматривает идеальные каналы связи, 
вследствие чего на практике возникают межканальные помехи и межсимвольная интерференция. Помехи появляются в результате потери ортогональности, как между сигналами соседних каналов связи, 
так и между сигналами, с помощью которых передаются символы в каждом из каналов. Актуально построить теорию связи без таких погрешностей. 

II. Выбор ортогонального базиса 

Пусть сигнал 
)
(t
x
с корреляционной функцией  

)
,
( τ
t
Rx
 и энергетическим спектром 
)
(ω
Φ
 описыва
ется суммой ряда по функциям 
)
(t
k
ϕ
, ортогональ
ным с весом 
)
(t
h
: 

 
∑
=
ϕ
≈
N

k
k
k
t
y
t
x
1
)
(
)
(
. 
(1) 

Тогда 
)
(t
k
ϕ
, минимизирующие среднюю квадрати
ческую ошибку (СКО) 

 
⎪⎭

⎪⎬
⎫

⎪⎩

⎪⎨
⎧
ϕ
−
=
∫
∑
=

T
N

k
k
k
t
t
h
t
y
t
x
I

0

2

1
d
)
(
])
(
)
(
[
M
, 
(2) 

должны являться собственными функциями ядра 
интегрального уравнения 

 
)
(
d
)
(
)
(
)
,
(
2

0
t
h
t
R
k
k

T

k
x
ϕ
σ
=
τ
τ
τ
ϕ
τ
∫
,  
(3) 

где 
{ }
...
M
 – оператор математического ожидания, 

2
k
σ
 – дисперсии коэффициентов 
ky . 

СКО аппроксимации случайного процесса суммой 

(1) равна  
.
1

2
∑

∞

+
=
σ
=
N
n
n
I
 

Если 

 
∑

∞

=
ϕ
=
0
)
(
)
(
k
k
k
t
y
t
x
  
(4) 

является эргодическим случайным процессом,  то  

 
,)
(
)
(
)
,
(
0
0
∑ ∑

∞

=

∞

=
τ
=
τ
=
τ
k
n
kn
n
k
x
x
R
y
y
R
t
R
  
(5) 

где  
∫

∞

∞
−
−
τ
ϕ
ϕ
=
τ
t
t
t
R
n
k
kn
d
)
(
)
(
)
(
. 

Преобразование Фурье от (5) дает 

 
[
]
∑ ∑

∑ ∑

∞

=

∞

=

ω
θ
−
ω
θ

∞

=

∞

=

ω
ω
=

=
ω
ω
=
ω
Φ

0
0

)
(
)
(
j

0
0

*

,
)
(
)
(

)
j(
)
j(
)
(

k
n
n
k
n
k

k
n
n
k
n
k

n
k
e
F
F
y
y

F
F
y
y

  
(6) 

где 
)
(
j
)
(
)
j(
ω
θ
ω
=
ω
i
e
F
F
i
i
 – спектральная плотность 

)
(t
i
ϕ
, 
)
(ω
iF
 и 
)
(ω
θi
 – соответственно ее модуль и 

аргумент, 
)
j(
*
ω
iF
 – функция, комплексно сопряжен
ная с 
)
j( ω
iF
. 

Уравнение (6) разбивается на два уравнения:  

[
]

[
]
⎪
⎪
⎩

⎪⎪
⎨

⎧

=
ω
θ
−
ω
θ
ω
ω

ω
Φ
=
ω
θ
−
ω
θ
ω
ω

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

.0
)
(
)
(
sin
)
(
)
(

),
(
)
(
)
(
cos
)
(
)
(

0
0

0
0

k
n
n
k
n
k
n
k

k
n
n
k
n
k
n
k

F
F
y
y

F
F
y
y

(7) 

Положим, что при 
n
k ≠
 все слагаемые в (7) равны нулю, и из первого уравнения системы (7) получаем 

 
)
(
)
(
0

2
2
ω
Φ
=
ω
∑

∞

=
k
k
k F
y
.  
(8) 

Примем 
)
(
)
(
ω
=
ω
F
Fk
, и из (8) имеем: 

 
)
(
)
(
0

2
2
ω
Φ
=
ω ∑

∞

=
k
ky
F
,  
(9) 

и 
)
(
)
(
ω
Φ
=
ω
F
,  
(10) 

 
1
0

2 =
∑

∞

=
k
ky
.  
(11) 

Во множестве функций, обладающих модулем 
(10) существует минимально-фазовая функция [3]. 
Примем минимально-фазовую функцию 
)
j(
0
ω
F
 в 

качестве спектральной плотности функции 
)
(
0 t
ϕ
. 

