УДК 512.2
ББК 22.144
Г 32

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 10-01-07053

Ге л ь ф а н д
И. М.,
Р а й к о в
Д. А.,
Ш и л о в
Г. Е.
Коммутативные
нормированные
кольца.
—
М.:
ФИЗМАТЛИТ,
2011.
—
260
с.
—
ISBN 978-5-9221-1331-1.

В предлагаемой книге излагается теория коммутативных нормированных
колец с ее применениями к анализу и топологии. В конце книги в виде
приложения воспроизведена статья И.М. Гельфанда и М.А. Наймарка «Нор-
мированные кольца с инволюцией и их представления», могущая служить
введением в теорию некоммутативных нормированных колец с инволюцией.
Книга рассчитана на математиков (студентов старших курсов, аспирантов
и научных работников), занимающихся функциональным анализом и его при-
ложениями.

ISBN 978-5-9221-1331-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2011

c⃝ И. М. Гельфанд, Д. А. Райков,
Г. Е. Шилов, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
6

ЧАСТЬ I

Г л а в а 1. Общая теория коммутативных нормированных колец . .. .
8

§ 1. Понятие нормированного кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
8
§ 2. Максимальные идеалы . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
13
§ 3. Абстрактные аналитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
20
§ 4. Функции на максимальных идеалах. Радикал кольца. . . .. . . .. .. .. .
22
§ 5. Пространство максимальных идеалов . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
29
§ 6. Аналитические функции от элемента кольца . . . . . . .. . . . . .. .. .. .
37

§ 7. Кольцо R функций x(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
41
§ 8. Кольца с инволюцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
46

Г л а в а 2. Общая
теория коммутативных
нормированных
колец
(продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
55

§ 9. Связь между алгебраическим и топологическим изоморфизмами . .
55
§ 10. Обобщенные делители нуля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
57
§ 11. Граница пространства максимальных идеалов. . . . . . . . . . . .. .. .. .
61
§ 12. Расширение максимальных идеалов . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
65
§ 13. Локально аналитические операции над несколькими элементами
кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
68
§ 14. Разложение нормированного кольца в прямую сумму идеалов . .. .. .
81
§ 15. Нормированное
пространство,
сопряженное
к
нормированному
кольцу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
83

Оглавление

ЧАСТЬ II

Г л а в а 3. Кольца абсолютно интегрируемых функций и их дис-
кретные аналоги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
86

§ 16. Кольцо V абсолютно интегрируемых функций на прямой . . . .. .. .. .
86
§ 17. Максимальные идеалы колец V и V+ . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
91
§ 18. Кольца абсолютно интегрируемых функций с весом. . . .. . . . .. .. .. .
98
§ 19. Дискретные аналоги колец абсолютно интегрируемых функций . .. .
101

Г л а в а 4. Гармонический анализ на коммутативных локально би-
компактных группах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
106

§ 20. Групповое кольцо коммутативной локально бикомпактной группы
108
§ 21. Максимальные идеалы группового кольца и характеры группы . .. .
114
§ 22. Теорема единственности для преобразования Фурье и достаточ-
ность множества характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
120
§ 23. Группа характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
125
§ 24. Инвариантный интеграл на группе характеров . . . . . . . . . . .. .. .. .
129
§ 25. Формулы обращения для преобразования Фурье . . . . . . . . . .. .. .. .
135
§ 26. Понтрягинский закон двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
140
§ 27. Положительно определенные функции. . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
142

Г л а в а 5. Кольцо функций с ограниченным изменением на прямой
147

§ 28. Функции с ограниченным изменением на прямой . . . . . . . . .. .. .. .
147
§ 29. Кольцо функций скачков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
149
§ 30. Абсолютно непрерывные и дискретные максимальные идеалы коль-
ца V (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
157
§ 31. Сингулярные максимальные идеалы кольца V (b) . . . . . . . . . .. .. .. .
161
§ 32. Совершенные множества с линейно независимыми точками. Несим-
метричность кольца V (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
169

§ 33. Общий вид максимальных идеалов кольца V (b) . . . . . . . . . .. .. .. .
173

