Сопротивление материалов

Старовойтов Э.И.

Сопротивление

м атериалов

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 539.3 (075.8)
ББК 30.121
С 77

С т а р о в о й т о в Э. И. Сопротивление материалов: Учеб.: Для вузов. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-0883-6.

Учебник соответствует традиционной программе курса сопротивления материалов в технических вузах. Кроме теоретического курса приведены задачи и тестовые задания по всем разделам курса, соответствующие расчетнографическим и курсовым работам.
В отличие от известных изданий рассмотрено влияние температуры и нейтронного облучения на упругие постоянные, описаны вязкоупругие свойства
материалов.
Для студентов и аспирантов технических вузов.
Табл. 29. Ил. 233. Библиогр. 25 назв.

ISBN 978-5-9221-0883-6

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008, 2010

c⃝ Э. И. Старовойтов, 2008, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

От автора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Г л а в а 1.
Введение в сопротивление материалов. . . . . . . . . . . . . .
9
1.1. Основные понятия сопротивления материалов. .. . . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Гипотезы и допущения сопротивления материалов. .. . . . . . . . . . .
12
1.3. Внешние силы. Внутренние усилия в стержнях . .. . . . . . . . . . . .
15
1.4. Напряжения в точке тела . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5. Перемещения и деформации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6. Опоры. Расчетная схема сооружения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7. Статически определимые и статически неопределимые системы . .. .
24
1.8. Построение эпюр внутренних силовых факторов . .. . . . . . . . . . . .
25
1.9. Примеры построения эпюр. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
29

Г л а в а 2.
Растяжение и сжатие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1. Внутренние силы и напряжения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2. Деформации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3. Закон Гука при растяжении-сжатии . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
42
2.4. Перемещения при растяжении-сжатии. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.5. Дифференциальное соотношение при растяжении-сжатии. .. . . . . .
44
2.6. Потенциальная энергия деформации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.7. Напряжения на наклонных площадках . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.8. Механические испытания материалов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.9. Диаграммы растяжения . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.10. Упругие и пластические деформации. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.11. Диаграммы сжатия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.12. Механические характеристики материалов . .. . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.13. Инженерные методы расчета на прочность. Расчет по допускаемым
напряжениям. .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.14. Расчет по допускаемым нагрузкам . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.15. Расчет по предельным состояниям . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.16. Расчеты стержней при растяжении-сжатии. .. . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.17. Влияние температуры и радиации на механические характеристики
материалов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.18. Вязкоупругие свойства материалов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

Оглавление

Г л а в а 3.
Сдвиг. Кручение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.1. Чистый сдвиг . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.2. Расчет соединений, работающих на сдвиг . .. . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.3. Кручение стержня круглого поперечного сечения . .. . . . . . . . . . .
82
3.4. Связь касательных напряжений и крутящего момента . .. . . . . . . .
84
3.5. Перемещения. Потенциальная энергия деформации . .. . . . . . . . . .
86
3.6. Геометрические характеристики сечений при кручении. .. . . . . . . .
87
3.7. Расчеты на прочность и жесткость при кручении . .. . . . . . . . . . .
88
3.8. Кручение стержней некруглого поперечного сечения . .. . . . . . . . .
90

Г л а в а 4.
Геометрические характеристики плоских сечений. . . . . .
93
4.1. Статические моменты и центр тяжести сечения . .. . . . . . . . . . . .
93
4.2. Моменты инерции сечения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей координат . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат . .. . . .
98
4.5. Главные оси и главные моменты инерции. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
100
4.6. Геометрические характеристики простейших фигур . .. . . . . . . . . .
102

