Инженерные аспекты математического планирования эксперимента

ФБГОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ 

АКАДЕМИЯ ГПС МЧС РОССИИ

А.А. КОВЕЛЬ

ИНЖЕНЕРНЫЕ АСПЕКТЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

МОНОГРАФИЯ

Железногорск 2017

УДК 621.391
ББК 32.81. я73

К 56

Рецензенты:

доктор тех. наук А.А. Носенков 
доктор тех. наук В.В. Двирный

Ковель А.А.

Инженерные 
аспекты 
математического 
планирования 

эксперимента: монография. –
Железногорск: ФГБОУ ВО Сибирская 

пожарно- спасательная академия ГПС МЧС России, 2017. – 117 с.

Представлены основы статистических методов планирования экспе
римента, направленного на восстановление математической модели технических устройств по результатам эксперимента. Показаны возможности 
метода при решении инженерных задач.

Монография рассчитана на студентов вузов и инженерно- технических 

работников различных отраслей промышленности.

УДК 621.391
ББК 32.81. я73

© ФБГОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2017

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
5

СОКРАЩЕНИЯ, ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ В ТЕКСТЕ
8

ГЛАВА 1
Физико-аналитические предпосылки оптимальной технологии 

наземно-экспериментальной отработки ЭА при проектировании

и освоении производством
9

Общие принципы моделирования при исследовании технических

устройств
9

Оценка экспериментальных зависимостей параметров ТУ 13

Оптимизация планов эксперимента. Обеспечение 

оптимальных и ортогональных планов
18

Следствия свойств МП. Расчѐ тные соотношения для 

линейных математических моделей. Избыточность ПФЭ
21

Дробный факторный эксперимент при синтезе 

математических моделей ТУ
26

Синтез математических моделей технических объектов 

вблизи области оптимума. Квадратичные регрессии
29

Подготовка и реализация эксперимента
37

Получение ММ ОИ по частным описаниям
45

Введение элемента случайности в эксперимент
48

Статистический анализ результатов экспериментов

и проверка адекватности моделей
50

Проверка однородности дисперсий
54

Проверка значимости коэффициентов регрессии
55

Проверка адекватности ММ ОИ
56

1.11 Выводы
60

ГЛАВА 2

Инженерные приложения результатов МПЭ
62

Формализация представления результатов 

экспериментальных исследований

(предварительные замечания)
62

Экспериментально – аналитические методы, 

используемые при выборе номенклатуры и

оптимизации режимов ЭРИ при проектировании ЭА
65

Экспериментальное исследование ЭРИ

в пространстве эксплуатационных воздействий
72

Экспериментальное исследование

функциональных узлов ЭА при НЭО
83

Учѐ т влияния разбросов параметров «сложных»

элементов на отклики ФУ ЭА
90

Методы восстановления и уточнения

параметров коридора откликов
102

Выводы
111

Заключение
114

Библиография
116

ВВЕДЕНИЕ

Шестидесятые годы 20-го века – время бурного развития радиотех
ники, электроники, приборостроения, материаловедения и других инже
нерных направлений. Это было обусловлено интенсивными и успешными 

разработками в ракетно-космической и радиолокационной технике, атом
ной энергетике и других отраслях в основном оборонного комплекса. Этот 

процесс стимулировал теоретические исследования в областях соответст
вующих технологий, методов экспериментальной отработки, обеспечения 

надѐ жности и долговечности устройств и систем.

В этом контексте велись исследования и разработки эффективных и 

информативных методов экспериментального исследования устройств и 

систем, а также методов испытаний готовых изделий и их элементов, как 

на этапе изготовления, так и эксплуатации.

Были разработаны для различного применения методы граничных, 

матричных испытаний, методы рабочих областей и др. Указанные методы 

решали локальные задачи, требовали значительных временных и матери
альных ресурсов и трудно осваивались инженерной практикой.