ЧАСТЬ III

Г л а в а 6. Регулярные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
177

§ 34. Определения, примеры и простейшие свойства . . . . . . . . . . .. .. .. .
177
§ 35. Локальная теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
181
§ 36. Наименьшие идеалы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
183

Оглавление
5

§ 37. Примарные идеалы. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
185
§ 38. Локально изоморфные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
187
§ 39. Связь между кольцами вычетов двух вложенных одно в другое
колец функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
189
§ 40. Тауберова теорема Винера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
191
§ 41. Примарные идеалы в однородных кольцах функций. . . . . . . .. .. .. .
193
§ 42. Замечания о любых замкнутых идеалах. Пример Л. Шварца. .. .. .. .
197

Г л а в а 7. Кольца с равномерной сходимостью . . . . . . . . . . . .. .. .. .
200
§ 43. Симметричные подкольца кольца C(S) и бикомпактные расшире-
ния пространства S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
200
§ 44. Вопрос о произвольных замкнутых подкольцах кольца C(S). .. .. .. .
204
§ 45. Идеалы в кольцах с равномерной сходимостью . . . . . .. . . . . .. .. .. .
211

Историко-литературные указания . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
217
Цитированная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
219

П р и л о ж е н и е. И. М. Гельфанд и М. А. Наймарк. Нормированные
кольца с инволюцией и их представления . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
223
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
257

Предисловие

Настоящая книга посвящена изложению одного из разделов функ-
ционального анализа — теории коммутативных нормированных колец
с главнейшими ее применениями. В основе книги лежит наша статья,
написанная для «Успехов математических наук» в 1940 г. по горячим
следам событий начального периода развития этой теории. Обстоя-
тельства военного времени сильно задержали опубликование статьи;
она была напечатана лишь в 1946 г. и притом из-за недостатка места
в сокращенном виде. В настоящей книге восстановлены (вернее, заново
написаны) некоторые опущенные разделы этой статьи (относящиеся
к гармоническому анализу на группах и регулярным кольцам) и из-
ложен ряд результатов, полученных уже после опубликования статьи.
Кроме того, отчасти в связи с этим, существенно переделана и б´ольшая
часть старого текста.
Книга состоит из трех частей. Часть I, посвященная общей теории
коммутативных нормированных колец, разбита на две главы, первая
из которых содержит основы теории, вторая же посвящена более спе-
циальным ее вопросам. Наиболее существенным новшеством является
здесь распространение операционного исчисления на неоднолистные
аналитические функции от нескольких переменных (§ 13). Часть II,
посвященная применениям к гармоническому анализу, распадается на
три главы. В первой из них (гл. III) рассматривается кольцо абсолют-
но интегрируемых функций на прямой со свертыванием в качестве
умножения и находятся максимальные идеалы этого кольца (а также
некоторых его аналогов). В следующей главе (гл. IV) эти результаты
переносятся на произвольные коммутативные локально бикомпактные
группы и кладутся в основу построения гармонического анализа и тео-
рии характеров; новшеством являются здесь построение инвариантной
меры на группе характеров и доказательство формул обращения для
преобразования Фурье, совершенно не основывающиеся на теоремах
о представлении положительно определенных функций или положи-
тельных функционалов; в связи с этим и рассмотрение положительно
определенных функций перенесено в самый конец главы. Наконец,
последняя глава второй части (гл. V) — наиболее специальная из
всех глав книги — посвящена исследованию кольца функций с огра-
ниченным изменением на прямой с умножением, определенным как
свертывание; основным добавлением к старому тексту является здесь
полное описание максимальных идеалов этого кольца. Последняя часть
книги — третья — распадается на две главы, посвященные рассмотре-
нию двух важных классов колец функций: регулярных колец (гл. VI)
и колец с равномерной сходимостью (гл. VII). В первой из этих
глав изучается в основном строение идеалов в регулярных кольцах;

