Текстовые фрагменты публикации
ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Кафедра математики и финансовых приложений
И.Е. Денежкина
Методические указания
к лабораторным работам
по дисциплине «Численные методы»
для специальности 061800 - «Математические методы в экономике»
ОДОБРЕНО и РЕКОМЕНДОВАНО
Протокол заседания Ученого Совета
по специальности 061800 – «Математические методы в экономике»
№ 17 от 22 января 2004 г.
МОСКВА 2004
дальше
содержание
УДК 51
ББК 22.12
Д33
Рецензент: доц. Киселев В.В. (Финансовая академия),
И.Е. Денежкина
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Численные методы» М.:ФА, 2004, 22 стр.
Методические указания предназначены для подготовки студентов специальности
«Математические методы в экономике». Они содержат набор заданий для лабораторных
работ по основным темам курса, необходимый справочный материал по соответствующим
разделам, требования к отчету по лабораторной работе. Они обеспечивают возможность
самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Численные методы» в со-
ответствие с утвержденной программой, позволяют дать систематическое представление
о численных методах и вычислительных алгоритмах, необходимое в экономико-
математическом моделировании.
Денежкина Ирина Евгеньевна
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Численные методы»
Компьютерный набор и верстка И.Е. Денежкина
Начало документа
содержание
Содержание
Введение
Лабораторная работа № 1
Лабораторная работа № 2
Лабораторная работа № 3
Требования к отчету
Рекомендуемая литература
в начало
дальше
Введение
Лабораторный цикл предназначен для практического закрепления теоретических
положений курса "Численные методы»" для студентов специальности 061800 - «Матема-
тические методы в экономике». В курсе рассматриваются основные понятия, факты и ме-
тоды вычислительной математики и численных методов.
Указания содержат описание лабораторных работ с вариантами заданий и перечнем
разделов курса, подлежащих изучению в ходе выполнения лабораторной работы, а также
краткий справочный материал.
Перед выполнением каждой лабораторной работы необходимо изучить соответст-
вующий теоретический материал и выбрать индивидуальный вариант задания.
Номер студента по списку имеет вид N = 10a+b (например, для N =15 a = 1, b = 5;
для N = 8 a = 0, b = 8). Для формирования индивидуального задания следует подставить в
текст соответствующие числовые значения.
Выполнение численных расчетов производится любыми доступными студенту
средствами. Допускается решение в среде MathCad или MathLab, использование программ
на любом алгоритмическом языке, а также расчеты на микрокалькуляторе.
При выполнении задания должны быть представлены все промежуточные расчеты
в виде таблиц. При использовании компьютерных программ необходимо обеспечить по-
шаговый вывод всех промежуточных результатов. При решении в среде MathCad
в ра-
боту включается полный протокол решения задачи.
Использование графиков, построенных с помощью пакетов прикладных программ,
приветствуется,
Начало документа
дальше
назад
Лабораторная работа №1
«Численные методы линейной алгебры».
Задание 1. Функционирование экономической системы описывается математической мо-
делью:
v
p
A
p
T
, где A – матрица прямых затрат; p – вектор цен; x - вектор валового
выпуска; V - вектор добавляемой стоимости;
i
i
i
x
V
v
- норма добавочной стоимости.
а) Найти равновесную цену, решив уравнение:
v
p
A
E
T )
(
методом Гаусса с выбо-
ром ведущего элемента. Вычислить невяз-
ку.
б) Пусть в 1 отрасли норма добавочной
стоимости увеличилась на (10a+b)
. На сколько процентов изменилась равновесная це-
на по каждой продукции?
справочный материал по работе 1
содержание
задание2_работы1
задание3_работы1
39
18
5
2
;
012
.0
0048
.0
00211
.0
0203
.0
25
.0
006
.0
)
3
(
01
.0
001
.0
2.0
b
a
v
b
A
Задание 2. Законы спроса и предложения описываются системой
)1
(
8.2
05
.6
)
2
(
14
.
16
)1
(
4.1
01
.3
)
2
(
03
.8
b
x
p
a
b
x
p
a
.
а) найти точку рыночного равновесия;
б) при введении налога в k
(k = (10+a+b)) , последний коэффициент в системе стал
)
100
1
)(
1
(
8.2
k
b
. Найти новую точку равновесия.
в) Объяснить результат. Вычислить определитель и число обусловленности матрицы сис-
темы.
справочный материал по работе 1
содержание
задание1_работы1
задание3_работы1
Задание 3. а) Привести систему к виду, обеспечивающему сходимость метода итераций.
б) Решить систему методом итераций и методом Зейде-
ля с точностью 0.001. Вычислить невязку.
в) Решить систему методом Зейделя с точностью 0.001, предварительно проведя симмет-
ризацию системы. Сравнить необходимое число итераций для всех случаев.
справочный материал по работе 1
содержание
задание1_работы1
задание2_работы1
7.1
033
.0
18
.0
51
.4
2.2
)
65
.4
(
.
25
.0
18
.0
6.3
12
.0
.
32
.2
31
.0
z
y
x
z
b
y
x
a
z
y
x
Справочный материал по лабораторной работе № 1.
Постановка задачи: Для заданной матрицы A Rn
n и вектора b Rn найти вектор
x Rn такой, что
Ax = b
(1.1)
Пусть количество уравнений совпадает с количеством неизвестных. Известно, что
эта задача имеет единственное решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Метод Гаусса состоит в равносильных преобразованиях системы, приводящих к
последовательному исключению неизвестных. При этом расширенная матрица системы
приводится к треугольному виду.
