ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011. Вып. 1
ФИЗИКА. ХИМИЯ

УДК 538.931

Д.Д. Афлятунова, М.Д. Кривилев 

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ФАЗОВЫХ ГРАНИЦ ПРИ СПИНОДАЛЬНОМ РАСПАДЕ 
В ЖИДКОЙ ФАЗЕ В УСЛОВИЯХ КОНВЕКЦИИ

Спинодальный распад в жидкой фазе бинарного сплава Co-Cu изучен методами математического моделирова-
ния. Показано, что при малых переохлаждениях и высоких скоростях конвективного течения расплава в образ-
цах формируются структуры ленточного (эвтектического) типа в средней стадии фазового превращения. Далее 
наблюдается изменение морфологии – распад ленточных структур на глобулярные, что фиксируется в мощност-
ном спектре. Качественное сопоставление с моделью Кана-Хилларда показывает согласие предложенной моде-
ли с литературными данными при отсутствии конвекции.

Ключевые слова: спинодальный распад, конвекция, модель фазового поля.

Для создания современных функциональных материалов часто применяются многокомпонент-

ные сплавы. Очень важно контролировать их поведение при изменении температуры в процессах 
кристаллизации, поскольку это влияет на окончательную микрострукуру и их физические свойства. 
При переохлаждении некоторых металлических систем может достигаться состояние неустойчиво-
сти, которое приводит к расслоению расплава на различные фазы. Это явление известно как спино-
дальный распад [1]. Если спинодальный распад в жидкой фазе протекает в условиях сверхбыстрого 
охлаждения, то возможна ситуация, когда расплав затвердевает вскоре после начала расслоения. В 
этом случае микроструктура сплава характеризуется чередованием областей с различным химиче-
ским составом и характерным размером 10-100 нм, что востребовано в наноэлектронике.

Спинодальный распад описывается уравнением Канна – Хилларда [2] применительно к равно-

весному процессу затвердевания. Биндер [3] с соавторами предприняли попытку расширить класси-
ческую модель Кана – Хилларда на неравновесный спинодальный распад, но их модель не описывает 
имеющиеся экспериментальные данные адекватно. П.К. Галенко и В.Г. Лебедев [4] расширили мо-
дель Кана – Хилларда на случай значительного отклонения от равновесия. Предложенный ими  метод 
описания высокоскоростного спинодального распада с использованием модели локальной неравно-
весности дает хорошее согласие с экспериментом. Н. Владимирова [5] изучила спинодальный распад 
в бинарной смеси, в которой коэффициент диффузии (подвижность) зависит от локального концен-
трационного поля, но ее работа посвящена чисто диффузионному переносу и не учитывает конвек-
цию. Согласно [5] для мгновенной закалки  расплава период установившегося решения равен самой 
быстрорастущей моде, что совпадало с предыдущими результатами, а для медленных охлаждений 
период увеличивался. Вторым важным результатом было расхождение с общепринятым предполо-
жением  о локальном равновесии, утверждающем, что состав не изменяется после формирования по-
верхностных границ. Хотя структурные факторы фазового разделения системы одинаковы и не зави-
сят от модели, это неверно для глубокого разделения.

Объектом исследования данной работы является сильно переохлажденный расплав 

Со-50at.%Cu, фазовая диаграмма которого изображена на рис. 1. Предметом исследования является 
влияние эффекта конвекции на механизм спинодального распада в условиях вынужденной и естест-
венной конвекции. Цель работы – выяснить влияние конвекции на эволюцию структурного фактора в 
глубоко переохлажденных расплавах. Для достижения этой цели были решены следующие задачи: 

1) задание потенциала свободной энергии (высоты потенциального барьера, теплофизических 

параметров сплава) на основании реальных данных измерений и расчета диаграммы состояния сис-
темы Co-Cu;

2) формулировка математической модели спинодального распада с конвекцией в формализме 

фазового поля;

3) численное моделирование эволюции структуры с учетом конвекции.
В работе применяются аналитический и численный методы математической физики. В качестве 

основного подхода к описанию динамики спинодального распада используется метод фазового 
поля [7].

Неустойчивость фазовых границ при спинодальном распаде…
25

ФИЗИКА. ХИМИЯ
2011. Вып. 1

Рис. 1. Фазовая диаграмма бинарной системы Co-Cu [6]

Математическая модель
Рассмотрим спинодальный распад бинарной металлической системы AxB1-x в жидком состоя-

нии и примем следующие физические допущения при формулировке модели:

1)
расплав претерпевает спинодальный распад в присутствии потока u течения, возникающе-

го в расплавленном образце в результате конвекции Марангони (в методе электростатической леви-
тации), сдвиговых напряжений на поверхности падающей капли  в результате обтекания  образца по-
током газа (в методе капельных труб) или электромагнитной силы, обусловленной действием пере-
менного электромагнитного поля высокой частоты (в методе электромагнитной левитации);

2)
расплав является Ньютоновой жидкостью с постоянной вязкостью 
const


, где выпол-

няется закон Ньютона  ~
y
ux 

/
 пропорциональности между сдвиговым напряжением   и гради-

ентом скорости  
y
ux 

/
.

Тогда функционал свободной энергии системы может быть записан в виде

,
)
,
(
2
1
)
,
,
(

2
2













dV
f
dV
T
c
f
c
T
c
c
F
tot
c

(1)

где c – концентрация компонента A, T – температура, f – плотность свободной энергии, 

c
f
c



/

. Тогда эволюция концентрационного поля описывается уравнением

),
(
)
)
u
(
(
c

f

c
f
M
c
t
c
tot
tot



















(2)

где  – плотность, M – атомная подвижность (мобильность). При изотермическом спинодальном 

распаде функция
tot
f
 записывается в виде

).
1(
4
2
1
)
,
(
2
2
0
2
2
c
c
f
c
c
c
f
c
tot






(3)

Дифференцируя это выражение в соответствии с видом выражения в скобках в правой части 

уравнения (2), находим

.
)
2
1
)(
1(
2

2
2
0
c
c
c
c
f

c

f

c
f

c

tot
tot













(4)

Перейдем к переменной 'c , введя обозначение 
c
c


'
. Кроме этого отнормируем безразмерную 

концентрацию 'c  таким образом, чтобы 
0
'
c
 и 
1
'
c
 соответствовали химическому составу в точках