Г л а в а 5.
Прямой изгиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.1. Внутренние усилия при изгибе. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
107
5.2. Закон Гука при чистом изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
5.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе. .. . . . . . . . . . . . . . .
112
5.4. Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе . .. . . . . . .
115
5.5. Напряжения при поперечном изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
5.6. Распределение напряжений по прямоугольному и двутавровому сечениям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
119
5.7. Касательные напряжения при изгибе тонкостенных стержней . .. . .
122
5.8. Расчеты на прочность при изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
5.9. Расчет балок с учетом развития пластических деформаций . .. . . . .
126
5.10. Дифференциальное уравнение упругой линии балки . .. . . . . . . . .
130
5.11. Определение перемещений при изгибе. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
5.12. Примеры расчета балок при прямом изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . .
135
5.13. Балка на упругом основании . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
141
5.14. Изгиб бруса большой кривизны. Закон Гука. .. . . . . . . . . . . . . . .
144
5.15. Нормальные напряжения в кривом брусе . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
146
5.16. Радиус кривизны нейтрального слоя . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148

Г л а в а 6.
Сложное сопротивление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
6.1. Косой изгиб . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
6.2. Изгиб с растяжением (сжатием) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

Оглавление
5

6.3. Внецентренное растяжение (сжатие) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156

Г л а в а 7.
Основы теории напряженного и деформированного состояний. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
7.1. Напряженное состояние в точке . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
7.2. Напряжения на произвольной площадке . .. . . . . . . . . . . . . . .. . .
163
7.3. Главные оси и главные значения тензора напряжений . .. . . . . . . .
165
7.4. Вычисление главных значений тензора напряжений . .. . . . . . . . . .
167
7.5. Напряжения на октаэдрических площадках . .. . . . . . . . . . . . . . .
169
7.6. Плоское напряженное состояние. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
7.7. Деформированное состояние в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
7.8. Обобщенный закон Гука . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
176
7.9. Объемная деформация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
7.10. Полная потенциальная энергия деформации . .. . . . . . . . . . . . . . .
178
7.11. Потенциальные энергии изменения объема и формы . .. . . . . . . . .
178

Г л а в а 8.
Tеории прочности и разрушения. . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
8.1. Прочность при сложном напряженном состоянии . .. . . . . . . . . . .
180
8.2. Теория максимальныx нормальныx напряжений (первая теория
прочности) . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
8.3. Теория максимальныx линейныx деформаций (вторая теория прочности) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
8.4. Теория максимальныx касательныx напряжений Треска–Сен-Венана (третья теория прочности). .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
8.5. Энергетическая теория Xубера–Mизеса–Xенки (четвертая теория
прочности) . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
8.6. Теория предельныx состояний Mора (пятая теория прочности) . .. .
188
8.7. Теории разрушения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
8.8. Расчет пространственного бруса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
8.9. Изгиб с кручением стержней круглого сечения . .. . . . . . . . . . . . .
204

Г л а в а 9.
Перемещения в стержневыx системаx . .. . . . . . . . . . . . .
211
9.1. Потенциальная энергия стержневой системы . .. . . . . . . . . . . . . .
211
9.2. Теорема Кастилиано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
9.3. Интеграл Mора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
9.4. Теxника вычисления интеграла Mора . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
219
9.5. Теоремы о взаимности работ и перемещений . .. . . . . . . . . . . . . .
223
9.6. Статическая неопределимость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
9.7. Расчет статически неопределимыx систем методом сил. .. . . . . . . .
227

Г л а в а 10.
Устойчивость сжатыx стержней. . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
10.1. Понятие об устойчивости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241

Оглавление

10.2. Задача Эйлера. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
10.3. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня . .
245
10.4. Потеря устойчивости при напряженияx, превышающиx предел пропорциональности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
10.5. Практический метод расчета стержней на устойчивость . .. . . . . . .
249
10.6. Продольно-поперечный изгиб . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
10.7. Изгибающий момент при продольно-поперечном изгибе . .. . . . . . .
260
10.8. Приближенный метод решения задач при продольно-поперечном
изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
10.9. Допускаемая нагрузка при продольно-поперечном изгибе . .. . . . . .
262
10.10. Энергетический метод oпределения критическиx нагрузок . .. . . . .
262

