Вестник Донского государственного технического университета, 2014, №Том 14. 2 (77

ВЕСТНИК

ДОНСКОГО

ГОСУДАРСТВЕННОГО

ТЕХНИЧЕСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

2014

T. 14, № 2 (77)

Учредитель — Донской государственный технический университет
Главный редактор — председатель Редакционного совета Б. Ч. Месхи
Редакционный совет:
И. С. Алиев (Украина), Л. К. Гиллеспи (США), И. А. Долгов, Я. Журек (Польша), Ю. Ф. Лачуга,
Г. Г. Матишов, Нгуен Донг Ань (Вьетнам)
Редакционная коллегия:
куратор
— И. В. Богуславский,

зам. главного редактора
— В. П. Димитров,

ответственный секретарь
— М. Г. Комахидзе

Инженерное дело, технологии и технические науки:
ведущий редактор по направлению — В. Л. Гапонов
Редколлегия направления:
А. П. Бабичев, Г. И. Бровер, Ю. И. Ермольев, В. П. Жаров, В. Л. Заковоротный, В. А. Кохановский,
В. Ф. Лукьянов, Р. А. Нейдорф, Д. Я. Паршин, М. Е. Попов, А. А. Рыжкин, М. А. Тамаркин,
А. К. Тугенгольд, И. А. Хозяев, М. П. Шишкарёв

Математические и естественные науки:
ведущий редактор по направлению — И. Б. Севостьянов (США)
Редколлегия направления:
В. В. Илясов, А. А. Лаврентьев, И. Я. Никифоров, Д. А. Пожарский, А. Н. Соловьёв

Науки об обществе:
ведущий редактор по направлению — И. Б. Котова
Редколлегия направления:
К. А. Бармута, Н. И. Басина, Т. А. Бондаренко, Н. Д. Елецкий, Н. Ф. Ефремова, Л. А. Минасян,
О. М. Морозова, Е. В. Муругова, Т. В. Симонян

Над номером работали: И. В. Бойко, М. П. Смирнова (англ. версия), М. А. Феденко
Подписано в печать 30.06.2014.
Формат 6084/8. Гарнитура Tahoma. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 23,3. Тираж 1000 экз. Заказ № 463. Цена свободная.
Адрес редакции:
344000, Россия, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, тел. (863) 2-738-565.
Адрес полиграфического предприятия:
344000, Россия, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, тел. (863) 2-738-741, 2-738-322.
http://science.donstu.ru
Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-35012 от 16.01.09.

 Донской государственный технический университет, 2014

Теоретический

и научно-практический журнал

Рекомендован ВАК для публикаций

основных научных результатов диссертаций

на соискание учёных степеней доктора

и кандидата наук (решение Президиума

ВАК Минобрнауки России

от 19 февраля 2010 года № 6/6)

Издаётся с 1999 г.

Выходит 4 раза в год

Апрель — июнь 2014 г.

VESTNIK

of

DON STATE
TECHNICAL
UNIVERSITY

2014

Vol. 14, № 2 (77)

Founder — Don State Technical University
Editor-in-Chief — Editorial Board Chairman B. C. Meskhi
Editorial Board:
I. S. Aliyev (Ukraine), I. A. Dolgov, L. K. Gillespie (USA), Y. F. Lachuga, G. G. Matishov,
Nguyen Dong Ahn (Vietnam), J. Zurek (Poland)
curator
— I. V. Boguslavskiy,

deputy chief editor
— V. P. Dimitrov,

executive editor
— M. G. Komakhidze

Engineering, Technology and Technical Sciences:
managing editor — V. L. Gaponov
Editorial Board:
A. P. Babichev, G. I. Brover, I. A. Khozyayev, V. A. Kokhanovskiy, V. F. Lukyanov, R. A. Neydorf,
D. Y. Parshin, M. E. Popov, A. A. Ryzhkin, M. P. Shishkarev, M. A. Tamarkin, A. K. Tugengold,
Y. I. Yermolyev, V. L. Zakovorotniy, V. P. Zharov

Mathematical and Natural Sciences:
managing editor — I. B. Sevostianov (USA)
Editorial Board:
V. V. Ilyasov, A. A. Lavrentyev, I. Y. Nikiforov, D. A. Pozharskiy, A. N. Solovyev

