УДК
519.2(075.8)
ББК
22.171я731+22.172я731
Т33

Серия удостоена диплома в номинации «Лучший издательский проект»
на IV Общероссийском конкурсе учебных изданий для высших учебных заведений
«Университетская книга — 2008»

Печатается по решению Ученого совета
Московского финансовопромышленного университета «Синергия»

Ответственный редактор серии
членкорреспондент Российской академии образования,
доктор экономических наук, профессор Ю. Б. Рубин

Т33
Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие /
В. С. Мхитарян, Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин;
под ред. В. С. Мхитаряна. — 2е изд., перераб. и доп. — М.: Москов
ский финансовопромышленный университет «Синергия», 2013. — 336 с.
(Университетская серия).
ISBN 9785425701060

Учебное пособие охватывает все основные разделы курса теории вероятностей
и математической статистики, читаемого для студентов экономических специаль
ностей.
В начале каждой главы кратко излагаются основные теоретические положе
ния, поясняются предпосылки применения статистических методов, приводятся
решения типовых задач, а затем предлагаются задачи для самостоятельной работы
студентов.
Издание предназначено для студентов экономических специальностей высших
учебных заведений. Оно может быть рекомендовано широкому кругу читателей,
применяющих методы теории вероятностей и математической статистики в своей
научной и практической деятельности.
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я731+22.172я731

ISBN 9785425701060

© Коллектив авторов, 2013
© Московский финансовопромышленный
университет «Синергия», 2013

КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ

Университетская серия
3

Часть 1

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Раздел 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Глава 1.
Случайные события. Вероятность события . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Глава 2.
Теоремы сложения и умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . .
31

Глава 3.
Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . .
44

Глава 4.
Повторные независимые испытания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

Раздел 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Глава 5.
Дискретная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

Глава 6.
Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Глава 7.
Нормальный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

Глава 8.
Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118

Часть 2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Глава   9. Статистическое оценивание параметров распределения . . . . . . . . . . .
128

Глава 10. Статистическая проверка гипотез
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173

Глава 11. Дисперсионный анализ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209

Глава 12. Корреляционный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

Глава 13. Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249

Университетская серия

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Историческая справка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Часть 1
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Раздел 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Глава 1.
Случайные события. Вероятность события . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§ 1.1. Основные понятия. Алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§ 1.2. Классическое определение вероятности
. . . . . . . . . . . . . . .
15
§ 1.3. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
§ 1.4. Геометрическое определение вероятности
. . . . . . . . . . . . . .
25
§ 1.5. Статистическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . .
27
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Глава 2.
Теоремы сложения и умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§ 2.1. Теоремы сложения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§ 2.2. Теоремы умножения вероятностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Глава 3.
Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . .
44
§ 3.1. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
§ 3.2. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

Глава 4.
Повторные независимые испытания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
§ 4.1. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
§ 4.2. Локальная теорема Муавра—Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
§ 4.3. Интегральная теорема Муавра—Лапласа . . . . . . . . . . . . . . .
54
§ 4.4. Теорема Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Раздел 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Глава 5.
Дискретная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
§ 5.1. Функция распределения дискретной случайной величины . . . . . . .
66
§ 5.2. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины .
69
§ 5.3. Основные законы распределения дискретных случайных величин . . .
79
5.3.1. Биномиальный закон распределения
. . . . . . . . . . . . .
79
5.3.2. Закон распределения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

Университетская серия
5

Оглавление

Глава 6.
Непрерывная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 6.1. Функция распределения непрерывной случайной величины . . . . . .
87
§ 6.2. Функция плотности вероятностей непрерывной случайной величины
.
89
§ 6.3. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
91
§ 6.4. Основные законы распределения непрерывных случайных величин . .
99
6.4.1. Равномерный закон распределения . . . . . . . . . . . . . .
99
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102

Глава 7.
Нормальный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
§ 7.1. Свойства функции плотности вероятности (кривой Гаусса) нормального
закона распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
§ 7.2. Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины
107
§ 7.3. Функция распределения случайной величины, распределенной по нор-
мальному закону . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
§ 7.4. Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распреде-
ления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115

Глава 8.
Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
§ 8.1. Закон больших чисел. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . .
118
§ 8.2. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125