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
b
b
b
a
a
a
b
A
A
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
A
A
*
2
*
1
*
2
*
1
*
12
*
*
*
*
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11
1
...
0
0
...
...
1
0
...
1
)
(
...
...
...
...
)
(
Вместо системы (1.1), получается система вида
A* x = b*. (1.2)
Процесс приведения системы (1.1) к виду (1.2) носит название прямой ход метода
Гаусса. Для приведения матрицы A к верхнетреугольному виду с единицами на главной
диагонали, необходимо выполнить следующие действия:
1. Разделить все элементы первой строки (ее называют опорной строкой) на первый эле-
мент (называемый ведущим);
2. Каждую следующую i-ю строку (i = 2, …, n) складывают с опорной, умноженной на
(-ai1). В результате в первом столбце первый элемент равен 1, а остальные нулю.
3. Исключить из рассмотрения первую строку и первый столбец и повторить п.1 и п.2.
Прямой ход завершен, когда все строки исчерпаны. Обратный ход состоит в вычисле-
нии неизвестных, начиная с последнего.
Мерой точности полученного решения x* является норма вектора r , r = Ax* - b. Его
называют вектором невязок. Если r =0, решение точное.
Для преодоления различных проблем, связанных с реализацией процесса вычислений,
применяют метод Гаусса с выбором ведущего элемента (метод Гаусса – Жордана). На
каждом шаге в качестве ведущего выбирается наибольший по модулю элемент. Если вы-
бор производится среди всех элементов матрицы, то говорят о полном выборе ведущего
элемента. При частичном выборе ведущего элемента определяется наибольший по моду-
лю элемент в текущем столбце.
Метод простой итерации для системы уравнений вида (1.1) заключается в следую-
щем. Пусть все диагональные элементы матрицы A не равны нулю ( aii
0
i =1, … ,n).
Поделим каждое из уравнений на его диагональный элемент и разрешим его относитель-
но неизвестной, стоящей на главной диагонали. Получим систему
nn
n
n
nn
n
nn
nn
n
n
n
n
n
n
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
1
1
1
2
12
1
1
22
2
22
2
3
22
23
1
22
21
2
11
1
11
1
3
11
13
2
11
12
1
...
.
...
...
. (1.3)
Или, введя новые обозначения,
b
Cx
x
~
(1.4)
Матрица C имеет нулевую главную диагональ.
Выберем некоторое начальное значение x0 и для k = 1, 2, … построим последова-
тельность { x0, x1, …}. :
b
Cx
x
k
k
~
1
(1.5)
В качестве начального значения x0 можно выбрать нулевой вектор или вектор b~ .
Если для матрицы A системы выполнено условие преобладания диагональных эле-
ментов, т.е.
j
i
ij
ii
a
a
i
, то метод простой итерации сходится.
Модификацией метода простой итерации, сходящейся более быстро, является метод
Зейделя. При вычислении следующей компоненты вектора xk используют все вычислен-
ные к этому моменту значения. Вместо процесса (1.5) получим следующую процедуру:
k
n
nn
k
n
nn
k
n
k
n
k
n
k
n
n
k
k
k
k
n
n
k
k
k
x
c
x
c
x
c
x
c
x
x
c
x
c
x
c
x
x
c
x
c
x
c
x
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
22
1
1
21
1
2
1
2
12
1
11
1
1
...
...
...
.
(1.6)
Задача является плохо обусловленной, если малые изменения в ее условиях приводят к
большим изменениям результата.
Часто явление плохой обусловленности связано с «почти вырожденной» матрицей
системы, т.е. определитель системы очень мал по модулю. Обусловленность системы ха-
рактеризуется величиной, которая называется числом обусловленности матрицы и обо-
значается cond A или греческой буквой
(каппа):
cond A =
=
1
A
A
.
Чем это число больше, тем хуже обусловленность. В ряде норм число эту величину
можно вычислить как отношение наибольшего и наименьшего по модулю собственных
значений матрицы:
cond A =
min
max .
Начало документа
дальше
Лабораторная работа №2
«Решение нелинейных уравнений»
Задание 1. Расчет ставки общего дохода купонной облигации. Цена облигации может
быть вычислена по формуле, где k - стоимость купона; C – выкупная цена облигации; r –
ставка дохода; T – количество лет дей-
ствия облигации.
Вычислить r с точностью до 0.01% од-
ним из численных методов (половинно-
го деления, итераций, Ньютона). Исходные данные: C = 100N; k = 0.05C; T =5+a+2; P
= C + 10b.
Задание 2. Для уравнения
0
1
)
(
sin
x
b
a
bx
N
: а) отделить корни: б) выбрать
итерационный процесс, показать, что он удовлетворяет достаточному условию сходимо-
сти: в) решить с точностью 10-4 , вычислить невязку; г) решить это же уравнение методом
хорд (для N
[ 1; 9] ) или упрощенным методом Ньютона (для N
[ 10; 19] ). Вычислить
невязку.
справочный материал по работе 2
содержание
задания_3_4_работы2
T
T
r
k
C
r
k
r
k
r
k
P
)
1(
)
1(
...
)
1(
1
1
2
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