Social Sciences:
managing editor — I. B. Kotova
Editorial Board:
K. A. Barmuta, N. I. Basina, T. A. Bondarenko, L. A. Minasyan, O. M. Morozova, E. V. Murugova,
T. V. Simonyan, N. F. Yefremova, N. D. Yeletskiy

The issue is prepared by: I. V. Boyko, M. P. Smirnova (English version), and M. A. Fedenko
Passed for printing 30.06.2014.
Format 6084/8. Font «Tahoma». Offset printing.
C.p.sh. 23.3. Circulation 1000 cop. Order 463. Free price.
Editorial Board’s address:
Gagarin Sq. 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia. Phone: +7 (863) 273-85-65
Printery address:
Gagarin Sq. 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia. Phone: +7 (863) 273-87-41, 273-83-22
http://science.donstu.ru
Registration certificate ПИ № ФС 77-35012 от 16.01.09.

 Don State Technical University, 2014

Theoretical

and scientific-practical journal

Recommended by the State

Commission for Academic Degrees and Titles
for publications of the thesis research results

for Doctor’s and Candidate Degree (the solution

of the Presidium of the State Commission

for Academic Degrees and Titles

of the Russian Education and Science Ministry,

February 19, 2010, № 6/6)

Founded in 1999

4 issues a year

April — June 2014

СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Айзикович С. М., Волков С. С., Мелконян А. В. Осесимметричный изгиб круглой многослойной пластины на упругом основании сложной структуры..............................................
5

Князев С. Ю., Щербакова Е. Е., Енгибарян А. А. Численное решение краевых задач для 
уравнения Пуассона методом точечных источников поля....................................................
15

Братищев А. В. О представлении операторов обобщённого дифференцирования Гельфонда — Леонтьева в односвязной области.............................................................................
21

Будянский А. В., Кругликов М. Г., Цибулин В. Г. Численное исследование сосуществования популяций в одной экологической нише...................................................................
28

Мадорский В. В., Митько В. Н. Исследование методик определения констант поляризованной пьезокерамики .....................................................................................................
36

ИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО, ТЕХНОЛОГИИ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Месхи Б. Ч., Булыгин Ю. И., Легконогих А. Н., Гайденко А. Л. Математическое и компьютерное моделирование формирования параметров производственной среды в целях 
проектирования и оптимизации систем вентиляции помещений ..........................................
46

Заковоротный В. Л., Туркин И. А., Лапшин В. П. Влияние параметров серводвигателей 
на динамические свойства системы сверления глубоких отверстий спиральными свёрлами...
56

Кем А. Ю., Казарцев В. О., Меркер Э. Э., Харламов Д. А. К вопросу об оптимизации выплавки стали в дуговой печи и её внепечной обработки в агрегате ковш-печь........................
66

Тугенгольд А. К., Изюмов А. И. Принципы концептуального подхода к созданию подсистемы ИНСТРУМЕНТ в смарт-паспорте многооперационного станка .....................................
74

Соловьёв А. Н., Нгуен Зуи Чыонг Занг. Определение упругих и диссипативных свойств 
материалов с помощью сочетания метода конечных элементов и комплекснозначных искусственных нейронных сетей ...............................................................................................
84

Ермольев Ю. И., Белов С. В., Иващенко И. А., Фоменко Р. Е. Моделирование процесса 
сепарации измельчённого соломистого вороха в пневмосепараторе с двумя пневмоканалами
93

Бутовченко А. В. Оценка путей роста эффективности сепарации зернового материала в 
семяочистительном агрегате.............................................................................................
103

Нейдорф Р. А., Обухова Е. Н. Методология организации тестирования на основе алгоритмов планирования и обработки двухуровневых многофакторных экспериментов .............
110

Кузнецов С. А., Владимиров А. В., Мормуль Е. Н. Определение кинематических параметров прямолинейно-огибающего механизма по заданным размерам рабочего пространства на примере пресса для утилизации кузовов автомобилей ............................................
121

Мохсен М. Н., Журавлёва М. А. Методы контроля опасных и вредных производственных 
факторов на ремонтных предприятиях машиностроительной отрасли..................................
131

Кипнис И. А., Вернигоров Ю. М. Математическое моделирование подъёма воды в капиллярах, имеющих форму цилиндрической вертикальной спирали..........................................
139

