Математический анализ: Интегралы


        А. А. ТУГ АНБАЕВ


        МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ

        ИНТЕГРАЛЫ



Учебноепособие


                                   2-е издание, дополненное





Москва

Издательство ” ФЛИНТА ”
2013

   УДК 510(075.8)
   ББК 22.1я73
        Т81





    Туганбаев А.А.
Т81 Математический анализ: Интегралы [Электронный ресурс]: учеб. пособие. — 2-е изд., доп. — М. : ФЛИНТА, 2013. — 88 с.

         ISBN 978-5-9765-1306-8

         В книге рассмотрен следующий важный раздел математического анализа: теория и практическое вычисление неопределенных и определенных интегралов. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
         Для студентов и преподавателей гуманитарных факультетов высших учебных заведений.




УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73







ISBN 978-5-9765-1306-8

© Издательство «ФЛИНТА», 2013

           Содержание

           1. Общие свойства неопределенного интеграла       4

           2. Интегрирование рациональных дробей            11

           3. Интегрирование тригонометрических выражений 15

           4. Интегрирование иррациональных выражений       17

           5. Определенный интеграл и его общие свойства     23

           6. Свойства определенных интегралов               30

           7. Геометрические приложения интегралов           36

           8. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 43

           9. Несобственные интегралы от неограниченных функций                                              51

           10. Задачи для самостоятельного решения          55

           11 .Контрольные вопросы и задания                69

           12 . Приложения                                  79
              12.1. Приложение 1: Непрерывность и производные.................. 79
              12.2. Приложение 2: Простейшие элементарные функции.............. 80
              12.3. Приложение 3: Справочный материал.......................... 85


3

Общие свойства неопределенного интеграла


        1. Общие свойства
        неопределенного интеграла


    1.1. Первообразные и неопределенный интеграл. Функция


F(x) называется первообразной для функции f (x) (на конечном или бесконечном интервале D), если F0(x) = f (x) (для всех x G D). Мно-

жество всех первообразных для f (x) называется неопределенным ин-

тегралом, от f (x) и обозначается через

/'⁽x⁾           ■ называет-

ся шдынтегральной функцией, a f (x) dx - подынтегральным, выра-

жением. Функция f (x) называется интегрируемой, если существует

У f (x) dx, т.е. если f (x) имеет первообразную.

1.2. Строение неопределенного интеграла. Пусть F(x) первообразная на интервале D для функции f (x).

1) Для любой постоянной C функция F(x) + C - также первообразная для f (x).
2) Если G(x) - еще одна первообразная на интервале D для f (x), то F(x) = G(x) + C, где C - число.

Поэтому неопределенный интеграл имеет вид

У f (x) dx = F(x) + C,

где F (x) - любая перво образная для f (x), a C - произвольная посто-

янная.

/ 1). (F(x) + C)0 = F0(x) + C0 = f(x).
2). Обозначим через px) функцию F(x) —G(x). Достаточно доказать, что ^(b) = Дц) для любого отрезка [a, b], Так как функции F(x) и G(x) имеют производную f (x) на [a, b], то ф\гжция Дх) имеет производную на [a, b] и, в частности, непрерывна. Кроме того,

p⁽x) = F /⁽x) — G0⁽x) = f ⁽x) — f ⁽x) = 0

для всех x G D. Функция px) удовлетворяет на отрезке [a, b] условиям теоремы Лагранжа 12.1.4 из Приложения 1, и по этой теореме существует такая точка c G (a, b), что ^(b) — ^(a) = Д(c)(b — a) = 0. Поэтому ^(b) = ^(a). .
1.3. Достаточное условие интегрируемости. Можно доказать, что каждая непрерывная функция интегрируема.

Общие свойства неопределенного интеграла

5


             1.4. Свойства неопределенного интеграла.¹

             1.4.1.   f (x) dx^ = (F(x) + C) = f (x), т.е. производная неопреде-
             ленного интеграла равна подынтегральной функции.
             1.4.2.   d Q' f (x) dx^ = d(F(x) + C) = (F(x) + C)0 dx = f (x) dx, т.е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
             1.4.3.   У dF(x) = F(x) + C, У F0(x) dx = F(x) + C, т.е. неопре-
             деленный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.
             1.4.4.   У A f (x) dx = A У f (x) dx, A E R, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
               ¹         J<№⁾⁺' dx=/' dx⁺/' <fc- т-е- — ленный интеграл от суммы функции равен сумме их интегралов (если те существуют).