Пусть остальные 
)
(t
n
ϕ
 имеют вид: 

 
)
(
)
(
0
α
−
ϕ
=
ϕ
n
t
t
n
, n  – целое.  
(12) 

Сформированный базис назовем базисом с минимально-фазовым спектром (МФС-базисом).  
Из (6) и (11) видно, что все 
ky  некоррелированы. 

Представим 
)
(t
x
 в виде ряда (4) по МФС-базису. 

Поскольку
ky  некоррелированы, то 

{
}

.)
(
)
(
)
(
)
(
M

)
(
)
(
M
)
,
(

0

2

0
0
∑
∑
∑

∞

=

∞

=

∞

=
τ
ϕ
ϕ
σ
=
⎭
⎬
⎫

⎩
⎨
⎧
τ
ϕ
ϕ
=

=
τ
=
τ

k
k
k
k
k
k
k
k
k
k

x

t
y
t
y

x
t
x
t
R

 (13) 

Подставляя (13) в (3), получаем  

 

2010ѝ20thѝInt.ѝCrimeanѝConferenceѝ“Microwaveѝ&ѝTelecommunicationѝTechnology”ѝ(CriMiCo’2010).ѝ13-17ѝSeptember,ѝSevastopol,ѝCrimea,ѝUkraineѝ
©ѝ2010:ѝCriMiCo’2010ѝOrganizingѝCommittee;ѝCrSTC.ѝISBN:ѝ978-966-335-329-6.ѝIEEEѝCatalogѝNumber:ѝCFP10788 
330

=
τ
τ
τ
ϕ
τ
λ∫

T

n
x
d
h
t
R

0
)
(
)
(
)
,
(
 

).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2

0
0

2
t
d
h
t
n
n

T

n
k
k
k
k
ϕ
λσ
=
τ
τ
τ
ϕ
τ
ϕ
ϕ
σ
λ
= ∫ ∑

∞

=
 

Итак, функции МФС-базиса есть собственные 
функции (3), а дисперсии коэффициентов разложения 
)
(t
x
 по данному базису обратно пропорциональ
ны собственным числам данного уравнения. 

III. Определение весовой функции  
МФС-базиса 

Теорема 1 [4]. Пусть заданы системы линейно 
независимых 
функций 
)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
t
t
N
ϕ
ϕ
ϕ
 
и 

)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
l
t
l
t
l
k
, тогда, если 
2
)1
(
+
=
N
N
k
 – коли
чество уравнений в системе 

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

=
ϕ
+
+
ϕ

=
ϕ
ϕ
+
+
ϕ
ϕ

=
ϕ
+
+
ϕ

∫
∫

∫
∫

∫
∫

,1
d
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(

...
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........

,0
d
)
(
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(
)
(

,1
d
)
(
)
(
...
d
)
(
)
(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2
1
2
1

2
1
1
2
1
1

2
1
1
2
1
1

t

t
k
N
k

t

t
N

t

t
k
k

t

t

t

t
k
k

t

t

t
t
l
t
b
t
t
l
t
b

t
t
l
t
t
b
t
t
l
t
t
b

t
t
l
t
b
t
t
l
t
b

 

которая имеет решение относительно 
ib , то функция 

∑
=
=
k

i
i
i
t
l
b
t
h
1
)
(
)
(
, является весом ортогональности 

функций 
)
(
),...,
(
),
(
2
1
t
t
t
N
ϕ
ϕ
ϕ
. 

Потребуем, чтобы энергия веса ∫

2

1
d
)
(
2
t

t
t
t
h
 была 

минимальной. 

Теорема 2 [4]. Вес, оптимальный по условию минимума энергии, представляет собой квадратичную 
форму от ортогонализуемых функций. 
Функции МФС-базиса являются эквидистантными: 
)
(
)
(
α
⋅
+
ϕ
=
ϕ
i
t
t
i
, где α  – постоянная величина, 
,...
2,1,0
=
i
, а вес с минимальной энергией имеет вид 
периодической функции с периодом α [4]: 

∑
∑

∑
∑

∞

−∞
=

∞

−∞
=
+
+

∞

−∞
=
+

∞

−∞
=

+
ϕ
ϕ
λ
+
+
ϕ
ϕ
λ
+

+
ϕ
ϕ
λ
+
ϕ
λ
=
+
ϕ
λ
+
+

+
ϕ
ϕ
λ
+
ϕ
λ
+
+
ϕ
ϕ
λ
+
ϕ
λ
=

n
n
m
n
n
m
n
n

n
n
n
n
n

t
t
t
t

t
t
t
t

t
t
t
t
t
t
t
h

...
)
(
)
(
...
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
...
)
(
...

