Математика. Базовый курс

УДК
51(07)
ББК
22.1я7
Г94

Серия удостоена диплома в номинации «Лучший издательский проект»
на IV Общероссийском конкурсе учебных изданий для высших учебных заведений
«Университетская книга — 2008»

Печатается по решению
Ученого совета Московской финансовопромышленной академии

Ответственный редактор серии
доктор экономических наук, профессор Ю. Б. Рубин

Гулиян Б. Ш., Хамидуллин Р. Я.
Г94
Математика. Базовый курс : учебник / Б. Ш. Гулиян, Р. Я. Хамидуллин. — 2е изд., перераб. и доп. — М.: Московская финансовопромышленная академия, 2011. — 712 с. (Университетская серия).

ISBN 9785902597612

Агентство CIP РГБ
Настоящая книга включает основные разделы курса высшей математики:
линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения.
Изложение теоретического материала иллюстрируется решением большого количества типовых примеров и задач, что значительно упрощает понимание курса и практического применения результатов теоретического материала.
Кроме того, в конце глав даются вопросы и упражнения для проверки понимания результатов каждой главы. Авторы стремились избежать усложняющих доказательства деталей для доступности и наглядности представленного материала.
Учебник предназначается для управленцев и студентов экономических
специальностей высших учебных заведений. Авторы надеются, что книга будет весьма полезна для молодых специалистов и при самостоятельном изучении курса.

УДК 51(07)
ББК 22.1я7

ISBN 9785902597612

© Гулиян Б. Ш., 2011
© Хамидуллин Р. Я., 2011
© Московская финансовопромышленная
академия, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Раздел I

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Глава 1. Элементы теории матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
. . . . . . . . . . .
20
1.3. Приложение теории матриц в решении систем линейных уравнений
. . . . . .
22
1.4. Теория определителей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.5. Вычисление обратной матрицы для квадратной определенной матрицы
. . . . .
40
1.6. Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений
. . . . . .
41
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

Раздел II

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Глава 2. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
. . . . . . . . . .
47
2.1. Координаты на прямой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.2. Декартова прямоугольная система координат на плоскости
. . . . . . . . .
50
2.3. Полярная система координат на плоскости
. . . . . . . . . . . . . .
52
2.4. Простейшие задачи на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.5. Параллельный перенос осей координат на плоскости
. . . . . . . . . . .
62
2.6. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте
осей координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.7. Преобразование декартовых прямоугольных координат при изменении начала
и повороте осей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.8. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве . . . . . . . . . . .
66
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Глава 3. Уравнение линии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.1. Понятие уравнения линии на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . .
71
3.2. Параметрические уравнения линии на плоскости
. . . . . . . . . . . .
75
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

4
Университетская серия

Содержание

Глава 4. Комплексные числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.1. Комплексное число и его геометрическое изображение
. . . . . . . . . .
78
4.2. Формы комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.3. Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Глава 5. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.2. Проекция вектора на оси координат
. . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.3. Направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
5.4. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении . . . . .
95
5.5. Линейные операции над векторами
. . . . . . . . . . . . . . . .
96
5.6. Разность векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
5.7. Основные теоремы о проекциях . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
5.8. Разложение вектора на компоненты
. . . . . . . . . . . . . . . .
105
5.9. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
5.10. Векторное произведение векторов и его основные свойства
. . . . . . . . .
115
5.11. Смешанное произведение трех векторов . . . . . . . . . . . . . . .
123
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
128

Глава 6. Линейные пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
6.1. Понятие линейного пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . .
133
6.2. Базис и размерность линейного пространства
. . . . . . . . . . . . .
135
6.3. Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного пространства.
Прямое и обратное преобразование базисов . . . . . . . . . . . . . .
143
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
146

Глава 7. Линейные операторы в линейном пространстве . . . . . . . . . . . . .
147
7.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
7.2. Характеристический многочлен. Собственные числа и собственные векторы
матрицы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
153

Глава 8. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
8.1. Угловой коэффициент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
8.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
. . . . . . . . . . . . .
155
8.3. Общее уравнение прямой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
8.4. Уравнение прямой в отрезках
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
8.5. Пересечение двух прямых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
8.6. Нормальное уравнение прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163

