Математика в примерах и задачах. Ч. 1

Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
в  качестве учебного пособия
для  учащихся учреждений
образования, реализующих
образовательные программы 
среднего специального образования

Минск
«Вышэйшая  школа»
2014

Ìàòåìàòèêà

В двух частях

в примерах и задачах

Часть 1

Под общей редакцией Л.И. Майсени

УДК 51(075.32)
ББК 74.3я723
 
М34

А в т о р ы :  Л.И. Майсеня, А.А. Ермолицкий, И.Ю. Мацкевич, М.А. Калугина, В.Э. Жавнерчик

Р е ц е н з е н т ы : кафедра математических и естественнонаучных 
дисциплин УО «Минский государственный высший радиотехнический колледж» (В.В. Тынкович); профессор кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета, доктор физико-математических наук А.В. Метельский

Выпуск издания осуществлен по заказу Республиканского института 
профессионального образования и при финансовой поддержке Министерства 
образования Республики Беларусь

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства

ISBN 978-985-06-2499-4 (ч. 1) 
© Оформление. УП «Издательство
ISBN 978-985-06-2501-4 
“Вы шэйшая школа”», 2014

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Учебное пособие «Математика в примерах и задачах» состоит 
из двух частей. В первую часть входят гл. 1–12, во вторую – 
гл. 13–25, т.е. во второй части использована продолжающаяся 
нумерация.
При создании учебного пособия авторы ставили перед собой 
несколько целей: во-первых, дать значительное количество задач, которые бы достаточно полно отображали суть основных 
математических понятий; во-вторых, обеспечить необходимой 
теоретической информацией для их решения; в-третьих, по каждой теме привести решение типовых задач; в-четвертых, распределить предлагаемый для решения набор задач по трем уровням 
сложности.
Избранный подход к отбору и систематизации учебного материала определил структуру учебного пособия, которое делится 
на главы, главы – на параграфы. В начале каждого параграфа содержится необходимый теоретический материал, затем приводится решение нескольких примеров и набор заданий трех уровней сложности. Предлагаемая структура учебного пособия делает 
возможным самостоятельное изучение математики. Его использование позволяет реализовать дифференцированный подход 
в обучении: каждый учащийся может решать задания доступного 
ему уровня сложности. Кроме того, пособие может быть использовано в обучении на различных специальностях системы среднего специального образования с разными по содержанию 
(и сложности планируемого материала) учебными программами 
дисциплины «Математика». При этом представлен учебный материал для обучения математике на основе как общего базового, 
так и общего среднего образования.
Характерной особенностью предлагаемого методического 
подхода является построение интегрированного курса из тем 
элементарной, высшей и дискретной математики. Поскольку 
на практике широко реализуется непрерывное образование в системе учреждений среднего специального и высшего образования, это способствует качественной реализации непрерывного 
обучения в университете.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам 
книги – коллективу кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Минского государственного высшего радио

технического колледжа (особенно преподавателю высшей категории В.В. Тынкович) и профессору кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета, 
доктору физико-математических наук А.В. Метельскому – за 
внимательное прочтение рукописи и ценные замечания.
Авторы надеются, что предлагаемое издание будет способствовать активизации мыслительной деятельности учащихся 
и повышению эффективности процесса обучения математике.
Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: издательство «Вышэйшая школа», пр. Победителей, 11, 220048, Минск.

Авторы

1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÊÓÐÑ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

1.1. Âûñêàçûâàíèÿ. Òèïû òåîðåì

Под простым высказыванием понимают утверждение (повествовательное предложение), в отношении которого можно сказать, истинно оно или ложно (но не то и другое вместе).
Высказывания обозначают прописными буквами латинского 
алфавита: A, B, C, …, их значения истина и ложь – соответственно «И» и «Л». Сложные высказывания получают из простых с помощью логических операций, к которым относятся отрицание, 
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность (эквиваленция).
Если А – высказывание, то отрицание высказывания А определяется как такое высказывание, которое истинно тогда и только 
тогда, когда высказывание А ложно. Отрицание высказывания 
А обозначается A (или ¬A); читается: «не А».
Истинность или ложность операции отрицания выражает истинностная таблица 1.1.

Та б л и ц а  1.1

А

И
Л

Л
И

Конъюнкцией двух высказываний A, B называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания A, B истинны. Конъюнкция обозначается A
B
∧
 (или 

A
B
&
); читается: «А и В». Конъюнкции соответствует истинностная таблица 1.2.

