Геометрия и топология

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ГЕОМЕТРИЯ 
И ТОПОЛОГИЯ

Д. А. Примаков, Р. Я. Хамидуллин

УДК [514+515.1](075.8)
ББК 22.15я731
П76
Серия удостоена диплома в номинации «Лучший издательский проект»
на VI Общероссийском конкурсе учебных изданий
для высших учебных заведений «Университетская книга – 2008»

Печатается по решению
Ученого совета Московской финансовопромышленной академии

Ответственный редактор серии
доктор экономических наук, профессор Ю. Б. Рубин

Примаков Д. А., Хамидуллин Р. Я.
П76
Геометрия и топология : учеб. пособие / Д. А. Примаков,
Р. Я. Хамидуллин. — 2е изд., перераб. и доп. — М.: Московская
финансовопромышленная академия, 2011. — 272 с. (Университетская серия).
ISBN 9785902597131

Агентство CIP РГБ

В пособии представлены основные разделы курса «Геометрия и топология», необходимые для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин информационноэкономической направленности. Приведен
необходимый теоретический и практический материал для решения типичных
примеров.
Издание предназначено для студентов и слушателей всех форм обучения
с использованием дистанционных образовательных технологий, а также для
преподавателей высших учебных заведений.

УДК [514+515.1](075.8)
ББК 22.15я731

ISBN 9785902597131

© Примаков Д. А., 2011
© Хамидуллин Р. Я., 2011
© Московская финансовопромышленная
академия, 2011

1. ...................................................... 11 

2. ................................................................. 16 

3. ................................................  60 

4. ............................................ 111 

5. ............................................................................................. 158 

6. ................. 224 

1. 4

.................................................................................................................... 7 

1

1.1. . ........................................  11 
1.2. .............................................................................  13 

1.3. .........................................................  14 

2

2.1. .
       .........................................................................................  16 
2.2. ......................................................................  20 
2.3. ..................................................................................  30 
2.4. .
       .................................................................................................  33 
2.5. .......................................................  37 
2.6. .................................................................  39 
2.7. ...............................  44 
2.8. .......................................................  50 

2.9. ............................................................................................  54 
2.10. .......................................................  56 

3

3.1. .............................................  63 
3.2. ................................................................................  65 

3.3. ....................................................  68 
3.4. ....................................................................  69 
3.5. .
       ................................................  72 
3.6. ..................................................  74 

3.7. ........................................................................................  75 
3.8. .........................................................  77 

3.9. (, , ) ..............................  78 
3.10. ..................................................  92 
3.11. .............................................  99 

3.12. , ...................................................................  102 
3.13. .....................................................  108 

4

4.1. ...............................................  112 
4.2. .......................................................................  129 
4.3. .......................................................................  140 

4.4. , ......................................  150 
4.5. .......................................................  154 

5

5.1. , ................................................................................................  158 

5.2. , ......................................  187 
5.3. .......................................................  195 

1. 6

5.4. ..............................................................................  197 
5.5. .......................................................  222 

6

1 ..................................................................................  225 
1 .............................................  233 
2 ..................................................................................  243 
2 .............................................  252 
..................................................................................  260 

............................................................................................................  267 

7

Геометрия (греч. geometria, от ge – земля и metreo – мерю) — 
раздел математики, изучающий пространственные отношения и 
формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Термин геометрия буквально означает «землемерие». Так, древнегреческому ученому Евдему Родосскому (IV в. до н. э.) приписывается следующее высказывание: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие 
разлития Нила, постоянно смывавшего границы». 
Уже у древних греков геометрия означала математическую 
науку, в то время как для науки об измерении земли был введен 
термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, геометрия развилась не только из измерений 
земли, но и из измерений объемов и поверхностей при земляных 
и строительных работах и т. п. Первоначальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. 
Путем такого же отвлечения появилось понятие геометрического тела. Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех 
других свойств. При этом геометрия, как свойственно математике 
вообще, совершенно отвлекается от неопределенности и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые 
ею отношения и формы абсолютно точными и определенными.  
Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, например, в определениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка без всякого 

