Метод разностных потенциалов и его приложения

В.С. РЯБЕНЬКИЙ

МЕТОД
РАЗНОСТНЫХ
ПОТЕНЦИАЛОВ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

В.С. РЯБЕНЬКИЙ

МЕТОД РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

УДК 519.6+517.9
ББК 22.18
Р 98

Р я б е н ь к и й В. С. Метод разностных потенциалов и его приложения. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 432 с. —
ISBN 978-5-9221-1228-4.

Монография отражает современное состояние метода разностных потенциалов, впервые предложенного автором в 1969 г. Наряду с аппаратом метода и
иллюстрирующими его примерами излагаются новые алгоритмы для некоторых
прикладных задач газовой динамики, дифракции, активной защиты от шума.
Для научных работников в области математического моделирования и численного решения задач математической физики, специалистов по качественной
теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также для студентов
и аспирантов соответствующих специальностей.

Научное издание

РЯБЕНЬКИЙ Виктор Соломонович

МЕТОД РАЗНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Редактор В.С. Аролович
Оригинал-макет: Д.В. Горбач¨ев
Оформление переплета: Н.В. Гришина

Подписано в печать 20.05.10. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 27. Уч.-изд. л. 29,9. Тираж 700 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано в ООО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 978-5-9221-1228-4

ISBN 978-5-9221-1228-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2010

c⃝ В. С. Рябенький, 2002, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8
Из предисловия ко второму изданию. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10
Из предисловия к первому изданию . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
12

Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
13
§ 1. Постановка модельных задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
14
§ 2. Разностные потенциалы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
17
§ 3. Решение модельных задач . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
32
§ 4. Общий взгляд на возможности МРП . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
40

Ч а с т ь I.
Общие конструкции потенциалов с граничными проекторами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
41

Г л а в а 1. Потенциалы
и
граничные
уравнения
с
проекторами
для дифференциальных операторов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
42
§ 1. Четкий след и общие конструкции континуальных потенциалов
и граничных уравнений с проекторами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
42
§ 2. Корректность граничных уравнений с проекторами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
53
§ 3. Библиографические комментарии (Д. С. Каменецкий). .. .. .. .. .. .. .. .. .
55
§ 4. Теория
континуальных
потенциалов
в
терминах
обобщенных
функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61
§ 5. Библиографическая справка. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61

Г л а в а 2. Общие конструкции потенциалов и граничных уравнений для разностных операторов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
63
§ 1. Общие конструкции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
63
§ 2. Примеры . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
71
§ 3. Потенциалы типа Коши для общих линейных систем разностных
уравнений на абстрактных сетках. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
76
§ 4. Потенциалы типа Коши и однозначно разрешимые разностные
краевые задачи (Д. С. Каменецкий). .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
85
§ 5. Алгоритм Резника для вычисления разностного потенциала . .. .. .. .
105
§ 6. Библиографические комментарии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
108

Оглавление

Г л а в а 3. Результаты Лазарева об алгебраической структуре множества поверхностных потенциалов линейного оператора . .. .. .. .
114
§ 1. Вспомогательные сведения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
114
§ 2. Потенциалы с плотностью из пространства четких следов и граничные уравнения с проекторами для абстрактного оператора . .. .. .. .. .
116

Ч а с т ь II.
Общая схема метода разностных потенциалов для численного решения дифференциальных и разностных краевых задач математической
физики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
120

Г л а в а 1. Общая схема метода разностных потенциалов для дифференциальных задач. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
121
§ 1. Примеры неклассических вспомогательных задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
121
§ 2. Допустимый произвол в выборе конструкции четкого следа . .. .. .. .
125
§ 3. Схема аппроксимации континуальных потенциалов разностными . .
130
§ 4. Теоремы Резника об аппроксимации поверхностных потенциалов
эллиптических операторов разностными потенциалами. .. .. .. .. .. .. .. .
136
§ 5. Промежуточная дискретизация граничных уравнений с проекторами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
140
§ 6. Схема конструктивной дискретизации граничных уравнений с проекторами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
146
§ 7. Элементы других способов конструктивной дискретизации . .. .. .. .. .
154
§ 8. Приемы получения алгебраической системы простой структуры. .. .
157
§ 9. Об операторе, сопряженном оператору Грина разностной вспомогательной задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
162