Университетская серия
5

Содержание

8.7. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой . . . . . .
165
8.8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
. . . . . . . . . .
166
8.9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
8.10. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
.
167
8.11. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
191

Глава 9. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
9.1. Понятие о кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
9.2. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
9.3. Эллипс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
9.4. Гипербола
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
9.5. Парабола
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
9.6. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы
. . . . . . . . . . .
233
9.7. Исследование общего уравнения второй степени
. . . . . . . . . . . .
234
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

Глава 10. Плоскость в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
10.1. Плоскость как поверхность первого порядка . . . . . . . . . . . . . .
240
10.2. Уравнение плоскости в отрезках
. . . . . . . . . . . . . . . . .
243
10.3. Исследование общего уравнения плоскости
. . . . . . . . . . . . . .
244
10.4. Нормальное уравнение плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . .
246
10.5. Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
10.6. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
.
249
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
256

Глава 11. Прямая в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
11.1. Параметрические уравнения прямой
. . . . . . . . . . . . . . . .
259
11.2. Канонические уравнения прямой
. . . . . . . . . . . . . . . . .
259
11.3. Уравнения прямой, проходящей через две точки
. . . . . . . . . . . .
260
11.4. Прямая как линия пересечения двух плоскостей
. . . . . . . . . . . .
260
11.5. Пересечение прямой и плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . .
261
11.6. Угол между двумя прямыми в пространстве
. . . . . . . . . . . . . .
262
11.7. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
11.8. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . .
264
11.9. Угол между прямой и плоскостью
. . . . . . . . . . . . . . . . .
265
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
277

6
Университетская серия

Содержание

Глава 12. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве
. . . . . . . . .
282
12.1. Уравнение линии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
12.2. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными одной из координатных осей
. . . . . . . . . . . . .
285
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
289

Глава 13. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения
. . . . . . . . .
291
13.1. Поверхности вращения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
13.2. Поверхности вращения второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . .
292
13.3. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения
. . . . . . . . .
296
13.4. Исследование вида поверхности второго порядка методом сечений . . . . . . .
298
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
300

Раздел III

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Глава 14. Множества. Функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
14.1. Элементы теории множеств
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
14.2. Функция. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
14.3. Способы задания функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
308
14.4. Классификация функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
313

Глава 15. Теория пределов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
15.1. Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . .
315
15.2. Свойства последовательностей, имеющих предел
. . . . . . . . . . . .
321
15.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами . . . . . .
323
15.4. Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
15.5. Неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
328
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
331

Глава 16. Предел и непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
16.1. Предел функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
16.2. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
338
16.3. Точки разрыва функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
16.4. Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале
. . . . . . . . .
343

Университетская серия
7

Содержание

16.5. Замечательные пределы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
348
16.6. Сравнение бесконечно малых величин
. . . . . . . . . . . . . . .
352
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
356

Глава 17. Производная и дифференциал функций
. . . . . . . . . . . . . . .
358
17.1. Задачи, приводящие к понятию производной . . . . . . . . . . . . . .
358
17.2. Односторонние производные. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции .
362
17.3. Простейшие правила отыскания производных
. . . . . . . . . . . . .
369
17.4. Производная сложной функции. Производная обратной функции
. . . . . . .
373
17.5. Производная основных элементарных функций
. . . . . . . . . . . . .
375
17.6. Производная функции, заданной параметрически
. . . . . . . . . . . .
381
17.7. Производная неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383
17.8. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
387
17.9. Геометрический смысл дифференциала функции
. . . . . . . . . . . .
389
17.10. Основные формулы дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . .
390
17.11. Инвариантность формы первого дифференциала
. . . . . . . . . . . .
391
17.12. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . .
391
17.13. Аналитические приложения дифференцируемых функций . . . . . . . . . .
394
17.14. Возрастание и убывание функции
. . . . . . . . . . . . . . . . .
402
17.15. Экстремум функции одной переменной
. . . . . . . . . . . . . . .
406
17.16. Наибольшее и наименьшее значения функции
. . . . . . . . . . . . .
413
17.17. Выпуклость и вогнутость графика функции
. . . . . . . . . . . . . .
414
17.18. Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
417
17.19. Асимптоты графика функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
420
17.20. Общая схема исследования функции и построения ее графика . . . . . . . .
423
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
427
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
429

