Министерство образования и науки Российской федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




            В.А. ЖМУДЬ



МОДЕЛИРОВАНИЕ, ИССЛЕДОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ



Монография













НОВОСИБИРСК
2012

УДК 681.515/516 (075.8) Ж 774







Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. А.С. Востриков, д-р техн. наук, проф. HP. Рахимов







     Жмудь В.А.
Ж 774   Моделирование, исследование и оптимизация замкнутых
     систем автоматического управления : монография / В.А. Жмудь. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. - 335 с.


         ISBN 978-5-7782-2162-8


           Монография предназначена студентам, аспирантам, научным сотрудникам и преподавателям, осуществляющим расчет, реализацию, модификацию или применение систем автоматического регулирования, а также исследования по теории и практике таких систем. Рекомендуется для расширенного изучения теории управления студентам очного и заочного отделений, обучающимся по направлению подготовки 220200.62 «Автоматизация и управление», дисциплине «Автоматизированное проектирование систем автоматического управления» (бакалавр, IV курс).
           Монография содержит описание методики и результаты исследований, а также необходимые пояснения и учебные материалы.

          Работа выполнена по заданию Министерства образования и науки РФ, проект № 7.559.2011 (Темплан).



УДК 681.515/516 (075.8)



ISBN 978-5-7782-2162-8

                   © Жмудь В.А., 2012
© Новосибирский государственный

технический университет, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ


1. Ведение в предмет и задачи исследования.......................
     1.1. Предмет: замкнутые динамические системы управления.....
     1.2. Основные требования к системе и математический аппарат.
     1.3. Требования к физической реализуемости модели...........
     1.4. Классификация направлений развития методов синтеза САУ....
     1.5. Адаптивные регуляторы и перспективы развития этого подхода.
     1.6. Самонастраивающиеся регуляторы.........................
1.7. Робастные регуляторы...............................
     1.8. Преимущество цифровых регуляторов......................
     1.9. Два вида задач численной оптимизации регулятора........
    1.10. Обоснование постановки задач...........................
2. Визуальное моделирование разомкнутых структур.................
    2.1. Окно программы VisSim...................................
    2.2. Настройки параметров симуляции и оптимизации............
    2.3. Выбор шага дискретизации по времени.....................
    2.4. Выбор метода интегрирования.............................
    2.5. Настройки параметров симуляции и оптимизации............
    2.6. Моделирование отклика линейного звена...................
    2.7. Моделирование отклика нелинейных звеньев................
    2.8. Получение графиков на осях А-Y..........................
3. Визуальное моделирование замкнутых структур...................
    3.1. Моделирование замкнутой линейной системы................
    3.2. Моделирование замкнутой нелинейной системы..............
4. Оптимизация замкнутых структур................................
    4.1. Требования к физической реализуемости модели............
    4.2. Формализация требований к системе: целевая функция......
    4.3. Обзор методов оптимизации...............................
    4.4. Недостатки известных методов применительно к задаче оптимизации параметров регулятора.............................
    4.5. Особенности целевых функций при оптимизации регуляторов ...
    4.6. Рекомендуемые целевые функции (критерии качества) для оптимизации замкнутой системы...............................

..7
..7
13
15
16
18
19
20
20
22
24
27
27
32
34
35
37
38
41
42
45
45
53
59
59
60
61

70
71

I-

I-

75

ОГЛАВЛЕНИЕ

    4.7. Синтетические критерии оптимальности...................78
    4.8. Оптимизация ансамбля систем............................81
    4.9. Автоматическая оптимизация регуляторов замкнутых систем.82
   4.10. Оптимизация нелинейных ПИД-регуляторов.................93
5. Обсуждение структур регуляторов и методов их расчета.........99

