Физически реализуемая пропускная способность канала связи

ФИЗИЧЕСКИ РЕАЛИЗУЕМАЯ ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КАНАЛА 

СВЯЗИ

Дегтярев А.Н.

Севастопольский Национальный технический университет,

99053, Севастополь, студгородок тел. (0692) 23-51-18, E-mail rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Аннотация –
Приведены теоремы ортогонализации 

функций. Представлена теорема дискретизации для физически реализуемых систем и аналитическое выражение для 
пропускной способности физически реализуемого канала 
связи. Показана возможность передачи информации, которую несет широкополосный сигнал, по узкополосным каналам связи.

I. Введение

Противоречие классической теории связи состоит 

в предположении о том, что сигнал, с помощью которого передается информация обладает конечной 
длительностью 
T и ограниченным спектром 
F . 

Такой сигнал имеет 
T
F
2
N
степеней свободы 

[1]. N равно количеству отсчетов, полученных после 
дискретизации этого сигнала в соответствии с теоремой дискретизации В.А. Котельникова. Такая 
идеализация сигналов (необходимо использовать 
физически нереализуемые канал связи и фильтры, 
формирующие сигнал)  приводит к тому, что в случае передачи информации по реальным каналам 
связи возникает неустранимая погрешность, связанная с межканальными помехами и межсимвольной 
интерференцией, которые возникают из-за потери 
ортогональности используемых сигналов. Указанное 
противоречие принципиально и в рамках существующей теории не может быть устранено. Представляет интерес найти такое решение задачи о пропускной способности канала связи, в котором бы указанное противоречие не возникало.

II. Основная часть

Для системы функций 
)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
введем 

в рассмотрение условие ортогональности с   весом 

)t(
h
, который может принимать как положительные, 

так и отрицательные значения                                                               

,j
i
,0

,j
i
,1
td
)t(
h
)t(
f)t(
f

2

1

t

t

j
i
(1)

где 
)
t,
t(
2
1
- интервал выполнения условий (1).

Теорема 
1.
Пусть 
задан 
ансамбль 
функций 

)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
и функции 
)t(
l
),...,
t(
l
),
t(
l
k
2
1
, 

тогда, если 
2

)1
N
(
N
k
, 

k

1
i

i
i
)t(
l
b
)t(
h
и система 

уравнений (1) имеет решение  относительно 
k
b , то 

функция 
)t(
h
является весом ортогональности 

функций 
)t(
f
),...,
t(
f
),
t(
f
N
2
1
[2]. 

В зависимости от того, какие составляющие веса 
)t(
lk
выбраны, можно получить различные значения 

энергии веса

2

1

t

t

2
dt
)t(
h
)
h
(I
.                         (2)

Теорема 2: вес, оптимальный по условию минимума 
энергии, представляет собой квадратичную форму 
от ортогонализируемых функций:  

)t(
f
...
)t(
f)t(
f
)t(
f
)t(
h
2
N

2

)1
N
(
N
2
1
2

2
1
1
,   (3)          

где 
i - множители Лагранжа.

В теории связи используются эквидистантные ли
нейно независимые функции. Рассмотрим ансамбль, 
состоящий из бесконечного числа функций вида 

)i
t(
f
)t(
fi
. Весовую функцию будем искать в 

виде (3). Очевидно, что вес, является периодической 
функцией с периодом изменения α, и его можно записать как:

n
n

m
n
n
m
2
n
n
2

n

1
n
n
1

n

2
n
0

2
2
0

2
1
1

2
1
0
1
0
1

2
0
0

...
)t(
f)t(
f
...
)t(
f)t(
f

)t(
f)t(
f
)t(
f
...
)t(
f

...
)t(
f)t(
f
)t(
f
...
)t(
f)t(
f
)t(
f
...
)t(
h

(4)

Теорема 3. Функции вида 
z
z

z

n
)
n
t(

)
n
t(
sin
f
, где 

z=1,2,3,…, ортогональны с весом, который может 
быть представлен в виде  тригонометрического полинома по четным степеням 
t
sin
:

...
t
sin
a
t
sin
a
t
sin
a
a
6

4

4

3

2

2
1
, 

причем 
минимальная 
степень 
полинома 
равна 

2

)1
(
1
z

1
z

.

Итак, теорема отсчетов, является частным слу
чаем разложения сигнала в ряд по ортогональным 
эквидистантным функциям.

Устраним противоречие, заложенное в теорию 

связи, использовав в качестве координатных функций ортогонального базиса отклики физически реализуемых каналов связи на реальные импульсы 

)
t(
)t(
n
n
(
n - интервалы следования n-х 

импульсов), форма которых близка к прямоугольной. 
Пусть s(t) – импульсная характеристика фильтра, с 
помощью которого производится восстановление 
непрерывного сигнала g(t) из дискретного.  Обобщенным n-м отсчетом сигнала  g(t) назовем функцию 

)
t(
a
)t(
a
n
n
n
n
, где

dt
d
)
t(s)
(
)t(
h
)t(
g
a
n
n
,           (5)       

h(t) – вес ортогональности функций                              

d
)
t(s)
(
)t(
v
n
n
.                (6)

Теорема дискретизации. Сигнал g(t), амплитудный 
спектр которого с точностью до постоянного множителя равен АЧХ восстанавливающего фильтра с импульсной характеристикой s(t),  полностью определяется последовательностью своих обобщенных 
отсчетов, отстоящих друг от друга на величину 
n , 

если существует вес ортогональности h(t) функций 
(6), и сигнал g(t) можно представить в виде ряда Фу

рье, составленного из откликов восстанавливающего 
фильтра на прямоугольные импульсы, следующих 
друг за другом с интервалом 
n [2]:

n

n
n
n
n
dt
)t
(s)
t(
a
)
(
v
a
)
(
g
.               

