Элементы линейной алгебры


МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА 








Д.М. КИСЕЛЕВ



            учебно-методическое пособие



Москва 2001

(Л
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА РЕЧНОГО ФЛОТА МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
         ВОДНОГО ТРАНСПОРТА




    КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ





          Д.М. КИСЕЛЕВ


            ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ учебно-методическое пособие



Москва 2001

Рекомендовано к изданию на заседании кафедры высшей математике МГАВТ
Протокол №3 от 28 ноября 2001 г

Адрес в интернете : www.cdmu.by.ru

Оглавление

Введение.................................................  4
Элементы линейной алгебры................................  5
Линейная зависимость векторов..............................7
Линейное преобразование пространства......................12
Собственный вектор линейного оператора....................16
Евклидово пространство.................................   20
Ортогональное преобразование..............................24
Симметрическое преобразование...........................  25
Использованная литература...............................  30

Введение

    Линейная алгебра занимает важное место в становлении математического образования инженера. Кроме того, методология линейной алгебры используется при изучении различных разделов высшей математики: достаточно упомянуть в этой связи теорию дифференциальных уравнений или теорию приближения функций.
    В предлагаемом пособии рассматриваются вопросы, включенные в математики для инженерно-технических специальностей МГАВТа. Особо следует отметить, что рассмотрена задача приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду (приведение квадратичных форм к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования).
    Пособие может быть рекомендовано студентам первого курса технических специальностей как учебное пособие,- а также аспирантам в качестве справочного пособия.

5

Элементы линейной алгебры

     Линейная алгебра - это раздел алгебры, в котором изучаются векторные пространства, их линейные отображения, линейные, билинейные и квадратичные формы. Напомним, что множество - это совокупность элементов определенной природы. Например, множество чисел, множество непрерывных на отрезке функций, множество студентов определенного учебного заведения и т.д.
     Рассмотрим произвольное множество V, на котором заданы две операции: сложение двух произвольных элементов и умножение произвольного элемента на любое действительное (комплексное) число, т.е. если a gV и Б eV, то с помощью правила, называемого сложением, можно найти элемент с=а + Ь, который также принадлежит V: с eV     Вводя правило умножения на число, можно, задавая произвольный элемент a g V найти элемент с — а х а
(«- произвольное действительное или комплексное число), который также принадлежит множеству V: с= a a eV
     Говорят, что множество V, с определенными на нем операциями сложения и умножения на число, образует линейное пространство, если для произвольных элементов а, Б, с множества V и чисел а и Р справедливо:
1. а + b — b + a (коммутативность);
2.  + с — а + + cj (ассоциативность);
3. существует элемент множества V, называемый нулевым (б),такой,что а+О=а;
4.  Для каждого элемента aeV существует элемент (-a) eV, что а + (-а) - о, элемент (- a ) называется противоположным элементом;
5.1  ха eV;
б. (а-р)а = а(р-с);
7.  (а+р)п = а-й+Р-а;
8. а-(а+б)=а-а+а-/>

Итак, линейное пространство - это:
1)  множество элементов произвольной природы;
2)  определены алгоритмы! нахождения суммы двух произвольных элементов множества, а также умножения на число, не выводящие за пределы множества;
3)  операции сложения и умножения на число удовлетворяют перечисленным выше свойствам 1-8.

     Приведем примеры множеств, как являющихся линейными пространствами, так и не являющимися ими,              ,
1)  Множество геометрических векторов, лежащих в некоторой плоскости (пространстве).
   Сумма векторов и произведения вектора на число зададим так, как это делается в аналитической геометрии. Очевидно, эти операции удовлетворяют свойствам 1-8. Следовательно, множество геометрических векторов образует линейное пространство
2)  Множество матриц размера тх и (m-строк, w-столбцов). Операции сложения и умножения матриц известны из алгебры матриц. Очевидно, эти операции удовлетворяют свойствам 1-8.
3)  Множество многочленов, степень которых не превосходит л, те.
2       2
   многочленов вида р„ = aD +а/Х+а₂х +...+апх , где а₀,а₂,... ,ап - произвольные действительные числа, которые могут равняться 0.
4)  Множество всех непрерывных на отрезке функций.
5)  Множество всех дифференцируемых на отрезке функций.