Г л а в а 2. Иллюстрации конструкций метода разностных потенциалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
178
§ 1. Примеры внутренних задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
178
§ 2. Примеры внешних задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
183
§ 3. Пример конструкции разностного потенциала для численного решения краевых задач в области с разрезом . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
186
§ 4. Пример граничных уравнений с проекторами для системы Стокса
191

Г л а в а 3. Общая схема метода разностных потенциалов для численного
решения
разностных
аналогов
дифференциальных
краевых задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
195
§ 1. Постановка разностных задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
195
§ 2. Абстрактные уравнения с проекторами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
198

Оглавление
5

§ 3. Редукция разностных задач к уравнениям относительно плотности разностного потенциала и схема вычисления решений этих
уравнений. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
207
§ 4. Приемы получения граничных условий с проекторами, удобных
для итераций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
210
§ 5. Разностный потенциал простого слоя как пример потенциала специального вида. Резонанс дополнительной области. Связь с методом
емкостных матриц . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
220
§ 6. Замечание о совместном использовании метода конечных элементов, многосеточного метода Федоренко и метода разностных потенциалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
225

Ч а с т ь III.
Примеры алгоритмов метода разностных потенциалов для численного решения краевых
задач математической физики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
229

Г л а в а 1. Задача Трикоми. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
230

§ 1. Разностные аналоги задачи Трикоми . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
231
§ 2. Алгоритмы метода разностных потенциалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
235
§ 3. Результаты расчетов. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
240

Г л а в а 2. Конструкции метода разностных потенциалов для расчета напряженных состояний упругих сжимаемых материалов . .. .
242

§ 1. Разностный потенциал . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
242
§ 2. Замечание об алгоритмах метода разностных потенциалов . .. .. .. .. .
244

Г л а в а 3. Задачи о внутренних течениях вязкой несжимаемой жидкости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
246

§ 1. Алгоритм Торгашова для численного решения двумерной задачи
Стокса в естественных переменных. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
247
§ 2. Результаты вычислений. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
264

Г л а в а 4. Пример
алгоритма
метода
разностных
потенциалов
для расчета стационарного акустического волнового поля вне
тела вращения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
270

§ 1. Разностные сферические функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
271
§ 2. Конструкции разностного потенциала для внешних задач . .. .. .. .. .. .
276
§ 3. Алгоритм решения внешних задач для тел вращения . .. .. .. .. .. .. .. .. .
280
§ 4. Численные примеры . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
288

Оглавление

Г л а в а 5. Схема композиции алгоритмов для задач в составных
областях на базе метода разностных потенциалов . .. .. .. .. .. .. .. .. .
290
§ 1. Известные сведения о потенциалах с проекторами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
293
§ 2. Схема композиции алгоритма. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
298
§ 3. Постановка тестовых задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
305

Ч а с т ь
IV.
Точные
искусственные
граничные
условия для стационарных задач . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
312

Г л а в а 1. Определение, назначение и конструкции точных ИГУ . .
314
§ 1. Определение и назначение точных ИГУ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
314
§ 2. Достаточные условия существования точных ИГУ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
316
§ 3. Эффективный алгоритм конструирования ИГУ для модельной задачи обтекания. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
317
§ 4. Идея Утюжникова о замене условий прилипания на стенке и уравнений вязкого приграничного слоя точными ИГУ . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
324
§ 5. Идея Зиновьева об использовании физических измерений для построения точных ИГУ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
325

Г л а в а 2. Обзор результатов приложения метода разностных потенциалов к конструированию ИГУ для задач обтекания тел
газом (С. В. Цынков) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
327
§ 1. Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
327
§ 2. Постановка задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
329
§ 3. Плоские течения вокруг контуров. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
336
§ 4. Трехмерные течения вокруг крыла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
345
§ 5. Трехмерное течение с выбрасываемой струей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
355
§ 6. Заключение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
364

