Текстовые фрагменты публикации
À.À.ÒÓÃÀÍÁÀÅÂ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ
ÈÍÒÅÃÐÀËÛ
Ó÷åáíîåïîñîáèå
2-е издание, дополненное
Ìîñêâà
Èçäàòåëüñòâî"ÔËÈÍÒÀ"
2013
УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73
Т81
Туганбаев А.А.
Математический анализ: Интегралы [Электронный ресурс]:
учеб.
пособие. — 2-е изд., доп. — М. : ФЛИНТА, 2013. — 88 с.
ISBN 978-5-9765-1306-8
В книге рассмотрен следующий важный раздел математического анализа:
теория и практическое вычисление неопределенных и определенных интегралов.
Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов
различных нематематических специальностей и может выполнять функции
учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
Для студентов и преподавателей гуманитарных факультетов высших учебных
заведений.
УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-9765-1306-8
© Издательство «ФЛИНТА», 2013
Т81
Ñîäåðæàíèå
1. Îáùèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
4
2. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
11
3. Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé
15
4. Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé
17
5. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë è åãî îáùèå ñâîéñòâà
23
6. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ
30
7. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëîâ
36
8. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìè 43
9. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíê-
öèé
51
10.Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
55
11.Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ
69
12.Ïðèëîæåíèÿ
79
12.1. Ïðèëîæåíèå 1:
Íåïðåðûâíîñòü è ïðîèçâîäíûå . . . . . . . . . . . . . .
79
12.2. Ïðèëîæåíèå 2:
Ïðîñòåéøèå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . .
80
12.3. Ïðèëîæåíèå 3:
Ñïðàâî÷íûé ìàòåðèàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3
Îáùèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1.
Îáùèå ñâîéñòâà
íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1.1. Ïåðâîîáðàçíûå è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë. Ôóíêöèÿ
F(x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f(x) (íà êîíå÷íîì èëè
áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå D), åñëè F ′(x) = f(x) (äëÿ âñåõ x ∈ D). Ìíî-
æåñòâî âñåõ ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ f(x) íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èí-
òåãðàëîì îò f(x) è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
f(x) dx, ãäå f(x) íàçûâàåò-
ñÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, à f(x) dx ïîäûíòåãðàëüíûì âûðà-
æåíèåì. Ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò
f(x) dx, ò.å. åñëè f(x) èìååò ïåðâîîáðàçíóþ.
1.2. Ñòðîåíèå íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ïóñòü F(x) ïåðâî-
îáðàçíàÿ íà èíòåðâàëå D äëÿ ôóíêöèè f(x).
1) Äëÿ ëþáîé ïîñòîÿííîé C ôóíêöèÿ F(x) + C òàêæå ïåðâîîá-
ðàçíàÿ äëÿ f(x).
2) Åñëè G(x) åùå îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ íà èíòåðâàëå D äëÿ f(x),
òî F(x) = G(x) + C, ãäå C ÷èñëî.
Ïîýòîìó íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë èìååò âèä
f(x) dx = F(x) + C,
ãäå F(x) ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f(x), à C ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòî-
ÿííàÿ.
◁ 1). (F(x) + C)′ = F ′(x) + C′ = f(x).
2). Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕ(x) ôóíêöèþ F(x)−G(x). Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü,
÷òî ϕ(b) = ϕ(a) äëÿ ëþáîãî îòðåçêà [a, b]. Òàê êàê ôóíêöèè F(x)
è G(x) èìåþò ïðîèçâîäíóþ f(x) íà [a, b], òî ôóíêöèÿ ϕ(x) èìååò
ïðîèçâîäíóþ íà [a, b] è, â ÷àñòíîñòè, íåïðåðûâíà. Êðîìå òîãî,
ϕ′(x) = F ′(x) − G′(x) = f(x) − f(x) = 0
äëÿ âñåõ x ∈ D. Ôóíêöèÿ ϕ(x) óäîâëåòâîðÿåò íà îòðåçêå [a, b] óñëî-
âèÿì òåîðåìû Ëàãðàíæà 12.1.4 èç Ïðèëîæåíèÿ 1, è ïî ýòîé òåîðåìå
ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà c ∈ (a, b), ÷òî ϕ(b) − ϕ(a) = ϕ′(c)(b − a) = 0.
