Релевантная логика (предпосылки, исчисления, семантика)

Российская Академия Наук 

Институт философии 

Е.А. СИДОРЕНКО 

РЕЛЕВАНТНАЯ ЛОГИКА 

(ПРЕДПОСЫЛКИ, ИСЧИСЛЕНИЯ, СЕМАНТИКА) 

Москва 
2000 

ББК Ю.4 
УДК 164.02 

С 34 

С 34 

в авторской редакцин 

РецензеНТbI: 

доктор филос. наук Ю. В. Ивлев 

доктор фил 
ОС. наук В. И. МаРКlI1' 

Сидоренко Е.А. 

Релевантная логика (предпосылки, исчисления, семантика). М., 2000. - 243 с. 

Книга rюсвящена OCllOlla\l Р'::IСIIШlпюii :ЮГlIКII. IIрll'IIIIШ,\I .:.: 

появления. 
1I0СТРОСlflll() 
:(:IЯ 
11':': 
a;ICKRUTHoii 
рt:;IЯЦIЮlllюii 

семаllПIКII 
кр"пкt:UСКОI'О "11"1, 
i(,)СIСЯ 
lюrlУ,lЯРlюt: 
Ш:ЮЖСIfIН: 

СС\tЗIПИКII IIО'IМОЖНЫХ \lItJЮII, J JРllltШIllIIа:IЫIOЙ 
осоfiсншк ''Ы') 

Ilре;Llаrае\юй 
автором 
:IBYXYPoBHcnoii 
(ДВУ:\'JТUЖlюii) 

РСЛЯЦНОIttIOЙ семантики С OllflapIII.IM ОТlIOШСllltсм ДОСТlIЖШЮС 111 

является то. что IIlIкакая форму;ш ,10пtКи "е является IIСТШIII"Й во 

всех возможны" Mllpax. а СС,\lшtПIЧССКII IlиltНlIЫМl1 ока'IЫВ3ЮТСЯ 

такие форму.1Ы А. которые IIСПIIIIII.I 11" 
ИССХ 
гсх МllРЗ". 1';1': 

посryлируется 
вериость 
A~A, 
Ilрехшгасмая 
СС\ШIПlIка 

адаптирована ,1ЛЯ II1ВССТНЫХ pCfICII3ItTHI.I" ИСЧИСЛСlfllЙ Е, R 11 -'"Н. а 

I'акжс авторской систсмы Е"",. IIСIЮСРС;IСТВСIIIЮ фоР\laJIШ}'ЮIII.:ii 

lIt:оБХОДIНtую 11мп;шкзшtю. OIlIIсывасмую 11 ItСЧllс:tСIIltIl ,\Н 

ISBN 5-201-01925-0 
©Е.А.Сидоренко, 2000 
©ИФРАН,2000 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВведеШIС 
5 
1. CeMaHTIIKa возможных МIlРОВ 
11 
1.1. ВОЗМОЖIJые МIlРЫ 
11 
1.2. CeMallTIIKa клаССllчеСКОЙПРОllOЗIЩllOнаЛhНОЙ :ЮГlIКII 
21 

1.3. СемаНТlIка модалыюй ЛОПIКII 
25 
1.4. Тр" направлеНIIЯ KpllТlIКlI клаССllческой ЛОПIКII 
29 
1.5. СемаНТlIка релеваНТНОI'О С:lсдоваНIIЯ для К!IaССIIЧССКIIХ 

ПРОПОЗIIЦИОНальных формул 
36 

I.б. ЛОГllческое следоваНllе 11 IIМПЛllкаТlшные IIСЧIIСЛСIIIIЯ 
·Ю 

2. СемаНТllческое построеlillС" релевантной ЛОГlIКlI 
53 
3. Теоретllческие 11 идейные преДПОСЫЛКII двухуровнсвой 

семаНТИКII следования (переход от лейбшщевской 

ceMaHTIIКlI к юмовской) 
7О 
4. Двухуровневая реляционная семаНТlIка (теХНllческое 

lIocтpoeHlle 11 содержатеЛЫlые пояснеНIIЯ) 
84 

5. СемаНТlIка СIIСТСМЫ Е 
105 

6. Чсм детеРМIIIШРУется семаllТlIка слсдованшi 
116 

7. СемаНТlIЧL'СКllе РЮЛlIЧIIЯ мсж;!)" IIМШIIIКlII{IIЯМII. 