Ч а с т ь
V.
Точные
искусственные
граничные
условия
для
замены
отбрасываемых
уравнений
с лакунами в нестационарных задачах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
367

Г л а в а 1. Задача о построении неотражающих искусственных граничных условий и ее связь со вспомогательной задачей Коши. .
369
§ 1. Определение неотражающих искусственных граничных условий . .
369
§ 2. Разностная вспомогательная задача Коши для построения неотражающих искусственных граничных условий . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
372

Оглавление
7

Г л а в а 2. Алгоритм решения задачи Коши на базе использования
лакун . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
375
§ 1. Лакуны решений волнового уравнения в пространстве . .. .. .. .. .. .. .. .
375
§ 2. Экономный алгоритм вычисления решения разностной задачи Коши
379
§ 3. Учет специфики разностной вспомогательной задачи Коши для построения неотражающих искусственных граничных условий . .. .. .. .
384
§ 4. Феномен Турчанинова . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
386
§ 5. Численные эксперименты . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
387
§ 6. О задачах в подвижной расчетной области. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
390
§ 7. Библиографический комментарий . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
391

Ч а с т ь
VI.
Задачи активного управления решением в составной области. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
392

Г л а в а 1. Абстрактные разностные задачи активного управления
393
§ 1. Постановки задач и предварительные замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
393
§ 2. Формулы некоторых активных управлений. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
395
§ 3. Специфика активного управления разностными моделями задач
математической физики. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
399
§ 4. Управление задачами, нестационарными в условном времени. .. .. .. .
400

Г л а в а 2. Активное управление в реальном времени процессами,
однократно протекающими в составной области . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
403
§ 1. Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
403
§ 2. Теоремы об ε-экранирующих управлениях . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
406
§ 3. Примеры
построения
активных
ε-экранирующих
управлений
по различным наборам входных данных. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
409
§ 4. Теорема о недостаточности приграничных данных для управления
полным погашением шума в экранируемой подобласти в текущем
времени . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
413
§ 5. Разведка шумом . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
415
§ 6. Библиографический комментарий . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
417

Заключение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
418

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
419

ПРЕДИСЛОВИЕ

Метод разностных потенциалов (МРП) предложен в [1–8], а затем
существенно развит в [9–101, 191–228] и многих других работах. Он
предназначен для дискретного моделирования некоторых задач математической физики, в частности, краевых задач и задачи активной защиты физических полей в заданной подобласти от влияния источников
помех, локализованных в дополнительной подобласти.
Новые возможности, которые предоставляет МРП, возникают благодаря тому, что он объединяет некоторые достоинства использования классического интеграла типа Коши для изучения аналитических
функций с универсальностью и алгоритмичностью разностных схем.
Книга может быть полезна читателям, ставящим перед собой различные цели.
Для предварительного ознакомления с МРП достаточно прочесть
оглавление и изучить введение, где основные идеи, конструкции и возможности МРП излагаются и иллюстрируются на модельных примерах, связанных с уравнением Пуассона. Такое ознакомление может
составить законченный концентр. Читатель, которого интересует одно
из названных в оглавлении приложений, может сразу перейти к чтению
соответствующей главы из частей III–VI книги. Каждая из этих частей
содержит все необходимые ссылки и теоретические сведения из частей I и II. Эти сведения изложены в форме, удобной для рассматриваемого приложения. Части I и II предназначены для читателей, которых
интересуют общие концепции МРП и их теоретическое обоснование,
а также возможности какого-либо нового приложения МРП.
Кроме того, части I и II могут представлять интерес для специалистов в области качественной теории уравнений с частными производными, а также граничных интегральных и псевдодифференциальных
уравнений: в этих частях книги модифицированы потенциалы, граничные проекторы и граничные псевдодифференциальные уравнения Кальдерона–Сили. Эти модификации и обобщения носят преимущественно
алгебраический характер и первоначально произведены автором для
того, чтобы понять, в чем состоят континуальные аналоги дискретных
конструкций того варианта разностных потенциалов, который основан
на новом понятии четкого следа. Однако упомянутые модификации
имеют смысл и вне рамок МРП.
Настоящее
третье
издание
книги
отражает
уровень
развития
МРП, достигнутый к 2010 г. Наряду с более ранними результатами,