Ïîýòîìó ϕ(b) = ϕ(a). ▷
1.3. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè. Ìîæíî äîêàçàòü,
÷òî êàæäàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà.
Îáùèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
5
1.4. Ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.1
1.4.1.
f(x) dx
′
= (F(x) + C)′ = f(x), ò.å. ïðîèçâîäíàÿ íåîïðåäå-
ëåííîãî èíòåãðàëà ðàâíà ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè.
1.4.2. d
f(x) dx
= d(F(x) + C) = (F(x) + C)′ dx = f(x) dx, ò.å.
äèôôåðåíöèàë îò íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ðàâåí ïîäûíòåãðàëü-
íîìó âûðàæåíèþ.
1.4.3.
dF(x) = F(x) + C,
F ′(x) dx = F(x) + C, ò.å. íåîïðå-
äåëåííûé èíòåãðàë îò äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè ðàâåí ñóììå ýòîé
ôóíêöèè è ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé.
1.4.4.
A f(x) dx = A
f(x) dx, A ∈ R, ò.å. ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü
ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê èíòåãðàëà.
1.4.5.
(f1(x) + f2(x)) dx =
f1(x) dx +
f2(x) dx, ò.å. íåîïðåäå-
ëåííûé èíòåãðàë îò ñóììû ôóíêöèé ðàâåí ñóììå èõ èíòåãðàëîâ (åñ-
ëè òå ñóùåñòâóþò).
1.4.6.
Åñëè
f(x) dx = F(x) + C,
òî
f(ax + b) dx = 1
a F(ax + b) + C.
Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ñâîéñòâ âû÷èñëÿþòñÿ ïðîñòåéøèå èíòåãðàëû. Íà-
ïðèìåð,
x dx =
d
x2 + 1
2
= x2 + 1
2
+ C,
1
x2 + 1 dx =
d (arctg x) = arctg x + C.
 êîíöå êíèãè ïðèâåäåíà òàáëèöà íåêîòîðûõ èíòåãðàëîâ, êî-
òîðûå äîêàçûâàþòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïðàâûõ ÷àñòåé ôîð-
ìóë. Åñëè f(x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðâîîáðàçíîé F(x)
è
ôóíêöèÿ
u(x)
èìååò
íåïðåðûâíóþ
ïðîèçâîäíóþ
u′(x),
òî
f(u(x))u′(x) dx =
f(u) du = F(u(x)) + C.
Èñïîëüçîâàíèå ýòîé ôîðìóëû òàêæå íàçûâàþò âíåñåíèåì ïîä çíàê
äèôôåðåíöèàëà.
1Ýòè ñâîéñòâà âûòåêàþò èç îïðåäåëåíèé ïåðâîîáðàçíîé è äèôôåðåíöèàëà, à
òàêæå ñâîéñòâ ïðîèçâîäíûõ.
Îáùèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1.5. Çàìåíà ïåðåìåííîé â íåîïðåäåëåííîì èíòåãðàëå. Ïóñòü
èíòåãðàë
f(x) dx ñóùåñòâóåò è x = ϕ(t), ãäå ôóíêöèÿ ϕ(t) èìååò
êàê íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, òàê è îáðàòíóþ ôóíêöèþ t = u(x).
Òîãäà
f(x) dx =
f(ϕ(t)) ϕ′(t) dt
(∗)
(ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè (∗) âìåñòî t áóäåò ïîäñòàâëåíà
ôóíêöèÿ t = u(x)).