Часть 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Глава 9.
Статистическое оценивание параметров распределения . . . . . . . . . . .
129
§ 9.1. Исходные данные и задача статистического оценивания
. . . . . . .
129
§ 9.2. Точечные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
§ 9.3. Характеристики ряда распределения . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
§ 9.4. Оценка неизвестных законов распределения. . . . . . . . . . . . . .
140
§ 9.5. Метод наибольшего правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
§ 9.6. Законы распределения выборочных характеристик . . . . . . . . . .
150
§ 9.7. Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
9.7.1. Интервальные оценки генеральной средней (математического
ожидания) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
9.7.2. Интервальные оценки генеральной дисперсии и генерального
среднего квадратического отклонения . . . . . . . . . . . . .
156
9.7.3. Интервальные оценки генеральной доли или вероятности p . .
161
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167

Глава 10. Статистическая проверка гипотез
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
§ 10.1. Основные понятия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
§ 10.2. Проверка гипотез о генеральной средней нормальной совокупности .
179

Оглавление

§ 10.3. Проверка гипотез о генеральной дисперсии нормальной совокупности
184
§ 10.4. Проверка гипотез о вероятности в случае биномиального распределения 191
§ 10.5. Проверка гипотез об однородности ряда вероятностей в случае полино-
миального распределения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
§ 10.6. Проверка гипотез о законе распределения генеральной совокупности
195
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199

Глава 11. Дисперсионный анализ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
§ 11.1. Однофакторный комплекс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
§ 11.2. Двухфакторный комплекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230

Глава 12. Корреляционный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
§ 12.1. Двумерная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
12.1.1. Точечные оценки двумерной корреляционной модели . . . . .
237
12.1.2. Проверка значимости генерального коэффициента корреляции
242
12.1.3. Интервальная оценка генерального коэффициента корреляции
244
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246

Глава 13. Регрессионный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
§ 13.1. Двумерное линейное уравнение регрессии . . . . . . . . . . . . . .
250
§ 13.2. Двумерное линейное уравнение регрессии в случае нормального рас-
пределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270

Ответы на задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275

Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299

Приложение
МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Методические указания к использованию таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302

Таблица 1.
Нормальный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310

Таблица 2.
Распределение Стьюдента (t-распределение). . . . . . . . . . . . . . . .
312

Таблица 3.
Распределение Пирсона (
2-распределение). . . . . . . . . . . . . . . .
314

Таблица 4.
Распределение Фишера—Снедекора (F-распределение) . . . . . . . . . .
317

Таблица 5.
Таблица Фишера—Иейтса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322

Таблица 6.
Таблица Z-преобразования Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323

Таблица 7.
Значение плотности f(t) для стандартного (нормированного) нормального
закона распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324

Таблица 8.
Значение функции Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326

Таблица 9.
G-распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
327

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей — это математическая наука, изучающая законо
мерности случайных явлений (событий, величин, функций, процессов и др.).
Она определяет и анализирует числовые характеристики случайных
событий (объектов), наиболее важными из которых являются вероят
ность события и математическое ожидание случайной величины.
Отправным понятием теории вероятностей является исследование
исходов, результатов случайного эксперимента (осуществления комплек
са условий). При этом исходы опыта (испытания) случайны, т. е. заранее
не известны, не определены. Основным требованием к такому экспери
менту является возможность его повторить, т. е. не менять комплекс ус
ловий при повторном осуществлении опыта неограниченное число раз.
В этих условиях должна наблюдаться закономерность, проявляющаяся
в устойчивости частости (доли) появления определенного случайного ис
хода испытания, наблюдения.
Теория вероятностей с помощью математической модели случайного
эксперимента определяет такие соотношения между вероятностями раз
личных случайных событий (относящихся к данному эксперименту), ко
торые позволяют вычислять вероятности более сложных событий по веро
ятностям простых. Таким образом, если природа случайного эксперимен
та известна, то теория вероятностей может точно определить вероятности
возможных исходов этого эксперимента и распределение вероятностей
случайной величины.
Математическая статистика — раздел математики, изучающий ме
тоды обработки результатов массовых случайных явлений с целью выяв
ления статистических закономерностей.
Опирается математическая статистика в своих выводах на теорию ве
роятностей. Но, если теория вероятностей формальнологически изучает
закономерности случайных явлений и строит их математические модели,
математическая статистика имеет дело с практическими результатами
опытов и наблюдений, причем ограниченного объема.
Математическая статистика, используя вероятностные модели, в свою оче
редь, влияет на развитие теории вероятностей. Ведь новые задачи, возникаю
щие при изучении тех или иных случайных явлений и обработке результа
тов наблюдений над ними, требуют разработки новых вероятностных моделей.
Таким образом, эти науки оказывают влияние и стимулируют развитие
друг друга, находясь в неразрывной взаимосвязи.

