Теория и практика решения задач по алгебре. Часть 1

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский педагогический государственный университет»

Г. В. Шеина

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ 
ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ

Часть 1

Учебное пособие

МПГУ
Москва • 2014

УДК 512
ББК 22.14я73
 
Ш395

Рецензенты:
А. А. Фомин, доктор физико-математических наук, профессор кафедры 
алгебры, Московский педагогический государственный университет
А. В. Жмулева, кандидат педагогических наук, профессор кафедры 
теории чисел, Московский педагогический государственный университет

 
Шеина, Галина Валентиновна.
Ш395  
Теория и практика решения задач по алгебре. Часть 1 : Учебное 
пособие / Г. В. Шеина. – Москва : МПГУ, 2014. – 100 с.

 
 
ISBN 978-5-4263-0158-0

 
 
Учебное пособие  подготовлено на кафедре алгебры МПГУ и адресовано 
студентам  математических факультетов педвузов. В нем рассматриваются не 
только необходимые  теоретические основы  начальных глав курса алгебры, 
но и приводится большое количество задач разного уровня сложности для 
того, чтобы их можно было использовать и школьному учителю, работающему, например, в классах с углубленным изучением математики или ведущему 
факультативные занятия.  Ответы и указания к решению задач помогут читателю в его самостоятельной работе.
УДК 512 
ББК 22.14я73

ISBN 978-5-4263-0158-0 
© МПГУ, 2014
 
© Шеина Г. В., 2014

Оглавление 

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 5 

ГЛАВА 1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА ................................................................ 7 

Вавилонская задача .............................................................................................. 8 

Метод математической индукции ................................................................... 10 
Разновидности метода математической индукции ..................................... 13 
Неверные рассуждения ..................................................................................... 13 
Доказательство с ошибкой .............................................................................. 14 
Доказательство неравенств по индукции ....................................................... 15 
Неравенства: среднее арифметическое и среднее геометрическое ........... 17 

Упражнения .......................................................................................................... 19 

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ................................................................. 23 

Делимость натуральных чисел ........................................................................ 23 

Свойства делимости натуральных чисел ....................................................... 24 

Делимость целых чисел ..................................................................................... 25 

Деление натуральных чисел с остатком ......................................................... 27 

Деление целых чисел с остатком ..................................................................... 29 

Наибольший общий делитель натуральных чисел ...................................... 30 

Алгоритм Евклида .............................................................................................. 32 

Линейное выражение Н.О.Д. двух чисел через исходные числа ............... 33 

Взаимно простые числа ..................................................................................... 35 

Основная теорема арифметики ........................................................................ 37 

Решение задач на делимость ............................................................................. 39 

Упражнения .......................................................................................................... 44 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ .................................................................. 46 

ГЛАВА 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА............................................................ 49

Понятие комплексного числа ........................................................................... 49 

Переход к алгебраической форме записи комплексного числа ................ 52 

Существование  и единственность комплексного  числа, обратного к  
данному .................................................................................................................. 54 

Вычисление корней в алгебраической форме ............................................... 55 

Радиус-вектор комплексного числа.  Геометрическая интерпретация 
сложения ............................................................................................................... 59 

Модуль и аргумент комплексного числа ....................................................... 60 

Применение комплексных чисел в геометрии .............................................. 64 

Умножение  и деление комплексных чисел в  тригонометрической форме
 ................................................................................................................................. 67 

Возведение в  натуральную степень. Формула Муавра .............................. 68 

Вычисление корней в тригонометрической форме ..................................... 68 

Корни из единицы. Кубические корни из произвольного числа .............. 70 

Геометрическое изображение корней ............................................................. 72 

Применение комплексных чисел в тригонометрии ..................................... 73 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ .................................................................. 75 

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ 
СТЕПЕНИ ............................................................................................................. 82 

Решение кубических уравнений ....................................................................... 82 

Частный случай. Кратные корни .................................................................... 85 

Сведение полного уравнения к трехчленному уравнению ......................... 86 

Кубические уравнения с действительными коэффициентами .................. 87 

Уравнения четвертой степени. Метод Феррари ........................................... 92 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ..................... 96 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ............................................................. 99 

Чтобы научить другого, требуется 
больше ума, чем чтобы научиться 
самому.  

М. Монтень 

Введение 

Обучение студентов педагогов-математиков включает в себя изучение курса 
алгебры.  Изучение математики в вузе  отличается от изучения  математики в 
школе тем, что большинство утверждений и теорем, используемых при решении задач, доказываются. Часто это оказывается непреодолимым препятствием для начинающих  студентов. Поэтому  мы начинаем с объяснения 
необходимости доказательств  и подробно разбираем доказательства, появляющиеся уже в самом начале при обсуждении свойств натуральных чисел. 
Кроме того, мы приводим разнообразные примеры, для того чтобы изучающий мог прочувствовать, как именно  и для каких задач применяется тот или 
иной метод доказательств или алгоритм счета. Мы приводим также ошибочные доказательства и анализируем ошибки и их причины в доказательствах, 
имеющихся в математической литературе. 

