Гидромеханика. Методические рекомендации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ 

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кондратьев А.С., Исаков А.В. 
 
ГИДРОМЕХАНИКА 
 
Методические рекомендации 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Альтаир–МГАВТ 
Москва 
2016 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ 

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кондратьев А.С., Исаков А.В. 
 

ГИДРОМЕХАНИКА 
 
Методические рекомендации 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Альтаир–МГАВТ 
Москва 
2016 

УДК 621 
 
 
Кондратьев А.С.,  Исаков А.В.  Гидромеханика.  Методические рекомендации.— М.: Альтаир–МГАВТ, 2016.— 52 стр. 
 
 
Настоящие методические рекомендации по дисциплине «Гидромеханика» 
предназначены для самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины, выполнения контрольного задания и подготовке вопросов к экзамену/зачету. 
Методические рекомендации предназначены для подготовки студентов по 
специальности 180405.65 «Эксплуатация судовых энергетических установок», а 
также направлению 180100.62 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры». 
 
 
Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор Соловьев 
А.А.; доктор технических наук, профессор Овсянников В.М. 
 
 
Рекомендовано к изданию Учебно–методическим советом МГАВТ. 
 
 
Рассмотрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе на заседании кафедры «Теоретическая механика» (протокол № 9  от  28 мая 2015 г.) 
 
 
 
Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать 
материалов несут авторы и кафедра академии, выпускающей учебнометодические материалы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                                          © МГАВТ, 2016 
© Кондратьев А.С., 2016 
                                                                                  © Исаков А.В., 2016 

Содержание 

 

1. Предисловие  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   4 

2. Содержание курса  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   5 

3. Методические указания по выполнению контрольной работы .  .  .  .  .  25 

4. Методические рекомендации по подготовке к экзамен у .  .  .  .  .  .  .  45 

Список рекомендуемой литературы   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  48 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Настоящее руководство предназначено для подготовки специалистов по 
специальности 180405.65 «Эксплуатация судовых энергетических установок», а 
также по направлению 180100.62 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры», обучающихся по дисциплине 
«Гидромеханика». Содержит краткое изложение курса, контрольные работы и 
вопросы, которые необходимо подготовить к экзамену/зачету. Задачи контрольной работы сгруппированы по темам, в каждой из которых даны методические рекомендации по решению. Приведен список основной и дополнительной литературы, который следует использовать при изучении дисциплины. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА  
 
1. Введение 

Краткая история развития гидромеханики  и её роль в современной науке и 
технике. Гидромеханика жидкости и газа — наука, изучающая законы равновесия и движения жидкостей и газов, дающая способы применения этих законов к 
решению задач инженерной деятельности. Гидромеханика может быть подразделена на традиционные: гидростатику, в которой изучаются законы покоя и 
равновесия жидкостей и газов, кинематику, в которой изучаются пути перемещения жидкости и газа без связи с силами, и кинематику, изучаются законы 
движения жидкостей и газов в зависимости от сил и давлений как причин, вызывающих движения, и физику жидкости и газа, получившую наибольшее развитие в XX веке, а именно исследование турбулентных режимов течения жидкости и образование пограничного слоя на телах, перемещающихся в жидкости 
или газе, что было вызвано потребностями новых промышленных технологий.  
 

2. Физические основы гидромеханики ньютоновской жидкости 

2.1. Основные свойства жидкостей и газов 
 
Сжимаемость, реологические свойства. Силы, действующие в жидкостях и газах. Гидростатическое давление в неподвижной жидкости и газе. Уравнение Эйлера. 
Под термином жидкость мы будем понимать как капельную жидкость, так 
и газы в условиях, когда их можно рассматривать как сплошную 
легкоподвижную и однородную среду. Жидкостью называются физические 
тела, легко изменяющие свою форму под действием самой незначительной 
величины силы. Газом называются тела, легко меняющие и форму и объем. В 
противоположность газам капельные жидкости почти не изменяют своего 
объема при изменении давления и в преобладающем большинстве случаев 
остаются практически несжимаемыми. Сжимаемость жидкостей и газов. Если 
на  первоначальный объем жидкости W1, налитой в сосуд, произвести с 
помощью поршня увеличение давления на величину 
р
∆ , то под влиянием 
этого увеличения давления объем жидкости W1 уменьшится и станет равным 