Глава 18. Неопределенный интеграл
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
18.1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл
. . . . . . . . . . .
432
18.2. Основные свойства неопределенных интегралов . . . . . . . . . . . . .
434
18.3. Таблица простейших неопределенных интегралов
. . . . . . . . . . . .
436
18.4. Методы интегрирования неопределенных интегралов
. . . . . . . . . . .
441
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

Глава 19. Определенный интеграл
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
470
19.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла . . . . . . . . . .
470
19.2. Основные свойства определенного интеграла
. . . . . . . . . . . . .
473
19.3. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
. . . .
477

8
Университетская серия

Содержание

19.4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона—Лейбница
. . . . . .
479
19.5. Вычисление определенных интегралов путем замены переменной
. . . . . . .
481
19.6. Интегрирование по частям определенного интеграла
. . . . . . . . . . .
483
19.7. Приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . .
486
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
501
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
501

Глава 20. Несобственные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
505
20.1. Несобственные интегралы от непрерывных функций с бесконечными пределами
(несобственные интегралы первого рода) . . . . . . . . . . . . . . .
505
20.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
. . . . . . . . . . . .
511
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
513
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
513

Глава 21. Функции нескольких переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . .
515
21.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515
21.2. Частные производные первого порядка. Частные дифференциалы функций
двух переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
21.3. Полный дифференциал функции двух переменных . . . . . . . . . . . .
522
21.4. Дифференцируемость функции нескольких переменных
. . . . . . . . . .
528
21.5. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
21.6. Инвариантность формы полного дифференциала
. . . . . . . . . . . .
531
21.7. Дифференцирование неявных функций
. . . . . . . . . . . . . . .
532
21.8. Частные производные высших порядков
. . . . . . . . . . . . . . .
534
21.9. Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . .
535
21.10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
. . . . . . . . . . . .
537
21.11. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . .
538
21.12. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
. . . . . .
542
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
545
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
546

Глава 22. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550
22.1. Задача, приводящая к понятию двойного интеграла
. . . . . . . . . . .
550
22.2. Понятие двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
551
22.3. Геометрический смысл двойного интеграла
. . . . . . . . . . . . . .
553
22.4. Свойства двойного интеграла
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
554
22.5. Вычисление двойного интеграла
. . . . . . . . . . . . . . . . .
558
22.6. Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле . . . . . . . . .
560
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
564
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
565

Университетская серия
9

Содержание

Глава 23. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
567
23.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
567
23.2. Свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
568
23.3. Необходимый признак сходимости числовых рядов . . . . . . . . . . . .
569
23.4. Признаки сравнения положительных рядов
. . . . . . . . . . . . . .
569
23.5. Признак Даламбера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
574
23.6. Интегральный признак Маклорена—Коши . . . . . . . . . . . . . . .
575
23.7. Знакопеременные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
577
23.8. Знакочередующиеся ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
578
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
582
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
582

Глава 24. Функциональные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585
24.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585
24.2. Степенные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
587
24.3. Ряды Тейлора и Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
593
24.4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
597
24.5. Разложение элементарных функций в степенные ряды . . . . . . . . . . .
598
24.6. Приложения рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
605
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
611
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
612

Глава 25. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
614
25.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
614
25.2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
. . . . . . . . . . . . . .
617
25.3. Сдвиг основного промежутка
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
619
25.4. Разложение в ряд Фурье функции с любым периодом . . . . . . . . . . .
621
25.5. Разложение в ряд Фурье непериодической функции
. . . . . . . . . . .
625
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
627
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
627

Раздел IV

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 26. Обыкновенные дифференциальные уравнения
. . . . . . . . . . . . .
628
26.1. Задачи физического и геометрического содержания,
приводящие к дифференциальным уравнениям . . . . . . . . . . . . .
629
26.2. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка.
Поле направлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
634
26.3. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
. .
635
26.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . .
641
26.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
. . . . . . . . .
644

10
Университетская серия

Содержание

26.6. Уравнение Бернулли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
646
26.7. Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . .
647
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
652
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
653