Луконин А. Ю. Алгоритм расчёта величины износа на поверхности зуба во время приработки цилиндрической косозубой передачи .......................................................................
145

Калиниченко В. П., Шаршак В. К., Ладан Е. П., Илларионов В. В., Генев Е. Д. Технические средства внутрипочвенного рыхления с малым тяговым сопротивлением..................
151

Мерзленко А. С., Кобак В. Г. Сравнительный анализ алгоритмов раскраски обыкновенного взвешенного графа......................................................................................................
164

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

Попов А. П., Чугулёв А. О., Винокуров М. Р. Датчик электропроводности жидкости, протекающей в диэлектрической трубе ..................................................................................
171

Бабичев А. П., Коваль Н. С., Романовский И. Н. Виброволновая упрочняющая обработка режущих ножей сельскохозяйственных машин...............................................................
176

Сведения об авторах....................................................................................................
181

CONTENT

MATHEMATICAL AND NATURAL SCIENCES

Aizikovich S. M., Volkov S. S., Melkonyan A. V. Axisymmetric bending of circular sandwich 
plate on elastic foundation with complicated structure ............................................................
5

Knyazev S. Y., Shcherbakova E. E., Yengibaryan A. A. Numerical solution to boundary problems for Poisson equation by point-source method.................................................................
15

Bratishchev А. V. On presentation of Gelfond—Leontiev operators of generalized differentiation 
in simply connected region .................................................................................................
21

Budyansky A. V., Kruglikov M. G., Tsybulin V. G. Numerical study of coexistence of populations in an environmental niche...........................................................................................
28

Madorskiy V. V., Mitko V. N. Investigating constant determination techniques of polarized piezoceramics .......................................................................................................................
36

ENGINEERING, TECHNOLOGY AND TECHNICAL SCIENCES

Meskhi B. C., Bulygin Y. I., Legkonogikh A. N., Gaydenko A. L. Mathematical and computer-based simulation of industrial environment generation for the purposes of planning and optimization of area ventilation systems ........................................................................................
46

Zakovorotny V. L., Turkin I. A., Lapshin V. P. Servomotor parameter effect on dynamic properties of twist drilling deephole machining system ..................................................................
56

Kem A. Y., Kazartsev V. O., Merker E. E., Kharlamov D. A. On optimization of steelmaking in 
electric arc furnace and its ladle treatment in ladle-furnace......................................................
66

Tugengold A. K., Izyumov A. I. Principles of conceptual approach to creating tool subsystem
for multioperation machine Smart-passport...........................................................................
74

Solovyev A. N., Nguyen Duy Truong Giang. Elastic and dissipative material properties determination using combination of FEM and complex artificial neural networks ......................................
84

Yermolyev Y. I., Belov S. V., Ivashchenko I. А., Fomenko R. E. Modeling of milled straw 
heap separation in air-flow classificator with two pneumatic ducts ............................................
93

Butovchenko A. V. Estimating efficiency increase patterns of grain material separation in seed 
refiner .............................................................................................................................
103

Neydorf R. A., Obukhova E. N. Testing design methodology based on two-level multifactor 
experiment planning and data processing .............................................................................
110

Kuznetsov S. A., Vladimirov A. V., Mormul E. N. Determination of rectilinearly enveloping 
mechanism kinematic parameters to reference sizes of working space through the example of 
press for carbody disposal ..................................................................................................
121

Mohsen M. N., Zhuravleva M. A. Control methods of occupational hazards in repair facilities of 
engineering industry ..........................................................................................................
131

Kipnis I. A., Vernigorov Y. M. Mathematical modeling of water rise in capillaries in form of cylindrical vertical spiral.........................................................................................................
139

Lukonin A. Y. Estimation algorithm of wear rate on tooth surface at circular helical-gear breaking-in...............................................................................................................................
145

Kalinichenko V. P., Sharshak V. K., Ladan E. P., Illarionov V. V., Genev E. D. Low draught 
subsoil tillage facilities........................................................................................................
151

Merzlenko A. S., Kobak V. G. Comparative analysis of coloring algorithms for ordinary weighted 
graph ..............................................................................................................................
164

CONCISE INFORMATION

Popov А. P., Chugulev A. O., Vinokurov M. R. Conduction sensor of liquid flowing in dielectric 
pipe ................................................................................................................................
171

Babichev A. P., Koval N. S., Romanovsky I. N. Vibrowave strengthening treatment of farm 
machine cutting blades ......................................................................................................
176