Пример множества, не образующего линейное пространство:
     Множество многочленов степень которых равна «, т.е. p„(x)=a₀+aₗx+a₂x² +...+апхпа„*0.
     Возьмем два многочлена вида:
Р« 0= «о +        + апх”
    (х)= ао + ап-1хП~¹ ~ апх”
Рп + Р²п = ²а0 +      = Рп-1 (Х)
     Следовательно, сумма двух многочленов степени и является многочленом степени (и-/), т.е. не принадлежит указанному множеству.
     Любое подмножество линейного пространства, само являющееся линейным пространством, называется подпространством данного линейного пространства.
     Элементы линейного пространства называются векторами.


Линейная зависимость векторов
    Система векторов aₗₜa₂,...,aₘ линейного пространства V называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа о.j,(x₂,среди которых по меньшей мере одно отлично от нуля, что:
+а?а, +...+ата,и             (1)
               i=J
    Если же равенство (1) возможно только в том случае, когда все числа а₇,а₂,...,ал равны нулю, то система векторов      ат
называется линейно независимой.


Пример:
Пусть V - пространство геометрических векторов. Возьмем следующую систему векторов:
а} = (1,2,3); а₂ = (1,1,1), aj = (-2,- 4- 4)

а;+а₂+а₅ - (р,О,б) = 0
     Таким образом, рассматриваемая система векторов линейно зависима, т.к. коэффициенты ц=1; а, =г, а, = 1, г.е отличны от нуля.
     Если система векторов а₇,а₂,...,ат линейно независима, то любая подсистема (часть системы) тоже линейно независима
     Если система векторов линейно независима, то никакой вектор системы ие может быть выражен через остальные векторы системы.
     Если система векторов линейно зависима, то какой-либо вектор системы (при условии, что все числа а отличны от 0, то любой!) может быть выражен через другие вектора системы.
     Рангом произвольной системы вектор a₇,a₂,...,tzₘ называется максимальное число линейно независимых векторов системы.
     Линейное пространство V называется «-мерным, а число и -размерностью пространства V, если в V существует хотя бы одна линейно независимая система из « векторов и всякая система из большего числа векторов уже линейно зависима.
     Пример: пространство геометрических векторов на плоскости. Любые два вектора, не лежащие на одной или параллельных прямых линейно независимы. В то время, как любые три вектора на

9

плоскости всегда линейно зависимы. Таким образом, пространство геометрических векторов на плоскости двумерно.
    Базисом «-мерного пространства уп называют такую конечную линейно независимую систему векторов е₁,е₂,е₃,...,еп> через которую линейно выражается любой вектор х пространства ул:
                          х-Ег.Г                         (2)
i- t
    Всякий вектор п-мерного пространства у„ выражается через базис е]зе₂,.единственным образом. Причем, коэффициенты
       >Ул называются координатами вектора х в базисе е₇,е₂,...,еЛ .
    Два линейных пространства V и V¹ называются изоморфными, если между ними можно установить такое взаимно однозначное соответствие (вектору х из V соответствует только один вектор х¹ из V¹ и наоборот, вектору х¹ из V¹ соответствует только один вектор х и V), которое сохраняется при сложении и умножении векторов на число, т.е. если х из V соответствует х¹ из V¹ и у из V соответствует у’ из V¹, то:
I) (•* + у) из V соответствует +у!jns V¹;
2) (czx) из V соответствует из V¹;
    Два линейных пространства одинаковой размерности изоморфны, причем линейно независимая система (в том числе и базис) векторов одного пространства соответствует линейно независимой системе (базису) векторов другого пространства. Понятие изоморфизма важно тем, что два изоморфных линейных пространства алгебраически неразличимы, т.е. обладают одинаковыми свойствами относительно установленных в них операций сложения и умножения векторов на число. Иными словами, алгебраические свойства всех изоморфных пространств одинаковы. Поэтому достаточно установить эти свойства одного из всех изоморфных пространств и распространить их на все изоморфные пространства.
    Таким пространством является пространство п-мерных строк (столбцов), т.е.