W2. Отношение β W=

1

2
1
pW
W
W
∆
−
  характеризует относительное изменение объема 

жидкости на единицу изменения  давления 
р
∆
 и называется коэффициентом 

объемного сжатия. Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия 
Е
w =
β
1

, 

называется модулем объемной упругости. Модуль упругости воды принимают 
равным в среднем 
Па
Е
9
10
2⋅
=
. Сжимаемость газов описывается уравнением 
состояния идеальных газов 
RT
рV =
, где p — давление; V —удельный объем, 
являющийся обратной величиной к плотности 
ρ
1
=
V
, R — индивидуальная газовая 
постоянная, Т- абсолютная температура в градусах Кельвина.  

Температурное расширение жидкостей и газов. Коэффициент температур
ного расширения жидкостей 
tβ  вводится формулой 
t
W
W

t
∆
∆
=
β
,где W — началь
ный объем жидкости; W
∆
— приращение объема жидкости после нагревания на 

t
∆  градусов. Все жидкости при нагревании расширяются. Исключение составляет вода в интервале температур от 0 до 
С
4
+
. Она сжимается. При температуре 
С
4
+
 вода имеет наибольшую плотность.  Температурное расширение газов определяется уравнением состояния идеальных газов, приведенным выше. 
Вязкость это свойство движущейся жидкости оказывать сопротивление перемещению ее частиц относительно друг друга. По Ньютону сила внутреннего 
трения T не зависит от давления в жидкости, а пропорциональна площади поверхности соприкосновения слоев S, пропорциональна относительной скорости 

трущихся слоев dy
du  (u — скорость в точке, у — координата в направлении пер
пендикулярном к скорости) и зависит от рода жидкости, характеризуемой динамическим коэффициентом вязкости µ . Кроме динамического коэффициента 
вязкости, вводится понятие кинематического коэффициента вязкости ν , свя
занного с µ  как  
ρ
µ
ν =
. Реальные и идеальные жидкости. Идеальная жидкость 

характеризуется абсолютной подвижностью, то есть отсутствием в жидкости 
касательных напряжений и абсолютной неизменяемостью в объеме при изменении температуры или под действием каких–либо сил, т.е. отсутствием деформаций сжатия и растяжения. Реальные или вязкие жидкости также обладают достаточной подвижностью. Отличительным свойством большинства реальных жидкостей является возникновение при их движении касательных напряжений, величина которых пропорциональна скорости сдвига одного слоя 
жидкости относительно другого смежного слоя.   
  
2.2. Силы, действующие на жидкость. Гидростатика 
 
На жидкий объем может действовать два вида сил: поверхностные силы и 
объемные (или массовые) силы. Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности жидкого тела и поэтому пропорциональны площади поверхности действия. Важнейшими и основными для гидравлики поверхностными силами являются силы трения и давления, а также   силы упругости и поверхностного натяжения. Объемные силы (или массовые) действуют на каждую 
частицу жидкости в рассматриваемом объеме. Сила тяжести — основная объемная сила, стремящаяся вызвать движение жидкости. Сила инерции проявляется в большинстве гидравлических явлений.  Давление. По определению гид
ростатическое давление в точке выражается как 

0
lim

→




=

S
S
F
р
, где F — сила 

нормального воздействия на площадку S. Гидростатическое давление всегда 
перпендикулярно к площадке, на которую оно действует. Гидростатическое 
давление в данной точке по всем направлениям одинаково. 