1. 8

протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие 
о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, 
поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. 
Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. 
Принципиальный шаг в геометрии был сделан Б. Риманом 
(лекция 1854 г., опубликована в 1867 г.) — он ясно сформулировал обобщенное понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений. Отсюда развилась риманова геометрия, нашедшая важные приложения в 
теории относительности, в механике и в других науках. 
В этот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения 
их частей и которые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, 
т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. 
Термин топология впервые ввел немецкий физик, математик 
и астроном И. Б. Листинг (1808–1882) в своей книге «Предварительные исследования по топологии», ставшей первой печатной 
работой нового направления геометрии. Развитие топологии в 
50–60х годах XIX в. было связано с именем Б. Римана (1826–
1886). Уже  в диссертации он изложил основные идеи, которые 
развил позднее. В своих сочинениях ученый заложил основу топологии многомерных поверхностей. В трудах А. Пуанкаре 
(1854–1912) топология определилась уже как самостоятельная 
дисциплина со своими общими понятиями, задачами и методами. Благодаря работам Пуанкаре, а также Д. Гильберта (1862–
1943) и других ученых XX в., сыгравших существенную роль в 
развитии топологии и аксиоматики, геометрические методы проникли во многие области современной математики и естествознания. 

9

В настоящее время предметом геометрии и топологии являются любые формы и отношения, которые в абстрактном плане 
сходны с пространственными. Кроме того, развитие геометрии и 
топологии обусловлено прогрессом компьютерной техники и 
технологий, необходимостью создания средств обработки и передачи информации в различных областях хозяйственной деятельности человеческого общества. Отсюда и вытекают основные задачи данного учебного пособия. 
Цель учебного пособия – помочь изучающим дисциплину 
«Геометрия и топология» осмыслить математические теории и 
приобрести навыки ее применения для решения различных прикладных задач в экономике, планировании и управлении производством, в финансовой и коммерческой деятельности. 
Особенностью настоящей книги является ее строгое соответствие программам математической подготовки специалистов инженерноэкономических специальностей, специальностей в области менеджмента, бизнеса, информационных технологий, статистики и юриспруденции. 
Пособие содержит шесть глав. Главы 1–4 посвящены традиционному разделу геометрии – аналитической. Глава 5 вводит 
студента в области высшей геометрии – дифференциальную геометрию и топологию. Все главы тесно взаимосвязаны, поэтому 
при проработке материалов курса целесообразно начинать изучение с первых глав. 
Последняя шестая глава является, по сути дела, сборником 
задач и упражнений, которые можно использовать в аудитории на 
практических и семинарских занятиях, а также при самостоятельной работе студентов (подготовка к лекциям, практикам, выполнение индивидуальных, экзаменационных или тестовых заданий). Приведены 30 вариантов контрольных индивидуальных заданий 1 и 2. Индивидуальное задание 1 содержит задачи по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Индивидуальное задание 2 – задачи по дифференциальной геометрии. Алгоритм выбора варианта остается за преподавателем. Также при1. 10 

ведены образцы выполнения контрольных индивидуальных работ 
1 и 2. В конце главы 6 расположены примеры тестовых заданий, 
которые используются во время комплексных экзаменационных 
мероприятий академии. 
 

11

1

. 1.1. . Одна из главных особенностей метода аналитической геометрии заключается в употреблении чисел для определения положения геометрических образов. Числа, определяющие положение геометрических образов, называются их координатами. 
Ограничимся пока рассмотрением точек, расположенных на одной 
прямой линии. Чтобы можно было определить положение точек на этой 
прямой, установим на ней систему координат следующим образом: 
1)
выберем начало координат, т. е. точку O  (рис. 1.1), по отношению к которой определяется положение остальных точек; 
2)
выберем единицу длины 
(
)
e
PQ  для измерения расстояния 
рассматриваемой точки от начала координат; 
3)
выберем положительное направление на прямой, что позволит 
различать отрезки прямой не только по их абсолютной величине, но и 
по знаку: отрезок считается положительным или отрицательным в зависимости от того, совпадает ли направление от начальной его точки к 
конечной с положительным направлением прямой или с направлением 
противоположным. 

 
. 1.1. , , O
M

P
Q

e

1. 12 

После того как система координат на прямой установлена, каждой 
точке M  этой прямой соответствует одноединственное число, характеризующее ее положение, — одна координата 
OM
x
PQ . Абсолютная величина x  — это расстояние точки M  от начала координат, измеренное 
данной единицей длины, а знак указывает, по какую сторону от начала 
координат расположена точка. 
Обратно, каждому числу соответствует однаединственная точка на 
прямой. 
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Этим соответствием 
можно воспользоваться для графического изображения изменения какойлибо переменной величины. Пусть, например, переменная x  принимает последовательно значения, равные членам геометрической прогрессии: 

1
1
,
,1, 2 , 4 ,...
4
2
 

Эти значения переменной отобразятся на прямой точками: 

1
2
3
4
5
1
1
,
,
1 ,
2 ,
4 , ...
4
2
A
A
A
A
A
(рис. 1.2). Таким образом, 

переменная величина изменяется скачками, и каждый раз она получает 
приращение, вдвое большее предыдущего. 

