Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений


МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ  ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Д.М. КИСЕЛЕВ





                шшшшй





        учебно-методическое пособие








Москва 2001 *

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЛУЖБА РЕЧНОГО ФЛОТ А МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА



     КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

।




          Д.М. КИСЕЛЕВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ учебно-методическое пособие












Москва 2001

Рекомендовано к изданию на заседании кафедры Высшей математики МГАВТ.
    Протокол № 3 от 28 ноября 2001 г.

                                           Содержание
                  ВВЕДЕНИЕ.......................................................⁴
                  I- ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ---------------------5
                  1.1 ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ У РАВ» 1ЕМИЯМ... 6
                                                                  1.1.1 Задача о просачивании воды сквозь песок..............6
                                                                  1.1.2 . Истечение жидкости из сосудов. Водяные часы........1
                                                                  1.1.3 . Задача о прожекторе............................. —.9
                                                                  1.1.4 Кривая погони............................-................—-9
                                                              2.  ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОЗАНИЯ...-..................... 1  ’
                                                                2.1. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ........................1J
                                                                2.2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА...................  14
                                                                2   3. К ЛИНЕЙНОМУ УРАВНЕНИЮ СВОДИТСЯ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ....14
                                                                2.4  УРАВ1 [ЕНИЕ ВИДА:.................................     16
                                                                2.5  УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЫ РИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ.. 17
                                                                2.6. ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
                                                                ЗАДАЧИ КОШИ..............................................   18
                                                                2.7. УРАВНЕНИЕ, НЕРАЗРЕШЕННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ      18
                                                              3.  ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ...................... 20
                                                                3.1. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.....-.20
                                                                3.2. Однородное линейное уравнение n-го порядка.............22
                                                                3.3. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка.—.........23
                                                                3.4. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами.23
                                                                3.5.  Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.............-....................29
                                                              Структура общего решения однородной системы.........-...............30
                                                              Использованная литература........................  — ---------------37

5

ВВЕДЕНИЕ

    Обыкновенные дифференциальные уравнения занимают значительное место в теоретическом багаже современного инженера. Достаточно сказать, что разнообразные прикладные задачи (определение стационарного температурного поля, прочности сооружений н конструкций в области упругих деформаций, движение тел под действием сил различной природы т.п.) в том или ином виде сводятся к задаче решения дифференциальных уравнений или*систем дифференциальных уравнений.
    В предлагаемом пособии рассматриваются вопросы, включенные в программу математики для инженерно-технических специальностей МГАВТа. Для успешного овладения учебным материалом необходимо знание высшей математики в объеме ВТУЗа (интегрирование, линейная алгебра). Каждый раздел пособия снабжен задачами, решение которых подробно разобрано.
    Пособие может быть использовано студентами вторых курсов технических специальностей МГАВТа во время учебы, а также при подготовке к экзаменам.

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

    Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции у(х) (х - независимая переменная), в которое наряду с неизвестной функцией входят производные искомой функции, а также сама независимая переменная. Порядок старшей производной искомой функции, входящей в уравнение, оиредслиет порядок дифференциального уравнения.
    Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде соотношения:
    Р(х,л^,...Л^-) = О                               (1.1)
          A dx

Уравнение первого порядка имеет вид:

Р(х,у,£) = О dx

(1.2)

    Если уравнение (1.2) можно записать в виде:
    $=Жу).                                          (1-3)
    dx
то дифференциальное уравнение называется уравнением, разрешенным относительно производной.
    Решением дифференциального уравнения называется функция у-у(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.
    Интегрирование уравнения (1.3) геометрически можно интерпретировать как нахождение криаой, у которой направление касательной в каждой точке задается функцией f(x,y).
    Дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений.
    Чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, представляющую собой так называемое частное решение, надо задать дополнительное условие уо = у(хо), которое называется начальным условием.
    Задача Кошн; поиск решения уравнения (1-3), удовлетворяющего начальному условию.