множество строк вида (a₇,a₂,...,a„) или столбцов вида


где ay,a₂,...,aₙ и р₇,|3₂,..,рп - произвольные числа.
     Пространству «-мерных строк (столбцов) изоморфно любое пространство j/„ размерности н. Базисом п-мерного пространства уп называется система из л линейно независимых векторов уп. Важным свойством базиса является то, что любой вектор линейного пространства уп может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. если е;,е₂,...,е„ - базис пространства уп, а х -произвольный вектор пространства ул:
_ п -------х = Z ai е,
1 = 1
     Сколько базисов существует в произвольном линейном пространстве уп? Один базис в уп существует. Предположим, что существует второй базис.
     Итак, даны два базиса е/.е₂...,епи е{,е₂, зэ'.Поскольку


еп - базис то любой из

выражен

е' ⁼

через

векторов е),е₂. векторы

,ел может быть



п(3)

      Ту -произвольные числа.
     Аналогично, векторы е,,е₂,...,еп могут быть выражены через базис

•Л- е) = Ъ

Л«1Д ,п

(4)

k ⁿJ
Уравнения (3) и (4) можно переписать в виде

11

Пусть координаты вектора х в базисе ег,е₂„..,е^—а₁га.₃,.. .,ап ; а в

базисе

'аё

где Т и Q -квадратные матрицы n-то порядка: гН л12‘ ‘snsi2''' sIn г21л22'"х2п q_ s21s22‘"s2n

(7)

“tin

\xnlxn2

    Из (7) видно, что j-ый столбец матрицы Т составлен из координат j-ro вектора нового базиса относительно первоначального базиса, а j-ый столбец матрицы Q составлен из координат j-го вектора первоначального базиса относительно нового базиса. Матрица Т называется матрицей перехода от базиса ef, ej, к базису


     е₂> - еп     Обратимся теперь к равенствам (5) и (6).
Подставляя выражение однострочной матрицы ^,е₂,...,е') из равенства (5) в равенство (6), получим
(е1 ,е₂,...,еп )= (eₕe₂ )TQ                  (8)
или
G; >е₂, ..,е„ ) E=fj, е₂,... £?„) TQ         (9)
(Е - единичная матрица). Следовательно. TQ=E, Q=T’               (10)


     Таким образом, установлен следующий факт: матрица перехода Т от базиса eₕe₂ᵢ...,eₙ к базису         пространства уп является
невырожденной (определитель, соответствующий этой матрице отличен от нуля), причем матрица Q перехода от базиса         к
базису е₁,е₂,...леп является обратной относительно матрицы Т.
    Таким образом, поскольку можно составить бесконечное множество квадратных невырожденных матриц лдго порядка, то в п-мерном пространстве v„существует бесконечное множество базисов.
    Следующий важный вопрос, на который необходимо ответить* как изменяются координаты произвольного вектора х при переходе от одного базиса к другому?

      Пусть, далее, матрица перехода от базиса е],е₂}...,еп к базису е₂,е₂,...,е' Т- Подставляя правую часть уравнения (5) в (12),

    Пример:

    Пусть матрица Т


2 . а вектор х = 20! +е.

                     ' 2У
Следовательно, -X =    1 ,т.е.
                     l-'J





Вычисляя

Линейное преобразование пространства
     Понятие оператора является обобщением понятия функции. Правило, по которому произвольному вектору х линейного пространства ул ставится в соответствие вполне определенный вектор у того же пространства, называется оператором. Записывается это так. у = где (р ~ обозначение указанного правила (оператора). Причем вектор х называется прообразом вектора у, а вектор у - образом вектора х. Отметим, что у каждого прообраза только один образ, но у разных прообразов может быть один образ, т.е.          но Х1 * х2     Оператор (или преобразование) (р пространства уи называется линейным оператором, если он обладает следующими двумя свойствами:
1) (о(огл) - Ц$Рр))т.е. образ произведения произвольного вектора х на любое число а равно произведению образа tpfy на то же самое

Примеры линейных операторов:
1  . В трехмерном пространстве геометрических векторов на координатной плоскости хоу(в общем случае на произвольную плоскость). В силу того, что проекция вектора, умноженного на число, равна проекции, умноженной на число, а проекция суммы векторов равна сумме проекций, то проецирование является линейным оператором.