. 1.2. Если изменить начало координат, направление на прямой или единицу длины, то соответствие между точками прямой и числами будет 
уже иное, — каждая точка получит новую координату. 
Пусть две точки A  и B  заданы своими координатами 
1x  и 
2x , расстояние между ними вычисляется по формуле: 
 
2
1
AB
x
x ,                                                (1.1) 

 
т. е. длина отрезка равна разности координат его концов, причем из координаты конечной точки надо вычесть координату начала. 

O A 1
A 5
A 4
A 2
A 3

e

Если на прямой заданы две точки A  и B  своими координатами 
1x  и 

2x , то всякая третья точка C  с координатой x  делит отрезок AB  в некотором определенном отношении AC
CB , т. е. 

 

1

2

x
x
x
x
.                                                     (1.2) 

 
Эта величина принимает положительные или отрицательные значения в зависимости от того, лежит делящая точка C  внутри или вне отрезка 
.
AB  
Если, наоборот, дано отношение , то координата соответствующей 
делящей точки C  определяется формулой: 

 

1
2 .
1
x
x
x
(1.3) 

 
В частности, когда 1 и 
,
AC
CB  имеем: 

 

1
2 ,
2
x
x
x
 

 
т. е. координата середины отрезка равна полусумме координат его концов. 
 
 
1.2. Если перенести начало координат в точку 
( )
O a , то между старой 
координатой ( x ) любой точки прямой и новой координатой ( x ) той же 
точки существует соотношение: 
 
x
x
a . 

 
Если за положительное направление на прямой принять направление, противоположное первоначальному, то координаты всех точек изменят знак, не меняя своей абсолютной величины: 
 
x
x . 

1.2. 1. 14 

Если выбрать новую единицу длины e
P Q , то координаты одной 
и той же точки будут обратно пропорциональны соответствующим единицам, т. е. 

e
x
x
e
. 

 
 
1.3. 1.1. :

A(+2), B(–3,5),  C(–3/2),  D(+
3 ), E(–0,(6)…), F(
5 –1).

1.2. , :

) 5
2
2
1
3
4
3;
3
7
2
x
x
x
)
2
4
0;
x )
2
6
0;
x
x
)
3
2
4
3
0;
x
x
x
)
2
4
4
0;
x
x
)
2
6
0.
x
x
1.3. , , t :

x
vt
c
,

v  – ; c  – .

5 , 3
7
x
t
. , .

1.4. , A(+4) :
a) ;

) B(–2);
) C(+5).

1.5. : A(+9), B(+5), C(–3), D(–8) M(x). , :
) ;
) ;
) , :
5:2
e e
.

1.6. A(+6), B(+2), C(0), D(–2), E(–7) M(x) , :
) O1 (+4);
) O2 (–3)? 

1.7. , A(+8) 1
x
?

1.8. , A(+2) , , , .

1.9. (–3) (4,5). :
) 5 : 3;  
) 2 : 5;  
) 1 : 4,5. 

1.10. : (–2), (+2), (+3). , .

 

1.3. 2. 16 

2

. . 2.1. .
Положение точки на плоскости определяется проще всего по отношению к так называемой прямоугольной декартовой системе координат. 
Установим ее следующим образом: 
1) выберем две взаимно перпендикулярные прямые — две оси координат: ось 
,
X  или ось абсцисс, и ось 
,
Y  или ось ординат; точка их пересечения O  называется началом координат (рис. 2.1); 
2) на каждой оси координат выберем положительное направление; 
3) для каждой оси выберем единицу длины, для обеих осей взята одна и та же единица 
e
PQ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 2.1. Y

X

P
Q
e

O
A

B

M

Положение точки M  относительно выбранной системы координат 

определяется двумя координатами: абсциссой 
BM
OA
x
PQ
PQ  и ординатой 
AM
OB
y
PQ
PQ . Абсцисса x дает расстояние точки M  от оси ординат, причем знак указывает, находится точка M  вправо или влево от 
нее. Ордината y  равна расстоянию точки M  от оси абсцисс, и знак ее 
указывает, находится точка кверху или книзу от оси абсцисс. На рис. 2.1 
точка M  имеет координаты: 
3,
1
x
y
. Это обозначается так: 

( 3,
1)
M
, или 
(3,1)
M
. 

