Е.И. БЕлякова
П.в. ЗЕлёный

НачертательНая 
геометрия
Практикум

Допущено  
Министерством образования Республики Беларусь  
в качестве учебного пособия для студентов  
высших учебных заведений по техническим специальностям

2016

2-е издание, исправленное

Под редакцией П.В. Зелёного

 
Минск 
Москва
 
«Новое знание» 
«ИНФРАМ»

УДК 514.18(075.8) 
ББК 22.151.3я73 
 
Б44

Белякова, Е.И.
Начертательная геометрия. Практикум : учеб. пособие / 
Е.И. Белякова, П.В. Зелёный ; под ред. П.В. Зелёного. — 
2-е изд., испр. — Минск : Новое знание ; М. : ИНФРАМ, 
2016. — 214 с. : ил. — (Высшее образование).

ISBN 978985475539-7 (Новое знание). 
ISBN 978-5-16-011555-9 (ИНФРА-М, print). 
ISBN 978-5-16-103887-1 (ИНФРА-М, online).

Учебное пособие представляет собой сборник графических зада-
ний по основным темам курса начертательной геометрии. Каждая 
тема содержит вопросы и задания, задачи различных уровней слож-
ности, а также упражнения и графические работы (для 30 вариантов). 
Включенные в него графические задания развивают логическое мыш-
ление и пространственное геометрическое воображение студентов. 
В приложениях приводятся метрические задачи, примерный перечень 
экзаменационных вопросов по курсу начертательной геометрии, 
а также краткое описание общих правил оформления чертежей в со-
ответствии со стандартами ЕСКД.
Для студентов технических специальностей высших учебных за-
ведений.

УДК 514.18(075.8) 
ББК 22.151.3я73

 
© Белякова Е.И., Зелёный П.В., 2010
 
© Белякова Е.И., Зелёный П.В., 2011, 
с изменениями
 
© ООО «Новое знание», 2011

ISBN 978985475539-7 (Новое знание) 
ISBN 978-5-16-011555-9 (ИНФРА-М, print) 
ISBN 978-5-16-103887-1 (ИНФРА-М, online)

Рецензенты:
кафедра «Инженерная графика» Белорусского государственного технологического уни-
верситета (зав. кафедрой — кандидат технических наук Н.И. Жарков);
кандидат технических наук, доцент кафедры «Инженерная графика» Белорусского госу-
дарственного университета информатики и радиотехники В.А. Столер

Б44

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Оглавление

Предисловие ......................................................................................... 5

Тема 1. Метод проекций ........................................................................ 7
Вопросы и задания ............................................................................. 7
Задачи .............................................................................................. 8
Упражнение № 1. Проекции точек ...................................................... 12

Тема 2. Прямая линия ......................................................................... 16
Вопросы и задания ........................................................................... 16
Задачи ............................................................................................ 17
Упражнение № 2. Пространственная ломаная линия ............................. 20
Упражнение № 3. Плоский контур ..................................................... 22

Тема 3. Плоскость ............................................................................... 25
Вопросы и задания ........................................................................... 25
Задачи ............................................................................................ 26
Упражнение № 4. Пересечение плоскостей .......................................... 33
Графическая работа № 1. Перпендикулярность прямой и плоскости ........ 36

Тема 4. Способы преобразования чертежа ............................................. 39
Вопросы и задания ........................................................................... 39
Задачи ............................................................................................ 39
Графическая работа № 2. Преобразование чертежа ............................... 45

Тема 5. Поверхности. Многогранники. Геометрические тела —
призма и пирамида .............................................................................. 50
Вопросы и задания ........................................................................... 50
Задачи ............................................................................................ 50
Графическая работа № 3. Призма, пирамида ........................................ 53

Тема 6. Кривые линии. Кривые линейчатые поверхности ........................ 60
Вопросы и задания ........................................................................... 60
Задачи ............................................................................................ 60
Графическая работа № 4. Косой геликоид ............................................ 65