2  Пространство всех многочленов с действительными коэффициентами. Поставим в соответствии каждому многочлену его производную               (х)= рп Дх) т.к. (арл(-*))'= (х)
  и \.Рп(х)+       = Р’п (х)+ Q'ₘ (х)> то такое преобразование
  пространства является линейным оператором.

    К числа-’ линейных свойств линейного преобразования пространства относятся'
    1. Линейное преобразование у пространства V переводит всякую линейную комбинацию а₁х₎ + апх₂ +...+а„ х„ векторов х],х₂г...,хп в линейную комбинацию
                                        их образов с теми же коэффициентами.
    2.  Линейное преобразование переводит нулевой вектор в нулевой и противоположный в противоположный т.е.
         (#) = 0 v у (-х) ~ -у £х}
    Совокупность всех образов векторов х линейного пространства V есть некоторое подпространство.
    Линейное преобразование n-мериого линейного пространства задается некоторой квадратной матрицей г?-го порядка. Действительно, рассмотрим базис е₁,е₂,..>еп линейного пространства VH. Каждому вектору е₍ соответствует при линейном преобразовании его образ (е.j. Поскольку вектор у (е.)принадлежит тому же пространству V„, то он может быть выражен через базис eₕe₂, .„е„:

    число а ;
2) xj) =                  , т.е. образ суммы двух произвольных

    векторов Xj и х, равен сумме их образов;

~ aliel ⁺а2,е2⁺ -⁺атеП   ²> -> П

(16)

14

    Матрица А, столбцами которой являются координаты образов соответствующих векторов базиса в базисе ej,e₂>—»е«» называется матрицей линейного преобразования <р в базисе
ала/₂—ау„"





     "Сделаем важные практические выводы:
1)  всякое линейное преобразование пространства задается некоторой квадратной матрицей, значения элементов которой зависят от того, в каком базисе определена матрица
2)  соответствие между линейными преобразованиями пространства V,, и его матрицей А в базисе eₕe₂,. .,еп взаимно однозначное.


    Предположим вектор х в базисе е]уе₂, ..,еп имеет координаты



Образом вектора х при линейном



преобразовании <р является вектор ус координатами [З^,^>•••»₽« т-е


. Линейное преобразование <р задано матрицей А.



    Тогда между координатами вектора х и координатами его образа у существует связь


    (<*Г


    Примеры: Рассмотрим трехмерное пространство Уз геометрических векторов. Линейное преобразование пространства -проецирование векторов в плоскость ХоУ. Найдем матрицу этого преобразования в базисе eₜ — i; е₂= j\ е₃—к.

     Очевидно, при проецировании векторы i и ] переходят сами в себя, а вектор к в о, т.е.
~1е} +0е₂ +0е₃ ;
                                    ^е2 +^е3>
Ц>(е₃У=0 =Oej +0е₂ +0е₃

    Следовательно, матрица А линейного преобразования в указанном базисе будет иметь вид:
'1 О (Л
А = 0 10.
О О,



Пусть вектор х имеет координаты х= 2

. Какие координаты будет

иметь его образ у==р(х)? (подчеркнем еще

вектора связаны с базисом е,, е₂, е₃) '10 0
                у=Ах- 0 1 О
О О

раз, что координаты


'Г
2


2
, U

     Если в базисе е,. е₂,...,еп матрица линейною оператора <р - А, в базисе ё},е^,...,е* - В, а матрица перехода от первого базиса ко второму Т, то между ними существует следующее соответствие:
А = ТВТ⁻' и В = т⁻/ АТ,           (19)
где Т¹ обратная матрица к Т, которая, в силу невырожденности матрицы Т, существует.
(12}         (-13}
    Пример: А ~        L Т=            . Необходимо наити
< 3 4 )      [421
матрицу В. Первоначально найдем матрицу Т .
Поскольку det Т=-14, имеем.
'  _  2           3 "
т-1_     14       14
¹         4        1
                     <  ⁺ 14         14 ,

17

    Координаты образа вектора х будут определяться как произведение матрицы А на вектор -столбец х, т.е.
а/