 
Если заданы значения двух координат, то можно построить однуединственную точку, имеющую эти координаты.  
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и парами чисел ( ,x y ). Этим можно воспользоваться для графического изображения одновременного изменения двух 
величин, для наглядного изображения зависимости между ними. 
Если даны две точки своими координатами 
1
1
(
,
)
A x y
 и 
2
2
(
,
)
B x
y
, то 
расстояние между ними вычисляется по формуле: 
 

2
2
2
1
2
1
AB
x
x
y
y
,                                (2.1) 

 
т. е. длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разностей одноименных координат его концов (рис. 2.2). 
В частности, расстояние от начала координат до точки 
( , )
M x y  определяется по формуле: 
 

2
2 .
OM
x
y
 
 
Угол ,образованный отрезком AB  с положительным направлением оси 
,
OX  определяется через координаты концов отрезка следующим 
образом: 
 

tg
2
1

2
1

y
y
x
x
.                                                  (2.2) 

2.1. . 2. 18 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 2.2. AB Теперь рассмотрим положение точки M  в пространстве. Ее положение можно определить по отношению к прямоугольной системе координат, состоящей из трех взаимно перпендикулярных осей координат 
(X, Y, Z), пересекающихся в одной точке (начало координат O ), и трех 
плоскостей, попарно их соединяющих (координатные плоскости). На 
каждой оси выбираются положительное направление и единица длины. 
Положение точки в пространстве (рис. 2.3) определяется тремя числами — ее координатами. Это: 
 

абсцисса                          
,
NM
AO
x
e
e
 

 

ордината                         
PM
OB
y
e
e
, 

 

аппликата                   
QM
OC
z
e
e . 

 
Каждая из них определяет расстояние от точки M  до одной из 
плоскостей координат, а знак указывает, по какую сторону от этой 
плоскости расположена точка, а именно: взята ли она в сторону положительного или отрицательного направления третьей оси (не лежащей в 
соответствующей координатной плоскости). 

Y

X
O

A

B

1
2
x
x
1
2
y
y 19

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 2.3. Расстояние от начала координат до некоторой точки M  называется радиусомвектором этой точки: 
 

2
2
2
x
y
z .                                             (2.3) 
 
Координаты точки суть проекции ее радиусавектора на оси координат: 
cos ,
cos ,
cos
x
y
z
,                              (2.4) 
 
где , ,
 — углы между радиусомвектором и положительным направлением трех осей координат. 
 
Если даны две точки своими координатами 
1
1
1
(
,
,
)
A x y z
 и 

2
2
2
(
,
,
)
B x
y z
, то расстояние между ними вычисляется по формуле: 
 

2
2
2
2
1
2
1
2
1
AB
x
x
y
y
z
z
 .                         (2.5) 

Y

X

Z

P

C
N
M

B
A

O

Q

e

2.1. . 2. 20 

Направление отрезка AB  характеризуется углами , ,
, которые 
он образует с положительными направлениями осей координат. Если 
направление двух непараллельных прямых дано углами ( , ,
) и 
(
,
,
), то угол между ними определяется по формуле: 
 
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
.                  (2.6) 

 
Отсюда условие перпендикулярности данных прямых запишется в 
виде: 
 
cos
cos
cos
cos
cos
cos
0
.                   (2.7) 
 
 
2.2. Все величины подразделяются на скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются своим численным значением. К таковым 
относятся: площадь плоской фигуры, масса тела, объем тела, работа силы и т. д.  
К векторным относятся величины, численное значение которых характеризует их не полностью. Для полной их характеристики необходимо задать направление действия этой величины. Например, если требуется найти место расположения автомобиля, выехавшего из г. M  со скоростью 60 км/ч через 3 ч, то, очевидно, задача является неопределенной, 
так как не указано, в каком направлении двигался автомобиль. 
В данной задаче величина (скорость) задана своим численным значением (60 км/ч), но не указано направление скорости. 
 
Определение. Величины, характеризующиеся не только своим численным значением, но и направлением, называются векторными. 
 
Векторы подразделяются на связанные, скользящие и свободные. 
Определения указанных векторов тесно связаны с определением их равенства. Например, если вектор равен только самому себе и не существует в природе вектора, ему равного, то такой вектор называется связанным. Например, вектор силы, действующей на аморфное тело (например, парафин), является связанным. 
Рассмотрим вектор силы, действующей на твердое тело. Из курса 
физики известно, что точку приложения такой силы можно перемещать 