В качестве модели канала связи примем фильтр 

с конечным откликом 
)t(
vn
на воздействие 
)t(
.

Повторяя последовательность рассуждений К. 

Шеннона, описанную в работе [1], получим выражение для физически реализуемой пропускной способности канала связи:

2

1

2

1
t

t

0

2

t

t

2

2

n

n
g

2

df
N
)f(
K

dt
)t(
h
)t(
'g

1
log

T
2

N

P

P
P
log

T
2

N
C
,

где P g и P n - мощности сигнала и шума соответст
венно, K(f) – АЧХ канала связи, N 0 - спектральная 
плотность шума.

Покажем, что существует возможность переда
вать информацию, которую несут широкополосные 
сигналы, по узкополосным каналам связи. При этом 
размерность сигнального пространства сохраняется.  
Примем в (1) 

)t(
)i
t(
s
)i
t(
f
i
i
,                   (7)

где  
)i
t(
si
- некоторая функция, 
)t(
- некоторая 

периодическая функция, период которой равен периоду следования 
)i
t(
fi
. Тогда из (1) следует, что 

новый базис, сформированный из 
)i
t(
si
должен 

быть ортогонален с весом 
)t(
h
)t(
2
. Поскольку 

спектр 
)i
t(
fi
представляет собой свертку спектров 

функций 
)i
t(
si
и 
)t(
, то ширина спектра 
)i
t(
si

будет меньше, чем ширина спектра 
)i
t(
fi
. Так, 

функции  

t
sin
2
5
1
)
n
t(

)
n
t(
sin
f
2

n
(8)

ортогональны с весом 
t
sin
2
1
2
. Спектр функций 

(8) в три раза шире спектра функций отсчетов. То 
есть, информацию, которая передается с помощью
(8) можно передать с помощью функций отсчетов. 
Размерность сигнального пространства при этом 
сохраняется.

III. Заключение

Очевидно, что существуют базисные функции, 

которые можно назвать простейшими. Это такие 
функции, которые невозможно представить в виде 
(7) с получением новой ортогональной системы 
функций. Для идеального случая такими простейшими функциями являются, функции отсчетов. Целью 
дальнейших исследований является получение метода определения простейших функций для физически реализуемых каналов связи.

IV. Список литературы

[1] Шеннон К. Работы по теории информации и кибернети
ке/ Пер. с англ. Р.Л. Добрушина, О.Б. Лупанова.– М.: 

изд-во иностр. лит-ры, 1963.–827с.

[2] Дегтярев А.Н., Агаханянц Р.Е. Ортогонализация функ
ций, дискретизация и восстановление сигналов в физически реализуемых системах. – Зв’язок, №2(54), 2005, 
стр. 45-52.

PHYSICALLY FEASIBLE CAPACITY OF 

THE COMMUNICATION CHANNEL

A.N. Degtyarev, 

Sevastopol National technical university

Studgorodok, Sevastopol-99053, Ukraine              

tel. (0692)23-50-18, 

E-mail: rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Abstract - There are given function orthogonalization theorems. 
There also given a sampling theorem for physically feasible 
systems, as well as analytic expression for the capacity of the 
physically feasible communication channel. There shown a 
possibility of transmitting information contained in broadband 
signal via narrowband channels.

I. Introduction

Contradiction of the classical communication theory lies in 

the assumption that a signal used for transmitting information 
has a finite duration 
T and restricted spectrum 
F . Such

signal has
T
F
2
N
degrees of freedom [1]. N equals to 

the number of samples obtained through the sampling of the 
signal in accordance with Kotelnikov sampling theorem. Such 
idealization (i.e. necessity of using physically unfeasible communication channels and signal-forming filters) causes an irreducible error when information is transmitted via real communication channels. The error is caused by interchannel interferences and intersymbol interferences occuring due to the lost 
orthogonality of the signals used. The above contradiction is 
fundamental and cannot be resolved within the bounds of the 
existing theory. It would be challenging to find such a solution 
to the communication channel problem that would be free from 
the above mentioned contradiction.

II. Main part

For linearly independent function system there considered 

an orthogonality condition with weight that can posses both 
positive and negative values. Theorem 1 makes it possible to 
find an orthogonality weight for the finite number of linearly 
independent functions. Theorem 2 makes is possible to determine weight being optimal in terms of its minimum energy (2) 
and representing quadratic form of orthogonalizable functions 
(3), (4). Theorem 3 shows that the Kotelnikov sampling theorem is a particular case of the expansion of the functions in 
series by equidistant functions. The sampling theorem deals 
with physically feasible systems. An expression for the physically feasible communication channel capacity is obtained 
based on this theorem. It is shown that information contained in 
broadband signals can be transmitted via narrowband communication channels, with the signal space dimensions remaining 
unchanged.

III. Conclusion

It is obvious that there are basis functions that can be 

called as elementary. These functions are such that they cannot be represented in form (7) to establish a new orthogonal 
function system. For an ideal case, such elementary functions 
are represented by sampling functions. The aim of further research is to find a method for defining elementary functions for 
physically feasible communication channels.