Та б л и ц а  1.2

А
В
A
B
∧

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
Л

Л
Л
Л

A

Дизъюнкцией двух высказываний A, B называется такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания A, B ложны. Дизъюнкция обозначается A
B
∨
; читается: 
«А или В». Союз «или» здесь употребляется в соединительном, 
а не в разделительном смысле, т.е. истинность высказывания 
A
B
∨
 имеет место в трех случаях: 1) A – истина; 2) B – истина; 
3) и A и B – истина. Дизъюнкции соответствует истинностная таблица 1.3.

Та б л и ц а  1.3

А
В
A
B
∨

И
И
И

Л
И
И

И
Л
И

Л
Л
Л

Импликация высказываний А, В определяется как такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно. Импликация двух высказываний А, В обозначается A
B
⇒
; читается: «если А, то В». 
Высказывание А называется посылкой импликации, а В – заключением. Импликации соответствует истинностная таблица 1.4.

Та б л и ц а  1.4

А
В
A
B
⇒

И
И
И

Л
И
И

И
Л
Л

Л
Л
И

Эквивалентность двух высказываний А, В определяется как 
высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывания А, В оба истинны или оба ложны. Обозначается 
A
B
⇔
; читается: «А тогда и только тогда, когда В» («А есть необходимое и достаточное условие для В»). Эквивалентности соответствует истинностная таблица 1.5.

Та б л и ц а  1.5

А
В
A
B
⇔

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
Л

Л
Л
И

Если теорема сформулирована в виде A
B
⇒
, то она называется признаком или достаточным условием для B, где A, B – некоторые высказывания.
Теорема типа B
A
⇒
 называется обратной для теоремы A
B
⇒
.

Если теорема имеет вид A
B
⇔
, то она называется критерием 
или необходимым и достаточным условиями для B. Теорема такого типа объединяет прямую и обратную теоремы.
Теорема типа B
A
⇒
 называется противоположной к обратной теореме.
Высказывание A
B
⇒
 истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание B
A
⇒
. На этом факте основан метод доказательства теорем от противного (противоположного).
Пример 1. Заданы высказывания:
А: «Число 7 больше числа 6»;
В: «Число 7 равно числу 6»;
С: «Сумма углов треугольника равна 180°».
Рассмотреть следующие высказывания и установить их значения (И или Л): A, A
B
∨
, A
B
∧
, A
C
⇒
, B
C
⇔
,(
)
.
A
C
B
∨
⇒

Р е ш е н и е. Рассмотрим высказывание A: «Число 7 не больше числа 6». Оно есть Л, так как А – И.

A
B
∨
: «Число 7 больше или равно числу 6». Это высказывание является дизъюнкцией высказываний А, В, где А – И, В – Л. 
Согласно табл. 1.3 оно есть И.

A
B
∧
: «Число 7 больше и равно числу 6». Это конъюнкция 
высказываний, где А – И, В – Л. По табл. 1.2 оно есть Л.

A
C
⇒
: «Если число 7 больше числа 6, то сумма углов треугольника равна 180°». Это импликация двух истинных высказываний, а потому оно есть И.

B
C
⇔
: «Число 7 равно числу 6 тогда и только тогда, когда 
сумма углов треугольника равна 180°». Поскольку В – Л, С – И, 
то, согласно табл. 1.5, получаем, что B
C
⇔
 есть Л.

(
)
:
A
C
B
∨
⇒
 «Если число 7 больше числа 6 или сумма углов 
треугольника равна 180°, то число 7 не равно числу 6. Высказыва-
ние A
C
∨
 является И (по табл. 1.3 как дизъюнкция двух истинных высказываний). Высказывание B также есть И. Тогда рассматриваемая импликация по своему значению есть И.
Пример 2. Доказать истинность эквивалентности

 
(
)
(
).
A
B
A
B
⇒
⇔
∨
 
(1.1)

Р е ш е н и е. Для доказательства рассмотрим четыре возможных случая.
1. Пусть оба высказывания A, B есть истина. Тогда, согласно 
табл. 1.4, A
B
⇒
 есть И. Поскольку B есть И, то по табл. 1.3 A
B
∨
 
есть И. Значит, высказывания в левой и правой частях истинны, т.е. эквивалентность также есть И.
2. Пусть A является истинным высказыванием, а B – ложным. 
Тогда импликация A
B
⇒
 есть Л. В правой части эквивалентности (1.1) также имеем ложное высказывание, поскольку это 
дизъюнкция двух ложных высказываний. Следовательно, эквивалентность (1.1) является истиной.
3. Пусть A есть ложь, B – истина. Тогда A
B
⇒
 есть И, A
B
∨
 – 
И, а потому эквивалентность (1.1) является истиной.
4. Пусть оба высказывания A, B есть Л. Тогда A
B
⇒
 есть И, 

A
B
∨
 – И.
Мы доказали, что во всех возможных случаях исходных значений высказываний A, B эквивалентность (1.1) есть И.

