ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ  
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Рекомендовано  
в качестве учебного пособия для студентов  
высших учебных заведений, обучающихся  
по направлению «Физико-математические науки»

Москва 
ИНФРА-М 
2012

Т.В. ЗАхАРОВА
О.В. ШЕсТАкОВ

УчебНое пособИе

Второе издание, переработанное и дополненное

УДК 51(075.8)
ББК 22.1+32.81я73
 
З38

Захарова Т.В., Шестаков О.В.
Вейвлет-анализ и его приложения: Учебное пособие.— 2-е изд., 
перераб. и доп.— М.: ИНФРА-М, 2012. — 158 с.  — (Высшее 
образование).

ISBN 978-5-16-005056-0

В данном пособии изложены теоретические основы Фурье-анализа и вейв-
лет-анализа, рассмотрены практические аспекты использования вейвлет-
преобразования для анализа и обработки сигналов и временных рядов. 
Приведены примеры использования вейвлет-анализа в задачах вычислитель-
ной томографии. Пособие содержит материал курса лекций, читаемого ав-
торами студентам факультета вычислительной математики и кибернетики 
МГУ имени М.В. Ломоносова. Второе издание дополнено примерами и ил-
люстрациями.
Для студентов и аспирантов университетов по специальностям «матема-
тика» и «прикладная математика и информатика».

ББК 22.1+32.81я73

З38

© Т.В. Захарова, О.В. Шестаков, 2012
ISBN 978-5-16-005056-0

5

1
 -
7
1.1.  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.      
26
1.3.   . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.4.    . . . . . . . . . .
42
1.5.    . . . . . . . . . .
45

2
 -
51
2.1.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.2.    
. . . .
56
2.3.   . . . . . . . . . . . . .
60
2.4.     
66
2.5.   
. . . . .
68
2.6.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.7.    . . . .
80
2.8.  -
. . . . . .
83
2.9. -  . . . . . . . . .
90
2.10.  -
. . . . . . .
92

3
     

93
3.1.    . . . . . . . . . . . . .
96
3.2.    . . . . . . . . . . . . . . .
101
3.2.1.
  . . . . . . . . . . . .
101

3

3.2.2.
SURE-
. . . . . . . . . . . . . . . . .
103

3.3.    

,


-


. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108

3.4.     

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115

3.5.      . . .
119

4
 -   -
 
127

4.1.    . . . . . . .
129

4.2.   . . . . . . . . . . . . . . . .
133

4.3.  


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

4.4.     

-
. . . . . . . . . . . . . .
140

4.5.   . . . . . . . .
147

4.6.     

- . . . . . . . . . . . . . . .
150


155

4

-     -
 .    , 
   ,  , 
-    
,    ,   
 -  .
    ,   
        
.  -  
     ,  
  .      
   ,    -
   .     - -
      
, -     -
  .

-      -

    . -
   ,  -
, ,  ,  , -
 ,  ,  -
 ,  ,   -
,   ,     ..

       -

  -   -

5

.     ,  -
       
 .. .

      -

       



.


-

  ,  , -
    .    -
  -,   -
   ,  -
       
    .   -
      
 -.

6

 1

 -

-    -
,       -
     .
  -   
    ,
     ,   .

  -  .  -

       -
  ,   -
,     , -
   .     
     
,     
   ,   -
.

    

        -
 .  -
      -.  
     -
,       -
 ,  ,    
      .  -

7

       -
   ,    
.      
 ,    
 .

       

    , -
 , , ,  
 .   -
       -
   .   
   .

       -

     (
 ),     
  .

  f(x)    [−π, π]. -

     

a0 +

∞
∑

k=1

(ak cos kx + bk sin kx).

     . ,
  f(t)   -
   .  sin(kt) -
      2π/k 
 k (..    k   
[−π, π]).

,    

3 sin 2t + cos 4t − 40 sin 7t + 5 sin 200t,

      2, 4, 7  200. ,  
 ,  ,   7 -
    (.1.1).

8

0.5
1  
1.5
2  
2.5
3  
3.5
t
−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

. 1.1:  

,        200

     .     -
 .    
       . 
  f(t)    

f(t) = a0 +

∞
∑

k=1

(ak cos kt + bk sin kt),

    ak  bk ( 
 k)   .

   ,    

   200,    , -
  .1.2.

       

9

0.5
1  
1.5
2  
2.5
3  
3.5
t
−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50
50

. 1.2:   

     .  
 f     , 
     ak  bk, -
 ,    . -
,   ,     -
      ,  
   ,     
- ak  bk     k → ∞.

  -    

.

1.1.
 

   ,  
     
[a, b].       
  .

.   ⟨f, g⟩L2 -

10

 f  g   L2([a, b]) 

⟨f, g⟩L2 =

b
∫

a

f(x)g(x)dx.

,   ,  

    ⟨f, g⟩.

  ,   -

 [−π, π].

     f 



f(x) = a0 +

∞
∑

k=1

(ak cos kx + bk sin kx),
(1.1)

   ak  bk   , -
    f.

     -

  .

 1.1.    -

:

1
π

π
∫

−π

cos nx cos kxdx =








1,  n = k ⩾ 1
2,  n = k = 0
0,   ,

(1.2)

1
π

π
∫

−π

sin nx sin kxdx =

{

1,  n = k ⩾ 1
0,   ,
(1.3)

1
π

π
∫

−π

cos nx sin kxdx = 0    n, k.
(1.4)

.  ,    -

 

1
√

2π, cos x
√π , sin x
√π , . . . , cos nx
√π , sin nx
√π , . . .

11

      L2 
 [−π, π].

.    (1.2)  (1.3) -

  :

cos((n + k)x) = cos nx cos kx − sin nx sin kx,
(1.5)

cos((n − k)x) = cos nx cos kx + sin nx sin kx.
(1.6)

      , 

π
∫

−π

cos nx cos kxdx = 1

2

π
∫

−π

(cos((n + k)x) + cos((n − k)x))dx.

,  n ̸= k,

π
∫

−π

cos nx cos kxdx =

= 1

2

(sin(n + k)x

n + k
+ sin(n − k)x

n − k

)

π

−π

= 0.

 n = k ⩾ 1,

1
π

π
∫

−π

cos2 nxdx = 1

2π

π
∫

−π

(1 + cos 2nx)dx = 1.

 n = k = 0, 

1
π

π
∫

−π

1dx = 2,

  (1.2)  .

,  (1.5)  (1.6)  , -

  (1.3).   (1.4) -
     cos nx sin kx
 k > 0.

12