OIIIIСhшаСМЫМl1 CIICTCMaMII Е 11 R 
123 

Н. СсмаНТlIка IIСЧllслеllllЯ R 
133 

9. CCMallTIIKa IIСЧIIСЛСIIIIЯ N R 
13R 

IО. ВзаllМООТlюшеllllЯ МСЖ,1У СlIстсмам" Е 11 NH. 
151 

11. СсмаНТlIка S·· 11 IшранеnРОТlIВОРСЧIIIЮl'lЪ РС;IСIJШIТIIЫХ 

СlIстем 
157 

11. Как YCII.'JllТb ДСДУКТlllшые II\ПМ(\ЖIЮСТII pC;ICBaHTlloii 

JЮПIКlI до К:ШССlIчсскоii 
15'1 

12.1. Принцип непротиноречия и парадоксы следования 
160 

12.2. Слабые следствия и парадоксы следования 
167 
12.3. Выводы, базирующиеся на релевантной логике 

и принципе непротиворечия 

13. Теорема дедукции 

13.1. Стандартные и нормализованные выводы 
13.2. Обобщенная теорема дедукции 
13.3. Универсальная теорема дедукции 
13.4. Общие замечания 

Заключение 

Приложение (аксиоматика некоторых релевантных систем) 

Литература 

180 
188 
192 
204 
217 
227 
232 
238 
240 

Введение 

Главными темами этой книги являются релевантная логика и адекватная этой логике семантика возможных миров 

не которого принципиально нового типа. Дается популярное 

и неформальное изложение традиционной семантики возможных миров, которую называют также реляционной или 

крипкевской по имени одного из ее основателей с.Крипке. 

Именно он был в числе первых, кто предложил задать на 

множестве возможных миров отношение достижимости одних миров из других. Это нововведение позволило существенно усилить потенциал семантики возможных миров. Нам 

удается добиться нового его усиления за счет разбиения 

В01МОЖНЫХ миров надвое. Каждый возможный мир будет 

имеп.., так сказать, два этажа. Первый из них эмпирическая часть мира представляет собой обычный крипкевский мир (карнаповское описание состояний). Второй этаж 
это теоретическая часть мира, представляющая некоторый список выражений (формул) языка той теории, для которой строится семантика. 

"Двухэтажность" возможных миров, которые содержательно можно рассматривать как универсумы рассуждений, 

позволяет отличить сложные утверждения о теоретических 

(выходящих за пределы эмпирической обоснованности) 

связях между событиями от тех, истинность которых представляет функцию истинности своих составляющих. 

Мы строим здесь семантику для языка широко известных систем релевантной логики. И это стало основанием 

для названия книги. Возможно, наиболее точным названием 

книги было бы "Двухуровневая с бинарным отношением 

5 

достижимости семантика возможных миров релевантной 

логики". Хотел бы я видеть, кто на подобное название осмелился бы. Будучи подходящим для статьи, оно для монографии звучало бы ужасно. 

В основном свои взгляды на релевантную логику, причины и оправданность ее появления, достоинства ее и недостатки, возможные расширения я изложил в [7]. Имеются там и достаточно прозрачные ее семантические основания. Специально проблемы семантики релевантной логики 

я обсуждал в [24, 25, 32]. Предложенные там семантические 

подходы нельзя назвать совершенно стандартными. Они 

показывали, как из не которого класса несомненно семантически истинных формул релевантной логики путем ряда 

преобразований, сохраняющих это свойство в силе, можно 

получить все остальные семантические истины, описываемые тем или иным релевантным исчислением. 

Релевантная логика - логическое направление, которое 

возникло и развивалось в качестве альтернативы классической символической логике. В названии логики (термины 

релевантный, релевантность представляют собой кальку с 

английского, и их можно 
перевести как "уместный", 

"оnmосящийся к делу", "уместность") нашло отражение то 

обстоятельство, что в ней исключаются свойственные классической логике принципы, которые с точки зрения интуиции и, главное, реальной практики рассуждений трактуются 

как неуместные, не соответствующие этой практике, nарадОКСШlьные. Грубо говоря, релевантная логика отличается 

от классической логики в двух основных пунктах. 

Во-первых, в объектный язык такой логики и соответствующих ей исчислений вводится интенсионально понимаемая импликация, истинностное значение которой в 01
6 

личие от экстенсиональной материальной импликации не 

детерминируется однозначно ИСТИННОСТНblМИ значениями 

СВЯЗblваеМblХ этой импликацией ВblсказblваниЙ. В одних исчислениях. таких как R. вводимая импликация близка к 

обblЧНОМУ условному союзу "Если .... то ... " 
и часто именуется рлеванmной импликацией. В других, например в 

известном исчислении Е, импликация вводится в объеКТНblЙ 

ЯЗblК как необходимая условная связь (в аНГЛОЯЗblЧНОЙ литературе ее именуют entailmentl ), которая также понимается 

интенсионально и, по заМblСЛУ (с чем соглаСНbI одни [8] и не 

соглаСНbI другие [7]), должна служить формалЬНblМ аналогом логического следования. 