   5.1. Совмещение достоинств разных датчиков....................99
   5.2. Обеспечение разделения мод переходного процесса по различным трактам «регулятор-объект»...............................107
   5.3. Обоснованность сопоставления структур регуляторов.......111
   5.4. Обоснованность модели для оптимизации регулятора........113
6. Обеспечение корректности моделирования.......................117
   6.1. Основные требования к корректности моделирования........117
   6.2. Корректность вычисления интегрального критерия..........123
   6.3. Обеспечение корректности вычисления старших производных в цифровом регуляторе........................................126
   6.4. Применение составных интегральных критериев для оптимизации регуляторов линейных объектов............................132
   6.5. Формализации задач оптимизации САУ применительно к использованию составных критериев..............................139
   6.6. Сходимость алгоритмов оптимизации.......................144
7. Применение обводного канала в САУ............................153
   7.1. Структурная схема обводного канала......................153
   7.2. Сопоставление обводного тракта с упредителем Смита......158
   7.3. Управление нелинейными объектами размерностью 2^1.......166

8. Методы одномерной оптимизации..............................171
   8.1. Прямые методы отыскания экстремума....................171
   8.2. Итеративный поиск.....................................172
   8.3. Метод Монте-Карло.....................................173
   8.4. Дихотомическое деление отрезка........................174
   8.5. Метод чисел Фибоначчи.................................178
   8.6. Метод золотого сечения................................179

9. Методы многопараметрической оптимизации......................183

   9.1. Случайный поиск......................................183
   9.2. Метод исключения касательными........................184
   9.3. Градиентный метод....................................184
   9.4. Метод Ньютона........................................185
   9.5. Метод секущих........................................186
   9.6. Метод покоординатного спуска.........................186
   9.7. Метод Розенброка.....................................188
   9.8. Метод Хука-Дживса....................................189

9.9. Метод Нелдера-Мида (деформируемого многогранника)....190
   9.10. Метод Флетчера-Ривса (сопряженных градиентов)........190
   9.11. Метод Девидона-Флетчера-Пауэлла (переменной метрики).190
   9.12. Метод локальной оптимизации..........................191
10. Эволюционные методы.......................................193
   10.1. Введение в эволюционные методы.......................193
   10.2. Генетический алгоритм................................194
   10.3. Простой генетический алгоритм........................195
   10.4. Преимущества генетических алгоритмов.................201
   10.5. Пример с транспьютерными технологиями................202
   10.6. Генетический метод комбинирования эвристик...........206
   10.7. Применение генетического алгоритма для селекции критерия оптимальности С АУ..........................................207

11. Исследование методов оптимизации ПИ-регулятора..............219
   11.1. Модельное исследование методов........................219
   11.2. Пример реализации разработанного ускоренного алгоритма
       оптимизации ПИД-регуляторов..............................225
12. Анализ метода проектирования робастного регулятора методом двойной итеративной параллельной численной оптимизации.........229
   12.1. Постановка задачи.....................................229
   12.2. Метод решения поставленной задачи.....................230
   12.3. Выбор программных средств.............................232
   12.4. Результаты оптимизации по двум параллельным системам
       с двумя изменяющимися параметрами.......................233
   12.5. Расширение вариантов сочетания параметров.............236
   12.6. Детальное исследование и дальнейшая оптимизация.......242
13. Проектирование робастных регуляторов методом численной оптимизации их параметров для ансамбля систем......................249
   13.1. Постановка задачи.....................................249
   13.2. Метод решения поставленной задачи.....................251
   13.3. Результаты оптимизации................................252
14. Проектирование кусочно-адаптивных систем методом робастной оптимизации....................................................259

   14.1. Постановка задачи и методы ее решения..................259
   14.2. Пример разбиения множества параметров объекта на подмножества .......................................................261
   14.3. Идентификация принадлежности модели объекта к заданному подмножеству..................................................262
   14.4. Пример практического применения метода.................263

ОГЛАВЛЕНИЕ

15. Проектирование дискретно-адаптивной системы квантованием двумерной области параметров объекта..............................271
   15.1. Постановка задачи и методы ее решения.................271
   15.2. Демонстрация метода на примере........................272
16. Расчет множества коэффициентов регуляторов для объекта с двумя нестационарными параметрами.................................279
   16.1. Постановка задачи и методы ее решения.................279
   16.2. Расчет краевых значений...............................280
   16.3. Интерполяция и проверка...............................281
   16.4. Вторая интерполяция и проверка........................285
17. Усовершенствование качественных характеристик систем управления при использовании ПИ²Д²-регулятора.........................290