◁ Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïî x îò ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà
(∗):
d
dx
f(x) dx = f(x),
d
dx
f(ϕ(t))ϕ′(t) dt
= d
dt
f(ϕ(t))ϕ′(t) dt
dt
dx =
= f(ϕ(t))ϕ′(t)
1
dx/dt = f(ϕ(t))ϕ′(t)
1
ϕ′(t) = f(ϕ(t)) = f(x).
Ðàâåíñòâî (∗) ñëåäóåò òåïåðü èç òîãî, ÷òî ïðîèçâîäíûå ïî x åãî ëåâîé
è ïðàâîé ÷àñòåé ðàâíû. ▷
1.6. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü çàìåíó
t = u(x), dt = u′(t) dx, à íå x = ϕ(t). Íàïðèìåð,
u′(x)
u2(x) dx =
dt
t2 = −1
t + C = − 1
u(x) + C.
1.7. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì â íåîïðåäåëåííîì èíòåãðàëå.
Åñëè ôóíêöèè u(x) è v(x) èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå, òî
u dv = uv −
v du.
◁ Òàê êàê (uv)′
=
u′v + uv′, òî uv′
=
(uv)′ − vu′. Òîãäà
u dv = d(uv) − v du,
u dv =
d(uv) −
v du = uv −
v du. ▷
Ôîðìóëó
u dv = uv−
v du ïðèìåíÿþò òîãäà, êîãäà èíòåãðàë
v du
Îáùèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
7
âû÷èñëÿåòñÿ ïðîùå èíòåãðàëà
u dv. Íàïðèìåð,
(3 − 2x) sin x dx =
(2x − 3) d(cos x) =
= (2x − 3) cos x −
cos x d(2x − 3) = (2x − 3) cos x − 2
cos x dx =
= (2x − 3) cos x − 2 sin x + C.
1.8. Äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà P(x) (íåîäíîêðàòíîå) ïðèìåíåíèå èíòå-
ãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü èíòåãðàëû âèäà
P(x) cos(ax + b) dx,
P(x) sin(ax + b) dx,
P(x) max+b dx,
ãäå ïîëàãàþò u = P(x).
Ôîðìóëà
u dv = uv −
v du òàêæå ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ âû÷èñ-
ëåíèÿ èíòåãðàëîâ âèäà
ln x dv,
arcsin x dv,
arctg x dv,
v dx
x ,
v
dx
√
1 − x2,
v
dx
x2 + 1.
1.9. Ïðèìåðû. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëû.
1.9.1.
(2 − 5x)−10 dx = −1
5
(2 − 5x)−10 d(2 − 5x) =
= 1
45(2 − 5x)−9 + C.
1.9.2.
71−3x2x dx = −1
6
71−3x2 d(1 − 3x2) = −
1
6 ln 771−3x2 + C.
1.9.3.
5
√
x2 − 4x + 13 dx =
5 dx
(x − 2)2 + 9
=
5 d(x − 2)
(x − 2)2 + 9
=
= 5 ln
x − 2 +
√
x2 − 4x + 13
+ C.
1.9.4.
3
4 − 2x − x2 dx = −
3
(x + 1)2 − 5 dx = −
3 d(x + 1)
(x + 1)2 −
√
5
2 =
= − 3
2
√
5 ln
x + 1 −
√
5
x + 1 +
√
5
+ C.
Îáùèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1.9.5.
3
√
4 − 2x − x2 dx =
3
5 − (x + 1)2 dx =
=
3 d(x + 1)
5 − (x + 1)2 = 3 arcsin x + 1
√
5 + C.
1.9.6.
x − 3
√
4 − 2x − x2 dx =
x + 1
5 − (x + 1)2 dx −
4
5 − (x + 1)2 dx =
= −1
2
d[5 − (x + 1)2]
5 − (x + 1)2 −
4 d(x + 1)
5 − (x + 1)2 =
= −
√
4 − 2x − x2 − 4 arcsin x + 1
√
5 + C.
1.9.7.