Глава 27. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
. . . . . . . . .
656
27.1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
. . . . . . . . .
656
27.2. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
в случае, когда известно одно его частное решение
. . . . . . . . . . .
660
27.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка . . . . .
662
27.4. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) . . . . . . . . .
664
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
668
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
668

Глава 28. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . .
669
28.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . .
669
28.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . .
673
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
685
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
685

Глава 29. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
. . . . . . . . . .
687
29.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка . . . . . . .
687
29.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка . . . . . .
689
29.3. Интегрирование некоторых типов дифференциальных уравнений высших порядков
путем понижения порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
693
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
697
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
697

Глава 30. Системы дифференциальных уравнений
. . . . . . . . . . . . . . .
700
30.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
700
30.2. Устойчивость решений системы дифференциальных уравнений
. . . . . . . .
704
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
708
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
708

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
709

ВВЕДЕНИЕ

Профессиональный уровень экономистов и менеджеров во многом определяется тем, как они освоили современный математический аппарат и умеют ли использовать его при анализе сложных экономических процессов,
а также при принятии управленческих решений.
Математическая подготовка специалистов в области экономики и управления имеет свою специфику. В прошлом при принятии решений менеджеры,
да и экономисты привыкли полагаться главным образом на свою интуицию.
Однако, задачи практической и теоретической экономики и менеджмента
являются столь сложными, что здесь нельзя обойтись без высокой степени
формализации, неотъемлемой частью которой являются математические модели и методы.
Представленный учебник содержит основные теоретические положения
следующих разделов высшей математики: линейной алгебры, аналитической
геометрии, математического анализа и обыкновенных дифференциальных
уравнений. Учебник состоит из четырех разделов и тридцати глав. Главы
имеют сквозную нумерацию. Формулы обозначены двумя цифрами: первая
цифра — номер главы, вторая цифра — порядковый номер формулы в главе.
Целью настоящего учебника является формирование у читателя базовых знаний в области математики и использование полученных знаний при решении
различных экономических и управленческих задач.
Авторы стремились избежать сложных доказательств математических теорем, преследуя цель доступности и наглядности изложенного материала.
С этой целью в учебнике приведены решения множества типовых примеров и задач, что делает его весьма полезным при самостоятельном изучении
предмета.
В каждой главе приведены контрольные вопросы, примеры и задачи для
самопроверки приобретенных знаний.
Авторы надеются, что данный учебник будет весьма полезным не только
для студентов и слушателей курсов повышения квалификации, но и для
начинающих преподавателей и молодых ученых.
Первый раздел учебника посвящен линейной алгебре. Это часть алгебры,
изучающая линейные преобразования в конечномерных линейных пространствах. Возникновение линейной алгебры связано с решением систем линейных уравнений, т. е. уравнений первой степени относительно неизвестных.
Наиболее развитыми направлениями линейной алгебры являются теория матриц, теория квадратичных форм, теория инвариантов.
В этом разделе даются основные сведения по теории решения систем
линейных уравнений и теории матриц. Особое внимание уделено понятию

12
Университетская серия

Введение

ранга матрицы — наивысший порядок минора этой матрицы. Понятие ранга
матрицы используется в теореме Кронекера—Капелли о существовании решения систем линейных уравнений.
Некоторые идеи линейной алгебры используются в доказательстве фундаментальных теорем математического анализа и дифференциальных уравнений. Линейная алгебра имеет важные приложения во многих разделах науки:
симплекс-метод, метод в линейном программировании.
Второй раздел посвящен аналитической геометрии: аналитическая геометрия на прямой и плоскости, аналитическая геометрия в пространстве.
Здесь даются понятия вектора и его координат, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Весь этот материал активно используется при изложении
теории прямой и плоскости.
Еще в глубокой древности решались задачи, связанные со взаимным
расположением звезд. В элементарной геометрии при помощи чисел определялись лишь величины объектов — периметр, площадь, объем, а не их
взаимное расположение.
Положения одних объектов относительно других определяется в аналитической геометрии при помощи чисел. Этот способ определения положения
тел называется методом координат.
В аналитической геометрии линия рассматривается как геометрическое
место точек, обладающих такими общими свойствами, что отличает их от множества других точек и потому позволяет изучение свойств геометрических
фигур сводить к изучению уравнений. Для простоты понимания излагаемой
теории в конце каждой главы приводятся решения большого числа типовых
примеров и задач.
Третий раздел посвящен математическому анализу, основными понятиями которого являются: функция, бесконечно малая величина, предел, непрерывность, производная, неопределенный интеграл и определенный интеграл.
Математический анализ называют наукой о бесконечно малых.
Идея функциональной зависимости очень древнего происхождения. Поиски простейших законов акустики, статики и геометрической оптики, выражающихся в виде взаимосвязей между различными физическими величинами,
приводят к необходимости осознания зависимости между ними.
Поворотным моментом в становлении понятия функции стал XVII в.
Бурное развитие естествознания привело к необходимости математического
исследования не только состояний, но и процессов, движений, которые встречаются в природе и в обществе. Процесс изменения величин, зависящих друг
от друга, сделался основным объектом исследования в математике, а пере
Университетская серия
13