Index.............................................................................................................................
184

Вестник ДГТУ. 2014. Т. 14, № 2 (77)

5

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 539.3
DOI 10.12737/4547

Осесимметричный изгиб круглой многослойной пластины на упругом основании 
сложной структуры*

С. М. Айзикович, С. С. Волков, А. В. Мелконян

Получено в аналитическом виде приближённое решение задачи об изгибе круглой многослойной пластины 
постоянной толщины, лежащей на упругом основании сложной структуры. Пластина изгибается под действием 
осесимметричной распределённой нагрузки и реакции со стороны основания. Упругое основание представляет 
собой непрерывно-неоднородный по толщине слой (покрытие), лежащий на однородном полупространстве 
(подложке). Модуль Юнга в зоне сопряжения покрытия и подложки имеет существенный скачок. Для пластины 
рассмотрены два случая граничных условий: условия закреплённого и свободного края. Построенное приближённое аналитическое решение задачи эффективно в широком диапазоне как геометрических параметров 
(толщина неоднородного слоя и радиус пластины), так и физических параметров (гибкость пластины и упругие 
свойства покрытия и подложки). Методом интегральных преобразований контактная задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений. Полученные формулы могут быть использованы для расчёта характеристик контактного взаимодействия многослойной пластины с основанием сложной структуры в 
зависимости от граничных условий и характера нагрузки на пластину.
Ключевые слова: неоднородные материалы, многослойная пластина, функционально-градиентное покрытие, осесимметричная задача, аналитические методы, приближённое аналитическое решение.

Введение. Применение функционально-градиентных материалов существенно влияет на все характеристики контактного взаимодействия [1‒3]. В случае, когда во взаимодействие вовлечены 
тонкие гибкие элементы (пластины), на перераспределение контактных давлений в зоне контакта 
влияет как неоднородность свойств взаимодействующих элементов, так и жёсткость пластины. Это 
нужно учитывать при расчёте взаимодействия гибких элементов (пластин) с неоднородными структурами, что приводит к необходимости рассмотрения контактной задачи о взаимодействии пластины и неоднородного основания.

Простейшая осесимметричная задача контактного взаимодействия как для слоистого, так и 

непрерывно-неоднородного покрытия упругого полупространства рассмотрена в работе [4]. Задача 
об изгибе пластины на упругом изотропном и однородном основании рассматривалась в работах 
[5, 6]. Решение строилось путём представления контактных напряжений в виде степенного ряда, с 
последующим определением коэффициентов разложения из бесконечной алгебраической системы 
уравнений.

Методом ортогональных многочленов такая задача решалась в работах [7, 8], а методом 

коллокации по чебышёвским узлам — в работах [9, 10]. При этом возникала необходимость построить решение некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений и ставилась проблема исследования сходимости полученного решения к точному. В работах [11, 12] для решения 
задачи применялись асимптотические методы типа «больших λ» и специальных ортогональных 
многочленов, что позволило получить основные характеристики решения в нескольких формах, 
каждая из которых эффективна в своей области изменения характерных параметров задачи.

                                                

* Результаты работы получены при выполнении проекта, поддержанного грантом РФФИ № 13-08-90916-мол_ин_нр.

Математические и естественные науки
 

6

Отметим, что большинство известных решений эффективны только для жёстких пластин. И 

очень немногие, в частности, представленные в [11, 12], эффективны или для гибких, или для 
жёстких пластин, каждое в своей области.

Интерес к решению задачи и её актуальность сохраняется и в настоящее время. Так, в ра
боте [13] решение строилось с использованием разложения напряжения в двойной ряд Фурье. Аналогичный подход использовался в работе [14]. Andrea R. D. Silva с соавторами развил численные 
методы решения задачи [15]. В работе [16] было получено приближённое аналитическое решение 
осесимметричной задачи об изгибе пластины со свободным краем, лежащей на функциональноградиентном основании. Для этого использован двусторонне асимптотический метод [17].