)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(

2
2

1
1
2
0
2
2
0

2
1
1
2
1
0
1
0
1
2
0
0

 

IV. Скорость сходимости рядов, 
составленных из координатних функций 
МФС-базисов 

Пусть детерминированная функция 
)
(t
f
 раскла
дывается в ряд по МФС-базису: 

 
∑
∑

∞

−∞
=

∞

−∞
=
α
−
ϕ
=
ϕ
=
n
n
n
n
n
n
t
a
t
a
t
f
)
(
)
(
)
(
0
,  
(14) 

где  
∫

∞

∞
−
α
−
ϕ
=
t
t
h
n
t
t
f
an
d
)
(
)
(
)
(
0
, 

и 
∑

∞

−∞
=

ωα
−
ω
=
ω
Φ
n

n
n
a
F
j
0
e
)
j(
)
j(
, 
(15) 

где 
)
j( ω
Φ
 – спектральная плотность функции 
)
(t
f
.  

Тогда 
∑

∞

−∞
=

α
ω
−
ω
=
n

n
n
G
a
j
)}
j(
arg{
j
e
e
,
1
2 =
∑

∞

−∞
=
n
n
a
,  
(16) 

где 
)
j(
)
j(
)
j(
0
ω
ω
Φ
=
ω
F
G
. 

Определение 1 [5]. Количеством степеней свободы функции называется эффективное количество 
коэффициентов ряда (слагаемых) (15): 

 
∑
∑

∑
∞

−∞
=
∞

−∞
=

∞

−∞
=
=
=
n
n

n
n

n
n
a
n
a

a
n
N
2
2

2

2
2

.  
(17) 

Известно, что если функция имеет непрерывную 

вторую производную, то 
2
n

C
an ≤
 ( С – максималь
ное значение модуля второй производной данной 
функции) [6]. 
Введем обозначение 
)}
j(
arg{
)
(
ω
=
ω
ϕ
Δ
G
 и найдем условия, при которых модуль   

 
[
]
[
]2
4
)
(
j
2

2
)
(''
)
('
e
d
d
ω
ϕ
Δ
+
ω
ϕ
Δ
=
ω

ω
ϕ
Δ
.  (18) 

максимален. 
Выражение (18) имеет экстремум, если  

 
0
)
(''
=
ω
ϕ
Δ
,  
(19) 

или 
[
]
[
]
0
)
(''
)
('
2
4
=
ω
ϕ
Δ
+
ω
ϕ
Δ
,  
(20) 

или 
[
]
0
)
('''
)
('
2
3
=
ω
ϕ
Δ
+
ω
ϕ
Δ
.  
(21) 

С учетом нечетности функции
)
(ω
ϕ
Δ
 получим 
решения дифференциальных уравнений (19), (20) и 
(21)  соответственно 

 
ω
=
ω
ϕ
Δ
1
)
(
С
,  
(22) 

 
0
)
(
2 =
=
ω
ϕ
Δ
С
,  
(23) 

 
)
2
sin(
)
(
6
1

3
ω
=
ω
ϕ
Δ
С
,  
(24) 

где 
i
С  – постоянные величины, пропорциональные 
количеству 
точек 
разрыва 
функции 

{
})
(
tg
arctg
)
(
ω
ϕ
Δ
=
ω
ξ
 на интервале 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
π
−
2
,
2
.  