Введение

менная величина и функция, как аналоги механического движения и любого
количественного изменения вообще, стали основными ее понятиями.
Понятием функции пользовались французские математики П. Ферма
(1601–1655) и Р. Декарт (1596–1650). Термин «функция» впервые появился
лишь в 1673 г. в рукописях немецкого математика и философа Г. Лейбница
(1646–1716). Им понятие функции использовалось в весьма узком смысле:
оно обозначало некоторые отрезки, связанные с определенной точкой кривой
и меняющиеся с движением этой точки по кривой. Только в 1718 г. ученик
Г. Лейбница — И. Бернулли (1667–1748) дал определение функции как аналитического выражения, свободного от геометрических образов.
Современное определение числовой функции было дано независимо друг
от друга русским математиком Н. И. Лобачевским (1792–1856) в 1834 г. и немецким математиком Л. Дирихле (1805–1859) в 1837 г.
Важнейшую роль в математическом анализе и во многих других областях
современной математики играет понятие предела. Еще древнегреческие ученые, вычисляя площади и объемы различных фигур, применяли операцию
предельного перехода.
Новый этап в развитии понятия предела наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений.
В истории развития теории пределов видное место принадлежит Ж. Л. Даламберу (1717–1783). В новом, более строгом обосновании дифференциального и интегрального исчислений основную роль сыграли работы великого
французского математика О. Л. Коши (1789–1857). Ему также принадлежит
заслуга определения непрерывной функции. Коши — автор более 750 работ,
относящихся ко всем областям математики и многим областям механики
и физики.
Естественным развитием математического анализа является создание теории дифференциального исчисления, основная идея которого состоит в изучении функции в малом. Это исчисление дает аппарат для исследования
функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки
близко к поведению линейной функции или многочлена. Главными понятиями дифференциального исчисления являются производная и дифференциал.
Открытие дифференциального исчисления тесно связано с задачами об
определении касательных к кривым и нахождении максимальных и минимальных значений функции. Эпохой создания дифференциального исчисления считается конец XVII в. Основа для создания нового исчисления была подготовлена трудами таких ученых, как Р. Декарт (1596–1650), П. Ферма
(1601–1665), Б. Паскаль (1623–1662), И. Барроу (1630–1677) и многими другими. В систематической форме дифференциальное исчисление впервые было
изложено независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

14
Университетская серия

Введение

Следующий этап в развитии дифференциального исчисления связан с именем Л. Эйлера (1707–1783). Он выдвинул в качестве основного понятия дифференциального исчисления производную. Ему принадлежат большие заслуги
в развитии дифференциального исчисления и всего анализа в XVIII в. Эйлер
впервые стал излагать анализ бесконечно малых как самостоятельную дисциплину, не зависящую ни от механики, ни от геометрии.
Проблема обоснования дифференциального исчисления была решена на
базе теории пределов благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса.
Дальнейшее развитие исходные понятия дифференциального исчисления получили в связи с разработкой теории множеств и теории функций действительного переменного.
Возникновение интегрального исчисления тесно связано с нахождением
площадей и объемов. Работы Архимеда сыграли чрезвычайно важную роль
в подготовке понятия интеграла. В частности, понятия верхней и нижней
интегральных сумм принадлежат Архимеду.
Новый этап в развитии интегрального исчисления наступил лишь в XVI
и XVII вв., когда развитие естественных наук поставило перед математиками
Европы ряд новых задач, в частности, задачи на нахождение центра тяжести.
В 1665 г. И. Ньютон, а в 1673 г. независимо от него Г. Лейбниц сделали
открытие, которое заключалось в общем способе вычисления интегралов.
Термин «определенный интеграл» предложил П. С. Лаплас (1745–1827).
Привычный нам символ
ba
f (x) dx