    1.4.6.


Если

f f (x) dx = F(x) + C,

то

f f (ax + b) dx = f F(ax + b) + C.
С помощью этих свойств вычисляются простейшие интегралы. Например,

В конце

              2      7     fy/x² + 1\ x² + 1
I x dx = / d I —2— I = —2---+ C,

У ₂ i dx = yd (arctg x) = arctg x + C.
книги приведена таблица некоторых интегралов, ко

торые доказываются дифференцированием правых частей формул. Если f (x) - непрерывная функция с первообразной F (x) и функция u(x) имеет непрерывн ую производную u⁰(x), то f f (u(x))u⁰(x) dx = У f (u) du = F(u(x)) + C.
Использование этой формулы также называют внесением под знак дифференциала.

   хЭти свойства вытекают из определений первообразной и дифференциала, а также свойств производных.

Общие свойства неопределенного интеграла


    1.5. Замена переменной в неопределенном интеграле. Пусть


интеграл

f f (x) dx существует их = ^(t), где ф\гнкция ^(t) имеет

как непрерывную производную, так и обратную функцию t = u(x).

Тогда

f f (х) dx =

f f МУ) ^°⁽t⁾ dt

(*)

(после интегрирования в правой части (*) вместо t будет подставлена функция t = u(x)).
/ Вычислим производную по x от левой и правой части равенства (*):


dx Jf (x) dx =f (x),
-d ( f fMW(t) dt} = d- ([ f(p(t)W(t) dt}              =
        dx                         dt                      dx
= f ⁽P⁽t⁾⁾p⁽t⁾ ттй = f ⁽^⁽t⁾⁾^⁰⁽t⁾ -1Д = f ⁽^⁽t⁾⁾ = f ⁽x⁾. dx/dt                              p (t)


Равенство (*) следует теперь из тог о, что производные по x его левой и правой частей равны. .
1.6. При интегрировании часто бывает полезно использовать замену t = u(x), dt = u'(t) dx, а не x = p(t). Например,

U u'(x)
J u²(x)

dx

1 u(x)

+ C.

d dt
J ~2

⁻1+C=


    1.7. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные, то


У udv = uv —

yvdu.

/ Так как (uv)'

= u'v + uv', uv uv'

udv = d(uv) — v du,

(uv) — vu'. Тогда

iudv=

d(uv) —

v du = uv —

ivdu-

Формулу f udv = uv — f v du применяют тогда, когда интеграл

Iddu

Общие свойства неопределенного интеграла

7

вычисляется проще интеграла

Judv. Например,

У*(3 - 2x)

sin xdx =

((2x — 3) d(cos x) =

= (2x — 3) cos x —

У cos xd(2x — 3) = (2x — 3)

cos x —

²

cos x dx

= (2x — 3) cos x — 2 sin x + C.

1.8. Для любого многочлена P(x) (неоднократное) применение интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы вида

ррWcMax ■ b)dx,

рр WMar ■ ■ dx,

pp⁽x⁾ m- dx,

где полагают u = P(x). Формула У u dv = uv —

ления интегралов вида

/v —
J  —1

dx

—

dx
x² + Г

У v du также часто применяется для вычис-У ln xdv, У arcsin xdv, J' arctg xdv, J' v—,

1.9. Примеры. Вычислить интегралы.


    1.9.1. У(2 — 5x)⁻¹⁰ dx =


= 45(2 — 5x)⁻⁹ + C.
1.9.2. у 7¹⁻³x2xdx =

— 1 У (2 — 5x)⁻¹⁰ d(2 — 5x) =

—

1 У 7¹⁻³x² d(1 — 3x²) =

—

1

6ln7

7¹⁻³x2 + C.

1.9.3. / ,___
⁻x² —

5

4x + 13

dx =



            f—


(x

5 dx

— 2)² + 9

5  5 d(x — 2)
J P(x — 2)² + 9

—

= 5 In x — 2 + —x² — 4x + 13 + C.