Предисловие
7

в качестве одного из применений доказывается в обобщенном виде
известная тауберова теорема Винера; глава заключается найденным
Л. Шварцем примером кольца функций, обладающего замкнутыми
идеалами, непредставимыми в виде пересечения максимальных идеа-
лов. В последней главе (гл. VII) рассматриваются кольца C(S) всех
ограниченных непрерывных комплексных функций на вполне регуляр-
ных пространствах S и различные их подкольца; первый параграф
воспроизводит здесь (хотя и в совершенно новой редакции) результа-
ты, содержавшиеся в статье: установление естественного соответствия
между бикомпактными расширениями вполне регулярного простран-
ства S и симметричными подкольцами кольца C(S); остальные два
параграфа (посвященные произвольным подкольцам колец C(S) и их
идеалам) содержат преимущественно новые результаты 1).
Поскольку для теоретико-групповых применений важны некомму-
тативные нормированные кольца с инволюцией, в конце книги в ви-
де приложения воспроизводится с некоторыми сокращениями статья
И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка «Нормированные кольца с инво-
люцией и их представления». Читатель, желающий подробнее ознако-
миться с теорией некоммутативных нормированных колец, может най-
ти обстоятельное изложение ее в большой монографии М. А. Наймарка
«Нормированные кольца». Эта монография содержит также изложе-
ние основ теории коммутативных нормированных колец, не касаясь,
однако, большинства ее аналитических применений. То же замечание
можно сделать и по поводу книги Л. Люмиса «Введение в абстрактный
гармонический анализ».
У читателя предполагается знание элементов теории нормирован-
ных пространств и теоретико-множественной топологии. Для понима-
ния четвертой главы требуется еще знать, что такое топологическая
группа. Разумеется, основные понятия теории меры и интеграла Лебега
также предполагаются известными.
Чтобы не прерывать изложения, историко-литературные указания
выделены в конец книги. Цифры в квадратных скобках относятся
к списку литературы, приложенному к историко-литературным указа-
ниям.

И. М. Гельфанд,
Д. А. Райков,
Г. Е. Шилов

1) Зависимость между главами книги такова. На главу I существенно опира-
ются все дальнейшие главы. От главы II зависят лишь глава VI (опирающаяся
на § 9) и одно место § 44 (глава VII), опирающееся на § 14; кроме того,
в мелком шрифте главы III имеются две ссылки на § 13. От главы III зависят
главы IV и V (опирающиеся на §§ 16 и 17) и мелкий шрифт главы VI (где
в § 41 имеется ссылка также на § 19). Главы IV и V независимы, и дальнейшие
главы на них не опираются. На главу VI опираются последние два параграфа
главы VII.

ЧАСТЬ I

Г л а в а 1

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КОММУТАТИВНЫХ

НОРМИРОВАННЫХ КОЛЕЦ

§ 1. Понятие нормированного кольца

О п р е д е л е н и е 1. Нормированным кольцом 1) называется ком-
плексное банаховское пространство, для элементов которого опреде-
лено ассоциативное умножение, перестановочное с умножением на
комплексные числа, дистрибутивное относительно сложения и непре-
рывное по каждому множителю.
В дальнейшем мы будем предполагать, что умножение коммута-
тивно.
Каждое нормированное кольцо, не содержащее единицы e отно-
сительно умножения, можно дополнить до нормированного кольца
с единицей, формально присоединив последнюю, т. е. образовав кольцо
формальных сумм λe + x, где λ пробегает все комплексные числа,
x — все элементы рассматриваемого кольца, а e есть присоединенная
единица; операции в расширенном кольце определяются естественным

1) В другой терминологии: банаховской алгеброй. Всюду в дальнейшем под
«кольцом» понимается алгебра над телом комплексных чисел.

§ 1. Понятие нормированного кольца
9

образом:

(λe + x) + (µe + y) = (λ + µ) e + (x + y),
µ(λe + x) = µλe + µx,
(λe + x)(µe + y) = λµe + (µx + λy + xy),

норма же задается формулой

∥λe + x∥ = |λ| + ∥x∥.

