Численные методы

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра математики и финансовых приложений

И.Е. Денежкина

Методические указания 

к лабораторным работам 

по дисциплине «Численные методы» 

для специальности 061800 - «Математические методы в экономике»

ОДОБРЕНО и РЕКОМЕНДОВАНО
Протокол заседания Ученого Совета
по специальности 061800 – «Математические методы в экономике»
№ 17 от  22 января 2004 г.

МОСКВА 2004

дальше     
содержание

УДК 51
ББК 22.12
Д33

Рецензент:    доц. Киселев В.В. (Финансовая академия),

И.Е. Денежкина

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Численные методы» М.:ФА, 2004, 22 стр.

Методические указания предназначены для подготовки студентов специальности 

«Математические методы в экономике». Они содержат набор заданий для лабораторных 
работ по основным темам курса, необходимый справочный материал по соответствующим 
разделам, требования к отчету по лабораторной работе. Они обеспечивают возможность 
самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Численные методы» в соответствие с утвержденной программой, позволяют  дать  систематическое представление 
о численных методах и вычислительных алгоритмах, необходимое в экономикоматематическом моделировании. 

Денежкина Ирина Евгеньевна

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Численные методы» 

Компьютерный набор и верстка                             И.Е. Денежкина

Начало документа
содержание

Содержание

Введение
Лабораторная работа  № 1
Лабораторная работа  № 2
Лабораторная работа  № 3
Требования к отчету

Рекомендуемая литература
в начало
дальше                              

Введение

Лабораторный цикл предназначен для практического закрепления теоретических  

положений курса "Численные методы»" для студентов  специальности 061800 - «Математические методы в экономике».  В курсе рассматриваются основные понятия, факты и методы вычислительной математики и численных методов.

Указания содержат описание  лабораторных работ с вариантами заданий и перечнем 

разделов курса,  подлежащих изучению в ходе  выполнения лабораторной работы, а также  
краткий справочный материал.  

Перед выполнением каждой лабораторной  работы  необходимо изучить соответст
вующий теоретический материал и выбрать индивидуальный вариант  задания. 

Номер студента по списку имеет вид N = 10a+b (например, для N =15 a = 1, b = 5; 

для N = 8 a = 0, b = 8). Для формирования индивидуального задания следует подставить в 
текст соответствующие числовые значения.

Выполнение численных расчетов производится любыми доступными студенту 

средствами. Допускается решение в среде MathCad или MathLab, использование программ 
на любом алгоритмическом языке, а также расчеты на микрокалькуляторе.

При выполнении задания должны быть представлены все промежуточные расчеты 

в виде таблиц. При использовании компьютерных программ необходимо обеспечить пошаговый вывод всех промежуточных результатов.  При решении в среде MathCad
в ра
боту включается полный протокол решения задачи.

Использование графиков, построенных с помощью пакетов прикладных программ,

приветствуется,
Начало документа
дальше
назад              

Лабораторная работа №1

«Численные методы линейной алгебры».  

Задание 1. Функционирование экономической системы описывается математической мо
делью:
v
p
A
p
T
, где  A – матрица прямых затрат; p – вектор цен;  x - вектор валового 

выпуска;  V - вектор добавляемой стоимости; 

i

i

i
x
V
v
- норма добавочной стоимости.

а) Найти равновесную цену, решив уравнение:
v
p
A
E
T )
(
методом Гаусса с выбо
ром ведущего элемента. Вычислить невязку.

б) Пусть в 1 отрасли норма добавочной

стоимости увеличилась на    (10a+b)
. На сколько процентов изменилась равновесная це
на по каждой продукции?

справочный материал по работе 1
содержание

задание2_работы1
задание3_работы1

39
18

5
2

;

012
.0
0048
.0
00211
.0

0203
.0
25
.0
006
.0

)
3
(
01
.0
001
.0
2.0
b
a

v

b

A

Задание 2. Законы спроса  и предложения описываются системой 

)1
(
8.2
05
.6
)
2
(
14
.
16

)1
(
4.1
01
.3
)
2
(
03
.8

b
x
p
a

b
x
p
a
.

а)  найти точку рыночного равновесия;

б) при введении налога в k
(k = (10+a+b)) , последний коэффициент в системе стал 

)
100
1
)(
1
(
8.2
k
b
. Найти новую точку равновесия. 

в) Объяснить результат. Вычислить определитель и число обусловленности матрицы системы.
справочный материал по работе 1
содержание

задание1_работы1
задание3_работы1

Задание 3. а) Привести систему к виду, обеспечивающему сходимость метода итераций. 

б) Решить систему методом итераций и методом Зейделя с точностью 0.001. Вычислить невязку.

в) Решить систему методом  Зейделя с точностью 0.001, предварительно проведя симметризацию системы. Сравнить необходимое число итераций  для всех случаев.

справочный материал по работе 1
содержание

задание1_работы1

задание2_работы1

7.1
033
.0
18
.0
51
.4

2.2
)
65
.4
(
.
25
.0
18
.0

6.3
12
.0
.
32
.2
31
.0

z
y
x

z
b
y
x

a
z
y
x

Справочный материал по лабораторной работе № 1.

Постановка задачи: Для заданной матрицы A Rn
n и вектора b Rn найти вектор 

x Rn такой, что 

Ax = b
(1.1)

Пусть количество уравнений совпадает с количеством неизвестных. Известно, что 

эта задача имеет единственное решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. 