7

      Геометрическая интерпретация задачи Коши выглядит следующим образом: задано уравнение (1.3)

dx
     Функция f (х,у) в некоторой области плоскости ХоУ определяет поле направлений, т.е. в каждой точке области с координатами (хо. уо) можно провести прямую у=кх+в, где x=f(xOᵢ vq). Поиск решения дифференциального уравнения, таким образом, заключается в поиске некоторой кривой, в каждой точке которой известна ее карательная (рис. 1).


     Задача Коши: поиск интегральной кривой, которая проходит через заданную точку (х₀, yᵥ).



1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

1.11 Задача о просачивании воды сквозь песок.
    Пусть вода просачивается через песок сверху вниз. Направим ось х вниз.
    Через U(x,t) обозначим плотность воды в песке (г - время). Скорость движения воды Г, очевидно, зависит от ее плотности, т.е. V-V(U), где V(U) - заданная функция, причем возрастающая.
    Рассмотрим баланс воды в слое [х, х+Ьх]. За время А/
                             х + Дх изменение количества воды равно: f [ Щу, t + Л f)-U(у, /)]ф.


    Это изменение происходит за счет разности входящего потока /+дг
  f V(V(x,x))U(x,x)dx

                     i+At
и выходящего потока J V(U(x + Дх, х)) U(x + txx, x)dx. t
              x + Ax                     t+&t
Таким образом, J [U(y,t + &t)-U(y,t)]dy= J [V(U(x,x))U(x,x) 
- V(U(x + Дх. x))U(x + txx, x)]dx.

    Предполагая наличие непрерывных частных производных у U и дифференцируемость V(U), применим теорему о конечном приращении и формулу среднего значения для вычисления интегралов. Поделив затем на Лхдг, устремим Дх и д/ к нулю. Получим уравнение:
      Эи Эи d .... , . п
      ot дх du
      илн

       д\ дх

      где Р(и)-У(и) +     .
                      du


     Таким образом, получим дифференциальное уравнение в частных производных для определения плотности воды в произвольной точке х в произвольный момент времени I.


1.1.2. Истечение жидкости из сосудов. Водяные часы.
Рассмотрим сосуд         (рис.2),
       площадь горизонтального сечения h которого является произвольной ------------------------- функцией расстояния сечения от дна сосуда. Пусть высота уровня жидкости в сосуде в начальный момент времени 1=0 равна h метров. Пусть площадь

сечения на высоте х равна S(x), а площадь отверстия на дне сосуда есть S'.

Известно, что скорость истечения жидкости V в тот момент времени, когда высота ее уровня равна х, определяется равенством И =       где
g = 9,8 м /с², к - коэффициент скорости истечения жидкости из отверстия.
      На бесконечно малом промежутке времени dt истечение жидкости можно считать равномерным, а потому за время dt вытечет столбик жидкости, высота которого Vdt и площадь сечения S, что в свою очередь вызовет понижение уровня жидкости в сосуде на«с£с.
      Записывая уравнение баланса жидкости, получим дифференциальное уравнение:
      kS-Jlgx dt = -S(x)dx или
     dx _ kS.J~2'gx
      dt S(x)                                              k ' }
      Задача о водяных часах состоит в следующем: следует найти форму сосуда, чтобы уровень воды убывал бы с постоянной скоростью. С помощью дифференциального уравнения (1.4) поставленная задача решается следующим образом: перепишем уравнение (1.4) в виде:

            kS/ig dt
     Учитывая, что сосуд можно рассматривать как поверхность вращения (рнс.З), из уравнения (1.5) получим:


Кг² k^ga’

(1-6)

Рис.З.

где а — Vₓ~ - проекция скорости свободной поверхности жидкости на 0 у ось ОХ, которая по условию задачи z есть

                         величина постоянная.
уравнения (1.6) в квадрат, придем к уравнению: х~сг⁴,


Возведя обе части

(1.7)

где с
ап² 2gk²S~


Следовательно, форма сосуда определяется вращением кривой (1.7) вокруг оси ОХ.

1.1.3. Задача о прожекторе.

    Задача о прожекторе формулируется следующим образом: найти форму зеркала, отражающую все лучн, выходящие из данной точки, параллельно заданному направлению.


