Вычислительная математика

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.19я73-1
П16

Серия удостоена диплома в номинации «Лучший издательский проект»
на IV Общероссийском конкурсе учебных изданий для высших учебных заведений
«Университетская книга — 2008»

Печатается по решению
Ученого совета Московского финансово-промышленного университета
«Синергия»

Ответственный редактор серии
член-корреспондент Российской академии образования,
доктор экономических наук, профессор Ю. Б. Рубин

Пантина И. В., Синчуков А. В.
П16
Вычислительная математика : учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Московский финансовопромышленный университет «Синергия», 2012. — 176 с. (Университетская серия).

ISBN 978-5-4257-0064-3

Агентство CIP РГБ

Учебник содержит классические разделы методов вычислений, традиционно включаемые в учебные курсы «Численные методы» и «Вычислительная
математика»: оценку погрешности вычислений, методы линейной алгебры,
задачи интерполирования, методы численного решения задач интегрирования
и дифференцирования, решения дифференциальных и нелинейных уравнений. Раздел по методам приближения сеточных функций дополнен механизмами геометрического построения гладких кривых.
Для студентов, обучающихся по специальностям «Математические методы в экономике», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Программное обеспечение вычислительной техники
автоматизированных систем», «Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям)», а также аспирантов и специалистов.

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.19я73-1

ISBN 978-5-4257-0064-3

© Пантина И. В., 2012
© Синчуков А. В., 2012
© Московский финансово-промышленный
университет «Синергия», 2012

КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Элементы теории погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 2. Решение нелинейных уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

Глава 3. Численные методы линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Глава 4. Численные методы теории приближений
. . . . . . . . . . . . . .
87

Глава 5. Интерполирование с кратными узлами и сплайны . . . . . . . . . .
119

Глава 6. Численное интегрирование функций одной переменной . . . . . . .
148

Глава 7. Численное решение дифференциальных уравнений . . . . . . . . .
161

Университетская серия

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

1.1. Источники и классификация погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел . . . . . . . .
10

1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел
. . . . .
13

1.4. Число верных знаков приближенного числа. Связь с абсолютной погрешностью
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

1.5. Погрешность арифметических действий
. . . . . . . . . . . . . . . . .
20

1.6. Общая формула теории погрешностей. Погрешность вычисления значения
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.7. Обратная задача теории погрешностей . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

Вопросы для самопроверки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

Глава 2

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Постановка задачи численного решения уравнений
. . . . . . . . . . .
42

2.2. Основные этапы отыскания решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

2.3. Метод деления отрезка пополам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

2.4. Метод простых итераций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

2.5. Метод Ньютона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

2.6. Метод секущих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

2.7. Метод ложного положения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Вопросы для самопроверки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

Университетская серия
5

Оглавление

Глава 3

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

3.1. Постановка задачи решения систем линейных алгебраических уравнений
64

3.2. Метод исключения Гаусса решения СЛАУ. Схема единственного деления
65

3.3. Метод исключения Гаусса решения СЛАУ с выбором главного элемента по
столбцу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

3.4. Вычисление определителя методом исключения Гаусса
. . . . . . . . .
70

3.5. Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса
. . . . . . .
71

3.6. Метод простых итераций Якоби решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . .
74

3.7. Метод Зейделя решения СЛАУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

Вопросы для самопроверки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

Глава 4

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ

4.1. Постановка задачи приближения функций
. . . . . . . . . . . . . . . .
87

4.2. Интерполяционный полином Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

4.3. Интерполяционная формула Ньютона для неравномерной сетки
. . . . .
95

4.4. Интерполяционная формула Ньютона для равномерной сетки
. . . . . .
101

4.5. Обратное интерполирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

4.6. Численное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109

4.7. Метод интерполяции отыскания собственных значений матрицы
. . . . .
112

Вопросы для самопроверки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115

Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116

Глава 5

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ С КРАТНЫМИ УЗЛАМИ И СПЛАЙНЫ