Метод Гаусса состоит в равносильных преобразованиях системы, приводящих к 

последовательному исключению неизвестных. При этом расширенная матрица системы 
приводится к треугольному виду. 

n

n

n

n
nn
n
n

n

n

b

b
b

a
a
a

b
A
A

b

b
b

a
a
a

a
a
a

a
a
a

b
A
A

*

2
*

1
*

2
*

1
*
12
*

*
*
*
2

1

2
1

2
22
21

1
12
11

1
...
0
0
...

...
1
0

...
1

)
(

...

...

...
...

)
(

Вместо системы (1.1), получается система вида

A* x = b*.                                                       (1.2)

Процесс приведения системы (1.1) к виду (1.2) носит название прямой ход метода 

Гаусса. Для приведения матрицы A к верхнетреугольному виду с единицами на главной 
диагонали, необходимо выполнить следующие действия:
1. Разделить все элементы первой строки (ее называют опорной строкой) на первый элемент (называемый ведущим);
2. Каждую следующую i-ю строку (i = 2, …, n) складывают с опорной, умноженной на 
(-ai1). В результате в первом столбце первый элемент равен 1, а остальные нулю.
3. Исключить из рассмотрения первую строку и первый столбец и повторить п.1 и п.2.

Прямой ход завершен, когда все строки исчерпаны. Обратный ход состоит в вычисле
нии неизвестных, начиная с последнего.

Мерой точности полученного решения x* является норма вектора r ,  r = Ax* - b. Его 

называют вектором невязок. Если r =0, решение точное.

Для преодоления различных проблем, связанных с реализацией процесса вычислений,  

применяют метод Гаусса с выбором ведущего элемента (метод Гаусса – Жордана). На 
каждом шаге в качестве ведущего выбирается наибольший по модулю элемент. Если выбор производится среди всех элементов матрицы, то говорят о полном выборе ведущего 
элемента. При частичном выборе ведущего элемента определяется наибольший по модулю элемент в текущем столбце.

Метод простой итерации для системы  уравнений вида (1.1) заключается в следую
щем. Пусть все диагональные элементы матрицы A не равны нулю ( aii
0 
i =1, … ,n). 

Поделим каждое из  уравнений на его диагональный элемент  и разрешим его относительно неизвестной, стоящей на главной диагонали. Получим систему

nn

n

n

nn

n

nn
nn

n

n

n

n

n

n

a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x

a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x

a
b
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x

1

1
1

2

12

1

1

22

2

22

2

3

22

23

1

22

21

2

11

1

11

1

3

11

13

2

11

12

1

...

.

...

...



.                  (1.3)

Или, введя новые обозначения, 

b
Cx
x
~

(1.4)

Матрица C имеет нулевую главную диагональ.
Выберем  некоторое начальное значение x0 и для   k = 1, 2, … построим последова
тельность { x0, x1, …}. :

b
Cx
x
k
k
~
1
(1.5)

В качестве начального значения x0 можно выбрать нулевой вектор или вектор b~ .
Если для матрицы A системы выполнено условие  преобладания диагональных эле
ментов, т.е. 

j
i

ij
ii
a
a
i
, то метод простой итерации сходится.

Модификацией метода простой итерации, сходящейся более быстро, является метод 

Зейделя. При вычислении следующей компоненты вектора xk используют все вычисленные к этому моменту значения. Вместо процесса (1.5) получим следующую процедуру:

k
n
nn

k
n
nn

k

n

k

n

k
n

k
n
n

k
k
k

k
n
n

k
k
k

x
c
x
c
x
c
x
c
x

x
c
x
c
x
c
x

x
c
x
c
x
c
x

1
1
1

1

2
2

1

1
1

1

2
2
22

1

1
21

1

2

1
2
12
1
11

1

1

...

...
...



.       
(1.6)

Задача является плохо обусловленной, если малые изменения в ее условиях приводят к 

большим изменениям результата.

Часто явление плохой обусловленности связано с «почти вырожденной» матрицей 

системы, т.е. определитель системы очень мал по модулю. Обусловленность системы характеризуется величиной, которая называется  числом обусловленности матрицы и обозначается cond A или греческой буквой 
(каппа):

cond A =
= 
1
A
A
.                                       

Чем это число больше, тем хуже обусловленность. В ряде норм число эту величину 

можно вычислить как отношение наибольшего и наименьшего по модулю собственных 
значений матрицы:

cond A =

min

max .      

Начало документа
дальше                                      

Лабораторная работа №2

«Решение нелинейных уравнений»

Задание 1. Расчет ставки общего дохода купонной облигации. Цена облигации может 
быть вычислена по формуле, где k - стоимость купона;  C – выкупная цена облигации; r –

ставка дохода; T – количество лет действия облигации.
Вычислить r с точностью до 0.01% одним из численных методов (половинно
го деления, итераций, Ньютона). Исходные данные: C = 100N;    k = 0.05C;  T =5+a+2;  P
= C + 10b.

Задание 2. Для уравнения 
0
1
)
(
sin
x
b
a
bx
N
:  а) отделить корни: б) выбрать 

итерационный процесс, показать, что он удовлетворяет достаточному условию сходимости: в) решить с точностью 10-4 , вычислить невязку; г) решить это же уравнение методом 
хорд (для N
[ 1; 9] ) или упрощенным методом Ньютона (для N
[ 10; 19] ). Вычислить 

невязку.

справочный материал по работе 2
содержание

задания_3_4_работы2

T
T
r

k
C

r

k

r

k

r

k
P

)
1(
)
1(

...

)
1(
1
1
2