Предисловие
9

отраженными во втором издании, впервые описаны разностные модели
активного экранирования заданной подобласти от помех, идущих из
дополнительной подобласти в ходе процесса, протекающего однократно
в реальном времени. Изложена идея и приведен методический пример
синтеза алгоритмов для решения краевых задач в составных областях.
Изложена идея работы С. В. Утюжникова о замене условий на теле
и уравнений вязкого приграничного слоя искусственными граничными
условиями. Обновлены краткие библиографические обзоры в конце
некоторых глав, отражающие более новые результаты, связанные
с МРП.
В настоящее издание не вошли части I и VI из предыдущего (2002)
издания монографии.
Я сердечно благодарен всем своим коллегам, особенно В. И. Турчанинову, С. В. Утюжникову и С. В. Цынкову за плодотворное дружеское
сотрудничество.
Я с благодарностью и грустью вспоминаю Алексея Валериевича
Забродина, дружба с которым вплоть до последнего времени очень
способствовала работе.
Отмечу, что предыдущее издание этой монографии было в 2007 г.
удостоено премии имени академика И. Г. Петровского, присуждаемой
Президиумом РАН. Я с глубокой благодарностью помню, что шестьдесят лет назад Иван Георгиевич Петровский взял меня в свои ученики
и в те трудные годы во многом определил мою дальнейшую судьбу.

Москва, 8 сентября 2009 г.
В. С. Рябенький

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Исследования, отраженные в книге, проводились главным образом
в Институте прикладной математики РАН, который носит ныне имя
своего организатора М. В. Келдыша, и на кафедре вычислительной
математики Московского физико-технического института.
Я с глубокой благодарностью вспоминаю директора Института
прикладной математики АН СССР академика М. В. Келдыша, а также заведующего отделом ИПМ АН СССР, моего друга профессора
О. В. Локуциевского. Их поддержку на начальном этапе исследований
невозможно переоценить.
Я сердечно благодарю академика О. М. Белоцерковского за неоднократные содержательные обсуждения моей работы. О. М. Белоцерковский, будучи ректором МФТИ, уже в 70-е годы предоставил мне
решающую для развития и внедрения метода возможность привлекать
к исследованиям студентов и аспирантов.
Новые результаты, которые не вошли в монографию 1987 г., но отражены в этой книге, получены в основном Р. И. Вейцманом, Е. В. Зиновьевым, Д. С. Каменецким, М. Н. Мишковым, В. А. Торгашовым,
В. И. Турчаниновым и С. В. Цынковым, а также Д. А. Лесником,
А. Ф. Шлычковым и Е. Ю. Эпштейн, которые работали в сотрудничестве со мной. Некоторые результаты получены К. В. Брушлинским
и Н. Б. Петровской.
Кроме того, § 3 гл. 1, § 4 гл. 2 ч. II написаны по моей просьбе
Д. С. Каменецким, а гл. 2 ч. V — С. В. Цынковым.
Я выражаю свою глубокую благодарность всем названным коллегам. Я должен отдельно поблагодарить профессора С. В. Цынкова, сотрудничество с которым стало многосторонним и плодотворным вскоре
после того, как он начал свою научную работу еще будучи студентом
Московского физико-технического института около 15 лет назад.
Я с глубокой благодарностью отмечаю, что новые исследования,
отраженные в книге и выполненные в разных местах, не могли бы быть
проведены в полном объеме без существенной поддержки Российского фонда фундаментальных исследований, Международного научного
фонда Дж. Сороса, Директорского фонда Института компьютерных
приложений в науке и инженерии (ICASE) НАСА и Фонда научных
исследований Штихтинга.

Из предисловия ко второму изданию
11

Я с большой теплотой и благодарностью вспоминаю своего научного руководителя в студенческие и аспирантские годы академика
И. Г. Петровского, а также своего школьного учителя математики
И. Е. Вайсмана.
Я сердечно благодарю академика И. М. Гельфанда, который также
оказал на меня вдохновляющее влияние в юности.
В заключение я сердечно благодарю мою жену и друга, Наталью
Петровну Рябенькую (Сахарову), которая разделяет со мной все огорчения и радости, сопровождающие работу по созданию и развитию
метода разностных потенциалов.

