Динамика машин

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.Е. ЛЕВИН, Л.Н. ПАТРИКЕЕВ

ДИНАМИКА МАШИН

Утверждено 

Редакционно-издательским советом университета 

в качестве конспекта лекций

НОВОСИБИРСК

2009

УДК 621.01:53(075.8)

Л 363

Рецензент д-р техн. наук, профессор В.Г. Атапин

Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов 

для студентов направления 150300 «Прикладная механика»

Левин В.Е.

Л 363
Динамика машин : конспект лекций / В.Е. Левин, Л.Н. Патри
кеев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. – 139 с.

ISBN 978-5-7782-1352-4

В конспекте представлены материалы, достаточно подробно иллюстрирую
щие приложения аппарата теории вероятностей к описанию поведения конструкций, подверженных действию случайных факторов. Рассмотрены важные вопросы расчета в стохастической постановке конструктивных элементов, звукоизоляции и виброзащиты.

В прочностном расчете летательного аппарата при действии внешних нагру
зок определенное внимание уделяется акустическим воздействиям. Их природа 
имеет случайный характер, и для проведения количественных оценок приходится 
привлекать аппарат теории случайных функций.

УДК 621.01:53(075.8)

ISBN 978-5-7782-1352-4
©   Левин В.Е., Патрикеев Л.Н., 2009
©   Новосибирский государственный

технический университет, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Основные задачи динамики машин....................................................................5
2. Основные положения теории случайных процессов ........................................7

2.1. Стационарные эргодические случайные процессы...................................7
2.2. Основные статистические характеристики случайных процессов ..........8
2.3. Совместные характеристики случайных процессов................................17
2.4. Нагрузки – случайные функции координат и времени...........................21

3. Характеристики внешних динамических воздействий на конструкции 

летательных аппаратов .....................................................................................23
3.1. Спектральные характеристики турбулентной атмосферы......................23
3.2. Вибрационные нагрузки ............................................................................25
3.3. Акустические нагрузки..............................................................................27

3.3.1. Единицы измерения акустических нагрузок..................................28
3.3.2. Шум реактивного двигателя............................................................30
3.3.3. Шум турбулентного пограничного слоя.........................................33

3.4. Посадочные нагрузки.................................................................................35

4. Внешние нагрузки, действующие на транспортные средства, машино
строительные конструкции и сооружения ......................................................36
4.1. Транспортные нагрузки .............................................................................36
4.2. Ветровые нагрузки .....................................................................................40
4.3. Сейсмические нагрузки .............................................................................42

5. Влияние шума и вибраций на организм человека ..........................................45

5.1. Влияние вибрации на организм человека ................................................46
5.2. Влияние шума на организм человека .......................................................48

6. Линейные динамические системы при детерминированном нагружении ...51

6.1. Реакция линейной системы на гармонические возбуждения .................51
6.2. Реакция линейной системы на периодическое возбуждение .................55
6.3. Вынужденные колебания распределенных систем .................................57

7. Вынужденные случайные колебания линейных систем ................................63
8. Звукопоглощение...............................................................................................75

8.1. Волокнисто-пористые материалы.............................................................77
8.2. Резонансные поглотители..........................................................................80
8.3. Мембранные поглотители .........................................................................81
8.4. Штучные поглотители ...............................................................................82
8.5. Расчет снижения шума в помещении .......................................................82

9. Звукоизоляция....................................................................................................84

9.1. Прохождение звука через границу раздела двух сред ............................85
9.2. Прохождение звука через слой конечной толщины................................86

9.3. Звукоизоляция одностенной конструкции...............................................90
9.4. Прохождение звука через гибкую пластину............................................92
9.5. Звукоизоляция двухстенной конструкции ...............................................96
9.6. Влияние промежуточных опор на звукопередачу.................................101

10. Виброзащита и виброизоляция.....................................................................102

10.1. Постановка задачи.................................................................................102
10.2. Эффективность виброзащиты ..............................................................104

11. Нелинейные колебания виброизоляторов ...................................................110

11.1. Нелинейные явления в виброизоляторе с одной степенью 

свободы..................................................................................................111

11.2. Нелинейные явления в виброизоляторе с сухим трением 

и линейным упругим элементом..........................................................114

11.3. Виброизолятор с демпфером сухого трения и нелинейным 

упругим элементом ...............................................................................116

11.4. Виброизолятор с внутренним трением и нелинейным упругим 

элементом ..............................................................................................116

11.5. Нелинейные явления при полигармонических и случайных 

воздействиях.........................................................................................117

12. Защита от ударных воздействий...................................................................119