В настоящей работе метод [17] использован для решения задачи об изгибе многослойной 

пластины.
Постановка задачи. Круглая многослойная пластина радиуса R и постоянной толщины h лежит 
на поверхности z = 0 упругого полупространства, состоящего из неоднородного мягкого слоя (покрытия) толщины H (
0
H
z



) и однородного полупространства (подложки), причём 
ih
— по
стоянная толщина каждого слоя пластины. С полупространством связана цилиндрическая система 
координат , φ,
r
z ; координата r отнесена к радиусу пластины R, координата z — к толщине покры
тия H, ось z нормальна поверхности и проходит через центр пластины. Под действием осесиммет
ричной распределённой нагрузки 
 
p
r

и реакции со стороны слоя пластина изгибается. Прогиб 

пластины обозначается функцией 
 
w
r

.

Коэффициенты Ламе мягкого слоя меняются с глубиной по закону:

 
 

 
 


 


 
 
 


 


 
 
 


1

2

1

2

Λ
,
1
0,
Λ

Λ ,
1,

Μ
,
1
0,
Μ

Μ ,
1.

z
z
z

z

z
z
z

z

При расчётах для задания характера неоднородности покрытия удобно использовать мо
дуль Юнга, а коэффициент Пуассона зафиксировать и считать постоянным. Известно [18], что





3Λ
2Μ
Μ Λ
Μ
E
,





Λ
ν
2 Λ
Μ .

В качестве параметра, характеризующего отличие упругих свойств слоя от подложки, вве
дём величину







2

1

β
1

E

E
,
(1)

где 
 
1
E
z
и 
2
E
— модули Юнга покрытия и подложки соответственно.

Уравнение изгиба многослойной пластины имеет вид:

 
 
 

 
 
 

 
 
 


































1
2

1
1

1

,

, 
0
1,

,

i
i
i

K
K

w
r
p
r
q
r

w
r
q
r
q
r
r

w
r
q
r
q
r

1

i

K

L

L

L

(2)

Вестник ДГТУ. 2014. Т. 14, № 2 (77)

7

где










2
2

2

1

i

d
d
D
r dr
dr

iL
— дифференциальный оператор изгиба i-й пластины; 
 


q
r
— контактные 

напряжения под пластиной; 
 
i
w
r
— прогиб каждого слоя; 
i
D
— цилиндрическая жёсткость

i-й пластины.

Для напряжений, возникающих между слоями пластины, выполнено следующие условие 

сопряжения:

 
 




1
, 
0
1
i
i
q
r
q
r
r
.
(3)

Если все слои жёстко сцеплены друг с другом, то 
 
 
 
 







1
2
K
w
r
w
r
w
r
w
r
. Учи
тывая это обстоятельство, а также равенство (3), система уравнений (2) может быть представлена 
в виде:

 
 
 























2

2

1

1
, где
,
,
0
1.

K

i

i

d
d
D
w
r
p
r
q
r
D
D
r
r dr
dr

0
0
L
L
(4)

Таким образом, вместо многослойной платины можно рассматривать однослойную пластину 

с цилиндрической жёсткостью, равной сумме цилиндрических жёсткостей каждого слоя в многослойной пластине.

Если пластина неоднородна по толщине, её модуль Юнга 
 
пл
E
z
при этом изменяется по 

толщине пластины, а коэффициент Пуассона 
пл
ν
постоянный, то, согласно [19]:

 





2

пл
2

0
пл

1

1
ν

h

D
z E
z dz .
(5)

Введём следующую замену переменных: λ
H R

, 
 





w
r
w r ' R , 
 






3
p
r
p r ' DR
, 

 






3
q
r
q r ' DR
. Знак штриха далее опускаем.

Рассматривается два случая граничных условий: первый, когда края пластины закреплены, 

в этом случае функция прогиба пластины w(r) удовлетворяет условиям:













1
1

0,   
Δ
0

r
r

w
w
r
r
,
(6)

и второй случай, когда имеют место условия свободного края:























2

пл

2

1
1

ν
0,    
Δ
0,

r
r

w
w
w
r
r
r
r

(7)

где 
пл
ν
— коэффициент Пуассона пластины; Δ — оператор Лапласа.

Методом интегральных преобразований контактная задача сводится к решению системы 

уравнений:

 
 
 




 
,  0
1,
w r
p r
q r
r
0
L
(8)

  



 

 





















0

0

0

0

α
αλ
α
α
,  0
1,

α
α
α
0,  
1,

Q
L
J
r d
sw r
r

Q
J
r d
r

(9)

где  
L u
— трансформанта ядра; s = ΘR3D−1 — параметр, характеризующий изгибную жёсткость

пластины.