Поэтому при построении общей теории нормированных колец можно
ограничиться рассмотрением нормированных колец с единицей, что
мы и будем делать.
Приведем несколько примеров нормированных колец.
1◦. Пусть C — пространство всех комплексных функций, опреде-
ленных и непрерывных на отрезке [0, 1], наделенное нормой ∥x∥ =
= max
0⩽t⩽1 |x(t)|. C есть нормированное кольцо (с единицей x(t) ≡ 1)

относительно обычного умножения (очевидно, удовлетворяющего всем
условиям определения 1).
2◦. Пусть Dn — пространство всех комплексных функций, опреде-
ленных и обладающих непрерывной n-й производной на отрезке [0, 1],
наделенное нормой

∥x∥ =

n


k=0
max
0⩽t⩽1 |x(k)(t)|.
(1)

Dn есть нормированное кольцо (с единицей x(t) ≡ 1) относительно
обычного умножения (которое, как нетрудно проверить, непрерывно
в норме (1) по совокупности обоих сомножителей и, очевидно, удовле-
творяет также всем остальным условиям определения 1).
3◦. Пусть W — пространство всех комплексных функций веще-
ственного переменного, разложимых в абсолютно сходящийся тригоно-
метрический ряд, наделенное нормой

∥z∥ =



∞


n=−∞
cneint
 =
∞


n=−∞
|cn|
(2)

(однозначно определяемой вместе с этим рядом его суммой z = z(t)).
Если
x(t) =
∞


k=−∞
akeikt ∈ W
и
y(t) =
∞


k=−∞
bleilt ∈ W,

то также z(t) = x(t)y(t) ∈ W. Действительно, произведение абсолютно

сходящихся рядов
∞


k=−∞
akeikt и
∞


l=−∞
bleilt есть абсолютно сходящийся

Гл. 1. Общая теория коммутативных нормированных колец

ряд
∞


n=−∞
cneint, где

cn =


k+l=n
akbl =
∞


l=−∞
an−lbl.

Так как при этом

∥z∥ =
∞


n=−∞
|cn| ⩽
∞


n=−∞

∞


l=−∞
|an−l| |bl| =

=
∞


l=−∞


∞


n=−∞
|an−l|



|bl| =

=
∞


k=−∞
|ak|
∞


l=−∞
|bl| = ∥x∥ ∥y∥,

то умножение непрерывно в норме (2) по совокупности обоих сомножи-
телей. Тем самым W есть нормированное кольцо (с единицей x(t) ≡ 1)
относительно обычного умножения.
4◦. Пусть I(n) — кольцо с единицей, порожденное оператором диф-
ференцирования D в пространстве полиномов степени ⩽ n от одного
переменного с комплексными коэффициентами. Так как Dn+1 = 0, то

элементами этого кольца являются всевозможные полиномы
n

k=0
akDk,

где ak — произвольные комплексные числа и D0 — единичный опера-
тор. Положим


n


k=0
akDk
 =
n


k=0
|ak|.

Тогда I(n) будет нормированным кольцом относительно умножения
операторов с единицей e = D0.
5◦. Пусть L1(0, 1) — пространство всех абсолютно интегрируемых
измеримых комплексных функций на отрезке [0, 1], наделенное нормой

∥x∥ =
1

0
|x(t)| dt. С помощью теоремы Фубини о связи двойного инте-

грала Лебега с повторными можно показать, что, каковы бы ни были
функции x(t) и y(t) из L1(0, 1), их «свертка»

(x ∗ y)(t) =

t

0
x(t − τ) y(τ) dτ
(0 ⩽ t ⩽ 1)
(3)

существует почти для всех t и принадлежит L1(0, 1), а операция
«свертывания» (3) ассоциативна 1). Эта операция, очевидно, билинейна,

1) Подробнее об этом см. § 16.