5.1. Разделенные разности с кратными узлами . . . . . . . . . . . . . . . .
119

Оглавление

5.2. Интерполяционный полином Эрмита
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
5.3. Интерполирование сплайнами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
5.4. Кривые Безье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
5.5. B-сплайновые кривые
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
Вопросы для самопроверки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146

Глава 6

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

6.1. Постановка задачи численного интегрирования
. . . . . . . . . . . . .
148
6.2. Метод прямоугольников
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
6.3. Метод трапеций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
6.4. Метод Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
6.5. Правило Рунге практической оценки погрешности
. . . . . . . . . . . .
156
Вопросы для самопроверки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159

Глава 7

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

7.1. Постановка задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
7.2. Метод Эйлера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163
7.3. Модифицированные методы Эйлера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
7.4. Метод Рунге—Кутта
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
Вопросы для самопроверки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175

ВВЕДЕНИЕ

Применение вычислительной техники в инженерных и экономических расчетах, графическом проектировании и дизайне связано с необходимостью численного решения широкого спектра задач. В разных областях практической деятельности требуется решать математические
задачи, для которых классические методы либо неприменимы, либо приводят к такому алгоритму, который труднореализуем на практике.
В общем виде процесс получения численного решения можно описать следующими этапами:
1. Содержательная постановка задачи. Вне зависимости от предметной области проблему, требующую разрешения, формулируют в содержательных терминах. Определяют входную и выходную информацию.
2. Построение математической модели. Осуществляют подбор математической модели, адекватной поставленной задаче. Сформулированную на 1-м этапе задачу записывают с использованием уравнений, неравенств, аппроксимационных формул.
3. Выбор метода решения задачи. В зависимости от сложности математической модели и существования аналитического решения используют
аналитические или численные методы. Кроме того, выбор метода решения зависит от требований к точности результата и имеющихся вычислительных ресурсов.
Аналитические методы обеспечивают точное решение, как правило,
непрерывное, однако, они могут использоваться для ограниченного числа задач. Численные методы позволяют приближенно решать задачи и приводят к частным дискретным решениям. Разработка и анализ численных
методов решения прикладных математических задач составляют предмет
вычислительной математики.
4. Разработка программного обеспечения, включая составление алгоритма. Метод решения задачи реализуется программными средствами. На
этом этапе производится переход от математического метода к последовательности выполнения арифметических и логических операций. Здесь же
осуществляют непосредственное написание программного кода.
5. Решение задачи. Вычисления и расчеты проводят с использованием разработанного программного обеспечения и оценивают адекватность полученных оценок. Анализ полученного решения может привести к тому, что любой из описанных выше этапов будет пересмотрен и будут внесены необходимые изменения.

Университетская серия
7

Поскольку численные методы обеспечивают приближенное решение, то качество этого решения зависит от ряда таких факторов, как обусловленность задачи, устойчивость и сходимость метода, погрешность,
а также таких параметров, как количество итераций и количество узлов
разбиения.
Хорошо обусловленной является задача, у которой незначительное
изменение входных данных приводит к незначительному изменению результата.
Устойчивость метода подразумевает наличие хорошо обусловленной
задачи с ограниченной погрешностью округления.
Сходимость метода необходима для того, чтобы при увеличении числа итераций или узлов сетки результат вычислений стремился к точному
решению.
Анализ каждого из этих факторов является составной частью конкретного численного метода.
Методы численного решения задач не являются обособленной областью знаний. Эффективность их использования зависит не только от
качества самих методов, поэтому их освоение чрезвычайно важно как для
программистов и разработчиков программного обеспечения, так и для специалистов, работающих в прикладных областях экономики, физики, инженерии, графики.