12.1. Уравнение движения системы при ударе............................................120
12.2. Ударные характеристики виброизолятора..........................................121
12.3. Поведение линейной недемпфированной системы при ударе ..........122
12.4. Ударные спектры простого осциллятора ............................................126

13. Активные системы виброизоляции..............................................................127

13.1. Управление по отклонению..................................................................128
13.2. Управление по возмущению ................................................................131

14. Методы виброакустических измерений.......................................................132

14.1. Основные понятия.................................................................................132
14.2. Акустические измерения ......................................................................133
14.3. Вибрационные измерения ....................................................................137

Библиографический список ...............................................................................138

1. Основные задачи динамики машин

Курс «Динамика машин» объединяет широкий спектр дисциплин, 

связанных с анализом динамических характеристик различных механизмов и машин, с расчетом динамических реакций сооружений на 
действие динамических нагрузок. В некоторых случаях динамические 
нагрузки являются определяющими и их влияние должно непременно 
учитываться. Типичными примерами таких динамических нагрузок 
являются следующие.

А. Аэродинамические нагрузки, действующие на самолет при поле
те в неспокойной атмосфере; акустические и вибрационные нагрузки.

Б. Нагрузки, действующие на экипаж, движущийся по дороге или 

по рельсам.

В. Сейсмические и ветровые нагрузки, действующие на высотные 

здания, ферменные конструкции и т. д.

Неотъемлемой частью как летательных аппаратов, так и транспорт
ных машин являются средства управления и автоматики, радиоэлектронная аппаратура и различное бортовое оборудование. Динамические нагрузки, действующие на машины и летательные аппараты, не 
только сокращают срок службы этого оборудования, но и существенно 
влияют на качество его работы. Поэтому анализ, прогнозирование 
вибрационного состояния и, самое важное, виброзащита этого оборудования – одна из главных проблем динамики машин.

При работе любой механизм служит источником шума и вибраций, 

уровни которых могут достигать высоких значений и оказывать вредное воздействие как на окружающую среду, так и на людей. В случаях, 
когда не удается снизить шум и вибрации традиционными методами, 
приходится решать проблему звуко- и виброизоляции.

Все упомянутое выше – далеко не полный перечень проблем, кото
рые включает в себя курс «Динамика машин».

Существует множество специализированных курсов, изучающих 

динамику машин и транспортных средств определенного типа.

В данном конспекте лекций рассматривается ряд проблем, общих 

для большинства специализированных курсов по динамике машин. 
К таким проблемам относятся:

•
исследование поведения машин и конструкций при действии ди
намических нагрузок;

•
звукоизоляция источников шума;

•
виброзащита и виброизоляция оборудования, аппаратуры, ма
шин;

•
идентификация источников шума и вибрации, измерение их ха
рактеристик;

•
вибродиагностика систем.

Известно, что успех любого расчета зависит от удачного выбора 

расчетной схемы и описания нагрузок. Расчетная схема конструкции 
должна быть достаточно простой, логически безупречной, допускающей математическую обработку, и в то же время хорошо соответствующей реальной конструкции. Современные численные методы расчетов позволяют создавать расчетные схемы с максимальным приближением к реальным конструкциям.

Для описания внешних нагрузок можно использовать расчетные 

схемы, построенные на основе анализа физической природы нагрузок 
и экспериментальных измерений. Практически все внешние нагрузки, 
действующие на машины, сооружения, по своей природе являются 
случайными функциями времени и пространства, поэтому теоретические исследования и практические методы расчета таких конструкций 
базируются на вероятностных моделях, в основе которых лежит теория 
случайных процессов. Эти методы позволяют с определенной степенью точности оценить действующие нагрузки, реакцию, прочность и 
долговечность конструкции.

2.   Основные положения 

теории случайных процессов

2.1. Стационарные эргодические случайные процессы

Внешние нагрузки, действующие на летательный аппарат, являются 

случайными величинами. Они изменяются по времени или другому какому-либо параметру. Например, в каждый момент времени величина x(t) принимает случайные значения (рис. 2.1), 
распределение которых подчиняется некоторому закону.

Другими словами, случайный про
цесс – это непрерывное изменение какой-либо физической величины по времени случайным образом. Случайный процесс можно характеризовать 
средним значением процесса и средним значением квадрата процесса.

Рассмотрим ряд реализаций случайного процесса (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Рис. 2.1

Среднее значение случайного процесса в момент времени t находит
ся посредством суммирования мгновенных значений каждой реализации и деления этой суммы на число реализаций:

1
1

1

1
lim

N

i
N
i

x t
x t
N
. 
(2.1)

Аналогично определяется среднее значение квадрата процесса:

2
2

1
1

1

1
lim

N

i
N
i

x
t
x
t
N
.
(2.2)

Если эти характеристики процесса остаются неизменными во времени, 
то процесс называется стационарным.