Отметим, что в наше время, по крайней мере, среди студентов-педагогов, но, 
к сожалению, и не только среди них, господствует мнение, что едва научившись чему-нибудь, человек может учить другого человека. Однако в более 
ранние времена развития человеческой цивилизации люди знали, что для того, чтобы из ученика  превратиться в Учителя, необходимо проделать большой путь. Об этом свидетельствует и эпиграф М. Монтеня, приведенный в 
начале работы. Мне неоднократно доводилось слышать мнение, что все, чему 
учат в вузе, в частности в курсе алгебры, не нужно школьному учителю. К 
такому выводу студенты приходили, наблюдая работу своего собственного 
учителя и исходя из собственного опыта изучения математики в школе.  Хотелось бы отметить, что ученик знает далеко не все о работе учителя, часть 
работы школьного учителя остается скрытой от его учеников.  Например, 
учителю приходится решать задачи повышенной сложности на олимпиадах. 
Хороший школьный учитель должен быстро ориентироваться в вопросах, задаваемых учениками, среди которых могут оказаться и ученики, способности 
которых сравнимы, а иногда и превосходят способности самого учителя. 
Кроме того, при проверке домашних работ более квалифицированный учи

тель быстрее и качественнее будет видеть, находить и исправлять ошибки 
своих учеников. 

В первой главе мы обращаемся к числам, с которыми ребенок сталкивается 
уже до того, как приходит в школу, то есть к натуральным числам. Подробно 
останавливаемся  на методе доказательства по индукции. Во  второй главе 
мы рассматриваем теорию делимости для натуральных чисел.  

Третья глава посвящена комплексным числам. В ней подробно рассматривается запись комплексного числа в алгебраической и  тригонометрической 
форме, а также действия с числами, заданными в тригонометрической форме. 
Приводятся примеры применения комплексных чисел для вычисления тригонометрических выражений и решения геометрических задач. 

В четвертой главе мы обращаемся к  уравнениям третьей и четвертой степени 
и приводим более проработанные формулы для вычисления корней уравнения в различных частных случаях. В случае кратных корней, например, формулы вычисления корней могут быть очень просто выражены  через коэффициенты уравнения: если , то корни уравнения в случае, когда 

, можно записать так: . 

Первая и вторая главы имеют в своем составе раздел  «Упражнения», в котором мы приводим  примеры задач разного уровня сложности для того, чтобы 
их можно было использовать и школьному учителю, работающему, например, в классах с углубленным изучением математики или ведущему  факультативные занятия. Для обеспечения самостоятельных и контрольных работ, в 
том числе и  работ, выполняемых дома,  приводятся индивидуальные задания 
для студентов.  
 

Глава 1. Натуральные числа 

Первыми числами, с которыми ребенок встречается в своей жизни, являются 

натуральные числа. К натуральным числам относятся числа . Сначала 

научаются складывать и вычитать, затем умножать и  делить натуральные 

числа. Отметим, что операции сложения и умножения выполнимы для любых 

натуральных чисел, а операции вычитания и деления можно   выполнить не 

всегда.  Разность не  является натуральным числом. Этот факт может 

служить источником ошибок в рассуждениях, связанных с натуральными 

числами, когда мы используем, например, число , невольно считая, что 

оно натуральное. Это, конечно, верно, но только для натуральных чисел , 

начиная с трех.  

Число 6 можно разделить на 3 и получить частное 2, являющееся натураль
ным числом, но нельзя подобрать натуральное число так, чтобы  выполня
лось равенство , или, по-другому, число 6 нельзя разделить (нацело) 

на число 4. Поэтому вопросы делимости занимают особое место при изуче
нии натуральных (и целых) чисел и обсуждаются в разделе «Теория делимо
сти». 

Множество всех натуральных чисел мы будем обозначать символом 

или . 

При доказательстве различных теорем, касающихся натуральных чисел, мы 

часто будем пользоваться методом доказательства, который называется ме
тодом математической индукции. Он позволяет доказывать разнообразные 

утверждения, справедливые для всех натуральных чисел. Первой рассматри
ваемой нами задачей, где возникает такая необходимость, будет задача, ре
шать которую умели в древнем Вавилоне.  Назовем эту задачу Вавилонской 

задачей. 

Вавилонская задача 

 

Рассмотрим задачу нахождения суммы квадратов последовательных нату
ральных чисел, то есть попытаемся угадать формулу для нахождения числа   

.  

В древнем Вавилоне для этого пользовались приведенным ниже рисунком. 

На  этом рисунке в верхней части имеется три квадрата серого цвета со сто
ронами, равными 1, 2 и 3.  Их общая площадь равна числу  . 

 

 

В прямоугольнике высотой 7 единиц и шириной 6 единиц располагаются три 

фигуры, имеющие одинаковую площадь, а именно площадь, равную . Таким образом, . 

Задача. Нарисуйте похожую фигуру  для суммы и 

убедитесь, что снова получится три одинаковых по площади фигуры, причем 

на этот раз равенство примет вид: 

 
.  

Возникает гипотеза, что в общем случае ответ будет формироваться похожим 

образом, то есть справедливо равенство . 