Из (21) и (24) получаем:  

 
6
1
2
=
α
,  
(25) 

 
)
(
J
)1
(
3
C
a
n
n
n
−
=
,  
(26) 

 

2010ѝ20thѝInt.ѝCrimeanѝConferenceѝ“Microwaveѝ&ѝTelecommunicationѝTechnology”ѝ(CriMiCo’2010).ѝ13-17ѝSeptember,ѝSevastopol,ѝCrimea,ѝUkraineѝ
©ѝ2010:ѝCriMiCo’2010ѝOrganizingѝCommittee;ѝCrSTC.ѝISBN:ѝ978-966-335-329-6.ѝIEEEѝCatalogѝNumber:ѝCFP10788 
331

где 
)
(
J
x
n
 – функция Бесселя первого рода [5]. 
Таким образом, при 
∞
→
n
, абсолютные значения 
n
a  убывают как [7]:  

 

n

n
n
C

n
C
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛

π
2
e

2

1
~
)
(
J
3
2
.  
(27) 

Тогда из (18), (26) – (28), получаем  

 
)
(
J
2
2
3
2
1
3
C
C
N
+
=
.  
(28) 

V. Пропускная способность  
физически реализуемого канала связи 

Определим пропускную способность канала связи 
согласно К. Шеннону [8]. 

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

+
=
∫

∫

T

T

f
N
f
K

t
t
h
t
x

T
N
C

0
0
2

0

2

2
d
)
(

d
)
(
)
(

1
log
2
, 

где T  – длительность сигнала 
)
(t
x
, 
)
( f
K
 – ампли
тудно-частотная характеристика канала связи, 
0
N  – 
спектральная плотность мощности белого шума, 
)
(t
h
 – вес ортогональности функций МФС-базиса, 
N  – количество степеней свободы сигнала [4].  

VI. Исключение межканальных помех 

Пусть в трех соседних каналах связи передаются 
сигналы 
)
(
1 t
x
, 
)
(
2 t
x
 и 
)
(
3 t
x
 соответственно, кото
рые с помощью своих МФС-базисов 
)
(t
n
ψ
, 
)
(t
n
ϕ
 и 

)
(t
n
ξ
 представляются в виде рядов: 

 

⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

ξ
=

ϕ
=

ψ
=

∑

∑

∑

∞

−∞
=

∞

−∞
=

∞

−∞
=

n
n
n

n
n
n

n
n
n

t
c
t
x

t
a
t
x

t
b
t
x

).
(
)
(

),
(
)
(

),
(
)
(

3

2

1

 
(29) 

Для 
)
(t
n
ψ
, 
)
(t
n
ϕ
 и 
)
(t
n
ξ
 потребуем: 

 

⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

=
ξ
ϕ

=
ψ
ϕ

⎩
⎨
⎧
≠

=
=
ϕ
ϕ

∫

∫

∫

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

,
 и 
 любых 
при
,0
d
)
(
)
(
)
(

,
 и 
 любых 
при
,0
d
)
(
)
(
)
(

,
,0

,
,1
d
)
(
)
(
)
(

k
n
t
t
h
t
t

k
n
t
t
h
t
t

k
n

k
n
t
t
h
t
t

k
n

k
n

k
n

 (30) 

где  

.)
(
)
(

)
(
)
(

)
(
)
(
)
(

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∞

−∞
=

∞

−∞
=

∞

−∞
=

∞

−∞
=

∞

−∞
=

∞

−∞
=

ξ
ϕ
η
+

+
ψ
ϕ
μ
+

+
ϕ
ϕ
λ
=

n
k
k
n
nk

n
k
k
n
nk

n
k
k
n
nk

t
t

t
t

t
t
t
h

 
(31) 

nk
nk
nk
η
μ
λ
,
,
 определим подстановкой (31) в (30).  

Поскольку 
)
(t
n
ψ
, 
)
(t
n
ϕ
 и 
)
(t
n
ξ
 являются эквиди
стантными функциями, то 
)
(t
h
 – периодическая функция. 

Выделим сигнал 
)
(
2 t
x
 из аддитивной смеси 

)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
+
+
=
. 

Для этого, используя условия (30), получим 

n
n
a
t
t
h
t
t
y
=
ϕ
∫

∞

∞
−
d
)
(
)
(
)
(
. 

Увеличив 
)
(t
n
ϕ
 в 
n
a  раз, и сложив все произве
дения 
)
(t
a
n
nϕ
, получим сигнал 
)
(
2 t
x
. 

VII. Исключение межсимвольной 
интерференции 

Межсимвольная интерференция в каждом из каналов связи устраняется за счет того, что сигналы, соответствующие символам сообщения, ортогональны: 

k
k
n
n
n
k
a
t
t
h
t
t
a
t
t
h
t
t
x
=
ϕ
ϕ
=
ϕ
∫ ∑
∫

∞

∞

∞

−∞
=

∞

∞
2
d
)
(
)
(
)
(
d
)
(
)
(
)
(
. 