   17.1. Постановка задачи и методы ее решения.................290
   17.2. Формирование ПИХДр-регулятора в рациональной форме.....291
   17.3. Демонстрационный пример...............................293
   17.4. Исследование характеристик системы с ПИ²Д²-регулятором.296
18. Обоснование размещения корней уравнения системы............299
   18.1 Постановка задачи и метод исследования.................299
   18.2 . Результаты исследования..............................300
19. Оптимизация регуляторов для многосвязных объектов..........306
   19.1. Расчет ПИ-регулятора для многосвязного объекта первого порядка .....................................................306
   19.2. Расчет ПИ-регулятора методом оптимизации...............308
   19.3. Обводной канал для САУ многоканальных объектов........310
   19.4. Исследование влияния изменения параметров объекта на качество получаемых многоканальных систем......................316
20. Улучшение статических свойств САУ..........................322
   20.1. Формулирование требований к НЧ-части АЧХ..............322
   20.2. Синтез НЧ-части АЧХ...................................323
   20.3. Анализ погрешности САУ................................325
   20.4. Исследование причин погрешностей САУ с целью повышения точности...................................................328

21. Библиографический список

330

        1.  ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

        1.1. Предмет: замкнутые динамические системы управления

   Предметом настоящей работы являются замкнутые системы автоматического управления. Цель работы - развитие методов оптимизации САУ. Задачи работы - описание разработанных методик моделирования, исследования и оптимизации таких систем.
   Современные технологические процессы немыслимы без систем автоматического управления (САУ), обеспечивающих стабилизацию множества важнейших характеристик этих процессов или управление ими по предписанным технологией правилам.
   Достижение достаточной точности управления этими величинами обеспечивается лишь в контуре с отрицательной обратной связью. В случае зависимости многих выходных величин от многих входных величин объект управления называют многомерным или многосвязным, и для реализации управляющей системы, стабилизирующей выходные величины такого объекта, необходимо применение специальных методов, учитывающих эти связи. Эти вопросы решает теория автоматического управления многомерными (многосвязными) динамическими объектами. Теория автоматического управления достаточно сильно развита для задач управления линейными стационарными объектами, но с ростом количества переменных объекта и (или) с ростом порядка уравнений, описывающих отдельные связи между сигналами, аналитическое решение этой задачи становится крайне затруднительным даже с учетом развития современных вычислительных методов и средств. Эти проблемы усугубляются и при необходимости учета нелинейных элементов или трансцендентных звеньев, таких, например, как звено запаздывания. В этом случае более успешным оказывается применение численных методов, основанных на моделирова

1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

нии таких систем. Моделирование позволяет осуществить выбор, имитационную реализацию и испытание регулятора, но без теоретически обоснованной и практически подтвержденной методики эти возможности не могут быть реализованы достаточно эффективно. Таким образом, актуальна разработка, развитие и обоснование методов и методик численного расчета регуляторов для многомерных объектов, содержащих звенья высокого порядка, нелинейные и трансцендентные элементы. Также актуально испытание этих методов для решения задач синтеза регуляторов для непрерывных технологических процессов с объектами, характеризующимися отмеченными особенностями.
   Как правило, объекты управления в промышленных технологических линиях характеризуются существенным запаздыванием, которым нельзя пренебречь даже в сравнении с инерционностью минимальнофазовой части передаточной функции. Также велико влияние нелинейности характеристик объекта. Наряду с наличием перекрестных связей, это требует рассмотрения объектов как многосвязных и нелинейных одновременно. Для описания линейных многосвязных объектов применяют матричные передаточные функции, тогда как нелинейные объекты описывают структурами с такими передаточными функциями, дополненными соответствующими нелинейными характеристиками, не имеющими собственных инерционных свойств (то есть зависимости выходных сигналов от их временных характеристик). По этой методике можно описать и смоделировать многосвязные нелинейные объекты, но применять аналитическое описание для решения этой задачи затруднительно, поскольку модель объекта содержит звенья, описываемые в различных формах представления. В частности, линейные модели наилучшим образом описываются в операторной области (преобразований Лапласа) или в форме дифференциальных уравнений, а нелинейные модели предпочтительно описывать в форме реальных сигналов (а не их изображений по Лапласу).
   Исследованию методов управления такими объектами посвящены работы многих отечественных и зарубежных ученых [1-31].
   В частности, разработаны методы управления многоканальными объектами по старшей производной вектора состояния, создан метод анализа и синтеза адаптивных систем на основе принципа локализации, успешно применяются методы разделения движений и некоторые другие методы и методики. Случаи линейных объектов рассмотрены и