Тема 7. Поверхности вращения ............................................................ 69
Вопросы и задания ........................................................................... 69
Задачи ............................................................................................ 70
Графическая работа № 5. Цилиндр, конус ........................................... 75
Графическая работа № 6. Шар, тор ..................................................... 82

Тема 8. Касательные плоскости ............................................................ 94
Вопросы и задания ........................................................................... 94
Задачи ............................................................................................ 94
Упражнение № 5. Построение касательной плоскости ........................... 99

Тема 9. Комбинированные геометрические тела ................................... 111
Вопросы и задания .......................................................................... 111
Задачи .......................................................................................... 111
Графическая работа № 7. Комбинированное тело ................................ 115

Тема 10. Пересечение поверхностей плоскостью общего положения
и прямой линией ............................................................................... 120
Вопросы и задания .......................................................................... 120
Задачи .......................................................................................... 121
Упражнение № 6. Пересечение поверхности и прямой общего
положения; построение касательной плоскости .................................. 124
Графическая работа № 8. Сечение поверхности плоскостью
общего положения .......................................................................... 130

Тема 11. Пересечение поверхностей .................................................... 135
Вопросы и задания .......................................................................... 135
Задачи .......................................................................................... 136
Упражнение № 7. Пересечение многогранников ................................. 147
Графическая работа № 9. Пересечение поверхностей ........................... 151

Тема 12. Развертки ........................................................................... 163
Вопросы и задания .......................................................................... 163
Задачи .......................................................................................... 163
Графическая работа № 10. Развертки поверхностей ............................. 166

Тема 13. Аксонометрические проекции ................................................ 173
Вопросы и задания .......................................................................... 173
Задачи .......................................................................................... 174
Графическая работа № 11. Аксонометрия .......................................... 178

Приложения ..................................................................................... 182
1. Метрические задачи ...................................................................... 182
2. Перечень экзаменационных вопросов по курсу начертательной
геометрии .................................................................................... 184
3. Пример оформления экзаменационного билета .................................. 188
4. Поэтапное выполнение графической работы № 4
«Косой геликоид» ......................................................................... 189
5. Поэтапное выполнение графической работы № 10
«Развертки поверхностей» (задача 1) ................................................ 194
6. Общие правила оформления чертежей в соответствии
со стандартами ЕСКД .................................................................... 202
7. Оформление чертежа ..................................................................... 210
Список рекомендуемой литературы ...................................................... 212

4
Оглавление

Предисловие

Начертательная геометрия является основополагающим разделом учеб
ной дисциплины «Инженерная графика», входящей в цикл общенаучных
и общепрофессиональных предметных курсов подготовки специалистов
в высшей технической школе по большинству технических специальностей,
а также по группам специальностей «Экономика и организация производст
ва», «Преподавание технологии» и «Профессиональное образование».
Изучение начертательной геометрии начинается на первом курсе в пер
вом семестре. Последующие разделы инженерной графики — «Проекцион
ное черчение», «Машиностроительное черчение» и «Инженерная компью
терная графика и моделирование» — изучаются далее в названном порядке,
но могут совмещаться с начертательной геометрией в зависимости от коли
чества учебных часов, отведенных на весь курс инженерной графики, и орга
низации учебного процесса.
Предметом начертательной геометрии является научная разработка
и обоснование, теоретическое и практическое изучение способов графиче
ского построения изображений пространственных форм на плоскости и гра
фических способов решения различных позиционных и метрических задач.
Способы построения изображений предметов на чертеже по методу про
екций (методу Г. Монжа), изучаемые в начертательной геометрии, позволя
ют по чертежу создавать пространственные образы предметов, определять
их взаимное расположение и размеры, исследовать и моделировать различные
технические формы и конструкции. Начертательная геометрия развивает
пространственное мышление, необходимое для профессиональной деятель
ности инженера при решении различных технических задач и выполнении
чертежей. Особое значение начертательная геометрия приобретает при пе
реходе на компьютерное моделирование и автоматизированное выполнение
чертежей, поскольку программное обеспечение основано на теоретических
положениях, понятиях и способах решения различных задач, изучаемых
исключительно в начертательной геометрии.
Учебные задачи курса начертательной геометрии заключаются в следую
щем:

 усвоить правила построения изображений пространственных форм на
чертеже;

 усвоить графические способы решения различных практических по
зиционных и метрических задач;

 развить навыки создания пространственных образов предметов на ос
нове логического анализа их изображений, т.е. развить пространственное
мышление;

 научиться применять методы и понятия начертательной геометрии
в решении различных задач геометрического конструирования в практике
автоматизированного выполнения чертежей и компьютерного трехмерного
моделирования.
Данное учебное пособие представляет собой сборник задач, упражне
ний и графических работ по начертательной геометрии и предназначено для

практического закрепления знаний, умений и навыков по основным темам
этого курса. Оно является дополнением к учебному пособию «Начертатель
ная геометрия» тех же авторов (Белякова Е.И. Начертательная геометрия /
Е.И. Белякова, П.В. Зелёный; под ред. П.В. Зелёного. Минск : Новое знание,
2010). Теоретический материал по темам 1–5, 7, 9–13 изложен в названном
учебном пособии, темы 6 и 8 необходимо изучить самостоятельно. Порядок
следования тем в практикуме является общепринятым для большинства ба
зовых учебников по начертательной геометрии.
Рисунки к задачам выполнены на масштабной сетке, размер одной клет
ки которой равен 5 мм. При оформлении решений задач, упражнений и гра
фических работ необходимо соблюдать требования действующих государ
ственных стандартов Единой системы конструкторской документации
(ЕСКД) (прил. 6). Задачи выполняются на отдельных листах белой или мил
лиметровой бумаги либо в рабочей тетради, графические работы — на стан
дартных листах чертежной бумаги формата А3, упражнения — на листах
формата А4. Допускается размещать на одном листе формата А3 по две задачи
(упражнения). В прил. 3 приведен образец оформления экзаменационной
работы. Она выполняется на стандартном листе белой чертежной бумаги
формата A3 с вычерченной рамкой чертежа и таблицей под основную под
пись (см. прил. 7). Ответы на все вопросы билета должны поместиться на
один лист (при нехватке места часть ответов можно перенести на обратную
сторону листа).
Авторы выражают благодарность за оказанную помощь при оформлении
средствами компьютерной графики графической части условий разработан
ных задач, упражнений, индивидуальных графических работ и образцов их
выполнения О.П. Курилёнок, сотрудникам кафедры «Инженерная графика
машиностроительного профиля» Белорусского национального техническо
го университета О.Н. Кучура, Т.В. Дорогокупец, Н.Л. Киселёвой, И.В. Тол
стик и В.Н. Степаненкову, аспирантке О.К. Щербаковой, а также студентам
автотракторного факультета БНТУ Е.Г. Афоничеву и А.А. Мещерякову.

6
Предисловие

Тема 1

МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

Краткое содержание:

 точка; проекции точки в системе двух и трех плоскостей проекций;

 образование проекций: центральное и параллельное проецирование;

 свойства параллельного проецирования;

 прямоугольное (ортогональное) проецирование;

 образование чертежа по методу Г. Монжа;

 ортогональные проекции точки в системе прямоугольных координат (сис
тема координат Декарта);

 проекции отрезка прямой линии.

Вопросы и задания

1. Кто является основоположником начертательной геометрии как науки?
2. В чем сущность метода проекций? Какие элементы составляют аппарат
проецирования?
3. В чем сущность центрального и параллельного проецирования?
4. Что такое прямоугольное и косоугольное проецирование?
5. Назовите основные свойства параллельного проецирования.
6. Что такое проекция точки?
7. Какие точки называют конкурирующими?
8. Какой метод проецирования предложил использовать Г. Монж для изо
бражения предметов?
9. Как образуются четверти и октанты пространства?
10. Как называются плоскости проекций? Как обозначаются проекции точки
на них?
11. Какими линиями связаны на чертеже проекции точек?
12. В каком октанте и каким образом располагается предмет в европейской
системе изображений на чертежах?
13. В каком октанте и каким образом располагается предмет в американской
системе изображений на чертежах?