Рассмотрим плоское сечение зеркала;

     Совместим источник лучей с началом координат, а ось ОУ направим вдоль указанного в условии направления. Через точку М (х, у) проведем касательную к кривой, полученной в сечении зеркала плоскостью ХоУ. Рассмотрим луч ОМ. По законам оптики, угол падения равен углу отражения. Следовательно, угол OMN равен углу ONM.
     Уравнение касательной к искомой кривой в точке М(х, у):
      У-у = у'(Х-х).
      где X, У - текущие координаты касательной. Так как для точки N(O,Y) имеем X ~ 0, то из уравнения касательной получим ]6Wj-У = у-у-'х.Ясно, что |О.И = д/х² + У , откуда у - у'х = + у²
Полученное уравнение является дифференциальным. Легко убедиться в том, что функции у = ——— (семейство парабол) являются 2с
решением полученного дифференциального уравнения.


1.1.4 Кривая погони.
     Миноносец охотится за подводной лодкой в густом тумане. В какой-то момент времени туман поднимается и подводная лодка оказывается обнаруженной на поверхности воды на расстоянии г„ =3 мили от миноносца. Скорость миноносца вдвое больше скорости подводной лодки. Требуется определить траекторию (кривую погони), по которой должен следовать миноносец, чтобы он прошел

11

точно над подводной лодкой, если последняя сразу же после ее обнаружения погрузилась и ушла на полной скорости неизвестным курсом.
    Для решения поставленной задачи введем полярные координаты г, 0 таким образом, чтобы полюс О находился в точке обнаружения подводной лодки, а полярная ось г проходила через точку, в которой в момент обнаружения подводной лодки был миноносец (рис. 5).


Рис. 5

     Стратегия поведения миноносца следующая: прежде всего миноносцу надо занять такую позицию, чтобы он н подводная лодка находились на одном расстоянии от полюса О. Затем миноносец должен двигаться вокруг полюса О по такой траектории, чтобы оба движущихся объекта все время находились на одинаковом расстоянии от точки О. Только в этом случае миноносец, обходя вокруг полюса О, пройдет над подводной лодкой. Из сказанного следует, что сначала миноносец должен идти прямым курсом к точке О, затем по прямой за точку О до тех пор, пока он не окажется на том же расстоянии х от полюса О, что и подводная лодка.
     Расстояние, на которое миноносец должен продвинуться за точку О, чтобы находиться на одинаковом с подводной лодкой х 3-х                                                        расстоянии от точки (J, определяется нз уравнения: = —— (либо v 2v
             х 3 + хч из уравнения — =----), где:
             v 2v
     х - расстояние от точки О, на котором находятся подводная лодка и миноносец;
     v - скорость подводной лодки;
     2v - скорость миноносца;
     Если при движении по прямой миноносец не встретит подводную лодку, то дальнейшее движение миноносца должно быть таким, чтобы двигаясь вокруг полюса, он удалялся от полюса с той же самой скоростью, что и подводная лодка, находясь на одинаковом

расстоянии с подводной лодкой от полюса О. Тогда в какой-то момент времени миноносец пройдет над подводной лодкой.
     Найдем траекторию движения миноносца. Согласно сделанному dr
предположению — = v. Но тогда (по теореме Пифагора).
               dt

     ᵣdQ- = 44v²-v² = j3v
       dt
     •ГТ                                                 ¹
     Деля первое уравнение на второе, получим:--------= —
rd® 43


dr _ d® г 4з
     Решением полученного дифференциального уравнения будет е
г — се^³ у где с - произвольная постоянная;
     Учитывая теперь, что миноносец начинает движение вокруг полюса О с полярной оси г на расстоянии х миль от точки О, т.е. учитывая, что г =7 при 0=0 и г = 3 при ® = -тт, приходим к выводу, л
что в первом случае с = 1, а во втором с = Зе^³.
       Таким образом, чтобы выполнить свою задачу, миноносец должен пройти две или шесть миль прямым курсом по направлению к месту обнаружения подводной лодки, а затем двигаться либо по е                                   (е+»)
спирали г = е^³, либо по спирали г = е .