Москва, 27 апреля 2001 г.
В. С. Рябенький

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Метод разностных потенциалов (МРП) позволяет численно решать многие задачи, связанные с дифференциальными уравнениями
в частных производных. МРП был предложен автором в 1969 г. в его
докторской диссертации. В последующие годы МРП был существенно
развит автором и работавшими под его руководством во время обучения на старших курсах и в аспирантуре Московского физико-технического института А. Я. Белянковым, М. Ю. Лохановым, А. А. Резником,
И. Л. Софроновым, А. М. Федоровским, Д. И. Янушевичем. То или
иное участие в развитии МРП приняли Л. В. Бадьин, Р. И. Вейцман, А. В. Воронков, А. В. Забродин, Е. В. Зиновьев, М. И. Лазарев,
В. В. Огнева, Б. З. Оссерович, В. И. Турчанинов, Е. П. Сычугова. Автор
благодарен всем участникам работы.
Автор сердечно благодарен К. В. Брушлинскому, Л. Р. Волевичу,
Г. П. Воскресенскому, В. Ф. Дьяченко, А. В. Забродину, Я. М. Каждану, Л. В. Кириллову, Н. М. Коробову, Л. Д. Кудрявцеву, О. А. Олейник, Г. П. Прокопову, Ю. Б. Радвогину, С. С. Рябинькому, Ю. С. Сигову, И. Д. Софронову, Р. П. Федоренко, Л. Г. Хазину, А. С. Холодову,
Н. Н. Ченцову — своим коллегам и друзьям за интерес к его работе
и за поддержку.
Автор очень признателен за внимание и поддержку также членукорреспонденту АН СССР К. И. Бабенко, члену-корреспонденту АН
СССР С. К. Годунову, профессору О. В. Локуциевскому и профессору
С. Г. Михлину.
Автор с благодарностью отмечает, что профессор Л. А. Чудов внимательно прочитал книгу в рукописи и сделал ряд замечаний, которые
способствовали ее улучшению.

Москва, 1987 г.
В. С. Рябенький

ВВЕДЕНИЕ

Здесь мы даем предварительное представление о конструкциях и
идеях применения метода разностных потенциалов (МРП), используя
для этих целей различные модельные задачи, связанные с уравнением
Пуассона
∂2u
∂x2 + ∂2u

∂y2 = f(x, y).
(I)

Мы называем эти задачи модельными, чтобы подчеркнуть, что они
допускают широкие обобщения, которые будут изложены в книге.
Для дискретизации модельных задач мы будем использовать простейший пятиточечный разностный аналог
n∈Nm
amnun = fm
(II)

уравнения Пуассона (I), где суммирование ведется по точкам n, принадлежащим пятиточечному шаблону Nm. Именно, мы используем
квадратную сетку m = (m1h, m2h) с шагом h, m1, m2 = 0, ±1, ±2, ... ,
и шаблон Nm, состоящий из пяти точек:

Nm = (m1, m2), (m1 ± 1, m2), (m1, m2 ± 1).

Мы пишем m = (m1, m2) и n = (n1, n2) вместо m = (m1h, m2h), n =
= (n1h, n2h) для краткости. Коэффициенты amn задаются формулами

amn =

⎧
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎩

−4h−2,
если
n = m,

h−2,
если
n = (m1 ± 1, m2),

h−2,
если
n = (m1, m2 ± 1).

В § 1 мы сформулируем модельные задачи, в § 2 построим разностные потенциалы и рассмотрим их свойства. В § 3 мы используем развитый в § 2 аппарат МРП для решения модельных задач из § 1 с целью
дать иллюстрации некоторых общих подходов и возможностей МРП.
В § 4 мы обсудим сущность возможностей МРП, продемонстрированных в § 3. Это поможет увидеть примеры из § 3 как иллюстрацию
общих возможностей метода.