Университетская серия
7

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Теория вероятностей возникла в середине XVII в. Первые работы,
принадлежащие французским ученым Б. Паскалю и П. Ферма и голланд
скому ученому X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчетом различных
вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей свя
зан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего за
кон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами
(опубликовано в 1713 г.).
Следующий (второй) период истории теории вероятностей (XVIII —
начало XIX в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Фран
ция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это период, когда
теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений
в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблю
дений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии,
и в теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых
предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа (1812)
и Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и К. Гауссом (1808) в это
же время был разработан метод наименьших квадратов.
Теория вероятностей развивалась и в России. В XVIII в. ряд трудов
по теории вероятностей был написан работавшими в России Л. Эйле
ром, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории ве
роятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопро
сам, связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского
по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике
и демографии.
Третий период истории теории вероятностей (2я половина XIX в.)
связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева,
А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Со 2й половины XIX в. ис
следования по теории вероятностей в России занимают ведущее место
в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков поставили и решили
ряд общих задач, обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев
чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма об
щих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) централь
ную предельную теорему для сумм независимых случайных величин
и указал один из методов ее доказательства. Другим методом Ляпунов по
лучил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков
впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который
впоследствии получил название цепей Маркова.

8
Университетская серия

В Западной Европе во 2й половине XIX в. получили большое разви
тие работы по математической статистике (в Бельгии — А. Кетле, в Анг
лии — Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии — Л. Больцман),
которые наряду с основными теоретическими работами Чебышева, Ля
пунова и Маркова создали основу для существенного расширения про
блематики теории вероятностей в четвертом (современном) периоде ее
развития. Этот период истории науки характеризуется чрезвычайным
расширением круга ее применения, созданием нескольких систем без
укоризненно строгого математического обоснования теории вероятно
стей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо
классического анализа) средств теории множеств, теории функций дей
ствительного переменного и функционального анализа. В этот период
при очень большом усилении работы по теории вероятностей за рубежом
(во Франции — Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии — Р. Мизес,
в США — Н. Винер, В. Феллер, Дж. Дуб, в Швеции — Г. Крамер) россий
ская наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений
и ведущее положение. В нашей стране новый период развития теории
вероятностей открывается деятельностью С. Н. Бернштейна, значи
тельно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева,
Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего рабо
ту по применению теории вероятностей к естествознанию. В Москве
А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров начали с применения к вопросам теории
вероятностей методов теории функций действительного переменного.
Большой вклад в развитие теории вероятностей и математической
статистики и их практическое применение внесли В. И. Романовский
(Ташкент), Л. Н. Большев и Н. В. Смирнов (Москва).

Историческая справка

Часть 1

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события
Случайные величины

Раздел 1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Случайные события. Вероятность события
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Повторные независимые испытания

Глава 1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

Основные понятия. Алгебра событий
Классическое определение вероятности
Элементы комбинаторики
Геометрическое определение вероятности
Статистическое определение вероятности

§ 1.1. Основные понятия. Алгебра событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие
случайного события.
Случайное событие — это любой факт, который может либо произой
ти, либо не произойти при выполнении некоторого комплекса условий.
При этом выполнение некоторого комплекса условий отождествляет
ся с проведением испытания (опыта).
Примеры случайных событий — выпадение «орла» при бросании монеты,
попадание в мишень при выстреле, появление туза при вынимании карты
из колоды и т. п.
Обычно случайные события обозначаются заглавными латинскими
буквами: A, B, C, ...

10
Университетская серия

Геометрически случайные события удобно изобра
жать с помощью диаграмм Эйлера—Венна1.
Весь прямоугольник — достоверное событие
,
случайные события — замкнутые области, обычно
круги (рис. 1).

Если в каждом испытании с неизбежностью
происходит некоторое событие — оно назы
вается достоверным (обозначается
).

Если событие заведомо не может произойти
при данном комплексе условий (ни при каком
испытании) — оно называется невозможным (обозначается
).