      2.  ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
  2.1. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
     Так называются уравнения вида у' ~f/ (х) f₂(y) (2.1)
     или
         =                                          (2.2)


     Предполагая, что уравнение (2.1) имеет решение, интегрируем (2.2). Получим:
      \^\=\f^+coⁿsl                                 (2.3)
       fM

     Неопределенные интегралы в (2.3) носят название квадратур (откуда и возник термин "интегрирование уравнения в квадратурах").
    Выражение (2.3) можно переписать в виде
                    Ф (Х>У) ~ С = const                 (2.4)
     При каждом фиксированном значении С, выражение (2.4) определяет некоторое частное решение у=у(х), являющееся решением уравнения (2.1). Если С рассматривать как параметр, то выражение (2.4) определяет семейство решений у— у(х,С). Выражение (2.4) называется интегралом соответствующего дифференциального уравнения.
     Переписав (2.4) в виде Ф(х,у,С)^0 получим так называемый общий интеграл данного дифференциального уравнения; решая уравнение Ф(х,у,С)=0 относительно у, получим у=у(х,С) - так называемое общее решение данного дифференциального уравнения.
     Чтобы выделить частное решение уравнения (2.1), определяемое начальным условием:
     У(хо) ~Уо                                          (2.5)
    достаточно из (2.4) найти С:
     ОФ (хоуц                                           (2.6)
     К уравнению с разделяющимися переменными приводится уравнение вида:
    /=4;)                                               <²-⁷>
     Уравнение (2.7) называется однородным. Произведем замену переменной:
     v — = 2 X

    ИЛИ
    У= XZ
    Дифференцируя (2.8), получим у' — z'x + z
    Учитывая (2.7), перепишем (2.9) f(z)=z'x + z или z'x- f(Z)~Z’

(2-8)

(2.9)



(2Л0)

    которое сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

       dz _ dx f(z)-z х

    Интегрируя (2.11), получим
₊ C                                 (2.12)
    Следует отметить, что помимо решений (2.12) у уравнения (2.7) могут быть решения
    z — zq — const                                   (2.13)
    где z - корень уравнения f(z) = z.
    К однородному уравнению приводится уравнение более общего вида
(2.14)
          \ау + Ъх + с)
    Если ab - ор 0, то, производя замену переменных по формулам
     fz=ay₊px₊ᵣ                                      ₍₂ₜ₅₎
     [т = ау + &с + с
     Дифференцируя (2.15), получим
     pfₑ=<«/J₊PA                                     ₍₂₁₆₎
        — ady + bdx
     Разделим первое уравнение на второе:

     dz^ady ₊ ^dx_ &                                 ₍₂
     dr adv + bdx  dy
a + b dx
     или

f₂₁g₎
      A a^b U
     Уравнение (2.18) является однородным уравнением. Если же ab - ар = 0 ,то вводя переменную z = оу + рх, получим . ab ᵣ b /                  \ b
      fly+ta = --v + ta = -(av + H.r)=-z             (2.19)


     Из z = ау + рх получим dz = ady + pcZx

(2.20)

      Уравнение (2.20) является уравнением с разделяющимися переменными.

2.2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА


    Линейным уравнением первого порядка называется уравнения вида У (х) = а(х)у + Ь(х)                             (2.21)


    В случае, когда Ь(х) = 0 уравнение у'(х) = а(х)у называется однородным линейным уравнением, соответствующим уравнению (2.21).
    Функции а(х) и Ь(х) будем считать непрерывными. #
    Уравнение (2.21) решается в два этапа.
    Сначала решается уравнение (2.22), являющееся уравнением с разделяющимися переменными:
     Л» V dy z ₄ , - = а(х)у или — = a(x)dx                     (2.23)
     dx          у
     уЫ-Се^^                                     (2.24)


    На втором этапе решение уравнения (2.21) ищется в виде
    у(х) = C(x)e^a^dx                                 (2.25)


    Подставляя (2.25) в уравнение (2.21), найдем С(х):
               + C(x)a(x)d    = Cfxjafx)^⁰^ ₊ Ь(х)
    откуда
    С(х) = b(x)e'ⁱa^dx                             (2.26)

приводит уравнение Бернулли к линейному уравнению для z(x):
      ¹ -z'=f(x)z(x)+g(x)                                 (2.30)
     I-n


    Уравнение (2.30) может быть решено методом вариации постоянной.