Г л а в а 11.
Динамические нагружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
11.1. Удар . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
11.2. Удар по массивной системе. Продольный удар. .. . . . . . . . . . . . . .
268
11.3. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. .. . . . . . .
272
11.4. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы . .. . . .
275
11.5. Рассеяние энергии при колебанияx . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
11.6. Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды . .. . . . . .
281
11.7. Резонансные кривые. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
283
11.8. Крутильные колебания вала с одной степенью свободы . .. . . . . . .
285

Г л а в а 12.
Прочность при циклическиx напряженияx . . . . . . . . . .
286
12.1. Усталость материалов. Xарактеристики циклов напряжений . .. . . .
286
12.2. Кривые усталости. Предел выносливости материалов . .. . . . . . . . .
290
12.3. Диаграмма предельныx амплитуд . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
12.4. Концентрация напряжений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
12.5. Mасштабный эффект. Коэффициент качества обработки поверхности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
12.6. Коэффициент запаса прочности при циклическиx напряженияx . .. .
297
12.7. Понятие о малоцикловой усталости материалов. .. . . . . . . . . . . . .
299

Г л а в а 13.
Контактные напряжения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
13.1. Общие сведения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
13.2. Сжатие шаров . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
13.3. Сжатие цилиндров . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
13.4. Общий случай контакта двуx тел . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
13.5. Проверка прочности при контактном взаимодействии. .. . . . . . . . .
309

Г л а в а 14.
Тестовые задания. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
14.1. Введение в сопротивление материалов. Растяжение, сжатие и кручение стержней . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313

Оглавление
7

14.2. Геометрические характеристики плоских сечений. Изгиб . .. . . . . .
319
14.3. Сложное сопротивление. Напряженное и деформированное состояния. Теории прочности и разрушения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
327
14.4. Перемещения в стержневых системах. Устойчивость сжатых стержней . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
14.5. Динамика. Циклические напряжения. Контактная задача . .. . . . . .
337
Приложение А. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
345
Приложение Б. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347
Приложение В. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
359

Список литературы . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
371
Именной указатель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
Предметный указатель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
Contents . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
English annotation . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383

От автора

Содержание книги основано на лекционном курсе «Сопротивление
материалов», который автор в течение ряда лет читал для студентов
строительных специальностей Белорусского государственного университета транспорта. Учебник в достаточной мере отражает и теоретический материал, и весь комплекс задач, соответствующих расчетнографическим и курсовым работам. Для закрепления знаний в процессе
обучения разработаны и приведены тестовые задания. Список литературы лишь указывает на те источники, которые в той или иной мере
были использованы.
В своей работе я во многом опирался на труды и идеи моих университетских учителей — Алексея Антоновича Ильюшина (1911–1998),
Виктора Васильевича Москвитина (1922–1983), Анатолия Герасимовича Горшкова (1941–2006), памяти которых и посвящаю эту книгу.
В подготовке книги к изданию мне большую помощь оказали
д. ф.-м. н. А. В. Яровая и к. ф.-м. н. Д. В. Леоненко, которым я выражаю
глубокую признательность.
Буду благодарен всем читателям за замечания любого характера
(edstar@server.by).

Г л а в а 1

ВВЕДЕНИЕ

В СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Сопротивление материалов является одним из разделов механики
деформируемого твердого тела. Это исключительно важная техническая дисциплина, необходимая для инженеров любой специальности.
Без фундаментальных знаний в этой области невозможно создать различного рода машины и механизмы, промышленные и гражданские
сооружения, мосты, линии электропередач, антенны, ангары, корабли,
самолеты, агрегаты атомных станций, ракетной и реактивной техники и др.