С другой стороны, этот вектор (образ вектора х) определяется,

как Ло х, поэтому имеем

        Собственный вектор линейного оператора
    Вектор х о пространства уп называется собственным вектором преобразования (р ,если
p(5)-V                       (2°)
где Ло -некоторое число, которое называется собственным значением преобразования <р. Очевидно, в силу свойств преобразования вектор ах (а - произвольное число), также является собственным вектором оператора <р с тем же числом Ло. Действительно,
ср(ах)=а<р(х)= а(хох)- 1₀(ах)       (21)
    Таким образом, собственному числу Ло соответствует бесконечное множество векторов, удовлетворяющих условию (20). Все векторы удовлетворяющие условию (20) называются собственными векторами линейного оператора (р, принадлежащими собственному значению Ло.
    Множество собственных векторов, являясь подпространством пространства Vₙ, само образует линейное пространство (т.е. удовлетворяет свойствам линейного пространства).
    Собственные векторы линейного оператора (р определяются следующим образом: пусть в базисе е₁,е₂,...,еп линейного преобразования (р задается матрицей А^(а*). Собственный вектор х, принадлежащий собственному значению 2С, имеет вид

\ап)

или

где Е - единичная матрица.

(23)

Из (23) получим:

(А-ЛЦЕ) :²

Матрица   (А- Л Е), где

'О' о

    л


Л -неизвестное, называется

характеристической матрицей линейного преобразования (р в базисе е₁,е₂,...,еп. Определитель |а-1Е|, являющийся

многочленом от Л степени п, называется характеристическим многочленом преобразования (р.
    Характеристический многочлен имеет вид

        ан-* а12       а13     аш            
        а21  а2, --- Л аИ      а2п           
|а-ле|= •и   а32       а„-Л •• •     а3п (25)
        аШ   апЗ       ап1     апп - Л       

19

Решая характеристическое уравнение |А - Л Е| = О

(26)

    Выпишем систему (27), подставляя в нее вместо Л₀число 0 и вместо ad коэффициент матрицы А:

находим собственные числа Яо преобразования (р.

   Пусть Ло-собственное значение. Как найти координаты вектора х, являющегося вектором, соответствующим собственному значению

сц - 0

4?


Пусть

Тогда из (24) получим:

(а„ - Х₀)а, + а₁₂а,+...+а|г,ап = О а₂,а, + (а₂₇ - Х₀)а₂+...+а₂пао = О а₃₁а,+а₃₂а₂ + -+а₃пап =0 aₙₗaₗ + aₙ₂a₂+...+(aₙₙ-X₀)aₙ =0

(27)

    Координаты вектора х являются решением системы линейных алгебраических уравнений (27).

    Пример: линейное преобразование^? линейного пространства Vs в базисе е|ае₂,ез задано матрицей А:
< 1 I I >
А = 1 I 1
I 1 1 I )

Найти собственное значение и собственные векторы линейного

оператора (р.

Составляем характеристический многочлен

|А ЛЕ| =

-я’(з-л).

Решая характеристическое уравнение, находим собственные

значения:
Л²(з-Л)=0;Лх = 0;Я г = 0;Л₃ = 3.
    Два собственных значение Л, и Я, совпадают Найдем

собственные векторы, соответствующие этому числу.

    Решаем эту систему Гаусса:

«! +а₂ +а₃ =-- 0
методом последовательного исключения

0

о;

    Число свободных переменных, равное разнице между числом всех переменных и рангом матрицы (А - Я Е), равно 2.

Поэтому две координаты вектора

могут принимать

произвольные значения, а третья через них выражаться. Возьмем в качестве свободных переменных а₂ и а₃. Тогда, поскольку a i+ct ₃+а₃~0,   а{= -а₂-а₃ И вектор х имеет вид:

, где а₂п а₃-произвольные числа.

собственного вектора
Л-3, решаем систему

    Для определения координат принадлежащего собственному числу линейных алгебраических уравнений:

    Поскольку неизвестных три, а ранг матрицы два, то свободных переменных - одна. Возьмем в качестве свободной переменной а₃. Тогда из уравнения -За₂+За₃=0 получим, что                 из