     Примеры:
dv         ,      ,        ₜsinxdx . । j
1) у' - tgx ;  - tgx ; dy = tgxdx => J = J----+- c = ~ ln\cos .xj + c



     xy'-y — Q. Это дифференциальное с разделяющимися

переменными dy _ dx

У х
Интегрируя, получим /лг[у| = 1п\х\ + с- 1пс{ + /к]х|, у = сгх

3)  xv + v² =(2хг ±ху)у' или / =        Предполагая, что х*0,
    ' '                         2х + ху
делим числитель и знаменатель правой части уравнения на х, получим уравнение сводящееся к однородному:

     Решая (2.26), получим
     С(х) = f b(x)e~l а⁽х^с1х + с,                        (2.27)
     Подставляя (2.27) в (2.25), получаем решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Метод, с помощью которого получили решение уравнения (2.21), называется методом вариации постоянной.

xdz -2z³ +z²-z dx 2 + z²

(2 + z²)dz dx - 2z³ +z² — z x

. (2 + z²)dz
— 2z³ +z² —z



2.3. К ЛИНЕЙНОМУ УРАВНЕНИЮ СВОДИТСЯ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ:

У'(х)~ ЛХ)У + g(x)yⁿ   (п *1,п* 0)
Замена неизвестной функции у(х)г y,ⁿ(x) = z(x)

(2.28)

[-         — = )и|х| + с. Используя метод неопределенных

коэффициентов, вычислим интеграл в левой части равенства; получим общий интеграл уравнения 3):

(2.29)

17

ᵣ (2 + z²)dz   1 r. .. 3. . , z 1 11 4z-l
'² { И⁺ ²:     ⁺ ⁺ J7°raS~J7~ = ¹⁺¹⁺¹
         2 2


4)  v + xy xy Это уравнение Бернулли. Делаем замену переменной z = у ² илн y — z ²’ у' = ² z'
     Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Решается оно методом вариации произвольной постоянной. Сначала решается однородное уравнение: z' л dz
-~ + xz-0 или — = 2xdx
   ²            z
    Решая это уравнение, получаем: Z«|z| = х² + С или z = С,ех
    На втором этапе варьируем С/, считая ее функцией от х:
    z = C,(x)ex ,z' = C;«x +С,(х)2хех\

Подставляя эти значения в уравнение — + хг=х, получим

г             2             2
    2 хс,(х)е + хс,(х)е = х,с',=-2хе        de, =-2хех dx
   . , f е¹х²
       - tc,--------------—+с₃

    Таким образом, решение уравнения 4) будет: z I ' . Ie**


2.4 УРАВНЕНИЕ ВИДА:

     У' + Р(х)у(х) + q(x)y! (х) = f(x) (2.31), где р(х), q(x), f(x) - известные функции, называется уравнением Риккати.
    В общем случае это уравнение в квадратурах не интегрируется Однако, если известно какое-либо частное решение У — У/(х) уравнения Риккати, то нахождение его общего решения сводится к решению линейного уравнения.

     Действительно, вводя новую неизвестную z(x) =у(х) - yₜ(x), получим для нее уравнение Бернулли: + 2q(x)y, (xj]z(X) + q(x)x! (х) = 0.