AB

CD
C
D

B

A

вдоль линии действия вектора, т. е. вектор, лежащий на одной прямой  
с заданным вектором, имеющий такие же величину и направление, как 
первоначальный, равен ему. Такие векторы называются скользящими. 
Если равенство векторов определяется лишь по двум условиям: равенство их численных значений и совпадение направлений, то такие 
векторы называются свободными. 
Пусть задан произвольный вектор с его началом (точка приложения), направлением, численным значением (длина вектора, или модуль 
вектора) (рис. 2.4). 
Возьмем произвольную точку пространства. 
В этой точке построим вектор, одинаково направленный с заданным вектором, по модулю (по 
длине) равный ему. По определению равенства 
свободных векторов построенный нами вектор 
равен заданному. Отсюда вытекает, что заданный 
вектор можно переносить параллельно самому 
себе в любую точку пространства. Поэтому он 
называется свободным. 
Простейшим примером свободного вектора является вектор скорости тела. Каждая точка тела движется в одном и том же направлении  
с одной и той же скоростью. Для изображения вектора скорости тела, 
очевидно, безразлично, какую точку тела взять за начало вектора скорости этого тела.  
К свободным векторам также относятся: сила тяжести, давление, ускорение движущегося тела, напряженность электрического поля и т. д. 
В данном пособии будем рассматривать только свободные векторы. 
Векторы обозначаются либо строчными 
латинскими буквами со стрелочкой над ними 
– 
, , ,
a b c  либо двумя прописными буквами 

со стрелкой над ними – 
,
.
AB CD  Направление вектора определяется начальной буквой 
A  и конечной буквой B : вектор направлен 
от A  к B  (рис. 2.5). Длина вектора (или модуль вектора) обозначается а  или 

АВ . 

 
 
Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на 
параллельных прямых.  

ab
c. 2.4. –  
. 2.5. 2.2. 2. 22 

ab
cКоллинеарные векторы бывают либо сонаправленными (одинаково направлены), либо противоположно направленными. 
Так как любая прямая 
параллельна самой себе, 
векторы, лежащие на одной 
прямой, также коллинеарные. На рис. 2.6 векторы 
, ,
a c d  сонаправленные, а 

векторы a  и 
b  — противоположно направленные. 
Сонаправленные векторы обозначаются , а противоположно направленные — . 
 
Определение. Коллинеарные векторы называются противоположными, 
если они равны по модулю и противоположны по направлению.  
 
На рис. 2.6 векторы 
b  и c  противоположные. 
 
Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат 
на параллельных плоскостях.  
 
Так как плоскость параллельна самой себе, то по определению векторы, лежащие в одной плоскости, компланарные. На рис. 2.7 векторы 
, ,
a b c  компланарные. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

. 2.6. . 2.7. ad
ecb
23

Определение. Под произведением вектора а  на действительное число 
k  понимается коллинеарный вектор, по модулю равный произведению 

k
a  и одинаково направленный с вектором а , если 
0
k
, и противоположно направленный, если 
0
k
.  
 
На рис. 2.8 а по заданному вектору 
а  построены векторы  
3 а , –2 а . Пусть нами выбрана единица измерения длины отрезка. Длина вектора (модуль вектора, численное значение вектора) в выбранной 
единице обозначается а . 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Определение. Вектор, коллинеарный с вектором а , по модулю равный 
выбранной единице измерения и одинаково с ним направленный, называется 
единичным вектором вектора а . 
 
Единичный вектор вектора а  обозначается 0
a . По определению 
а =1. 

Из определения умножения вектора а  на действительное число k  
следует, что а =
а
0
a  (рис. 2.8 б). 

Особое место занимает вектор, модуль которого равен нулю. Он называется нульвектором и обозначается 
0 . Нульвектор не имеет определенного направления. Обычно нульвектор отождествляют с числом 
0. Поэтому если имеются векторные равенства, правая (или левая) часть 
которых равна нулю, то всегда подразумевается, что числу 0 отождествляется нульвектор. 

aa3
a2
0

a)

0
1

0
aa)

. 2.8. 2.2. 2. 24 

Из определения произведения вектора на число следует, что вектор, 
противоположный вектору а , можно представить в виде произведения 
числа –1 на вектор а , т. е. получим – а . 
 
Произведение вектора на действительное число имеет следующие свойства:  
1) (
)
(
)
a
a ; 
2) (
) a
a
a ; 

3) если векторы а  и 
b  коллинеарные, то найдется такое действительное число , что 
.
a
b
Доказательство этих свойств основано на определении произведения вектора на действительное число.  
Для доказательства первого свойства надо показать, что векторы 
справа и слева в равенстве 1 равны, т. е. они одинаково направлены и 
имеют равные модули. Вектор левой части равенства 1 
(
)
a
имеет 