был впервые изобретен и введен Ж. Фурье (1768–1830). Параллельно с развитием интегрального исчисления возникли обобщения операции интегрирования. В 1743 г. французский математик А. С. Клеро (1713–1765) ввел криволинейные интегралы. В 1770 г. Л. Эйлер впервые разработал и ввел двойной
интеграл.
Понятиям функция, предел, непрерывность, производная, неопределенный и определенный интеграл, двойной интеграл и проч. в третьем разделе
уделено достаточно много материала, так как именно эти понятия закладывают основу для понимания не только математических наук, но и специальных
дисциплин.
Четвертый раздел учебника посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям — уравнениям, содержащим производные или дифференциалы искомых функций. Дифференциальные уравнения возникли в математике одновременно с открытием дифференциального и интегрального
исчисления. Впервые Г. В. Лейбниц в одной из своих работ в 1676 г. четко

Университетская серия
15

Введение

сформулировал проблему решения дифференциального уравнения в квадратурах. Ему же и принадлежит сам термин «дифференциальное уравнение».
Исторически первым было решено однородное дифференциальное уравнение первого порядка швейцарским математиком И. Бернулли в 1619 г.
Лейбниц в письме к Лопиталю от 6 января 1695 г. впервые привел линейное уравнение первого порядка

dy
dx = p(x)y + q(x)

к виду с разделенными переменными, представив искомое решение в виде
произведения двух функций: y = u(x)v(x).
В 1766 г. Ж. Л. Даламбер нашел структуру общего решения линейного
неоднородного дифференциального уравнения, доказав, что оно равно сумме
некоторого частного решения неоднородного уравнения и общего решения
соответствующего однородного уравнения. В 1775 г. Ж. Лагранж разработал свой знаменитый метод вариации постоянных, хотя надо отметить, что
этим же приемом еще в 1739 г. владел Л. Эйлер.
Практические успехи, достигнутые крупнейшими учеными XVIII в. в решении дифференциальных уравнений, оказались в 70-х годах этого столетия
настолько значительными, что создалась объективная возможность для построения общей теории дифференциальных уравнений. Эта общая теория
была впервые изложена Эйлером в его знаменитом сочинении «Интегральное исчисление», состоящем из трех томов.
На протяжении XVIII в. теория дифференциальных уравнений была с успехом применена в небесной механике, физике, метрологии.
XIX столетию принадлежит постановка общей проблемы существования
и единственности решения дифференциальных уравнений. Первое доказательство существования и единственности решения уравнения с начальными
условиями принадлежит Коши. Немецкий математик Р. Липшиц (1832–1903)
значительно упростил доказательство (в 1876 г.) теоремы существования
и единственности, которая не только гарантирует законность применения
методов теории дифференциальных уравнений к задачам естествознания,
но и позволяет приближаться к искомому решению с любой степенью точности и производить оценки точности приближения.
В настоящем учебнике рассмотрены все основные типы дифференциальных уравнений и приведены методы их решений. По каждому из них приводятся решения типовых примеров. Основная цель, преследуемая авторами,
заключается в привитии навыков определения типов и методов решения дифференциальных уравнений для решения задач прикладной направленности.
Желаем успехов!

Раздел I

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Элементы теории матриц

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ

1.1. Основные понятия

Система m линейных уравнений с n неизвестными записывается в следующем виде:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm.