Учтем, что мы умеем вычислять сумму арифметической прогрессии 

. Она равна  
, и мы получаем равенство 

/ 
/ 

/ 
/ 

/ 
/ 
/ 

/ 
/ 
/ 

/ 
/ 

9

 
.  

Выразим  из этого равенства: . 

Мы могли бы считать после этого задачу полностью решенной, если бы не 

следующее обстоятельство.  В истории математики  неоднократно случалось 

так, что рассуждая подобным образом, математики приходили к неверным 

утверждениям. Приведем несколько примеров. 

Математик Д.А. Граве предположил, что числа вида , где – 

простое число, являются простыми.  Он проверил свою гипотезу для 

простых чисел не превосходящих тысячу.   Однако для простого числа 

число не является простым, оно делится на число 

.  

Другая гипотеза: число вида является простым. Если мы 

будем подставлять числа от 1 до 39 включительно, мы будем все время 

получать простые числа. Однако гипотеза все же неверна. Для  числа 

мы получим составное число  

, делящееся на 41. 

Таким образом, мы не можем  гарантировать верность какого-либо утвер
ждения, касающегося бесконечного множества простых чисел, наблюдая 

справедливость этого утверждения для большого числа частных случаев. 

Возникает необходимость привести рассуждение (доказательство), которое 

гарантировало бы нас от подобного рода ошибок. 

Таким рассуждением является метод доказательства по индукции (метод ма
тематической индукции). Само слово индукция происходит от латинского 

слова inductio — наведение — форма мысли, в которой осуществляется пере
ход от частного знания к более общему.  

В логике так называют  умозаключение, позволяющее из наличия какого

либо признака у части предметов данного класса делать вывод о присутствии 

этого признака у всех его предметов. 

Метод математической индукции 

Интуитивно ясно, что  любое множество натуральных чисел может содер
жать сколь угодно большие натуральные  числа, однако в любом таком мно
жестве найдется самое маленькое (по-другому, наименьшее) натуральное 

число. Этот факт позволяет доказывать утверждения, справедливые для всех 

натуральных чисел следующим образом. 

Пусть требуется доказать,  что утверждение  верно для любого нату
рального числа. Мы утверждаем, что можно доказывать это следующим об
разом. 

1. (База индукции.) Проверить, что верно утверждение . 

2. (Индукционный переход.)  Предположить, что  утверждение верно 

и  проверить, что верно утверждение  , где – любое нату
ральное число. 

Если доказаны 1 и 2, то утверждение верно для любого натурального 

числа . 

Последнее утверждение носит название «аксиома индукции». Что позволяет 

нам  считать, что аксиома индукции верна? Если изобразить натуральные 

числа на числовой прямой, то они образуют множество, для которого левее 

любой его точки есть лишь конечное число натуральных чисел. Отсюда вид
но, что в любом множестве натуральных чисел есть наименьшее число, то 

есть число, левее которого нет элементов данного множества. Приведем рас
суждение, которое позволяет  понять, почему метод доказательства, приве
денный выше, который называется методом математической индукции, ве
рен. 

Предположим, что утверждение верно не для любого натурального чис
ла . Тогда существует наименьшее число , для которого утверждение 

неверно. Число не может быть  равно единице, поскольку утвер
ждение верно. Поэтому число также натуральное.  Утверждение 

является верным, поскольку – наименьшее из натуральных чи
сел, для которых утверждение неверно. Но мы доказали (см. индукци
онный переход), что если верно, то верно. Полученное про
тиворечие показывает, что предполагаемого числа не существует. 

Проверим справедливость формулы вычисления числа для вавилонской 

задачи методом математической индукции. Итак, мы проверяем, что утвер
ждение : есть верное утверждение. 

1. (База индукции.) Если , то получаем верное равенство  

. 

2. (Индукционный переход.) Предположим, что  равенство 

 является верным. Проверим, что равенство  

также верно. Заметим, что левая часть последнего равенства  отличает
ся от левой части предыдущего равенства одним дополнительным сла
гаемым . Поэтому 

 .  

Преобразуем правую часть равенства:  

. 

 
 
 

Поскольку 

 
,  

получаем, что верно равенство 

 . 

Согласно методу математической индукции мы можем утверждать, что 

формула верна для всех натураль
ных чисел. 

Рассмотрим еще один пример. Докажем, что утверждение  

:  число  +5 делится на 3 

справедливо для любого натурального числа . (Факт делимости символиче
ски записывают так: +5 .) 

1.  (База индукции.) Проверим, что верно утверждение . Действи
тельно,  . Число 9 делится на 3, поэтому 

утверждение верно. 

2. (Индукционный переход.)  Предположим, что  утверждение вер
но, то есть +5 , и проверим, что  утверждениеверно, если 

– натуральное число, то есть докажем, что +5 . Действительно, 

+5.  

Сумма двух чисел, делящихся на 3, также делится на 3, и все доказано. 

Замечание. Проверку  базы индукции отбрасывать нельзя, иначе мы могли 

бы «доказать», что все натуральные числа равны между собой. Действитель
но, индукционный переход верен: предположив, что числа и равны, 

то есть , добавив единицу к правой и левой части равенства, мы по
лучили бы также верное равенство .