модуль, равный a . Вектор правой части равенства 1 (
) a  

имеет модуль, равный a . Так как , то первое условие 

равенства 1 выполнено. 
Вектор ( ) a  имеет направление, совпадающее с направлением 
вектора (
) a , так как по определению произведения вектора на действительное число оба вектора имеют направление, совпадающее с направлением вектора 
k a , где 
k
. 
Действительно, если 0  (
0,
0;
0,
0
), то вектор 
(
) a  имеет направление вектора а ; вектор a  имеет направление 
вектора а  при 0  и направление, противоположное вектору а , при 
0 . Из 0  вытекает, что и 0 . Следовательно, вектор (
)
a  
имеет направление, совпадающее с направлением вектора а  при 0  
по условию. Но и 0 , поэтому вектор (
)
a  опять имеет направление вектора а , так как при умножении вектора последовательно дважды 
на отрицательное число направление вектора остается неизменным. 
По аналогии доказывается справедливость равенства 1 при 
0 .  
Доказательство второго свойства будет приведено ниже после определения суммы векторов. 

Докажем третье свойство. 
По условию векторы a  и 
b  коллинеарные. Это означает, что они 
либо сонаправленные, либо противоположно направленные. 
Пусть векторы a  и 
b  сонаправленные. В этом случае остается доказать, что можно подобрать такое положительное число , что модуль 
вектора a  будет равен модулю вектора b . Для этого достаточно за 

величину принять a

b . 

 
Действительно, при выбранном значении модуль вектора b  
будет равен: 

a
b
b
b
a
b
. 

 
Если векторы a  и 
b  противоположно направлены, то, очевидно, 

надо принять a

b . 

Для доказательства второго свойства необходимо дать определения 
сложения и вычитания векторов. 
Пусть даны два вектора a  и 
b . Приведем эти векторы к общему началу. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм 
(рис. 2.9). 

. 2.9. ab

A

B
C

D

aab
b
a+b
2.2. 2. 26 

ab
a+b
Определение. Под суммой векторов a  и 
b  понимается вектор 
AC , 
выходящий из их общего начала и по длине равный диагонали параллелограмма ABCD . 
 
Сумма векторов a  и 
b  обозначается как 
a
b . Такое определение 
суммы векторов называется правилом параллелограмма сложения векторов. 
Заметим, что по определению равенства двух векторов b
DC
. Таким образом, 

a
AD
. 
Следовательно, 
AC
AD
DC
. 
Отсюда находим новое правило сложения 
векторов — правило треугольника. Для сложения двух векторов a  и 
b  надо к концу 
вектора a  приложить вектор 

b . Вектор, 
идущий из начала вектора a  в конец вектора 
b , и будет суммой этих векторов  
(рис. 2.10). 
Из определения суммы векторов вытекает свойство 
0
a
a , где 
0  — нульвектор. 
 
Определение. Под разностью векторов a  и 

b  (записывается 
a
b ) 
понимается третий вектор c , который в сумме с вычитаемым вектором 
b  равен уменьшаемому вектору a , т. е. 
a
b
c , если 
a
c
b . 
 
Для отыскания вектора разности двух 
векторов 
a  и 
b  возьмем произвольную 
точку O  плоскости и приложим в этой 
точке векторы a  и 
b  (рис. 2.11). Вектор, 
идущий из конца вектора 
b  в конец вектора 
a , является разностью векторов a  и 

b . 
Построим векторы a  и 
b  на сторонах 
параллелограмма ABCD . Заметим, что в 
параллелограмме ABCD  векторы, совпада. 2.10. ab
O
A

B

b
ab
a

. 2.11. ab
27

ющие с диагоналями параллелограмма, равны соответственно сумме и 
разности векторов a  и 
b  (рис. 2.12):  
 
              
,
AC
a
b
.
BD
a
b  
 
Правило треугольника сложения 
векторов можно распространить и на 
сумму любого конечного числа векторов, если воспользоваться основными 
свойствами сложения векторов: 
 
1) 
a
b
b
a ; 
 
2) 
(
)
(
)
a
b
c
a
b
c ; 
 
3) (
)
a
b
a
b ; 

 
 
 
Для 
доказательства 
свойства 
1 
рассмотрим 
параллелограмм  

ABCD  (рис. 2.13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2. A

B
C

D

aab
b
a+b
. 2.12. ab
. 2.13. ABCD,
ab
A

B
C

D
ab
4) 
(
)
0
a
a
; 
 
5) 
(
)
a
b
a
b . 