А — является частным случаем B, или А влечет за собой событие В
(при каждом появлении события A наступает и B): A
B.

Если A
B и B
A, то А и В — равносильные (при каждом испыта
нии либо оба наступают, либо не наступают), т. е. A
B.

События А и В называются несовместными (несовместимыми), если
появление одного из них исключает появление другого (не могут
произойти одновременно).
События A и B — совместные (совместимые), если они могут про
изойти одновременно в результате испытания.
События A и B — равновозможные, если по условиям испытания
нет оснований считать какоелибо из них более возможным.

ПРИМЕР 1.1
Рассмотрим случайные события — выпадение определенного числа
на верхней грани — которые могут произойти при бросании простого 6-гран-
ного игрального кубика.
Введем обозначения случайных событий:

— выпадение какого-либо числа от 1 до 6 — достоверное событие;
— выпадение числа 7 — невозможное событие;
А — выпадение числа 2, В — выпадение числа 3, С — выпадение
нечетного числа, D — выпадение любого из чисел 1, 3 или 5.

Университетская серия
11

Глава 1. Случайные события. Вероятность события

Рис. 1. Диаграмма
Эйлера—Венна:
А — случайное событие,
— достоверное событие

1 Эйлер (Euler) Леонард (1707—1783) — швейцарский математик и физик. В 1768 г. впер
вые подробно описал так называемые круги Эйлера. Отношения между классами (объемами
понятий) с тех пор принято изображать с помощью систем взаимно пересекающихся кругов.
Венн (Venn) Джон (1834—1923) — английский логик. Работал в области логики клас
сов, где, развив и усовершенствовав идеи Эйлера, создал особый графический аппарат
(так называемые диаграммы Венна) нашедший применение в логикоматематической
теории.

Тогда события: А и В, А и С, А и D — несовместные; В, С и D — совместные; причем
В — частный случай С:B
C; В — частный случай D:B
D;
С и D — равносильные; А и В — равновозможные.

В теории вероятностей случайные события рассматриваются с точки
зрения теории множеств, что позволяет определить отношения над ними.

Операции над событиями

Суммой событий А и В называют событие А
В, состоящее в наступ
лении хотя бы одного из этих событий А или В.
Для суммы событий1 выполняются соотношения:

А
В
В
А;

А
;

А
A;

А
A
A.

Произведением событий А и В называют событие А · В, состоящее
в одновременном наступлении этих событий А и В.
Для произведения событий2 выполняются соотношения:

А · В
В ·А;

А ·
A;

А ·
;

А · A
A.

12
Университетская серия

Часть 1. Теория вероятностей. Раздел 1. Случайные события

Рис. 3. Сумма
несовместных cобытий А и В

Рис. 2. Сумма
совместных событий А и В

1 В литературе встречается еще одно обозначение суммы событий A
B.

2 В литературе встречается еще одно обозначение произведения событий A
B.

ПРИМЕР 1.2
Пусть случайным образом из колоды карт извлекается одна карта. Введем обозна-
чения: случайное событие А — извлечение дамы; событие В — извлечение короля, С — из-
влечение карты пиковой масти. Тогда события:
А
В — извлечение дамы или короля любой масти;
А · С — извлечение пиковой дамы;
А
В ·С — извлечение пиковой дамы или пикового короля.

Операции сложения и произведения удовлетворяют свойству дист
рибутивности:

А
В · C
А · C
В · C;

А
В · C
А
В · (А
C).

Операции над событиями удовлетворяют формулам Моргана:

A
B
A B;
(1.1)

А
B
A B.
(1.2)

С помощью диаграмм Эйлера—Венна все свойства, которым удовле
творяют операции над событиями, легко проверяются.

Событие A называется противоположным со
бытием (дополнением) события А, если непоявле
ние одного события влечет появление другого.
Таким образом, сумма противоположных
событий есть событие достоверное, а произве
дение — невозможное:

A
A
A A
;
.

Заметим, что
;
;
.
A
A

Университетская серия
13

Глава 1. Случайные события. Вероятность события

Рис. 6. Противоположные
события А и A

Рис. 4. Произведение
совместных событий А и В

Рис. 5. Произведение
несовместных событий А и В: A B

ПРИМЕР 1.3
Если случайное событие А — выпадение числа 2 при бросании игрального кубика, то
ему противоположное событие A — выпадение любого другого числа — 1, 3, 4, 5 или 6. Вы-
падение «орла» и «решки» при бросании монеты — противоположные события.