VIII. Выводы 

Описание случайной функции с помощью МФСбазиса обеспечивает «привязку» базиса к случайному процессу (модули спектральных плотностей базисных функций совпадают с квадратным корнем из 
энергетического спектра случайной функции). 
Элементы МФС-базиса, являются собственными 
функциями взвешенной корреляционной функции  
)
(
)
,
(
τ
τ h
t
Rx
 процесса, а дисперсии коэффициентов 
разложения процесса по базису обратно пропорциональны собственным числам данного ядра. 
Коэффициенты разложения случайной функции 
по МФС-базису некоррелированы между собой. 
Ортогонализация базисных функций достигается 
путем определения весовой функции.  
Предложенная процедура ортогонализации позволяет сохранить первоначальную форму ортогонализуемых функций.  
Вес с минимальной энергией однозначно определяется базисными функциями и представляет собой 
квадратичную форму от этих функций.  
Вес бесконечного эквидистантного базиса является периодической функцией.  
Для представления функции 
)
(t
f
 со спектральной 

плотностью 
)
j( ω
Φ
 в виде ряда по координатным 
функциям МФС-базиса, полученного путем смещения функции 
)
(
0 t
ϕ
 со спектральной плотностью 

)
j(
0
ω
F
 на 
α
n
, достаточно 
)
(
J
2
2
3
2
1
3
C
C
+
 слагае
мых, причем 
3
C  пропорционально количеству точек 

разрыва функции 
))
)
j(
)
j(
(arg
tg
(
arctg
0
ω
ω
Φ
F
, а 
6
1
2
=
α
. 

Модули коэффициентов ряда с ростом n  убыва
ют, как 

n

n
C

n
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛

π
2
e

2

1
3
.  

Ортогонализация передаваемых сигналов позволяет исключить межсимвольную интерференцию и 
межканальные помехи.  

 

2010ѝ20thѝInt.ѝCrimeanѝConferenceѝ“Microwaveѝ&ѝTelecommunicationѝTechnology”ѝ(CriMiCo’2010).ѝ13-17ѝSeptember,ѝSevastopol,ѝCrimea,ѝUkraineѝ
©ѝ2010:ѝCriMiCo’2010ѝOrganizingѝCommittee;ѝCrSTC.ѝISBN:ѝ978-966-335-329-6.ѝIEEEѝCatalogѝNumber:ѝCFP10788 
332

Введение физически осуществимых базисных 
функций исключает противоречие, связанное с одновременным ограничением длительности сигнала и 
ширины его спектра. 

IX. Список литературы 

[1] Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления / В.С. Пугачев. – М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1960. – 883 с. 
[2] Свириденко В. А. Анализ систем со сжатием данных / 
В. А. Свириденко. – М.: Связь, 1977. – 184 с. 
[3] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры / Г. Лэм. – М.: 
Мир, 1982. – 592 с. 
[4] Дегтярев А. Н. Ортогонализация функций, дискретизация и восстановление сигналов в физически реализуемых системах / А. Н. Дегтярев, Р. Е. Агаханянц // Зв’язок. 
– 2005. – № 2(54). – С. 45 – 52. 
[5] Дегтярев А. Н. Количество степеней свободы физически реализуемого сигнала/ А. Н. Дегтярев, Р. Е. Агаханянц // Зв’язок. – 2008. – № 2(70). – С. 64 – 68. 
[6] Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы / 
Д. Джексон. – М. Гос. изд. иностр. лит., 1948. – 260 с. 
[7] Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Функции 
Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М. Наука, 1974. – 296 с. 
[8] Шеннон К. Э. Работы по теории информации и кибернетике / К. Э. Шеннон. – М.: ИЛ, 1963. – 827 c. 
 
CONSISTENT COMMUNICATION THEORY 
 
A. N. Degtyaryov 
Sevastopol National Technical University 
Studgorodok, Sevastopol, 99053, Ukraine  
tel.: (0692)23-50-18,  
e-mail: rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua 
 
Abstract — Physically implemented functions are used for 
description of a signal. Modules of spectral concentrations of a 
signal and basic functions coincide. Orthogonalization method 
of basic functions by means of determination of weight function 
is considered. Formulas for expression of quantity of degrees of 
freedom of signals and communication bandwidth are determined. The possibility of elimination of intersymbol and interchannel interference is showed.  