Дифференциальные уравнения  Эйлера  для статического состояния жидкостей и газов 















=
∂
∂
−

=
∂
∂
−

=
∂
∂
−

0
1

0
1

0
1

z
p
Z

y
p
Y

x
p
X

ρ

ρ

ρ

 , 

составляющие массовых сил по осям координат x, y, z  — X, Y, Z. Поверхность в 
жидкости, на которой давление  одинаково, называется поверхностью равного 
давления. Поверхность, отделяющая жидкость от газовой среды, называется  
свободной поверхностью жидкости. Во всех точках свободной поверхности 
давление также одинаково: в открытых сосудах это давление равно атмосферному. Итак, свободная поверхность это поверхность равного давления.  
Так как для поверхности равного давления 
=
p
const, то dp=0. Плотность не 
может быть равна нулю, следовательно, уравнение 
(
)
Zdz
Ydy
Xdx
dp
+
+
= ρ
 можно 
записать как: 

0
=
+
+
Zdz
Ydy
Xdx
 

Это дифференциальное уравнение поверхности равного давления  в жидкости. 
Из 
уравнения 
Эйлера 
следует 
основное 
уравнение 
гидростатики,
gh
р
р
ρ
+
=
0
, 
0
р  — давление на свободной поверхности жидкости, 

gh
ρ
 — весовое давление, р — абсолютное гидростатическое давление. 
Графическое изображение распределения гидростатического давления на 
стенке называется эпюрой гидростатического давления. 
   
2.3. Равновесие покоящейся жидкости 
 
Жидкость давит на поверхность, с которой она соприкасается. В покоящейся вязкой жидкости давление в точке не зависит от направления перемещения в данную точку. Это же имеет место и в движущейся идеальной жидкости. 
Покоящаяся жидкость подвержена действию двух видов внешних сил: массовых и поверхностных. Наиболее общими уравнениями гидростатики являются 
уравнения Эйлера, устанавливающие связь между массовыми и поверхностными силами, действующими в жидкости:  
 
Fx – (∂p/∂x) = 0,   Fy – (∂p/∂y) = 0,    Fz – (∂p/∂z) = 0 
 
Fi — массовые силы, действующие вдоль координатных осей x, y и z, соответственно.   
 
 

В случае действия на жидкость одной лишь силы тяжести интегрирование 
уравнений Эйлера дает основное уравнение гидростатики: 
 
р2 = р1 + ρ g h, 
 
где р1 и р2 — давления в точках 1 и 2; h — глубина погружения точки 2 относительно точки 1; ρ — плотность жидкости; g = 9,81 м/с2 — ускорение силы тяжести. 
Если z вертикальная координата рассматриваемого сечения в жидкости, 
называемая геометрической высотой, величина р/(g ρ) называется пьезометрической высотой, то их сумма называется гидростатическим напором. Нст =  р/(g 
ρ)  + z.  Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называются 
поверхностями равного уровня. 
В зависимости от способа отсчета различают абсолютное раб, избыточное 
(манометрическое) рм и вакуумметрическое рв давление, между которыми существуют следующие зависимости: 
 
рм = раб - рат;     рв = рат - раб;     рв = - рм. 
 
где рат — атмосферное давление. 
 
2.4. Абсолютное и относительное равновесие жидкостей и газов 
 
При определении силы гидростатического давления, как правило, оперируют манометрическим давлением или вакуумом, так как атмосферное давление действует на рассчитываемую конструкцию со всех сторон, и поэтому его 
можно не принимать во внимание. При определении силы гидростатического 
давления используется понятие — пьезометрическая плоскость или плоскость 
атмосферного давления — горизонтальная плоскость, проходящая через уровень жидкости в пьезометре, присоединенном к сосуду. Поверхность жидкости 
на уровне пьезометрической плоскости подвергается лишь воздействию атмосферного давления. 
Сила давления на плоскую поверхность выражается формулой: 
 
F = рс А, 
 
где рс — гидростатическое давление в центре тяжести плоской фигуры; А 
— площадь фигуры. 
Равнодействующая силы давления жидкости на криволинейную поверхность обычно выражается тремя взаимно перпендикулярными составляющими: 
Fx, Fy, Fz. Горизонтальные составляющие Fx и Fy вычисляются как силы давления на плоскую поверхность, равную проекции данной криволинейной поверхности на соответствующую вертикальную плоскость. Для определения вертикальной составляющей Fz строят тело давления. При этом криволинейная поверхность проектируется вертикально на пьезометрическую плоскость. Телом 

давления называется тело, с одного конца ограниченное криволинейной поверхностью, с другого — пьезометрической плоскостью, а с боковых сторон — 
вертикальной проектирующей поверхностью. Сила Fz равна весу жидкости, за-
нимающей объем V тела давления 
 
Fz = ρ g V. 
 