1
(x + b)2 − a2 dx =
d(x + b)
(x + b)2 − a2 = 1
2a ln
x + b − a
x + b + a
+ C.
1.9.8.
x
(x + b)2 − a2 dx =
x + b
(x + b)2 − a2 dx −
b
(x + b)2 − a2 dx =
= 1
2
d[(x + b)2 − a2]
(x + b)2 − a2
− b
2a ln
x + b − a
x + b + a
=
= 1
2 ln[(x + b)2 − a2] − b
2a ln
x + b − a
x + b + a
+ C.
1.9.9.
dx
1 + √x + 1 = [t =
√
x + 1, x = t2 − 1, dx = 2tdt] =
2tdt
1 + t =
= 2
(t + 1) − 1
1 + t
dt = 2
dt −
d(1 + t)
1 + t
=
= 2(t − ln |1 + t|) + C = 2(
√
x + 1 − ln(1 +
√
x + 1)) + C.
1.9.10.
dx
√x(x − 1) = [t = √x, x = t2, dx = 2tdt] =
2dt
t2 − 1 =
= 2 · 1
2 ln
t − 1
t + 1
+ C = ln
t − 1
t + 1
+ C = ln
√x − 1
√x + 1
+ C.
1.9.11.
ctg x
ln sin xdx = [t = ln sin x, dt = ctg xdx] =
=
dt
t = ln |t| + C = ln | ln sin x| + C.
Îáùèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
9
1.9.12.
2x5 − 3x2
1 + 3x3 − x6dx =
= [t = 1 + 3x3 − x6, dt = −3(2x5 − 3x2)dx, (2x5 − 3x2)dx = −1
3dt] =
= −1
3
dt
t = −1
3 ln |1 + 3x3 − x6| + C.
1.9.13.
1 − sin x
(x + cos x)3dx = [t = x + cos x, dt = (1 − sin x)dx] =
dt
t3 =
= −1
2 · 1
t2 + C = −1
2
1
(x + cos x)2 + C.
1.9.14.
ln x dx = x ln x −
x dx
x
= x ln x − x + C.
1.9.15.
arctg x dx = x arctg x −
x dx
x2 + 1 = x arctg x − 1
2
d(x2 + 1)
x2 + 1
=
= x arctg x − 1
2 ln(x2 + 1) + C.
1.9.16.
arcsin x dx = x arcsin x −
x dx
√
1 − x2 =
= x arcsin x + 1
2
d(1 − x2)
√
1 − x2 = x arcsin x +
√
1 − x2 + C.
1.9.17.
(2 − 5x) cos 3x dx = 1
3
(2 − 5x) d(sin 3x) =
= 1
3(2 − 5x) sin 3x − 1
3
sin 3x d(2 − 5x) =
= 1
3(2 − 5x) sin 3x + 5
9
sin 3x d(3x) = 1
3(2 − 5x) sin 3x − 5
9 cos 3x + C.
1.9.18.
(x2 − 5x + 2)ex dx =
=
(x2 − 5x + 2) dex = (x2 − 5x + 2)ex −
ex d(x2 − 5x + 2) =
= (x2 − 5x + 2)ex −
(2x − 5)ex dx = (x2 − 5x + 2)ex −
(2x − 5) dex =
= (x2 − 5x + 2)ex − (2x − 5)ex +
exd(2x − 5) = ex(x2 − 7x + 9) + C.
Îáùèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1.9.19.
cos x ex dx =
cos x dex = cos x ex +
sin xex dx =
= cos x ex +
sin x dex = cos x ex + sin x ex −
cos x ex dx.
Ïîýòîìó
cos x ex dx = 1
2(cos x + sin x)ex + C.
1.9.20.
1
(x + b)2 + a2 dx =
d(x + b)
(x + b)2 + a2 = 1
a arctg x + b
a
+ C ïðè
a ̸= 0.
Ïðè a = 0 ïîëó÷àåì −
1
x + b + C.