1.1. Основные понятия сопротивления материалов

С о п р о т и в л е н и е
м а т е р и а л о в — это инженерная наука
о методах расчета наиболее распространенных элементов конструкций
на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности.
Прочность — способность материала или конструкции воспринимать внешние воздействия (нагрузки, температурные перепады, просадки грунтов и т. п.), не разрушаясь и не претерпевая беспрепятственного
деформирования.
Жесткость — способность конструктивных элементов деформироваться при внешнем воздействии без существенного изменения геометрических размеров.
Устойчивость — способность конструкций и их элементов сохранять под нагрузкой первоначальные форму и положение равновесия.
Надежной считается конструкция, которая сохраняет свою эксплуатационную способность (прочность, жесткость, устойчивость) в течение заранее предусмотренного промежутка времени.
Сопротивление материалов позволяет установить в каждом конкретном случае оптимальные размеры элементов, при которых надежность
обеспечивается без лишних запасов, удовлетворяя экономическим требованиям проблемы.
Основной задачей сопротивления материалов является создание
удобных для практики простых приемов расчета типичных, наиболее
часто встречающихся элементов конструкций. Эта задача решается

Гл. 1. Введение в сопротивление материалов

с использованием теоретических гипотез и экспериментальных данных,
имеющих в сопротивлении материалов одинаково большое значение.
Широко используются различные приближенные методы и результаты,
полученные более строгими методами других разделов механики деформируемого твердого тела.

Связь с другими науками. В теоретической части сопротивление
материалов базируется на математике и теоретической механике,
в экспериментальной части — на физике и материаловедении.
Теоретическая механика изучает равновесие и движение абсолютно твердых тел. Поэтому постановка вопроса о расчете на прочность
в ее рамках лишена смысла: в самой терминологии заложена идея
неразрушимости и отсутствия каких бы то ни было деформаций. Так
как все твердые тела в той или иной степени деформируемы, сопротивление материалов можно рассматривать как следующий шаг после
теоретической механики на пути приближения к расчету реальных
конструкций и сооружений.
Поведение деформируемых твердых тел под нагрузкой изучается
математической теорией упругости, теорией пластичности, теорией вязкоупругости, но с других позиций и в более строгой математической постановке. Результаты, полученные этими науками, в сопротивлении материалов используются для дальнейших теоретических
и практических исследований.
Расчетный аппарат сопротивления материалов широко используется
в курсах статики сооружений и специальных дисциплинах, связанных с проектированием деталей машин, строительных конструкций, мостов и дорог. Эта наука позволяет правильно понимать работу
сооружения в реальных условиях. Библиография по ней обширна, здесь
указаны книги [1–25], использованные автором в процессе работы.

Развитие сопротивления материалов как науки. Наиболее ранние из опытов по изучению прочностных свойств материалов были
поставлены Леонардо да Винчи 1), однако его работы не были опубликованы и остались для его современников неизвестными.
Начало исследований сопротивления твердых тел разрушению связывают обычно с именем знаменитого итальянского физика, математика и астронома Галилео Галилея 2), который в 1638 г. предложил
решения некоторых важных задач динамики и сопротивления материалов. Хотя он считал твердые тела неупругими и не владел законом,
связывающим перемещения и силы, но его работы указали путь, по
которому пошли исследователи в дальнейшем.

1) Леонардо Да Винчи (Leonardo da Vinci) (1452–1519) — великий итальянский живописец, скульптор, архитектор, ученый, инженер.
2) Галилей Галилео (Galileo Galilei) (1564–1642) — итальянский ученый,
один из основателей современной механики, выдвинул идею об относительности движения, установил законы инерции, первым исследовал прочность балок.