Покой жидкости относительно стенок сосуда, движущегося вместе с жидкостью, называется относительным ее покоем или равновесием. При этом отдельные частицы жидкости не смещаются одна относительно другой, и вся 
масса жидкости движется как одно твердое тело. В данном случае к силе тяжести добавляется еще одна сила – сила инерции. При вращении жидкости вместе 
с цилиндрическим сосудом радиуса R относительно его вертикальной оси симметрии с постоянной угловой скоростью ω ее поверхность под действием центробежных сил принимает форму параболоида вращения, высота Н которого 
определяется по формуле: 
 
Н = ω2 R2 /(2g). 
 
3.Основы кинематики жидкости и газа 
 
3.1. Основные понятия и методы 
 
Методы Лагранжа и Эйлера. Уравнение неразрывности. Уравнение движения идеальной жидкости.  Вихревые и безвихревые движения жидкости. Теорема Коши–Гельмгольца. Компоненты вихря и скорости деформации. Интегрирование уравнения движения идеальной жидкости. Плоское двумерное движение идеальной жидкости. Теорема Жуковского о подъемной силе. Уравнение 
момента количества движения. Уравнение энергии. 
Движение жидкости определяется скоростями движения частиц в отдельных точках потока жидкости, давлениями, а также общей формой потока. При 
этом величины, характеризующие движение жидкости, могут изменяться во 
времени, являясь также функцией времени t. В связи с этим различают два вида 
движения:  установившееся; неустановившееся. В одномерном случае поток 
жидкости, скорость движения частицы u и давление р которого являются 
функциями координат пространства и времени 
)
,
,
,
(
t
z
y
x
f
u =
)
,
,
,
(
t
z
y
x
p
ϕ
=
 называется неустановившимся. При установившемся потоке скорость и давление р 
во всех точках пространства с течением времени остаются постоянными. 
Pазличают напорное и безнапорное движение. Напорное движение это движение жидкости без свободной поверхности, таким образом, жидкость полностью 
заполняет все поперечное сечение, ограничиваемое стенками трубы. Движение, 
когда поток имеет свободную поверхность, называется безнапорным. 
 

 

Уравнение неразрывности сплошной среды в интегральном виде отражает 
закон сохранения материи как закон сохранения массы  в пространстве:   

)
0
div
=
+

∫
δτ
ρ
ρ
V
dt
d

W


. 

Привлекая формулы векторного анализа, можно переписать уравнение 
неразрывности в декартовой системе координат в виде: 

(
)
(
)
(
)
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
w
z
v
y
u
x
t
ρ
ρ
ρ
ρ
. 

Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости Эйлера:  

x
p
X
dt
dux
∂
∂
−
=
ρ
1

z
p
Z
dt
du
y
p
Y
dt

du

z

y

∂
∂
−
=

∂
∂
−
=

ρ

ρ

1

1

 

В случае сжимаемой жидкости (газа) плотность 
ρ  вычисляется из 
уравнения состояния. Полная производная по времени в левых частях 
уравнений в проекциях на оси декартовых координат может быть раскрыта так: 
 

x
p
X
z
u
u
у

u
u
х
u
u
t
u
dt
du
z
z
у
у
x
x
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ρ
1
 , 

y
p
Y
z
u
u
у

u
u
х
u
u
t

u

dt

du
z
z
у
у
x
x
y
y
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
+
∂

∂
=
ρ
1
 , 

z
p
Z
z
u
u
у

u
u
х
u
u
t
u
dt
du
z
z
у
у
x
x
z
z
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ρ
1
 . 

Для решения уравнений Эйлера задаются граничные и начальные условия. 

 
3.2. Плоское двухмерное движение идеальной жидкости 
 
Решение уравнений движения жидкости в частных производных 
представляет 
значительные 
математические 
трудности. 
Баротропной 
называется жидкость, плотность которой зависит только от давления 
( )
р
ρ
ρ =
. 
Бароклинной называется жидкость, плотность которой зависит от температуры 
и давления. Весьма продуктивным оказалось предположение об отсутствии  в 
потоке завихренности. Существование безвихревого движения определяется 
двумя теоремами.