1.9.21.
x
(x + b)2 + a2 dx =
x + b
(x + b)2 + a2 dx −
b
(x + b)2 + a2 dx =
1
2
d[(x + b)2 + a2]
(x + b)2 + a2
− b
a arctg x + b
a
=
= 1
2 ln[(x + b)2 + a2] − b
a arctg x + b
a
+ C.
1.9.22.
5
x2 − 4x + 13 dx =
5 dx
(x − 2)2 + 9 dx =
5 d(x − 2)
(x − 2)2 + 32 =
= 5
3 arctg x − 2
3
+ C.
1.9.23.
x + 3
x2 − 4x + 13 dx =
x − 2
(x − 2)2 + 9 dx +
5
(x − 2)2 + 9 dx =
= 1
2
d[(x − 2)2 + 9]
(x − 2)2 + 9
+ 5
3 arctg x − 2
3
=
= 1
2 ln
x2 − 4x + 13
+ 5
3 arctg x − 2
3
+ C.
1.9.24. Ïðè n ̸= 1
x
(x2 + a2)n dx = 1
2
d(x2 + a2)
(x2 + 1)n = (x2 + a2)−n+1
2(−n + 1)
+ C.
1.9.25.
x2
(x2 + 1)2 dx = 1
2
x d(x2 + 1)
(x2 + 1)2
= −1
2
x d
1
x2 + 1 =
= −
x
2(x2 + 1) + 1
2
1
x2 + 1 dx = −
x
2(x2 + 1) + 1
2 arctg x + C.
Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
11
1.9.26.
1
(x2 + 1)2 dx =
(x2 + 1) − x2
(x2 + 1)2
dx =
=
1
x2 + 1 dx −
x2
(x2 + 1)2 dx = (ñì. 1.9.25)) =
= arctg x +
x
2(x2 + 1) − 1
2 arctg x + C = 1
2 arctg x +
x
2(x2 + 1) + C.
1.9.27.
x2
(x2 + 1)3 dx = 1
2
x d(x2 + 1)
(x2 + 1)3
= −
x d
1
(x2 + 1)2 =
= −
x
(x2 + 1)2 +
dx
(x2 + 1)2 = (ñì. 1.9.26)) =
= −
x
(x2 + 1)2 + 1
2 arctg x +
x
2(x2 + 1) + C.
1.9.28.
1
(x2 + 1)3 dx =
(x2 + 1) − x2
(x2 + 1)3
dx =
=
1
(x2 + 1)2 dx −
x2
(x2 + 1)3 dx = (ñì. 1.9.26) è 1.9.27)) =
= 1
2 arctg x +
x
2(x2 + 1) −
x
(x2 + 1)2 + 1
2 arctg x +
x
2(x2 + 1) + C =
= arctg x +
x
x2 + 1 −
x
(x2 + 1)2 + C.
2.
Èíòåãðèðîâàíèå
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
2.1. Ïðàâèëüíûå, íåïðàâèëüíûå è ïðîñòåéøèå ðàöèîíàëü-
íûå äðîáè. Ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè îò îäíîé ïåðåìåííîé x íàçû-
âàþòñÿ äðîáè âèäà R(x) = Pm(x)
Qn(x), ãäå Pm(x) è Qn(x) ìíîãî÷ëåíû
ñòåïåíè m è n ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè m < n (ñîîòâ. m ≥ n) äðîáü R(x)
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé (ñîîòâ. íåïðàâèëüíîé). Ëþáàÿ íåïðàâèëüíàÿ
äðîáü ïîñëå äåëåíèÿ "óãîëêîì"ïðåâðàùàåòñÿ â ñóììó ìíîãî÷ëåíà è
ïðàâèëüíîé äðîáè.
Ïðîñòåéøèìè ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè íàçûâàþòñÿ äðîáè âèäà
M
x + b,
M
(x + b)n,
Mx + N
x2 + px + q,
Mx + N
(x2 + px + q)n,
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