События
H i
i
n

1 образуют полную группу попарно несовместимых
событий, если любые два из них несовместны и хотя бы одно непременно
должно произойти в результате испытания:

H i
i

n

1

— полнота;

H
H
i
j
i
j
— попарная несовместимость.

ПРИМЕР 1.4
При бросании игрального кубика случайные события H1, H2, H3, H4, H5, H6 — обозна-
чающие соответственно выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6 — образуют полную группу со-
бытий. События А1 и А2 — выпадения четного и нечетного числа — также образуют полную
группу событий (и, заметим, являются противоположными).

Два несовместных события, образующие полную группу, являют
ся противоположными.

H
A A
;
.

S
{Ei,
,
, Aj} называется полем событий, для которого:
Ei — элементарные события, представляющие собой полную группу
попарно несовместимых событий;
Aj — представляются в виде суммы некоторых возможных Eij, кото
рые называются благоприятствующими событию Aj.
В этом случае Aj — случайное событие системы S.

Простое утверждение о случайности события представляет ограни
ченный познавательный интерес: оно сводится лишь к указанию на то,
что комплекс условий не отражает всей совокупности причин, необходи
мых и достаточных для наступления этого события. Поэтому возникает
необходимость не в констатации факта случайности события, а в по
строении количественной оценки возможности его наступления, кото
рая реализуется в понятии вероятности. Причем само понятие имеет
несколько определений: классическое, геометрическое, статистическое
и аксиоматическое.

14
Университетская серия

Часть 1. Теория вероятностей. Раздел 1. Случайные события

§ 1.2. Классическое определение вероятности

Приведенные выше в примерах случайные события обладают раз
ной степенью возможности их появления. Например, выпадение числа 2
при бросании игрального кубика и выпадение четного числа — собы
тия, имеющие разную возможность появления. Для исследователя очень
важно в практической деятельности иметь некоторую количественную
оценку, позволяющую сравнивать события по степени возможности их
наступления.
Вероятность события — это численная мера объективной возможности
его появления.
В соответствии с классическим определением:
вероятность P A события A равняется отношению числа случаев М,
благоприятствующих событию A, к общему числу всех возможных исхо
дов испытания N:

P A
M
N

.
(1.3)

При этом полагают, что:

испытание содержит конечное число исходов;
все исходы испытания равновозможны и несовместимы.
Такого рода опыт называют «схемой случаев» (или «схемой урн», так
как любую подобную вероятностную задачу можно свести к задаче с ур
нами с разноцветными шарами).
Из классического определения вероятности вытекают следующие
очевидные свойства вероятности события.
1. Вероятность любого случайного события есть число от нуля до
единицы, так как число благоприятных исходов не может превышать об
щего числа исходов испытания M
N :

0
1
P A
.

2. Вероятность достоверного события равна 1, так как все исходы
испытания являются благоприятными M
N :

P
1.

3. Вероятность невозможного события равна 0, так как нет ни одно
го благоприятного исхода испытания M
0 :

P
0.

Университетская серия
15

Глава 1. Случайные события. Вероятность события

Для решения задачи в соответствии с классическим определением ве
роятности необходимо:

на основании логического анализа условия задачи установить
множество всех различных возможных исходов испытания, прове
рить условия их равновозможности и несовместимости и посчи
тать общее число случаев N;
установить множество различных исходов испытания, благопри
ятствующих событию A, и подсчитать их число М;
найти вероятность P A события A по формуле (1.3).

ПРИМЕР 1.5
Известно, что среди 23 приборов имеется 3 бракованных. Какова вероятность при
случайном отборе взять бракованный?

Решение. Множество исходов испытания представляет собой все возможные способы выбора
одного прибора из имеющихся 23.
Так как отбор случайный, все они равновозможны. Событие А состоит в том, что ото-
бранный прибор — бракованный.
Таким образом, общее число вариантов отбора N
23, из них благоприятствуют со-
бытию А – 3 случая, т. е. М
3. Следовательно, в соответствии с классическим определени-
ем, вероятность события А составляет:

P A
M
N

3
23
013
,
.

При небольших N, как видно, все случаи могут быть непосредственно
перечислены и среди них несложно указать те, которые благоприятству
ют событию А.
В большинстве задач этого сделать не удается, и в таких случаях ис
пользуют правила и формулы комбинаторики.