В это же время появились первые публикации по теории планируе
мого эксперимента (ТПЭ), позже ставшей более известной как математи
ческое планирование эксперимента (МПЭ) (школа В.В. Налимова). Идея 

метода исходила из кибернетической модели «чѐ рного ящика», по резуль
татам приложения к которому физических воздействий (факторов) и фик
сации откликов восстанавливалась аналитическая связь откликов с уров
нями воздействий (полиноминальная математическая модель). Математи
ческой матрицей метода послужили ряды Тейлора, количественные значе
ния соответствующих производных в окрестности базовой точки оценива
лись по методу наименьших квадратов.

Результат – регрессионная зависимость (математическая модель), 

численные значения коэффициентов которой могут трактоваться как пока
затели вклада (влияния) соответствующего фактора в общий отклик объек
та исследования на приложенные воздействия.

Применение МПЭ в инженерной практике уже на первых порах по
казало ряд достоинств метода. Первое – единая стройная и строгая методо
логия организации и реализации экспериментального исследования, что 

позволило всем пользователям (механики, электрики, химики) при иссле
довании различных объектов и процессов поступать одинаково, представ
лять однообразно результаты, понимать и обсуждать их с одних исходных 

позиций. Формировалось единое технологическое понимание проведения, 

обработки результатов экспериментального исследования. Стало возмож
ным говорить о совместимости разноотраслевых методов и подходов в 

экспериментальных исследованиях объектов и процессов различной физи
ческой природы. И это было очень важно при создании сложных техниче
ских комплексов, совмещавших механические, электротехнические, хими
ческие и другие процессы и устройства.

Оказалось, что привычное в инженерной практике графическое 

представление (чертѐ ж), применѐ нное к отражению результатов МПЭ 

(факторограмма), как кардиограмма исследуемого объекта, раскрывает ис
следователю информационные возможности полученных результатов. 

Сравнивая факторограммы вариантов возможных реализаций исследуемых 

объектов, позволяет ещѐ  до получения математических моделей формиро
вать суждения и предпочтения относительного каждого варианта.

Для ряда объектов исследований (электротехники, электроники и 

др.), когда исключена возможность варьирования внутренних факторов 

(параметры полупроводниковых и других элементов), оказалось, что мера 

влияния этих факторов может быть выявлена при вовлечении в МПЭ вы
борки  реализации  однотипных  объектов,  в  которых  случайным образом

представлены в интегрированном виде уровни вкладов внутренних факто
ров. Совокупность факторограмм для этих результатов стало возможным 

трактовать как коридор откликов, содержащий значительный информаци
онный потенциал для пользователя.

Если на коридор откликов наложить существующие ограничения на 

отклики, возникает ряд возможностей по принятию решений до аналити
ческой отработки результатов (запасы работоспособности относительно 

ограничений  в  условиях  каждого  опыта;  условия,  при  которых отклики

«зашкаливают» за уровни наложенных ограничений; предпочтения для ва
риантов возможных реализаций и др.). Это позволяло выявлять условия, 

при которых возможны отказовые, аварийные ситуации.

Это только отдельные примеры, отражающие инженерный потенци
ал, содержащийся в результатах МПЭ и, следовательно, в самом МПЭ, ко
торые рассмотрены в монографии.

Исследование и внедрение инженерных возможностей МПЭ про
должаются.

СОКРАЩЕНИЯ, ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ В ТЕКСТЕ

ВБР – вероятность безотказной работы, 

ДФЭ – дробный факторный эксперимент, 

ИМС – интегральная микросхема,

КА – космический аппарат, 

КП – композиционный план, 

КС – комплексная система, 

ММ – математическая модель,

МНК – метод наименьших квадратов, 

МП – матрица планирования,

МПЭ – математическое планирование эксперимента, 

НЭО – наземная экспериментальная отработка,

ОИ – объект исследования,

ПФЭ – полный факторный эксперимент, 

САС – срок активного существования, 

СВ – случайная величина,

ТПЭ – теория планируемого эксперимента, 

ТУ – техническое устройство,

ФУ – функциональный узел,

ЦКП – центральное композиционное планирование, 

ЭА – элемент автоматики,

ЭРИ – электро радио изделия.

u

u

i1
u1

u
i1
u2

u

1
2

2i1

u 2

u

1

2i1

u   u
u
u
1

1
2

u
u

ГЛАВА 1

Физико-аналитические предпосылки оптимальной технологии 

наземно-экспериментальной отработки ЭА

при проектировании и освоении производством

Общие принципы моделирования при исследовании техниче
ских устройств

Технические устройства (ТУ) относительно выбранных входных 

воздействий и откликов являются трѐ х- и четырѐ хполюсными 

устройства- ми (рис. 1.1).