¹-⁹-⁴* /4 — 2x — x² dx

—

3       3
( (x + 1)² — 5 dx

—

3 d(x + 1)

,—Д
(x + 1)² — —5

3 2—5

ln

x + 1 — д/5
x + 1 + —5

+ C.

Общие свойства неопределенного интеграла

за^ [          ³             3        ³ л
1.9.5. I .             dx =  —.          ---dx =
       J 4- — 2x — x²        5 y/5 — (x + 1)²

3  3 d(x + 1)          . x +1
=                  = 3 arcsin ++ C.
                5 5— — (x +1)²              51

x—3 3 x — 3            .     3 х + 1,3                     ⁴       ,
1.9.0. I .             dx =  —.          ---dx —    —.        -----dx
       4  д/4 — 2x — x²      5 5—   — (x + 1)²      5 5—  — (x + 1)²

                1  Г d[5 — (x + 1)²]  f  4 d(x + 1)
²  J p5 — (x + 1)² J P— — (x + 1)² x--------------x +1
= — a/4 — 2x — x² — 4 arcsin —+—+ C.
                                             v'5

1.9.7.

( (x + b)² — a² dx

.1

d(x + b)
(x + b)² — a²

= — In

2a

x+b—a
x+b+a

+ C.

1.9.8.

x-------x------dx
J (x + b)² — a²

  x+b                b
(x + b)² — a² dx J (x + b)² — a² dx


1 Г d[(x + b)² — a²] b x + b — a

2 (x + b)² - a² 2a    x + b + a

= 2 ln[(x + b)² — a²] —

b x + b — a — In -----------
2a x + b + a

+ C.

l.S.9. [         '
       J 1 + v'x + 1

[t =

v'x + 1, x = t² —

1, dx =

2tdt
.... /1 +t

‘ГД+Д   2(/- Г+t ■)
= 2(t — In |1 + t|) + C = 2(/x + 1 — ln(1 + //x + 1)) + C.


              dx
1.9.10.       ------
x(x -1)

[t = /x, x = t², dx = 2tdt] = 3
                                         t² - 1

= 2 • 1 ln

t — 1 t+T

+ C = ln

t — 1 t+r

+ C = ln

+ C.

x — 1

, O₁₁    3 ctgx ,
1.9.11. I  ------dx =
           ln sin x


[t = ln sin x, dt = ctg xdx] =

= J = = ln |t| + C = ln । lnsinx| + C.

Общие свойства неопределенного интеграла

9

1.9.12. У

2x⁵ — 3x²

1 + 3x³

x⁶

dx =

= [t = 1 + 3x³ — x⁶, dt =

3(2x⁵ — 3x²)dx, (2x⁵ — 3x²)dx = — -dt] =

1 d dt 3J ~t =

— In 11 + 3x³ — x⁶1 + C.
  3

1.9.13.У

1 — sin x

(x + cos x)³

dx =

dt
[t = x + cos x, dt = (1 — sin x)dx] =    — =
t³

2 (x + cos x)²

+ C.

—

—

—

—

2 • t2⁺C=—

1

1

     /fxdx ,            „
      In x dx = x In x — -= x In x — x + C.

x           x x dx     1 d d(x² + ]
 1.9.15. / arctg xdx = x arctgx — ₂ = x arctgx — - —₂ ^





1

2

   /['                         x dx
    arcsin x dx = x arcsin x — .
            J 71—x²

= x arcsin x +— [ (    - = x arcsin x + /1 — x² + C.
                    2 J yr—^2


  1.9.17. У (2 — 5x) cos 3x dx = - ((2 — 5x) d(sin 3x) =


= -(2 — 5x) sin3x — - i sin3xd(2 — 5x) = 33

  = - (2 — 5x) sin 3x + - I sin 3x d(3x) = - (2 — 5x) sin 3x — - cos 3x + C.
    3                 9 J                3               9


  1.9.18.  У (x² — 5x + 2)ex dx =


= У (x² — 5x + 2) dex = (x² — 5x + 2)ex —     ex d(x² — 5x + 2) =
  = (x² — 5x + 2)ex — У (2x — 5)ex dx = (x² — 5x + 2)ex — ((2x — 5) dex

= (x² — 5x + 2)ex

— (2x — 5)ex + У exd(2x — 5) = ex(x² — 7x + 9) + C.