Введение

§ 1. Постановка модельных задач

Мы поставим здесь следующие шесть задач.
1. Внутренняя краевая задача. Вычислить приближенно решение
задачи Дирихле

Δu = 0,
(x, y) ∈ D,
u|Γ = ϕ(s),
(1)

где D — ограниченная область с границей Γ = ∂D, а ϕ(s) — заданная
функция длины дуги s вдоль границы Γ.
2. Внешняя краевая задача. Вычислить приближенно значения
ограниченного решения u(x, y) задачи

Δu = 0,
(x, y) ̸∈ D,
u|Γ = ϕ(s).
(2)

Решение требуется найти в некоторой окрестности границы Γ.
Поместим область D в некоторый квадрат D0 и воспользуемся
вместо поставленной следующей модельной для нее задачей:

Δu = 0,
(x, y) ∈ D−,
D− = D0 \ D,

u|Γ = ϕ(s),
u|∂D0 = 0.
(3)

Задача (3) моделирует задачу (2) в любой фиксированной окрестности
области D = D+ тем точнее, чем больше размеры квадрата D0 и чем

Рис. 1

дальше граница ∂D0
отстоит от
границы
Γ = ∂D,
вне
которой
определено решение внешней задачи (2). Мы будем рассматривать
здесь задачу (3) вместо задачи (2)
(рис. 1).
3. Задача о построении искусственных граничных условий.
Пусть в квадрате D0 поставлена
краевая задача

Lu = f(x, y),
(x, y) ∈ D0,
(4)

u|∂D0 = 0,
(5)

относительно которой известно, что
она имеет и притом единственное решение при любой правой части f(x, y). Предположим, что решение этой задачи интересует нас не
всюду в D0, а только в некоторой малой подобласти D+ ⊂ D0, расположенной в окрестности центра квадрата D0. Пусть, далее, уравнение (4)
вне этой подобласти D+ принимает вид

Δu = 0,
(x, y) ∈ D− = D0 \ D+.
(6)

§ 1. Постановка модельных задач
15

Введем искусственно границу Γ, которой не было в исходной задаче (4), (5), приняв за Γ границу Γ = ∂D+ расчетной подобласти
D+. Поставим себе задачу построить такое соотношение lu|Γ = 0 на
искусственной границе Γ, чтобы решение задачи

Lu = f(x, y),
(x, y) ∈ D+,
(7)

lu|Γ = 0
(8)

при любой f(x, y) совпадало в D+ с решением исходной задачи (4)–(6).
Условие (8) будем называть искусственным граничным условием
(ИГУ).
Можно сказать, что условие (8) должно равносильно заменять
уравнение Лапласа (6) вне расчетной подобласти D+, а также граничное условие (5) на (удаленной) границе ∂D0 исходной области.
В нашей модельной задаче условие (5) на удаленной границе ∂D0

используется взамен условия ограниченности решения уравнения (4)
на бесконечности.
Можно сказать также, что ИГУ получаются путем переноса условия (5) с удаленной границы области D на (искусственную) границу
∂D+, возникшую при выделении расчетной подобласти D+.
4. Задача о вычислении вклада каждой из двух заряженных
подобластей в значения потенциала на границе между ними.
Будем интерпретировать решение u(x, y) задачи

Δu = f(x, y),
(x, y) ∈ D0 = D+ ∪ D−,
u|∂D0 = 0
(9)

как потенциал, индуцированный зарядами, которые распределены
с плотностью f(x, y).
Пусть функция f(x, y) не известна, но известен (например, может
быть измерен) потенциал u(x, y) в окрестности границы Γ между
подобластями D+ и D−.
Задача состоит в том, чтобы, зная в окрестности Γ сумму

u = u+ + u−

решений задачи

Δu+ = θ(D−)f(x, y),
u+|∂D0 = 0
(10)

и задачи
Δu− = θ(D+)f(x, y),
u−|∂D0 = 0,
(11)

где

θ(Ω) =

1,
если
(x, y) ∈ Ω,

0,
если
(x, y) ̸∈ Ω,

определить каждое слагаемое в отдельности.