функцию

2.5. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ.
    Уравнение у'(х) ~ f (у,х) можно записать в виде


    F(y, x)dy + G(y, x)dx = 0                             (2.32)
    где        = f(Vᵢx), а сами G(y,x), F(y, x) некоторые функции.
         F(y,x)
     Может так оказаться, что функции F (у,х) и G (у,х) приведут нас к дифференциалу, т.е.
     F(y, x)dy + G(y, x)dx = dV(y, x)                     (2.33)
где V(y,x) - некоторая функция, заданная на том же множестве, что и функции F (у,х) и G (у,х).
     В этом случае уравнение (2.32) называется уравнением в полных дифференциалах.
     Решением уравнения будет неявно заданная функция:
     У(угх) = const (const - произвольная константа)      (2.34)


     Если производные и —- непрерывны на множестве D дх ду
определения функций F и G, то для того, чтобы выражение Fdy+Gdx было полным дифференциалом, необходимо выполнение условия
            g’F _ dG                                     (2.35)
            дх ду
                             dF d²V d²v _ dG
     Эхо следует из равенства                  —

     Уравнение (2.32) может быть сведено к уравнению в полных дифференциалах, если удастся найти функцию д(х,у)^О, непрерывную вместе с частными производными первого порядка, такую, что выражение pi(x,y)[F(x,y)dy+ G(x,y)dx] будет полным дифференциалом. Такая функция называется интегрирующим множителем уравнения (2.32).

19

2.6. ЗАДАЧА КОШИ. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ.
     Задача Коши для дифференциального уравнения у' = f (х.у) формулируется так:
     найти такое решение уравнения (2.36), что у(х₀) - у₀, где х₀,у₀ -заданные числа (называемые начальными условиями или данными).
     Всегда ли задача Коши имеет решение и если ее решение существует, то является ли оно единственным? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
     Пусть в дифференциальном уравнении (2.36) функция f(x,y) и ее df частная производная определены и непрерывны на открытом Sy
множестве переменных х, у.
     Тогда, в некоторой окрестности |х-~хв|<£ точки х₀ существует непрерывное решение задачи Коши: у' = f (х.у) . у(х₀) = у₀.
     Это решение единственно, т.е. если у,(х) и у₂(х)~ два непрерывных решения задачи Коши,то у}(х) - у₂(х)..
     Теорема гарантирует существование решения только в некоторой малой окрестности точки xq. Геометрически теорема означает следующее: при соблюдении ее условии, через каждую точку (хцу^проходит единственная интегральная кривая уравнения (2.36).

2.7. УРАВНЕНИЕ, НЕРАЗРЕШЕННОЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ.
     Пусть дифференциальное уравнение задано следующим образом:
     F(x,y,y') = 0                                   (2.37)


     Если решить уравнение (2.37) относительно у'(выразить у'как явную функцию переменных х и у) невозможно, то такое уравнение называется уравнением, неразрешенным относительно производной.
     Рассмотрим метод решений таких уравнений, связанный с введением параметра.
     Пусть уравнение (2.37) можно решить относительно^, т.е.
     y(x)^f(x,yl)                                      (2.38)


     Тогда, обозначая у'(х)-р(х) (введя параметр), уравнение (2.38) преобразуется к виду

     у(х) ~ f(х, р(х))                               (2.39)
    Предполагая существование решения у(х) исходного уравнения
(2.37), дифференцируем по х. Получим:
    dy_^ₚ₍ₓ₎^t ₊ SJSp                                (2.40)
     dx dx dp dx


     Выражение (2.40) представляет собой линейное дифференциальное уравнение относительно р, решение которого рассмотрено в п. 2.2.
     Общее решение уравнения (2.40) можно записать в виде однопараметрического семейства
     р(х) - <р (х, С)                                   (2-41)


     Отсюда, используя (2.39), получим семейство решений

исходного уравнения: y = f(x,(p(x,C))


     Пример: Решаем уравнение (у')г ~ху‘+у=0

     Очевидно,
     у = хр-р² (Р=У)


(2.42)

(2.43)


(2.44)

    Из (2.44) имеем:
     ~ = р = р + (х —2р)^-, или р = р + (х~2р)^-, dx               dx                  dx
    т.е.
     (х-2р)^0                                       <2«)
            dx
    Уравнение (2.45) имеет решения:
     * = 2р->р^                                     (2.46)

     — = Q -> р(х) = const                          (2-47)
     dx
    Из (2.46) и (2.47) следует, что решения исходного уравнения
можно представить в виде:
    у(х)=С₁х + С₂                                   <²-⁴⁸>