1.1. Основные понятия сопротивления материалов
11

Открытие закона Гука 1) в 1660 г. и вывод общих уравнений Навье 2) в 1821 г. — две важные вехи в дальнейшем развитии сопротивления материалов. Закон Гука дал необходимое обоснование теории.
Общие уравнения позволили свести к математическим вычислениям
все проблемы, относящиеся к малым деформациям упругих тел.
Развитию науки о сопротивлении материалов в XVIII веке способствовали успехи высшей математики и механики, особенно большое
значение имели работы Эйлера 3), посвященные в основном упругой
линии и колебаниям тонких брусьев.
Бурный рост промышленности в XIX веке, внедрение паровых
машин, строительство железных дорог, мостов, плотин, каналов,
больших судов и крупных зданий вызвали быстрое развитие науки
о прочности. В России важные исследования в этой области провели Д. И. Журавский, Н. Е. Жуковский, М. Е. Головин, Ф. С. Ясинский,
В. А. Кирпичев, И. Г. Бубнов. Во второй половине XIX века лаборатория
по изучению механических свойств материалов, созданная П. И. Собко
и Н. А. Белелюбским в Петербургском институте инженеров путей сообщения, являлась одной из лучших в Европе.
В
ХХ
веке
большой
вклад
в
науку
о
прочности
внесли
Н. М. Беляев, В. В. Болотин, В. З. Власов, Б. Г. Галеркин, А. Г. Горшков,
Э. И. Григолюк,
А. В. Дарков,
А. А. Ильюшин,
А. Ю. Ишлинский,
А. Н. Крылов, В. В. Москвитин, Н. И. Мусхелишвили, В. В. Новожилов,
П. Ф. Папкович,
Ю. Н. Работнов,
С. П. Тимошенко,
С. В. Серенсен,
В. В. Соколовский,
В. И. Соколовский,
В. И. Феодосьев,
Г. С. Шпиро и др.
Методы расчета в сопротивлении материалов не остаются постоянными. Они изменяются вместе с возникновением новых задач и новых
требований практики. При их применении успех определяет не столько
сложный математический аппарат, сколько умение вникать в существо
исследуемой проблемы, нахождение наиболее удачного упрощающего
предположения и доведение расчета до конкретного числового результата.

1) Гук Роберт (R. Hook) (1635–1703) — английский разносторонний ученый
и экспериментатор. С работами Гука в области теории упругости связано его
замечательное изобретение — замена в хронометрах маятника, использующего
силу тяжести, спиральной пружиной. Он открыл свой закон в 1660 г., но забота
о правах патента на изобретение задержала опубликование до 1676 г. Независимо от Гука закон был сформулирован в 1680 г. Мариоттом (E. Mariotte)
(1620–1684).
2) Навье Луи Мари Анри (L. Navier) (1785–1836) — французский математик
и механик, основоположник теории упругости. Впервые ввел понятие напряжения. Его перу принадлежит первый курс сопротивления материалов (1826).
3) Эйлер Леонард (L. Euler) (1707–1783) — родился в Швейцарии, математик, механик, физик и астроном, в 1731–1766 гг. работал в России, член
Петербургской академии наук.

Гл. 1. Введение в сопротивление материалов

1.2. Гипотезы и допущения
сопротивления материалов

Расчет конструкций и их элементов с учетом всего многообразия физико-механических свойств реальных материалов является или
теоретически невозможным, или практически неприемлемым по своей
сложности. Поэтому, отказываясь от принятой в теоретической механике модели абсолютно твердого тела, в сопротивлении материалов
приходится вводить свою модель идеализированного деформируемого
тела.
Для этого необходимо принять ряд гипотез и допущений относительно свойств материала, нагрузок и характера деформаций.

1. Г и п о т е з а
с п л о ш н о с т и
и
о д н о р о д н о с т и: материал
представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала
во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.
Сплошная среда — это такая среда, которая непрерывно (без пустот) заполняет отведенный ей объем. Свойство непрерывности позволяет использовать в расчетах методы анализа бесконечно малых
величин (дифференциальное и интегральное исчисление).
Предположение об однородности позволяет отвлечься от структурных особенностей материала и считать, что любой объем, выделенный из тела (конструкции), воспринимает часть общей нагрузки,
приходящейся на все тело. Это обеспечивает единообразный подход
к различным по микроструктуре телам и позволяет изучать механические свойства элементов конструкций на образцах сравнительно малых
размеров.
У основных конструкционных материалов — металлов — степень
однородности весьма высока. Другие материалы, например бетон, композитные материалы, дерево, обладают меньшей степенью однородности. Но размеры элементов, выполненных из этих материалов, велики по сравнению с размерами зерен или волокон, составляющих их
структуру. В большинстве случаев расчеты, основанные на гипотезе
сплошности и однородности, дают достаточно хорошие результаты.