Общие свойства неопределенного интеграла

1.9.19.  У cos x ex dx = У cos x dex = cos x ex + sin xex dx =


     =cos xex ./•• xdex=cos xex  xex


-Icos xex.

Поэтому у cos x ex dx = - (cos x + sin x)ex + C.

1.9.20.  [      *     2
        ./ (x + b)² + a² a = 0.
При a = 0 полу чаем —

d   d(x + b)
x = j (x + b)² + a²

1
- arctg a

x + b . „ ------+ C при
  a


    1.9.21.  У


(x + b)² + a²

  '    ■ C.
x + b
dx = / z    x,+₂ b ₂ dx - Z
      ./ (x + b)² + a²     J

(x + b)² + a²

dx =

x

b

                  1 I' d[(x + b)² + a²] 2 J  (x + b)² + a²
               = 2 ln[(x + b)² + a²] -


—

 b x + b
 aa
b arctg x+b + C. a

—

a

                  5              5     5 dx             5 5 d(x — 2)
  '⁹' ²' — x² — 4x + 13 dx J (x — 2)² + 9 dx J (x — 2)² + 3²


= ⁵ arctg x—² ⁺ C-33


x+3             x—2             5
¹-⁹-²³7 x² — 4x + 13 dx J (x — 2)² + 9 dx ⁺ J (x — 2)² + 9 dx

I/

d[(x — 2)² + 9] (x — 2)² + 9

⁺ ⁵ arctg x—¹ 33

= 2 ln |x² — 4x + 131 + ⁵ arctg x — ² + C. 2                        3        3


1.9.24. При n =1 [            dx =1 [      ' 2 ⁺ ' = '' ⁺ a²⁾—'‘⁺¹ + C.
                  ./ (x² + a²)ⁿ    2 J (x² + 1)ⁿ      2(—n + 1)
j.6.25. f _£_ dx = 1 [ xdf ⁺ 1) = — 1 f xd _2_ =
       J (x² + 1)²     2 J (x² + 1)²       2 J x² + 1


            x 1 f 1                       x 1
     = — 2C?+i) ⁺ 2 J xr+T dx = —               ⁺ 2 arctg x ⁺ C.

Интегрирование рациональных дробей

11

     1 1„   1      1      ,     (' (х² + 1) - х² ,
     ⁹ ⁶* ( (х2 + 1)2 dX = J         (х2 + 1)2 dx

= /хЩТ dx-I •■ ■dx =

(см. 1.9.25)) =

х1
= arctgх .■ - 2

arctg х + С = -

х
arc⁴®х   •

+ С.

1.9.27. [ , х х^ d-х =1 f '' + 1> ( (х² + 1)³               2 J (х² + 1)³

/х<г (х² + 1)²

—

= -1 2 х, Р + [  .    = <см- ¹-в'²⁶⁾⁾ =
            (х² + 1)² ( (х² + 1)²
х1               х
(х² + 1)² ⁺ 2 arctgх ⁺ 2(х² + 1) ⁺ С


. 1 1„ 1      1     , Г (х² + 1) - х² ,
  ⁹ ⁸7 (х2 + 1)3        = J  (х2 + 1)3      =

= j (х2 + 1)2     - / (х2 + 1)3    = '      ¹>⁹-²б⁾ И Ь⁹-²⁷)) =
= ¹ arctg х ⁺ 2<х2х+1) - . ■ +     ■ ⁺ 2 arctg х ⁺ 2(хГ+Т) ⁺ С =
= arctg х ⁺ -х— ⁻       ₂ х ⁺ C.
х² + 1   (х² + 1)²


        2. Интегрирование рациональных дробей


2.1.
ные

Правильные, неправильные и простейшие рациональ-дроби. Рациональными дробям,и от одной переменной х назы-

ваются дроби вида Д(х) = ™, где Pₘ (х) и фга(х) - многочлены Qn(x)
степени тип соответственно. При m < n (соотв. m > n) дробь Д(х) называется правильной (соотв. неправильной). Любая неправильная дробь после деления "уголком"превращается в сумму многочлена и правильной дроби.
Простейихими рациональными дробям,и называются дроби вида

          M M               Мх + N
         х + b, (х + b)ⁿ, х² + рх + q,

Мх + N (х² + рх + q)ⁿ,