§ 1. Понятие нормированного кольца
11

а подстановка τ → t − τ показывает, что она также коммутативна.
При этом (снова на основании теоремы Фубини)

∥x ∗ y∥ =

1

0



t

0
x(t − τ) y(τ) dτ
dt ⩽

⩽

1

0

t

0
|x(t − τ)| |y(τ)| dτ

dt =

=

1

0

1

τ
|x(t − τ)| dt

|y(τ)| dτ =

=

1

0

1−τ


0
|x(t)| dt

|y(τ)| dτ ⩽

1

0
|x(t)| dt

1

0
|y(τ)| dτ =

= ∥x∥ ∥y∥,

откуда следует, что свертывание непрерывно по совокупности обоих
«сомножителей». Таким образом, L1(0, 1) есть нормированное коль-
цо относительно свертывания. Легко видеть, что оно не содержит
единицы 1). Нормированное кольцо, полученное путем формального
присоединения к L1(0, 1) единицы, мы будем обозначать I.
6◦. Пусть A — пространство всех функций комплексного перемен-
ного ζ, определенных и непрерывных в круге |ζ| ⩽ 1 и регулярных
всюду внутри этого круга, наделенное нормой ∥x∥ = max
|ζ|⩽1 |x(ζ)|. A есть

нормированное кольцо (с единицей x(ζ) ≡ 1) относительно обычно-
го умножения (очевидно, удовлетворяющего всем условиям опреде-
ления 1).

Как было выше установлено, в кольцах примеров 3◦ и 5◦ норма
обладает следующим свойством:

∥xy∥ ⩽ ∥x∥ ∥y∥.
(4)

Тому же неравенству, очевидно, удовлетворяет норма также в кольцах
примеров 1◦, 4◦ и 6◦. Однако в примере 2◦ при n ⩾ 2 неравенство (4),
вообще говоря, не выполняется; так, для x(t) ≡ t имеем: ∥x(t)∥ = 2,
∥x2(t)∥ = 5 > ∥x(t)∥2.
Но если вместо (1) взять в Dn в качестве нормы

∥x(t)∥ =

n


k=0

max
0⩽t⩽1 |x(k)(t)|

k!
,
(5)

1) Ср. § 16. Отсутствие в кольце L1(0, 1) единицы следует также из того,
что это кольцо состоит из обобщенных нульстепенных элементов (см. с. 27).

Гл. 1. Общая теория коммутативных нормированных колец

то неравенство (4), как в этом нетрудно убедиться, окажется уже
выполненным. При этом нормы (1) и (5) топологически эквивалент-
ны. Возможность такой перенормировки является общим свойством
нормированных колец.

Те о р е м а 1. Для каждого нормированного кольца R можно
найти топологически и алгебраически изоморфное ему кольцо R′,
обладающее свойствами

∥xy∥ ⩽ ∥x∥ ∥y∥
и
∥e∥ = 1.
( ∗ )

До к а з а т е л ь с т в о. Каждый элемент x кольца R порождает оператор Ax
умножения на x: Axy = xy. В силу определения 1 этот оператор является
линейным. Операторы Ax образуют в кольце Q всех линейных операторов,
отображающих банаховское пространство R в себя, подкольцо R′ с единицей
(а именно, единичным оператором E, порождаемым единицей e кольца R).
Покажем, что R′ есть нормированное кольцо относительно нормы ∥Ax∥ =
= sup
∥y∥⩽1
∥xy∥. В доказательстве нуждается лишь полнота R′, т. е. замкнутость

R в Q.
В силу ассоциативности умножения имеем: Ax(yz) = x(yz) = (xy) z =
= Axy · z. Нетрудно видеть, что это свойство характеристично для операто-
ров из кольца R′. Действительно, если оператор A таков, что для любых
y и z имеет место равенство A(yz) = Ay · z, то, полагая Ae = x, имеем:
Ay = A(ey) = Ae · y = xy, т. е. A есть оператор умножения на x.
Пусть теперь операторы An ∈ R′ сильно сходятся к некоторому опера-
тору A, т. е. Anx сходится к Ax по норме пространства R для каждого
x ∈ R. Тогда, в силу непрерывности умножения по первому множителю, имеем:
A(xy) = lim An(xy) = lim Anx · y = Ax · y и, значит, по только что доказан-
ному, также A ∈ R′. Таким образом, R′ замкнуто в Q не только в смысле
равномерной, но и в смысле сильной сходимости операторов.
Очевидно, кольца R и R′ алгебраически изоморфны. Покажем, что они
изоморфны также топологически. Имеем 1):