2. Г и п о т е з а
о б
и з о т р о п н о с т и
м а т е р и а л а: физикомеханические свойства материала одинаковы по всем направлениям.
Если из изотропного материала выделить куб, его свойства не будут
зависеть от того, как именно был ориентирован этот куб по отношению
ко всему остальному материалу. Хотя кристаллы, из которых состоят
металлы, анизотропны, их хаотическое расположение дает возможность считать макрообъемы металлов изотропными.
В некоторых случаях эта гипотеза неприменима. Например, к анизотропным материалам относятся древесина, армированные материалы
и волокнистые полимеры, свойства которых существенно различны при
работе вдоль и поперек волокон.

1.2. Гипотезы и допущения сопротивления материалов
13

3. Г и п о т е з а
о б
и д е а л ь н о й
у п р у г о с т и
м а т е р и а л а:
тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры
после устранения причин, вызвавших его деформацию (снятия нагрузки, температурных, электромагнитных и других полей).
Деформации, полностью исчезающие после снятия нагрузки, называются упругими в отличие от пластических, или остаточных,
которые не исчезают.
В большинстве задач сопротивления материалов среда условно
считается абсолютно упругой. В действительности же реальные тела
пусть в малой степени, но обнаруживают отступление от идеальной
упругости. При больших нагрузках отступление становится столь существенным, что сплошная среда должна наделяться свойствами упругопластического материала.
Гипотеза об идеальной упругости позволяет не учитывать малые
остаточные деформации, неизбежно присутствующие в реальных материалах.
4. Г и п о т е з а
(д о п у щ е н и е) о
м а л о с т и
д е ф о р м а ц и й:
деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок,
приложенных к телу.
Эта гипотеза позволяет вести расчеты по недеформированной схеме, т. е. при составлении уравнений равновесия конструкцию рассматривают как недеформируемое тело, имеющее после нагружения те же
геометрические размеры, что и до нагружения. Такой подход позволяет
пренебречь изменениями в расположении внешних сил при деформировании реального тела. Он справедлив для жестких элементов и систем,
рассматриваемых в сопротивлении материалов.
5. Д о п у щ е н и е о с п р а в е д л и в о с т и з а к о н а Г у к а: перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо
пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.
Системы, подчиняющиеся такой закономерности, называются линейно деформируемыми. Для них справедлив следующий принцип.
6. П р и н ц и п
н е з а в и с и м о с т и
д е й с т в и я
с и л (принцип
суперпозиции): результат воздействия нескольких внешних факторов
равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения.
Так могут быть найдены, например, усилия или перемещения в теле, вызванные несколькими силами и воздействием температуры.
Этот принцип позволяет сложную задачу разбивать на ряд простых,
решать их, а затем полученные результаты суммировать. Он является
основным при решении подавляющего большинства задач сопротивления материалов, но в отдельных случаях, если несправедливо хотя бы
одно из трех предыдущих допущений, он неприменим.

Гл. 1. Введение в сопротивление материалов

7. Г и п о т е з а
п л о с к и х
с е ч е н и й (гипотеза Бернулли 1)): поперечные сечения, плоские и нормальные к оси стержня до приложения

Рис. 1.1

к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации
(рис. 1.1).
Использование этой гипотезы позволяет существенно упростить математическую
сторону решаемых задач.
8. П р и н ц и п
С е н-В е н а н а 2): в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от
конкретного способа нагружения и определяется только статическим
эквивалентом нагрузки.
Если внешние силы приложены к торцу бруса и к тому же равномерно распределены по его площади (рис.1.2, а), гипотеза плоских