Технически для фигурирующих в релевантной логике 

импликаций интенсиональность означает, что принципов, 

аналОГИЧНblХ парадоксам материальной импликации: 

A~. B~A (истинное высказывание А следует из любого) 

и 

A~.-,A~B (из ложного высказывания -,А следует любое), 

в релевантной логике не имеется. 

BO-ВТОРblХ, в релевантной логике, чтобbl принять утверждение об отношении логического следования между А 

и В (символически: А 1- В) не достаточно того факта, что В 
тождественно истинно, или А - тождественно ложно (противоречиво). Соответственно в релеваНТНblХ исчислениях 

нет и теорем вида A~B, где В - теорема, а А - произвольная 

формула, или А - отрицание TeopeMbI, а В произвольная 

Кальку )Того слова uнmеuлменm Иfюгда используют и IЮ-РУССКII. 

когда хотят подчеркнуть, что речь идет о следовании (импликаuии). 

описываемой именно системой Е. 

7 

формула. Символическая релевантная логика ближе к той 

логике, которая употребляется в обычных рассуждениях. 

Вместе с тем в ней, по сравнению с классической, возникают серьезные семантические проблемы. Например, отвергая 

утверждение -.АА t- В о выводимости произвольного В из 

противоречия -.АА, необходимо обосновать отвержение утверждения о логическом следовании ~t=В 
в семантическом смысле, а также иметь семантику, в которой формулы 

вида -.AA~ В, -,(A~A)~ В, A~(B~ 
В) и Т.П., антецеденты 

которых противоречивы, или консеквенты общезначимы, не 

были бы семантически истинными. 

Технические решения найти удалось. Однако с содержательной точки зрения предлагаемые семантики оказались 

весьма искусственными. В семантику возможных .'Ииров 

пришлось вводить "невозможные возможные миры" и (вместо обычного бинарного) тернарное отношение достижимости одних миров из других. Мы покажем далее как данный 

недостаток удается преодолеть на пути построения двухуровневой семантики возможных миров. 

Моя первая публикация с идеей реляционной семантики, предполагавшей двухэтажные миры, относится к 1993 

году [1]. 
Основные теоретические положения и технические результаты по двухуровневой реляционной семантике 

релевантной логики наиболее полно изложены мной в 
[3,20 и 22]. 
Там главная цель состояла в том, чтобы 

"застолбить" оригинальный подход к проблеме, реализовать саму идею построения реляционной семантики (причем с бинарным отношением достижимости) для известных 

исчислений релевантной логики [5] и 
в первую очередь 

таких, как Е, R и NR. Важно было сделать упор, во-первых, 

на то, что эта семантика является именно бинарной, так как 

8 

для релевантной логики удавалось построить реляционную 

семантику только с TepHapHblM отнощением достижимости 
[6, 9, 13], 
что делало весьма проблематичной скольконибудь удачную ее содержательную интерпретацию. А воBTOPblX, на то, что предлагаемая семантика бblла адекватна 

назваННblМ исчислениям, ибо семантик как TaKoBblX, вообще 

говоря, строилось и может бblТЬ построено сколько угодно. Теперь, когда названная цель достигнута, можно сосредоточится на анализе самой семантики, ее содержательном 

и философском обосновании, рассмотреть наиболее интеpecHble 
ее модификации и вариаНТbI, более тщательное 

внимание уделить проблеме адекватности семантик. В частности, с большей строгостью провести доказательства 

теорем о полноте соответствующих исчислений относительно сформулироваННblХ для них семантик. 

В решении назваННblХ проблем определенную помощь 

дало мне их обсуждение с В.А. СМИРНОВblМ, Е.Е. ЛедникоBblM, 
В.М. ПОПОВblМ, 
в.л. ВаСЮКОВblМ, 
J.M. Dann'oM, 

Н. Куртониной, Р. Weingartner'oM, Д.В. ЗайцеВblМ, Н.Н. Непейвода. Я благодарен М. Nowak'y из Bulletin ofthe Section 
of' Logic (University of L6dz) за КОНСТРУКТИВНblе замечания в 

адрес подготавливаемой мною дЛЯ BSL статьи [22]. ЧрезВblчайно полезной бblла рецензия, написанная D.Batens'oM 

на статью, написанную мной для журнала Logique et 
Ana/yse. 