∥Ax∥ = sup
∥y∥⩽1
∥xy∥ ⩾
x e

∥e∥

 = ∥x∥

∥e∥
или
∥x∥ ⩽ ∥e∥ ∥Ax∥.
(6)

Таким образом, отображение Ax → x пространства R′ на пространство R
непрерывно. Но так как оба эти пространства полны, то, в силу известной тео-
ремы Банаха 2), также обратное отображение x → Ax непрерывно. Тем самым
топологический изоморфизм колец R и R′ доказан, а с ним доказано и утвер-
ждение теоремы, так как норма в R′ обладает свойством (∗). Одновременно мы
получили, что каждое нормированное кольцо топологически и алгебраически

1) Легко проверить, что e ̸= 0 и потому ∥e∥ > 0.
2) См. Л. А. Л ю с т е р н и к и В. И. С о б о л е в. Элементы функционально-
го анализа. — М.–Л., 1951, с. 146–149, или А. Н. Ко л м о г о р о в и С. В. Ф о-
м и н. Элементы теории функций и функционального анализа. — М., 1954,
с. 123–126.

§ 2. Максимальные идеалы
13

изоморфно некоторому нормированному кольцу операторов в банаховском
пространстве.
З а м е ч а н и е. Если в кольце R выполнено условие (∗), то R и R′ изомет-
ричны. Действительно, (6) в этом случае дает: ∥x∥ ⩽ ∥Ax∥. С другой стороны,
в силу (4), имеем:
∥Ax∥ = sup
∥y∥⩽1
∥xy∥ ⩽ ∥x∥ sup
∥y∥⩽1
∥y∥ = ∥x∥.

Соединяя оба неравенства, получаем: ∥Ax∥ = ∥x∥.
С л е д с т в и е 1. Произведение xy непрерывно по совокупности
обоих сомножителей.
О п р е д е л е н и е 2. Ряд x1 + x2 + ... + xn + ... будем называть
абсолютно сходящимся, если сходится ряд

∥x1∥ + ∥x2∥ + ... + ∥xn∥ + ... .

Очевидно, каждый абсолютно сходящийся ряд в R сходится.
С л е д с т в и е 2. Абсолютно сходящиеся ряды, составленные из
элементов нормированного кольца, можно складывать и перемно-
жать так же, как и абсолютно сходящиеся числовые ряды.
В дальнейшем мы будем всюду предполагать, что норма удовле-
творяет условию (∗).

§ 2. Максимальные идеалы

Л е м м а. Множество O всех элементов x нормированного коль-
ца R, для которых существует обратный элемент x−1, открыто,
причем x−1 есть непрерывная функция от x на O.
До к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего каждый элемент x, для кото-
рого ∥e − x∥ < 1, обладает обратным элементом x−1. Действитель-
но, рассмотрим ряд

e + (e − x) + (e − x)2 + ... .
(1)

Так как ∥(e − x)n∥ ⩽ ∥e − x∥n, то этот ряд абсолютно сходится и, сле-
довательно, представляет какой-то элемент из R. Умножив его на
x = e − (e − x) и применив следствие 2 теоремы 1 § 1, получим:

e + (e − x) + (e − x)2 + ... − (e − x) − (e − x)2 − ... = e.

Следовательно, сумма ряда (1) и есть обратный элемент x−1, суще-
ствование которого мы утверждали.
Пусть теперь x — произвольный элемент из O. Обозначим через
U0(e) окрестность ∥e − y∥ < 1 единичного элемента e, по доказанно-
му, содержащуюся в O. Так как xx−1 = e, то, в силу непрерывно-
сти умножения, существует такая окрестность U(x) элемента x, что
U(x) x−1 ⊂ U0(e). Значит, zx−1 для произвольного z ∈ U(x) имеет
обратный элемент (zx−1)−1: zx−1(zx−1)−1 = e. Но тогда x−1(zx−1)−1