(1.1)

Здесь x1, x2, . . . , xn — неизвестные величины, aij (i = 1, 2, . . . , m; j =
1, 2, . . . , n) — действительные числа, называемые коэффициентами системы
(первый индекс — номер уравнения, второй — номер неизвестной), b1, b2,
. . . , bm — действительные числа, называемые свободными членами.
Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x1, x2,
. . . , xn, обращающий каждое уравнение системы в тождество. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что система не имеет
решений. Система, имеющая решение, называется совместной.
Если система имеет только одно решение, она называется определенной.
Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если система не имеет решений, она называется несовместной.
Система, у которой все свободные члены равны нулю (b1=b2=. . .=bn=0),
называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор
из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.
Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m = n),
система называется квадратной. Две системы, множества решений которых

Университетская серия
17

Глава 1. Элементы теории матриц

совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение
множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является
решением первой). Две несовместные системы считаются эквивалентными.
Преобразование, применение которого переводит систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется элементарным. К элементарным
относятся следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений
системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами
у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы
на отличное от нуля число, замена уравнения системы на сумму или разность
этого уравнения с любым другим уравнением системы.
Решение системы линейных уравнений (1.1) можно значительно упростить, если воспользоваться теорией матриц, позволяющей оперировать не
всей системой в целом, а только коэффициентами этой системы и свободными членами.
Прямоугольная таблица, состоящая из p строк и q столбцов, называется
матрицей размера p × q:

A =

⎛

⎜
⎜
⎝

a11
a12
a13
. . .
a1q
a21
a22
a23
. . .
a2q
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
ap1
ap2
ap3
. . .
apq

⎞

⎟
⎟
⎠ ,

где aij — элементы матрицы (первый индекс — номер строки, второй —
номер столбца, в котором стоит данный элемент). Если p = q, т. е. число
столбцов матрицы равно числу строк, то матрица называется квадратной.
Элементы aii образуют главную диагональ матрицы.
Матрица (1.2) называется матрицей коэффициентов системы линейных
уравнений (1.1), а матрица (1.3) — расширенной матрицей для исходной
системы уравнений:
⎛

⎜
⎜
⎝

a11
a12
a13
. . .
a1n
a21
a22
a23
. . .
a2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
am1
am2
am3
. . .
amn

⎞

⎟
⎟
⎠ ,
(1.2)

⎛

⎜
⎜
⎝

a11
a12
a13
. . .
a1n
b1
a21
a22
a23
. . .
a2n
b2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
am1
am2
am3
. . .
amn
bm

⎞

⎟
⎟
⎠ .
(1.3)

18
Университетская серия

1.1. Основные понятия

Очевидно, что матрица коэффициентов квадратной системы является
квадратной матрицей.
Каждую систему m линейных уравнений с n неизвестными можно представить в виде расширенной матрицы, содержащей m строк и (n + 1) столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей
коэффициентов некоторой системы линейных уравнений.
Выше было введено определение матрицы A размерности p × q как прямоугольной таблицы. Можно пользоваться сокращенной формой записи:

A = (aij);
i = 1, 2, 3, . . . , p;
j = 1, 2, 3, . . . , q.

Две матрицы одинаковой размерности p × q называются равными, если
в них все элементы с одинаковыми индексами равны.
Пусть A = (aij) — некоторая матрица, α — произвольное действительное
число. Под произведением αA понимается (αaij), т. е. при умножении матрицы A на число α все элементы матрицы A умножаются на число α, т. е.

αA = (α · aij).

Пусть A и B — матрицы одинаковой размерности:

A = (aij),
B = (bij).

Под суммой A+B понимается матрица C = (cij) той же размерности, каждый
элемент которой определяется по формуле: cij = aij + bij, т. е. при сложении
двух матриц попарно складываются элементы с одинаковыми индексами.
Произведение определяется только для тех матриц, для которых выполняется следующее условие: матрицу A можно умножить на матрицу B, т. е.
найти матрицу C = AB, если число столбцов матрицы A равно числу строк
матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк
у матрицы A, и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый
элемент матрицы C определяется по формуле:

cij =

n
k=1
aik · bkj,

т. е. элемент cij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i-й строки первой матрицы-сомножителя на соответствующие элементы
j-го столбца второй матрицы-сомножителя.
Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц AB,
то произведение BA, вообще говоря, может не существовать.

Университетская серия
19