При работе над книгой я всегда держал в уме вероятную критику СО CTOPOHbI Е.к. Войшвилло, своего постоянного оппонента в вопросах понимания импликации и логического следования. Немалую рол!> Сblграла возможность 

обсуждения предлагаемой семантики на заседаниях научноисследовательского семинара сектора логики Института 

9 

философии РАН. Я благодарен теперешнему руководителю 

семинара и заведующему сектором логики Е.Д. Смирновой, 

оказавшей поддержку данному направлению исследований. 

При подготовке книги полезными оказались критические 

замечания А.М. Анисова, П.И. Бblстрова, И.А. Герасимовой, 

А.с. Карпенко, с.А Павлова, Шалака В.И. 

Во всех случаях мое неизменное признание и благодарность относятся к А.А. Зиновьеву, КОТОРblЙ когда-то привлек меня к исследованиям по релевантной логике (непарадоксальной теории следования) и около десяти лет руководил ими, начиная с того времени в 60-х годах, когда я бblЛ 

еще студентом и когда самого словосочетания релевантная 

:lOгика еще не существовало. Свою первую, как потом оказалось, релевантную систему G я построил в студенческой 

курсовой работе 1966 года2 • Позднее я обнаружил практически идентичную ей систему, именуемую как В (сейчас ее 

обblЧНО наЗblвают первопорядковой теорией следования и 

обозначают как ЕЩе,), в докторской диссертации Н. Белнапа 
(1960), которому я благодарен за полученную в свое время 

поддержку и компьютерную проверку ряда моих технических результатов. 

Я благодарен за поддержку проведеННblХ исследований 
Российскому гуманитарному научному фонду (РГНФ)3. 

10 

Публикация: Sidorenko Е.А. 
~'ariaten der Systeme de/' /ogisc/len 
Fo/gebensiehllng // Grundlagen einer logischen Theorie des Wisscns. В .. 
1970. 

Разделы (главы) 3-1 О книги выполнены при поддержке Российского 

I"уманитарного НаУЧIIОГО Фонда (РГНФ) проект 99-03-19641. 

1. Семантика возможных миров 

Блестящая идея Лейбница о том, что логические и математические истины являются истинами во всех возможных мирах нашла широкое и плодотворное применение в 

логической семантике. Мы обсудим некоторые методологические и философские вопросы в связи с построением 

семантики, которая отказывается от этой лейбницевской 

предпосылки и исходит из того, что никаких беспредпосы,10ЧНЫХ универсальных истин, логических в том числе, не 

существует. Я ограничусь здесь рассмотрением эволюции 

логической семантики возможных миров в связи с ее адаптацией сначала к модальной, а затем к релевантной логике. 

При этом обсуждение не будет выходить за рамки пропозициональной логики (логики высказываний). Этого, 
вопервых, достаточно для наших целей и, во-вторых, позволит 

избежать (а к этому мы будем здесь стремиться) технических сложностей. уделяя основное внимание содержательным проблемам. 

J. J. ВОЗМОЖllые миры 

в самом общем 
приближении понятие вОЗМОЖНО,'(J 

:иира можно описать следующим образом. Мы живем в некотором мире, который считаем реальным, действительным 

миром. Представим себе множество всех возможных предложений (высказываний). Наложим на это множество некоторые ограничения, имея при этом в виду, что эти ограничения, с ОДIIОЙ стороны, не являются необходимыми и вво
11 

дятся для удобства, а с другой, не изменяют степени общности дальнейших рассуждений. 

Во-первых, ограничимся только теми предложениями, 

которые сами не состоят из других предложений и не являются отрицаниями предложений. Иными словами, наше 

множество включает только те предложения, которые принято называть атомарными. 

Во-вторых, исключим из обсуждаемого множества все 

повторяющиеся предложения. При соотнесении входящих в 

образованное множество предложений с действительностью (с действительным миром) одни из них окажутся истинными, а другие ложными. В данном случае для нас не 

имеет значения, можем ли мы каким-либо образом решать 

вопрос об истинности и ложности того или иного предложения. Мы просто считаем, что одни высказывания соответствуют тому, что имеет место в реальности, а другие нет, 

независимо от того, знаем мы или не знаем (и даже, как бывает, принципиально не можем знать), какие именно соответствуют, а какие нет. Множество предложений, образованное изо всех истинных атомарных предложений и отрицаний всех ложных, представляет собой описание состояний реального (действительного) мира на какой-то данный 

момент. 

Упоминание о данном моменте, очевидно, приходится 

делать не случайно. Уже в некоторый следующий момент 

мир изменится, и какие-то из истинных ранее предложений 

станут ложными и, наоборот, некоторые ложные непременно станут поэтому истинными. Этому новому миру будет 

соответствовать иное описание состояний, получаемое за 

счет изменения (присоединения или устранения) отрицания 

перед атомарными высказываниями. Аналогичным образом 

12