2. 28 

AC
a
b  (из треугольника ADC); 
AC
b
a  (из треугольника 
ABC). Отсюда 
a
b
b
a . 
Для доказательства свойства 2 рассмотрим четырехугольник ABCD  
(рис. 2.14). 
По правилу треугольника сложения векторов имеем:  
(
)
;(
)
a
b
c
AB
BD
AD
a
b
c
AC
CD
AD , ч. т. д. 
Для доказательства свойства 3 рассмотрим треугольники OAB  и 

1
1
OA B , где 
1
1
1
,
ОА
a А В
b , 
,
ОА
a АВ
b  (рис. 2.15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Треугольники OAB  и 
1
1
OA B  подобны. Из подобия треугольников имеем: 
1
(
)
ОВ
ОВ
a
b . С другой стороны, 
ОВ
ОА
АВ
a
b . 
Отсюда справедливо свойство 3. 
Для доказательства свойства 4 допустим, что 
(
)
a
a
b . Тогда согласно определению разности векторов имеем 
(
)
a
b
a . Так как по 
свойству 1 умножения вектора на скалярную величину имеем (
)
a
a , 

то последнее равенство будет иметь вид: 
a
b
a , а это возможно лишь 
только в том случае, когда 
0
b
, ч. т. д. 
Докажем свойство 5. Пусть 
a
b
c . Следуя определению разности 
векторов, имеем 
a
b
c . Правая часть равенства 5 может быть  

A

B
C

D

cab
O

A1

A

B1
B

ab
b
a

b
. 2.14. a, b
c. 2.15. ab
29

представлена в виде: 
(
)
(
)
a
b
b
b
c
c , так как по свойству 4 

(
)
0
b
b
, а 
0
c
c , ч. т. д. 
 
Перейдем к доказательству свойства 2 произведения вектора на число: 
(
)
k
l
a
k a
l a . 
Возьмем произвольную точку O  пространства. Проведем через эту 
точку прямую, параллельную вектору a  (рис. 2.16). 

 
 
 
Построим с началом в точке O  вектор 
k a
OA  и с началом в точке A  вектор l a
AB . Из определения умножения скалярной величины 
на вектор, имеем: 
(
)
OB
k
l
a . Согласно определению суммы векторов получаем: 
k a
l a
OB , ч. т. д. 
 
Рассмотрим несколько примеров. 
 
) 2
3
(2
3)
5
a
a
a
a
2 ;
)
4(
)
4
4
a
b
a
b
3 ;
) 5 12
60
a
a
1 ;

O

B

A
a
k a
l a
k
OA
a
l
AB
. 2.16. k l a2.2. 2. 30 

) 4(2
3 )
4[2
( 3 )]
4[2
( 3) ]
4 2
4( 3)

8
( 12)
8
12 ;

a
b
a
b
a
b
a
b

a
b
a
b


) 2(3
4
)
3(2
3 )
6
8
2
6
3
9

11
11
11(
) ;

a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c

b
c
c
b

) :
,
AB
c BC
a CA
b
ABC . ,
,
a b c
, :
,
,
AM
BN
CP
(. 2.17). 

. , ,
2
2
c
a
AP
PB
BM
MC
2
b
CN
NA
.

:
,
,
.
2
2
2
b
c
a
BN
a
CP
b
AM
c

 

2.3. Рассмотрим в пространстве произвольный вектор 
.
AB
усть OX  – 
числовая ось (рис. 2.18). Проведем через концы вектора 
AB  плоскости, 
перпендикулярные оси 
.
OX  Обозначим через 
1A  и 
1
B  точки пересечения плоскостей с осью 
.
OX  Точки 
1A  и 
1
B  называются проекциями  

. 2.17. ABC ,
a, b
cab
cA
C

B

M

N

P

31

точек A  и B  на ось 
.
OX  Пусть точки A  и B  имеют координаты 
1x  и 

2x  соответственно. 
 
Определение. Проекцией вектора 
AB  на ось OX  называется длина 
отрезка 
1
1
A B , взятая со знаком «плюс», если направление отрезка от 
1A  к 

1
B  совпадает с направлением оси 
,
OX  и со знаком «минус», если это направление противоположно направлению оси 
.
OX  
 
Из данного определения вытекает, что 
проекция вектора на ось OX  равна разности координат конца и начала вектора. 

 
 
Действительно, если направление проекции совпадает с направлением оси, то 
2
1
0
x
x
 и 
1
1
2
1
A B
x
x . Если направление проекции противоположно направлению оси 
,
OX  то проекция вектора 
AB  на 

ось OX  равна 1
1
A B . В этом случае 

1
2
0
x
x
 и 
1
1
1
2
A B
x
x . Следовательно, и в этом случае проекция 

вектора 
AB  на ось OX  равна: 1
1
1
2
2
1
(
)
A B
x
x
x
x . 