Математические и естественные науки
 

8

Построение решения. Для однородной пластинки со свободными краем, лежащей на неоднородном полупространстве, в работе [16] построено решение задачи в аналитическом виде. Учитывая 
(4), (5), это решение можно использовать и для неоднородных пластин.

Построим решение задачи в аналитическом виде, в случае, когда края пластины закреп
лены. Для этого представим функцию прогибов в виде ряда по формам собственных колебаний 
круглой пластины с закреплённым краем, аналогично работе [20]:

 
 
 
 










1

0
0

φ
,    
ρ φ
ρ ρ ρ,
m
m
m
m

m

w r
w
r
w
w
d
(10)

где 
 



0
φ
;
m
m
m
r
A J
k r
m
k
— корни уравнения 

 
1
0
m
J
k
, а 



0
2
m
m
A
/ J
k
для 
 
m
.

Учитывая линейность задачи, разложим функцию контактных напряжений q(r) в ряд следу
ющего вида:

 
 










0

,    0
1.
m
m

m

q r
w q
r
r
(11)

Здесь функции 
 
m
q
r
находятся из решения парного интегрального уравнения (9) с заданной пра
вой частью вида (10).

Для построения решения рассмотрим следующее парное интегральное уравнение:

  






 

































0
0

1
0

0

0

α
αλ
α
α
Θδ 1
μ
,  0
1,

α
α
α
0,  
1.

k
k

k

Q
L
J
r d
u
J
r
r

Q
J
r d
r

(12)

Из результатов работы [21] следует, что при построении решения задачи двухсторонне 

асимптотическим методом в качестве аппроксимации главной части трансформанты ядра можно 
использовать аналитическое выражение вида

 









2
2

2
2

1

,

N

i

N

i
i

u
a
L
u

u
b

(13)

где 
k
b , μk , δ — некоторые константы.

В работе [22] получено аналитическое решение парного интегрального уравнения (12) в 

виде:

 
 
 

































0
1
1
1

2
1
1

2Θ
0 δ
1
τ
0
Ψ
,
λ
Ψ
, μ
λμ
.
π
1

N

i
i
j
j
N
j

i
j

r
L
C
r a
u
r i
L

r

(14)

Здесь введено обозначение:


 






1

2
2
2

ch
sh
Ψ
,
.

1
r

A
Atdt
r A
A

r
t
r

Сумма в (14), содержащая функцию 


Ψ
, μ
r i
, соответствует решению уравнения (12) с пра
вой частью в виде ряда по функциям Бесселя. Функцию 
 
φm r
можно представить в следующем 

виде:

 



1
0
1
φ
μ
m
m

m r
u
J
r
,

где 

1
m

m
u
A ; 

1
μ

m

m
k
.

Таким образом, решение парного интегрального уравнения (9) с правой частью (10) имеет 

вид:

Вестник ДГТУ. 2014. Т. 14, № 2 (77)

9

 
 




1 2
1
1
2
0
1

0

0

2 2π
0
1
Ψ
,
λ
,

N

N

N
i
i

i

q
r
s L
r
C
r a



















 























1
1
1

0

2π
λ
Ψ
,
Ψ
,
λ
,  
1,2, 

N

N
m

m
m
N
m
m
i
i

i

q
r
A s L
k
r ik
C
r a
m

Здесь постоянные 

m
i
С
определяются из системы линейных алгебраических уравнений:



 













0
1
1
1
1

1

α
λ
,
λ
0 λ
0,   
1,2,
,
,

N

i
i
k
N
k

i

C
a
b
L
b
k
N



















1
1
1

1

α
λ ,
λ
β
,
λ
0,  
1,2,
,
;  
1,2,
,

N

m
i
i
k
m
k

i

C
a
b
k
b
k
N
m

где








 













1
2
2
1
α
,
sh
ch
, β
,
λ
α
,
.
N
a b
a
a
b
a
b
a
а b
L
a
ia b

Полученные значения контактных напряжений 
 

N
m
q
r
и заданную внешнюю нагрузку, при
ложенную к пластине, можно представить в виде следующих рядов:

 
 
 
 










1

0
0

φ
,    
ρ φ
ρ ρ ρ,
N
m
m
N

m
j
j
j
m
j

j

q
r
y
r
y
q
d
(15)

 
 