Рис. 1.2

сечений
выполняется
строго.
Если
к концу стержня приложены сосредоточенные силы (рис. 1.2, б), то сечения
перестают быть плоскими (депланируют). Однако многочисленные опыты и теоретические исследования показывают, что на сравнительно небольшом удалении от торца (порядка высоты сечения стержня) сечения остаются
плоскими.
Этот
принцип
позволяет
существенно упрощать граничные условия
задачи, заменяя реальную нагрузку ее
статическим эквивалентом (равнодействующей).
Принятые гипотезы и допущения позволяют избегать математических сложностей при выполнении ряда инженерных расчетов. Они
являются в сопротивлении материалов основополагающими, но не
исчерпывают всевозможных приемов идеализации свойств материала и характера деформирования изучаемых объектов. В дальнейшем
при рассмотрении конкретных теоретических вопросов будут вводиться и другие упрощения, позволяющие доводить инженерный расчет
до числа.

1) Бернулли Якоб-старший (J. Bernoulli) (1654–1705) — швейцарский математик, принадлежавший к талантливой семье, которая дала науке несколько
выдающихся ученых. Иностранный почетный член Петербургской академии
наук. (Родоначальник семьи был выходцем из Голландии.)
2) Барре де Сен-Венан Адемар Жан Клод (B. Saint-Venant) (1797–1886) —
французский ученый в области механики. Заложил основы теории пластичности. Принцип сформулировал в 1855 г.

1.3. Внешние силы. Внутренние усилия в стержнях
15

1.3. Внешние силы.
Внутренние усилия в стержнях

Под с т е р ж н е м понимается тело, длина которого много больше
его поперечных размеров. Осевая линия стержня является геометрическим местом центров тяжести поперечных сечений. Многие сложные
конструкции составлены из стержней.
Стержень, работающий на изгиб, часто называют б р у с о м или
б а л к о й. С точки зрения расчетов на прочность балкой является не
только строительный элемент, но и вал, болт, ось железнодорожного
вагона, зуб шестерни и т. д. В сопротивлении материалов рассматриваются только стержневые системы.

Внешние силы. Для характеристики взаимодействия стержня
с окружающими телами вводятся внешние силы. Все внешние силовые
воздействия будем называть н а г р у з к а м и.
По способу приложения нагрузки могут быть объемными и поверхностными. О б ъ е м н ы е
с и л ы непрерывно распределены по всему
объему тела и приложены к каждой его частице. К ним, например,
относятся силы веса (гравитационные силы), инерции, электромагнитного притяжения.
П о в е р х н о с т н ы е
н а г р у з к и (силы) приложены к участкам
поверхности и характеризуют контактное взаимодействие с другими
телами (твердыми, жидкими или газообразными). К ним относятся:
давление жидкости или газа на стенки сосуда, снеговая или ветровая
нагрузка и т. п. Поверхностные нагрузки могут быть сосредоточенными (приложенными в точке) и распределенными по длине (погонные
силы) или по площади.
Следует заметить, что погонные и сосредоточенные силы реально
не существуют. Они представляют собой статический эквивалент нагрузок, распределенных по вытянутой или малой площади, объему.
По характеру изменения в процессе приложения различают нагрузки статические, динамические и повторно-переменные.
С т а т и ч е с к и е
н а г р у з к и не изменяются со временем или
меняются настолько медленно, что вызываемые ими ускорения и силы
инерции пренебрежимо малы (например, снеговая нагрузка).
Д и н а м и ч е с к и е н а г р у з к и изменяют свое значение, положение или направление в короткие промежутки времени, вызывая большие ускорения и силы инерции (движущиеся, ударные нагрузки и др.).
Динамическое воздействие более опасно, чем статическое, и, если не
учесть его особенностей, может привести к катастрофическим последствиям.
Работа внешних сил, действующих на твердое тело, преобразуется
в потенциальную и кинетическую энергию. При статическом нагружении кинетическая энергия пренебрежимо мала. При динамическом воздействии кинетическая энергия системы соизмерима с потенциальной.