Проекция вектора 
AB  на ось OX  обозначается: Прох AB
. Проекция 
вектора a  на ось OX  обозначается: 
ха .  
По доказанному  
 
Прох
2
1
AB
x
x .                                                  (2.8) 
 
Проекция вектора на ось имеет следующие свойства: 
1) при умножении вектора на действительное число его проекция на 
произвольную ось умножается на это число: 
 
Прох (
)
k AB
k Прох
AB ; 

 
2) проекция суммы любого конечного числа векторов на какуюлибо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось:  
 
Прох
(
)
AB
BC
CD
Прох
АВ +Прох
BC +Прох CD . 

O
X

A
B

A1
B1

. 2.18. AB
1
1
AB 2.3. 2. 32 

O

B

C

B1
C1
A1

A

X

Для простоты и наглядности доказательства этих свойств рассмотрим случай, когда приведенные выше векторы одинаково направлены с 
осью OX  и действительное число k  положительно.  
Начнем с доказательства первого свойства (рис. 2.19). 
Так как 
0
k
, векторы 
AB  
и 
k AB  сонаправленные. Обозначим через 
AC  вектор 
k AB . 
Проекции начальных и конечных точек векторов обозначим 
соответственно 
1
1
1
,
,
A B C .  
По определению произведения 
вектора на действительное число имеем: 

АС
k
AB ,  или 


AC
k
AB
. 

 
 
По определению проекции вектора на ось отрезки прямых 

1
1
1
,
,
AA BB CC  параллельны. По теореме о пропорциональности отрезков, 
заключенных между параллельными прямыми, пересекающими стороны угла, имеем: 

1
1

1
1

АС
А С
k
А В
АВ
. 

Отсюда находим, что 
1
1
1
1
А С
k
A B  и вместе с этим равенством — 

доказательство свойства 1:  
Прох
1
1
(
)
k АВ
А С ; 

kПрох
1
1
1
1
АВ
k
A B
A C . 

 
Доказательство свойства 2 проведем при ограничении, что векторы сонаправлены с осью OX  и число векторов равно трем (рис. 2.20). Имеем:  
 
Прох
(
)
АВ
ВС
СD
1
1
А D =
1
1
1
1
1
1
А В
В С
С D
 

= Прох
АВ +Прох
ВС +Прох
СD , ч. т. д. 
 

. 2.19. , 33

Y

X
O

A

B

C

A1
B1

A2

B2

1

1
ijO

B
C

B1
C1
A1

A

X

D

D1

. 2.20.  2.4. .
Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости OXY . 
На осях координат с началом в точке O отложим единичные векторы 
,i
j  
на координатных осях (рис. 2.21). 
Пусть в системе координат задан 
вектор 

AB  координатами своих концов: 
1
1
(
,
)
A x
y
, 
2
2
(
,
)
B x
y
.  
Пусть 
1
1
2
2
,
,
,
A B
A
B  — проекции 

концов вектора 
AB  на координатные 
оси соответственно. По определению 
суммы и равенства векторов имеем: 
 

1
2
1
2
AB
AC
BC
A B
A B
 

 
1
1
2
2
A B
i
A B
j
 

 
Прох
АВ i +Проy
АВ j  

 
Таким образом, вектор 
AB  представлен в виде суммы двух векторов. Такое представление называется разложением вектора по ортам 
осей координат: 
 
AB
Прох
АВ i +Проy
АВ j .                                    (2.9) 

. 2.21.  AB
i
j

2.4. . 2. 34 

Исходя из выражения (2.8), разложение (2.9) представляется в виде: 
 
AB
2
1
2
1
(
)
(
)
х
х
i
у
у
j .                                 (2.10) 
 
Разложение вектора a  (
a
AB ) по ортам осей координат в принятых обозначениях записываем следующим образом: 
 
х
y
a
а
i
a
j .                                             (2.11) 

 
Если вектор 
AB  будет задан в пространственной системе координат 
OXYZ  с ортами осей координат 
, ,
i
j k  (рис. 2.22), то по аналогии получим: 
AB
Прох АВ i+Проy АВ j
+Проz
,
АВ k
(2.12) 
 
или  
х
y
z
a
а
i
a
j
а
k .                                             (2.13) 

 

A

B
z

x

y
ijk
)
,
,
(
1
1
1
z
y
x

)
,
,
(
2
2
2
z
y
x

. 2.22.  AB
i
, j
k
Заметим, что нульвектор можно разложить по любым векторам, в 
частности, по ортам осей координат, так как всегда справедливо равенство: 
0
0
0
0
i
j
k . 

 
Отсюда следует, что при равенстве вектора нулю проекции этого 
вектора на любую ось также равны нулю.