I. Introduction 

The theory considers ideal communication channels whereupon intersymbol and interchannel interference appears in practical work. Interference appears because of the loss of orthogonality either between the signals of conjoint communication 
channels or between channels with the help of which symbols in 
each channel are transferred. It is urgent to create the communication theory without such errors. 

II. Choice of Orthogonal Basis 

Let the signal be described by the sum of function series, 
orthogonal with weight (1). Then
)
(t
k
ϕ
, minimizing average 
quadratic error (2) to the value (1) must be proper functions of 
kernel of integral equation (3). If accidental process is an argotic 
one, then (5) holds true. Fourier conversion of (5) makes (6). 
Equation (6) is divided into two equations (7). Let us assume 
that with  
n
k ≠
 all summands in (7) are equal to zero, and 

from the first equations (7) we receive (8). Let
)
(
)
(
ω
=
ω
F
Fk
, 
and from (8) we have (9), (10), (11). In the set of functions, 
which possesses module, (10) minimum-phase function exists 
(3). By means of minimum-phase function let us form the basis 
(12) that is called MFS-basis. (1) 
From (6) and (11) it is seen that all 
ky  are uncorrelated. 

Let us present 
)
(t
x
 in the set (4) according to MFS-basis. 

Since 
ky  are uncorrelated, (13) holds true. Inserting (13) into 

(3), we define that the functions of MFS-basis are proper func
tions (3) and dispersions of expansion coefficients 
)
(t
x
 ac
cording to this basis are inversely proportional to proper values 
of the given equation.  

III. Determination of Weight Function  
of MFS-basis 

Theorem 1 [1]. 
Let us demand weight energy to be minimum.  
Theorem 2 [4]. 
The functions of MFS-basis are equidistant and weight with 
minimum energy is of the form of the periodic function with period α. 

IV. The Speed of Convergence of Sets Comprised 
from Coordinate Functions of MFS-bases 

Let determinate function 
)
(t
f
 be distributed into a set according to MFS-basis (14), then (16) holds true. 
Determination 1 [5]. Efficient quantity of set coefficient 
(summands) (15) in accordance with (17) is called quantity of 
freedom degree of function. 
Let us find circumstances under which module (18) is maximum. 
Determination (18) has an extremum, if (19), (20), (21).  
Taking into account function oddness 
)
(ω
ϕ
Δ
 we will receive solution of differential equations (19), (20) and (21), accordingly (22), (23), (24). From (21) and (24) we receive (25), 
(26). Thus, absolute values 
n
a descend like (27) [7]. Then from 
(18), (26) – (28) we receive (28). 

V. Throughput of Physically Realized 
Communication Channel 

Let us determine throughput of communication channel in 
accordance with K. Shannon [8]. 

VI. Elimination of Interchannel Interference 

Using requirements (29), (30), and (31) let us separate signal 
)
(
2 t
x
 from additive mixture y(t). Using circumstances (30), 

we will receive
n
a . Having increased  
)
(t
n
ϕ
 in  
n
a  once and 

summed all products 
)
(t
a
n
nϕ
, we will receive signal 
)
(
2 t
x
. 

VII. Elimination of Intersymbol Interference 

Intersymbol interference in each communication channel is 
eliminated at the expense of the fact that signals that correspond to message symbols are orthogonal.  

VIII. Conclusion 

The description of random function by means of MFS-basis 
provides “affixement” of the basis to an accidental process (the 
modules of Fourier density of basic functions coincide with 
square root of energy spectrum of random function).  
The elements of MFS-basis are own functions of suspended correlation function of the process and the dispersion of 
coefficients of expansion of process according to the basis are 
inversely proportional to own values of the given kernel.  
The expansion coefficients of random function according to 
MFS-basis are uncorrelated among each other.  
The orthogonalizaiton of the basic functions is obtained by 
means of determination of weight function.  
Proposed orthogonalizaiton procedure provides preservation of the initial form of orthogonalizable functions.  
Weight with minimal energy is unambiguously defined with 
basic functions and presents itself as quadratic form of these 
functions.  
The weight of infinite equidistant basis is periodic function. 
The summands of the set (4) are enough (28) for the representation of the function.  
The modules of set coefficients with increase n  descend 
like (27). 
The orthogonalization of transferred signals allows eliminating of intersymbol and interchannel interference  
Insertion of physically implemented basic functions eliminates contradiction connected with simultaneous limit of signal 
duration and its spectrum breadth.