Ç à ä à í è ÿ

I óðîâåíü

1.1. Определите, является ли предложение высказыванием, 
и установите его значение (истина или ложь):
1) «Пусть всегда будет солнце!»;
2) «Минск – столица Болгарии»;
3) «Число 7 больше числа 5»;
4) «Ты идешь сегодня в школу?»;
5) «Выражение x2 принимает значения больше нуля или равно нулю»;
6) «Беларусь – европейская страна».
1.2. Определите тип высказывания (простое или сложное):
1) «Если сумма углов четырехугольника равна 360°, то четырехугольник является квадратом»;

2) «Квадрат является ромбом»;
3) «Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны»;
4) «Если высота треугольника проведена к основанию и она 
является медианой, то треугольник – равнобедренный».
1.3. Даны высказывания:
А: «Диагонали четырехугольника равны»;
В: «Четырехугольник является прямоугольником».
Сформулируйте высказывание и установите его значение 
(И или Л):
1) A
B
⇒
; 
2) B
A
⇒
; 
3) B
A
⇒
.

1.4. Определите тип теоремы:
1) «Если x1, x2 – корни квадратного трехчлена ax
bx
c
2 +
+ , то 

ax
bx
c
2 +
+ ==
−
−
a x
x
x
x
(
)(
)
1
2 »;
2) «Окружность вписана в четырехугольник тогда и только 
тогда, когда суммы противоположных сторон четырехугольника 
равны».

II óðîâåíü

2.1. Даны высказывания, сформулированные для натуральных чисел:
А: «Число является четным»;
В: «Сумма цифр числа делится на 3»;
С: «Число делится на 6».
Сформулируйте сложное высказывание и установите его значение (И или Л):
1) (
)
;
A
B
C
∧
⇒
 
2) C
A
B
⇔
∧
(
).

2.2. Для теоремы «Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату наибольшей стороны» сформулируйте:
1) обратную;
2) противоположную;
3) противоположную к обратной;
4) необходимые и достаточные условия.
Определите значение (И или Л) сформулированных утверждений.
2.3. Приведите пример конкретных математических высказываний A, B, C, которые бы содержательно соответствовали высказыванию (
)
A
B
C
∨
⇒
 со значением И.

III óðîâåíü

3.1. Докажите, что высказывания A
B
⇒
, B
A
⇒
 имеют одинаковые значения при всех возможных значениях высказываний A, B.
3.2. На вопрос, кто из трех студентов сдал экзамен на «отлично», был получен ответ: «Правда, что если сдал первый, то сдал 
и третий, но неправда, что если сдал второй, то сдал и третий». 
Определите, какой студент сдал экзамен на «отлично».

1.2. Ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä íèìè. 
×èñëîâûå ìíîæåñòâà

Множество – первичное неопределяемое понятие. Обозначают множества прописными буквами латинского алфавита A, B, 
C, X, … . Под множеством понимают совокупность (группу, набор и т.д.) элементов, которые характеризуются одинаковыми 
свойствами.
Множества изображают диаграммами 
(кругами) Эйлера – Венна (рис. 1.1).
Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: a
A
∈ ; если элемент а не 
принадлежит множеству А, то пишут: 
a
A
∉ .

Множество может задаваться с указанием его элементов (например, A ={
}
1 3 8
, ,
) или указанием характеристического свойства. Например, если B состоит из элементов x, для которых вы
полняется свойство P x
( ), то пишут: B
x P x
={
}
|
( ) .

Если каждый элемент множества A есть 
элемент множества B, то множество A называется подмножеством множества B (или 
говорят, что A включено в B). Пишут: A
B
⊂
 
(или B
A
⊃
) (рис. 1.2). Два множества A, 
B называются равными (
),
A
B
=
 если они состоят из одних и тех же элементов: A
B
=
 
тогда и только тогда, когда A
B
⊂
 и B
A
⊂
. 
Множество, которое не имеет элементов, называется пустым 
и обозначается символом ∅.
К основным операциям над множествами относят объединение, пересечение, разность, дополнение.

Рис. 1.1

Рис. 1.2