При изменении любой из этих статистических характеристик по 

времени процесс называется нестационарным.

Когда все статистические характеристики процесса определяются 

из одной его реализации, то такой процесс называется эргодическим.
Эргодические случайные процессы составляют очень важный класс 
случайных процессов. В практических задачах можно считать, что 
большинство случайных процессов обладает свойством эргодичности.

2.2. Основные статистические характеристики 

случайных процессов

Любой случайный процесс может быть описан следующими стати
стическими характеристиками:

•
средним значением процесса;

•
средним значением квадрата процесса;

•
плотностью распределения;

•
корреляционной функцией;

•
спектральной плотностью.

Среднее значение процесса, или математическое ожидание, опре
деляется в виде

0

1
lim

T

T
x t
x t dt
T
. 
(2.3)

Среднее значение квадрата процесса определяется в виде

2
2

0

1
lim

T

T
x
t
x
t dt
T
. 
(2.4)

Абсолютная величина корня квадратного из среднего значения 

квадрата называется среднеквадратичным значением.

Зачастую удобно характеризовать случайный процесс статической 

составляющей (математическое ожидание) и динамической составляющей. Динамическая составляющая определяется дисперсией процесса.

Дисперсией процесса называется величина D(x), равная среднему 

квадрату отклонений его ординат от среднего значения:

2

0

1
lim

T

T
D x
x t
x t
dt
T
. 
(2.5)

Положительное значение корня квадратного из дисперсии называ
ется среднеквадратичным отклонением или стандартом
:

x
D x . 
(2.6)

На практике часто применяют формулу, выражающую дисперсию 

через математическое ожидание и среднеквадратичное значение:

2
2
2

x
x
t
x t
. 
(2.7)

Плотность распределения случайного процесса позволяет находить 

вероятность того, что значения процесса будут заключены в определенном интервале времени.

Рассмотрим некоторый случайный процесс (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Вероятность того, что значение x(t) попадает в интервал от x до 

(x + x) можно найти, вычисляя отношение Тх /Т, где Tх – суммарная 
продолжительность нахождения процесса в интервале (x, x +
x) за 

время наблюдения T, а

x
i

k

T
t .

Тогда

lim
x

T

T
Р x
x t
x
x
T , 
(2.8)

а функция

0
lim
x

P x
x t
x
x

p x
x
. 
(2.9)

называется одномерной плотностью распределения.

Плотность распределения p x
всегда есть действительная, неот
рицательная функция.

Среди множества распределений случайных величин важное значе
ние имеет нормальное, или гауссовское, распределение. Его плотность 
вероятности имеет вид

2

1
2
2
1
2

x m

p x
e
. 
(2.10)

Вероятность того, что мгновенное значение x t
не превышает не
которой величины x, характеризуется функцией распределения F x :

x

F x
P x t
x
p
d . 
(2.11)

Вероятность попадания x(t) в некоторый интервал (x1, x2) определя
ется формулой

2

1

1
2
2
1

x

x

P x
x t
x
F x
F x
p
d . 
(2.12)

Среднее значение функции x t
и среднее значение квадрата функ
ции 
2
x
t
можно выразить через плотность распределения следующим 

образом:

x t
xp x dx ; 
(2.13)

2
2
x
t
x p x dx . 
(2.14)

Чтобы понять, какое практическое значение имеет плотность рас
пределения, рассмотрим четыре различные реализации случайного 
процесса (рис. 2.4). Для удобства принимаем, что среднее значение 
равно нулю.

Гармонический процесс                         Гармонический процесс +

случайный процесс

Узкополосный случайный                   Широкополосный случайный
процесс                                                  процесс

Рис. 2.4

На рис. 2.5 изображены графики плотности распределения для этих 

процессов.

Гармонический процесс                                          Гармонический процесс +

случайный процесс

Узкополосный случайный                                    Широкополосный случайный
процесс                                                                   процесс

Рис. 2.5

Часто в практике описания случайных процессов используют поня
тие моментов, которые бывают двух видов: начальные и центральные.

Для непрерывной случайной величины X t
начальным моментом 

s-го порядка называется интеграл

s

s
m
x
x p x dx , 
(2.15)

а для центрального момента имеем интеграл

1

s

s
M
x
x
m
p x dx . 
(2.16)

Тогда математическое ожидание процесса – это начальный момент 

первого порядка, среднее значение квадрата процесса – начальный момент второго порядка, а дисперсия процесса – центральный момент 
второго порядка.