Для электрических и электронных ТУ зависимости между входными 

i1 и выходными i2 токами и напряжениями u1, u2 (как и любыми другими 

параметрами) определяются уровнями начальных значений величин и от
клонениями от этих значений:

i1
f1  u1 , u2 ,

i2
f 2   u1 , u2 ,

u10, u20 – начальные режимы ТУ. При отклонении от этих режимов напря
жения получают приращения соответственно Δu1, Δu2 тогда

u1
u10
1

u2
u20
2,

что влечѐ т за собой соответствующие изменения токов. Разлагая  функцию

f1(u1, u2) в ряд Тейлора, получаем:

i1   
f1 

u10

1 ;u20

2

1

2
f1  u10 , u20

2

1
2

2
...

Аналогично и для функции f2(u1, u2).

2i1

2
u

u2

2
2

f x
f x
df  x  / x

dx

x0
x
1 df 2   x / x
x0

2
dx2
x
x

x

k

1

0 k!

x

k

1

0 k!

x
x

x /
f  x0
x
f x0

2

x

f  x0
x
f x0

2  x

x

0
n

0
0
0

В случае простейшего ТУ, когда отклик (ПТУ) зависит только от 

входного воздействия – f(xвх), применение изложенного принципа может 

быть просто проиллюстрировано на примере зависимости (рис. 1.2).

2...
R
,

где Rn(x) – остаточный член, обеспечивающий необходимую степень адек
ватности представления f(x) рядом.

Может быть использована форма ряда Тейлора, более отвечающая 

тем задачам, которые предстоит решать. Пусть f(x) имеет в интервале (x0–

Δx, x0+Δx,) все производные и пусть для неѐ  в этом интервале

тогда

lim Rk x
0,

k

f
f k x
x
x

k , x
x
z

форма ряда Тейлора в окрестности точки x0. Если x–x0  представить как  Δx,

–

f
f k
.

На примере простой функциональной зависимости (рис. 1.2) видно, 

что при необходимости исследовать отклик ТУ на входное воздействие, 

исследователя интересует зависимость f(x) не во всѐ м интервале –

∞<x<+∞, а только окрестность точки x0 и для простейшей гипотезы, что эта 

зависи- мость линейна, первые члены ряда могут быть определены по 

результатам измерений как

f x0
f
x x0
,

f
x
f
x x0
,

для чего достаточны результаты двух опытов.

Для функции многих переменных:

x /

U1
U2

ТУ

f x1 , x2 , ..., xk
f  x10 , x20 , ..., xk 0

n   1
f
x1

i 1 i!
x1

i1
i2

Рис. 1.1

Рис. 1.2

f

x2

f

xk

xk
Rn .
x2
...

ТУ

i1
i2

U1
U2

Рис. 1.3

Для задачи исследования ТУ в этих выкладках существенным явля
ется тот факт, что, варьируя все физические воздействия, оказывающие 

влияние на параметры ТУ (ПТУ), по величине отклика возможно восстано
вить аналитическую зависимость

ПТУ x1, x1, x1, ..., xi ,
i

в виде ряда Тейлора, где коэффициентами будут оценки соответствующих 

частных производных, а аргументами – отклонения соответствующих воз
действий (номиналы параметров схемы, элементов конструкции, эксплуа
тационных воздействий, режимов питания и др.).

Т. о., при m выходных параметров ТУ Пj имеется 2m ограничений. 

Любое сочетание входных переменных, режимов питания, эксплуатацион
ных воздействий однозначно определяют некоторую совокупность выход
ных величин.

На входные и другие воздействия наложены свои ограничения. То
гда математическая формулировка задачи такова:

1, n