1.1. Предмет: замкнутые динамические системы управления

9

изучены достаточно глубоко. Как правило, решение задачи синтеза регулятора в этом случае осуществляется аналитически, преимущественно рассмотрением в пространстве состояний объекта. Для объектов, содержащих запаздывание и (или) нелинейность, аналитические методы применять не всегда удается в связи с резким возрастанием сложности задачи. Проблемы управления многосвязными объектами высокого порядка, чья матричная передаточная функция имеет большую размерность и при этом содержит элементами звенья высокого порядка, а также объектами, содержащими нелинейные или трансцендентные звенья, чрезвычайно сложны. Чаще всего они не могут быть решены аналитически, так как их решение известными методами чрезвычайно затруднительно или требуемый вычислительный или временной ресурс делает их неразрешимыми с помощью известных методов. Применение различных упрощений задачи приводит к тому, что или получаемое решение далеко от желаемого, или отклонение теоретических результатов от практических реализаций недопустимо велико.
   Имитационное моделирование и численная оптимизация все шире применяются вследствие развития математических методов и специальных программ, а также в связи с ростом производительности вычислительной техники. Эти методы позволяют отыскать приемлемые решения для наиболее простых примеров указанного класса задач, хотя универсальной методики решения этих задач пока не существует. Применение наиболее эффективных программ для моделирования и численной оптимизации позволяет существенно продвинуться на пути решения все более сложных задач из этой области. Однако для этих целей необходимы методики применения этих программ для указанных задач: отсутствие практических методик и теоретических обоснований для них приводит к необоснованному сдерживанию распространения численных методов оптимизации САУ.
   В связи с этим актуальна разработка теоретических основ методов и практических методик для синтеза регуляторов, позволяющих осуществлять качественное управление многосвязными объектами, содержащими элементы запаздывания, нелинейности и другие указанные выше особенности, не позволяющие применять аппарат управления линейными многосвязными объектами.
   Замкнутые динамические системы автоматического управления (САУ) нужны практически во всех отраслях науки, техники и про

1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

мышленности. Они обеспечивают стабилизацию или изменение по требуемому закону важнейших характеристик, что позволяет осуществлять технологические или исследовательские операции, управлять транспортом, роботами, химическими, биохимическими и физическими процессами.
   Достижение требуемой точности управления этими величинами обеспечивается лишь в контуре с отрицательной обратной связью [1-31].
   В любых САУ можно выделить: а) модулирующий элемент; б) анализирующее устройство; в) электрическую часть, включающую преобразователи сигналов, исполнительные звенья и регулятор. Регулятор предназначен для обеспечения устойчивости замкнутой системы и требуемой статической и динамической точности. Динамические свойства регулятора целиком задаются разработчиком, в отличие от динамических свойств остальных элементов системы, которые, как правило, заданы условиями их реализации и не могут быть произвольно изменены. Регулятор призван скорректировать либо дополнить динамические и статические свойства остальных элементов для получения высокого качества системы в целом. Проектирование и расчет регулятора относится к задачам высокой сложности, поскольку требует знания модели объекта и всех остальных элементов системы, глубокого знания теории автоматического управления и специальных глав прикладной математики. Аналитический расчет регуляторов трудоемок даже для случая линейных одноканальных объектов. Для более сложных объектов он порой просто неосуществим. Поэтому применяют приближенные методы, численные методы или другие упрощенные методики [1-31]. С развитием вычислительной техники и программ для моделирования и оптимизации появилась возможность более успешного и простого решения этих задач.
   Настоящее пособие посвящено методам автоматизированного проектирования регуляторов с помощью программы VisSim 5.0 и ее более поздних модификаций.
   Принцип стабилизирующего действия отрицательной обратной связи с большим коэффициентом широко известен [1-31]. Обратная связь отрицательна, когда возникающее в контуре возмущение стабилизируемой величины (отклонение от равновесного состояния) порождает возникновение в контуре воздействий, которые в точке его поро