Задачи

1.1. Достроить горизонтальную проекцию точки А и фронтальную проекцию
точки B, лежащей в горизонтальной плоскости H (рис. 1.1).

1.2. Определить по чертежу (рис. 1.2), в каких четвертях пространства находят
ся точки A, B, C и D и каким плоскостям проекций принадлежат точки E и F.

8
Тема 1. Метод проекций

Рис. 1.1

Рис. 1.2

1.3. Построить фронтальную и профильную проекции точки A (рис. 1.3).

1.4. Построить проекции точек A (10, 25, 10) и B (30, 10, 20) по заданным ко
ординатам.

1.5. Достроить проекции точек D, E и F, расположенных в I октанте
(рис. 1.4).

1.6. Достроить проекцию точки C, расположенной в VII октанте (рис. 1.5).

1.7. Построить проекции пространственной ломаной линии ABCDE, начи
ная с точки A (рис. 1.6), по координатам точек ее вершин: B (30, 30, 25),
C (20, 5, 25), D (5, 15, 15), E (5, 25, 15).

1.8. Достроить профильную проекцию точки D относительно заданной точ
ки C без координатных осей (рис. 1.7).

Задачи
9

Рис. 1.3

Тема 1. Метод проекций

Рис. 1.5

Рис. 1.4

Задачи
11

Рис. 1.7

Рис. 1.6

Упражнение № 1
Проекции точек

По заданным в табл. 1.1 координатам точек постройте их фронтальные,
горизонтальные и профильные проекции. Соедините точки в алфавитном по
рядке отрезками прямых.
Таблица 1.1
Исходные данные для упражнения № 1

№
варианта
Коорди
ната
A
В
С
D
E
F
G
H
K
L
M
N

1
x
80
80
80
70
60
45
45
35
25
10
10
20
y
25
25
10
10
20
20
35
45
35
35
35
15
z
10
20
35
50
50
50
35
35
25
25
10
0
2
x
75
75
60
50
50
40
25
15
5
5
15
25
y
15
25
25
35
50
40
50
50
25
25
25
5
z
35
35
45
45
35
20
20
10
10
25
25
35
3
x
80
80
70
70
60
50
40
30
20
20
10
10
y
30
45
45
25
15
15
15
5
20
20
20
5
z
50
35
25
10
20
5
5
35
35
50
50
50
4
x
80
80
70
60
45
45
35
35
20
10
10
10
y
25
10
10
25
35
45
45
25
15
15
15
25
z
40
40
50
50
35
20
20
20
30
30
10
10
5
x
75
75
75
65
55
45
35
25
15
15
15
0
y
45
45
35
25
25
10
10
10
20
20
40
30
z
50
35
25
25
40
25
25
5
5
15
15
5
6
x
80
80
80
70
55
55
45
30
30
20
10
10
y
30
20
10
10
20
35
35
45
45
35
20
20
z
50
50
30
15
15
25
25
10
40
40
25
35
7
x
80
80
80
80
65
55
55
45
30
30
20
5
y
10
10
20
35
20
20
5
5
5
25
40
20
z
15
25
35
35
55
45
45
45
10
10
25
25
8
x
75
65
65
65
55
45
35
25
15
15
5
5
y
10
20
25
35
35
50
50
30
30
30
40
55
z
50
40
25
25
10
10
20
35
35
50
50
40
9
x
80
80
80
80
70
55
40
40
30
15
5
5
y
10
20
20
30
30
50
35
25
25
40
40
40
z
30
30
50
50
50
40
40
15
5
20
20
5
10
x
80
80
80
65
65
50
50
40
25
10
10
0
y
10
10
20
30
40
40
25
25
45
30
15
15
z
20
30
40
50
50
40
30
20
20
5
15
15
11
x
70
80
70
60
55
45
45
35
25
25
10
10
y
10
10
25
25
40
40
40
40
30
20
20
35
z
20
30
50
50
40
40
25
15
15
30
10
10

12
Тема 1. Метод проекций