 
 










1

0
0

φ
,    
ρ φ
ρ ρ ρ.
m
m
m
m

m

p r
p
r
p
p
d
(16)

Подставив разложения (10), (15), (16) в (8), придём к бесконечной системе линейных ал
гебраических уравнений для определения коэффициентов 
m
w
, которую можно записать в следу
ющем виде:











 


4
4

0

Ε
,   
0,1,2,
; 
1,
m

m
m
j
j
m
m

j

w
ak
w
p k
m
a
(17)


 



















1
1
1

0

Ε
2π
λ
,
λ ,
,

N

m
m

j
j
m
N
j
j
m
n
n
m

n

A sA
L
k
x k
k
C
X a
k

где 




1,2,
;   
0,1,2,
j
m
;















 


























1
1
1

1
2
2

,
cos
sin
sin
sin
;
2

,
sh
cos
sin
ch
.

a
x a b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b

X a b
a
b
a
a
b
b
s
a

В частности,

 




















1
1
1
0
1

0

1

Ε
2π
2
0
sin
λ ,
,

N

m

m
N
m
m
n
n
m

n

sA
L
k
k
C X a
k

 




















0
1
1
0
1
1

0

1

Ε
π 4
0
λ
sh
λ

N

N
n
n
n

n

s L
C a
a
,
























0
1
1
1
1
1

1

Ε
2π
2
λ
sin
λ
sh
λ
.

N

j

j
j
N
j
j
j
n
n
n

n

A s L
k
k
k
C a
a

Используя метод редукции, сведём решение бесконечной системы алгебраических уравне
ний (17) к решению системы линейных алгебраических уравнений следующего вида:








4

0

Ε
,    
0,1,2,
,
.

M

m

m
m
j
j
m

j

w k
w
p
m
M
(18)

Математические и естественные науки
 

10

После определения коэффициентов 




  
0,1,
,
m
w
m
M
для фиксированного значения M

из (18) находим контактные напряжения

 
 








0

,    0
1,

M

m
m

m

q r
w q
r
r
(19)

и прогибы пластины

 
 








0

φ
,    0
1.

M

m
m

m

w r
w
r
r
(20)

Полученные формулы могут быть использованы для расчёта характеристик контактного 

взаимодействия многослойной пластины с основанием сложной структуры в зависимости от граничных условий и характера нагрузки на пластину. Так как неоднородность пластины и многослойность в рамках рассмотренной модели влияет только на величину цилиндрической жёсткости D,
будем считать, что увеличение количества слоёв в пластине влияет на значение параметра D и,
соответственно, на значение параметра s.

Рассмотрим случай влияния на распределение контактных напряжений под пластиной рав
номерно распределённой нагрузки. В случае, когда края пластинки не закреплены по периметру, 
при вычислении контактных напряжений использовался результат работы [16]. Для закреплённых
краёв использовалась формула (19).

Пусть пластина лежит на мягком покрытии (β = 100), модуль Юнга которого меняется по 

закону:

 
 


1
0 φ
E
z
E
z ,
 






0
0
φ
φ
φ
1
z
z .

Показатель неоднородности


0
φ
const
1 характеризует отношение модуля Юнга на поверхности 

покрытия (z = 0) к модулю Юнга подложки. Ограничимся рассмотрением случая 

0
φ
3,5 , что со
ответствует сочетанию мягкого (алюминий, серебро, медь, свинец и т. д.) и жёсткого (железо, 
сталь, палладий, молибден и т. д.) металлов.

При численной реализации было выявлено, что граничные условия для жёстких пластин 

практически не оказывают влияние на распределение контактных напряжений. Причём диапазоны 
параметров, для которых это справедливо, следующие: для λ = 4 — s < 0,1, для λ = 0,05 — s < 0,07.

На рис. 1, 2 построены графики контактных напряжений в случае гибких пластин для ука
занного выше закона изменения модуля Юнга с глубиной. Из графиков видно, что условия закрепления краёв пластины оказывают влияние на распределение контактных напряжений под пластиной.
Заключение. Получено приближённое аналитическое решение задачи об изгибе круглой многослойной пластины постоянной толщины, лежащей на упругом неоднородном основании сложной 
структуры.

Рис. 1. Распределение контактных напряжений под гибкой (s = 4) пластиной

при большой зоне контакта относительно толщины покрытия