1.1. Предмет: замкнутые динамические системы управления

11

ждения действуют в направлении, противоположном действию этого возмущения. Например, уменьшение температуры объекта в системе термостабилизации независимо от мешающих внешних факторов должно породить такое действие регулятора, которое приведет к повышению температуры объекта. За счет свойств обратной связи это повышение будет в точности таким, какое необходимо для сохранения температуры такой, какой она должна быть, если бы этого мешающего уменьшения не было. Если, наоборот, в силу внешних причин температура повысится, то действие обратной связи вызовет компенсационное охлаждение и температура в итоге останется такой, какой предписывает управляющий сигнал.
   Однако выполнения только этого принципа отрицательной обратной связи недостаточно для эффективного действия регулятора. При определенных соотношениях быстродействия и усиления отдельных элементов системы может возникнуть явление неустойчивости системы. Оно заключается в том, что даже самое малое отклонение от равновесного состояния порождает действие, которое увеличивает это отклонение, т. е. система ведет себя как система с положительной обратной связью. Вследствие задержек распространения сигналов в контуре управления и в объекте отрицательная обратная связь в некотором частотном диапазоне действительно может стать положительной, поскольку фазовый сдвиг на 180° при передаче гармонического сигнала эквивалентен изменению знака этого сигнала. Таким образом, система, содержащая в контуре последовательно соединенные регулятор и объект, должна иметь вполне определенные амплитудно-частотные характеристики, чтобы обеспечить не только требуемый коэффициент усиления (отвечающий за глубину подавления помех), но и устойчивость, а также необходимый ее запас. Поскольку свойства объекта заданы и разработчик системы не может их изменить, регулятор должен быть рассчитан на основе этих свойств таким образом, чтобы обеспечить устойчивость, точность и требуемое быстродействие.
   Следовательно, необходимо знать математическую модель объекта и владеть методами расчета на этой основе регуляторов. Для получения математической модели объекта используют, как правило, процедуры его исследования, состоящие из формирования тестовых воздействий, изучения откликов объекта на эти воздействия и отыскания по этим данным модели математической объекта. Этими вопросами зани

1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

мается одна из технических наук, называемая идентификацией объектов уп/)авления (ИОУ).
    Если математическая модель объекта известна, то на ее основе с учетом требований к системе осуществляется расчет (проектирование, синтез, оптимизация) регулятора. Эти вопросы решает теория автоматического управления (ТАУ), которая достаточно хорошо развита для задач управления линейными стационарными объектами, но с ростом порядка дифференциальных уравнений, описывающих отдельные связи между сигналами, аналитическое решение этой задачи становится крайне затруднительным даже с учетом развития современных вычислительных методов и средств. Эти проблемы усугубляются и при необходимости учета нелинейных элементов или трансцендентных звеньев, таких, например, как звено запаздывания. В этом случае более успешным оказывается применение численных методов, основанных на моделировании таких систем. Моделирование позволяет осуществить выбор, имитационную реализацию и испытание регулятора, но без теоретически обоснованной и практически подтвержденной методики эти возможности не могут быть реализованы достаточно эффективно.
    Осуществленная разработка, развитие и обоснование методов и методик численного расчета регуляторов для большинства практических объектов, содержащих звенья высокого порядка, нелинейные и трансцендентные элементы, позволяют эффективно использовать программу VisSim [32-34] для расчета регуляторов, обеспечивающих требуемые устойчивость и точность [35-39]. Некоторые положения этой методики излагаются в настоящем пособии.
    Для описания линейных объектов применяют передаточные функции, тогда как нелинейные объекты описывают структурами с передаточными функциями, дополненными соответствующими нелинейными характеристиками, не имеющими собственных инерционных свойств (то есть зависимости выходных сигналов от их временных характеристик). По этой методике можно описать и смоделировать нелинейные объекты, но применять аналитическое описание для решения этой задачи затруднительно, поскольку модель объекта содержит звенья, описываемые в различных формах представления. В частности, линейные модели наилучшим образом описываются в операторной области (преобразований Лапласа) или в форме дифференциальных уравнений, а нелинейные предпочтительно описывать в форме реальных сигналов (а не их изображений по Лапласу).