§ 1.3. Элементы комбинаторики

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий методы реше
ния задач на подсчет числа различных комбинаций.
В комбинаторике есть два важных правила, часто применяемых при
решении комбинаторных задач.
1. Правило умножения комбинаторики. Пусть требуется выполнить
одно за другим какието k действий, причем 1е действие можно выпол
нить n1 способами, 2е — n2 способами и т. д. до kго действия, которое

16
Университетская серия

Часть 1. Теория вероятностей. Раздел 1. Случайные события

можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть вы
полнены n1 · n2 · … · nk способами.
2. Правило сложения комбинаторики. Если k действий взаимно ис
ключают друг друга, причем 1е действие можно выполнить n1 способа
ми, 2е — n2 способами и т. д. до kго действия, которое можно выпол
нить nk способами, то выполнить одно любое из этих действий можно
n1
n2
...
nk способами.

ПРИМЕР 1.6
Сколько существует различных 7-значных телефонных номеров?

Решение. 7-значный номер представляет собой комбинацию 7 ячеек, каждую из которых
мы можем заполнить одной из имеющихся в нашем распоряжении 10 цифр — 0, 1, 2, …, 9.
Только в первой ячейке не может быть цифры 0 — иначе номер не будет 7-значным (мы
не рассматриваем варианты, что телефонный номер не может начинаться еще на какие-
то цифры, например, на 8 в Москве). Таким образом, 1-ю ячейку мы можем заполнить
9 способами, а 2-ю, 3-ю и т. д. до последней 7-й — 10 способами.
Следовательно, по правилу умножения, общее число комбинаций будет равно
произведению:

N
9 ·10 ·10 ·10 ·10 ·10 ·10
9 000 000.

ПРИМЕР 1.7
Выбрать книгу или диск из 10 книг и 12 дисков можно 10
12
22 способами.

Рассмотрим основные понятия комбинаторики.
Пусть дано множество из n различных элементов, и из него мы выби
раем случайным образом m элементов 0
m
n .
Эти mэлементные подмножества могут отличаться:

составом элементов;
порядком следования элементов;
возможностью повтора элементов в подмножестве;
объемом подмножества.
В соответствии с этим выделяют следующие виды подмножеств.
1. Размещения — упорядоченные mэлементные подмножества n
элементного множества, которые отличаются как составом, так и поряд
ком следования элементов.
Число всех размещений Anm из n элементов по m (где m
n), опреде
ляется по формуле:

Университетская серия
17

Глава 1. Случайные события. Вероятность события

A
n
n
m
nm
!
!
(1.4)

Напомним, что n!
n · n – 1 · … · 3 · 2 · 1; 0!
1.

ПРИМЕР 1.8
Сколькими способами можно случайным образом из 25 лучших студентов курса
выбрать двоих для поездки в Англию и Америку?

Решение. Так как в данном случае важно, не только какие 2 человека будут выбраны из 25 (со-
став элементов), но и кто из них поедет в Англию, а кто — в Америку (порядок следования
элементов), то общее число комбинаций будет числом размещений из 25 элементов по 2.
Их число определяется по формуле (1.4). Таким образом, искомое общее число способов
будет равно:

A25
2
25
25
2
25
23
25 24 23 22
3 2 1
23 22
3

!
!
!
!
2 1
25 24
600.

2. Перестановки — любые упорядоченные множества, в которые вхо
дят по одному все n различных элементов исходного множества. Число
всех перестановок Pn из n элементов определяется по формуле:

P
n
n
!
(1.5)

Заметим, что перестановки — это частный вид размещений, когда
n
m:

P
A
n
nn .

ПРИМЕР 1.9
Сколькими способами можно поставить 7 человек в очередь?

Решение. Так как в данном случае искомые комбинации будут состоять из всех 7 элементов
исходного множества, то общее число комбинаций будет числом перестановок из 7 эле-
ментов. Их число определяется по формуле (1.5). Таким образом, искомое общее число
способов будет равно:

P7
7!
7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5040.

3. Сочетания — mэлементные подмножества nэлементного множе
ства, которые отличаются только составом элементов (порядок их следо
вания не важен!).

18
Университетская серия

Часть 1. Теория вероятностей. Раздел 1. Случайные события