1.2. Основные требования к системе и математический аппарат

13


        1.2. Основные требования к системе и математический аппарат

   Зависимость требований к регулятору от требований к системе неоднозначна, изучению этой зависимости для различных классов объектов посвящены разные разделы теории автоматического управления.
   Наиболее показательной характеристикой замкнутых динамических линейных систем является амплитудно-частотная характеристика условно разомкнутого контура, включающего все элементы системы, но для полноты описания требуется также амплитудно-фазовая характеристика этого контура. Условно все элементы, частотные свойства которых не могут изменяться произвольно, относят к объекту, что позволяет рассматривать систему как последовательно соединенные в петлю регулятор и объект.
   Для линейных систем наиболее эффективен аппарат частотных комплексных характеристик или связанный с ними аппарат преобразований Лапласа. Аргументом преобразования Лапласа является комплексный параметр s, а для частотных характеристик применяется его мнимая часть, т. е. частота. Типичная структурная схема замкнутой системы управления показана на рис. 1.1, где в прямоугольниках записаны частотные характеристики отдельных звеньев, а также применены типовые обозначения сигналов в системе.



Рис. 1.1. Расчетная структурная схема САУ

    А именно: у(t) - выходная величина объекта; v(t) - предписанное значение выходной величины; и(t) - управляющий сигнал, подаваемый регулятором на объект; h(t) - возмущение, действующее на объект,

1. ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

приведенное к единицам выходной величины; х(t) - состояние объекта, т. е. такое значение его выходной величины, которое было бы при отсутствии возмущения; е(t) - ошибка управления; п(t) - шум измерения выходной величины; z(t) - результат измерения выходной величины; q(t) - выходной сигнал датчика величины у(t). Кроме того, применяется традиционная замена строчных букв на прописные при замене функций времени на их операторное преобразование, например, V(.v) - преобразование от сигнала v(t). Отметим, что преобразование Лапласа от константы есть 1/s. Поскольку, как правило, сами операторные значения входных, выходных и промежуточных сигналов не используются для вычислений, а используются лишь их отношения, т. е. передаточные функции, то сложилась практика использования модифицированного преобразования, а именно Лапласа-Карсона, которое получается умножением на s, вследствие чего образ константы есть также константа. На значения передаточных функций это не влияет, поэтому мы будем использовать терминологию преобразований Лапласа.
    Структурная схема рис. 1.1 - графическое отображение взаимосвязей сигналов, которое может быть заменено следующей системой уравнений:
Е(s) = V(s) - Q(s); U(s) = Wi(s)E(s); X(s) = W₂(s)U(s);
Y(s) = X(s) + H(s); Z(s) = Y(s) + N(s); Q (s) = W,(s) Z(s).
    При решении этой системы относительно любой из величин внутри контура (например, зависимость У от V, N и H) в результате неизбежно появляется рациональная дробь от передаточных функций (читателям предлагается сделать соответствующий вывод самостоятельно).
    Если же знаменатель этой дроби 1 + W₁(s) W₂(s) W;(s) обращается в ноль, то вся дробь обращается в бесконечную величину. Это означает, что любые сколь угодно малые входные сигналы вызывают сколь угодно большие выходные сигналы, а с учетом поправки на физическую реализуемость это означает, что система вместо того, чтобы находиться в равновесном состоянии, движется к максимально возможному отклонению от него или совершает колебательные движения с максимально достижимой амплитудой.
    Для предотвращения этой ситуации как раз и требуется регулятор, расчету которого посвящено данное пособие.