Введение

Глава 1

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Источники и классификация погрешностей
Точные и приближенные числа. Правила округления чисел
Математические характеристики точности приближенных чисел
Число верных знаков приближенного числа. Связь с абсолютной погрешностью
Погрешность арифметических действий
Общая формула теории погрешностей. Погрешность вычисления значения функции
Обратная задача теории погрешностей

1.1. Источники и классификация погрешностей

Под погрешностями понимают отклонения или расхождения между
приближенными и точными числовыми значениями.
Существуют четыре источника погрешности:

математическая модель;
исходные данные;
приближенный метод;
округления при вычислениях.
Математическая модель, используя уравнения и неравенства, упрощает
описываемый объект, что вносит погрешность в конечный результат.
Исходные данные, полученные в результате экспериментов, измеряют
с некоторой степенью точности, определяемой измерительными приборами, что также порождает погрешность.
При решении отдельных задач, как правило, используют приближенные операторы. Например, вместо интеграла используют сумму или
разность вместо производной. Подобные замены вносят искажения
в итоговые значения. Некоторые методы позволяют найти точное решение лишь после бесконечного числа итераций. Поскольку бесконечные вычисления практически нецелесообразны, прерывание вычислений после конечного числа шагов приводит к погрешности.
Округления являются неотъемлемой частью любых вычислений. Использование иррациональных чисел e или
и других всегда связано с округлением. Представление числа в компьютере вследствие ограниченности разрядов для хранения данных также приводит к округлению и, как
следствие, возникновению погрешности.

Университетская серия
9

В целом у погрешностей есть одно свойство: при вычислениях они
накапливаются, порождая новые погрешности.
Различают 3 вида погрешностей:

метода решения;
округления;
неустранимые.
Погрешности первых двух видов можно уменьшить, используя большее количество итераций или разрядов при округлении.
К неустранимым относят погрешности математической модели и исходных данных. Эти погрешности не зависят от человека, выполняющего вычисления.

1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел

В расчетах и вычислениях используют числа двух видов: точные
и приближенные. Точные числа, как правило, получаются в результате
натурального счета.
Приближенные — это числа, незначительно отличающиеся от точных
и используемые в вычислениях вместо них. Приближенные числа получают в результате измерений или вычислений.
Точные числа обозначают заглавными буквами A B C
, ,
,
, а соответствующие им приближенные числа строчными буквами a b c
, , ,

Числа в вычислениях могут быть записаны с помощью конечного
числа разрядов в той или иной системе счисления. Если за основание
системы счисления взято натуральное число b, а для расчетов можно использовать числа, имеющие не более m разрядов, то число a можно записать единственным способом в виде:

a
a b
a b
a b
n
n
m
n
m

1
2
1
1 ,
(1.1)

где ai — целые положительные числа; a1
0 и 0
a
b
i
;
i — номер разряда, в котором стоит цифра ai , 0
i
n;
n — старший разряд;
n – m
1 — младший разряд (если дробь конечная).

В десятичной системе счисления единицей s-го разряда называется
число 10s. Учитывая это определение и выражение (1.1), число a можно
записать в виде позиционного разложения:

10
Университетская серия

Глава 1. Элементы теории погрешностей

a
a
a
a
n
n
m
n
m

1
2
1
1
10
10
10
.

ПРИМЕР 1.1
Число a
435,7068 записать в виде позиционного разложения.

Решение.
Имеем:

a
435 7068
4 10
3 10
5 10
7 10
0 10
6 10
2
1
0
1
2
3
,
8 10 4.

В таком разложении каждая цифра числа является множителем перед
некоторой степенью десяти: цифра 4 стоит в разряде сотен (старший разряд 2). Следующая цифра 3 стоит в разряде десятков (разряд 1), цифра
5 — в разряде единиц (разряд 0), цифра 7 — в разряде десятых (разряд — 1) и т. д. Последняя цифра 8 стоит в младшем разряде — 4.

ПРИМЕР 1.2
Число
314159
,
записать в виде позиционного разложения.

Решение.
Имеем:

314159
,
= 3 10
1 10
4 10
1 10
5 10
9 10
0
1
2
3
4
5
,

где старший разряд 0, младшего разряда нет (дробь бесконечная).

Таким образом, использование приближенных чисел приводит к тому, что из всего множества действительных чисел некоторого отрезка используется его конечное дискретное подмножество. Какая бы высокая
степень точности ни была бы принята, количество разрядов в записи
числа остается ограниченным, и мы будем иметь дело с конечным множеством чисел.
Чаще всего результаты вычислений содержат избыточное количество
разрядов по сравнению с требуемой точностью вычислений. В этом случае прибегают к округлению. Под округлением понимают использование
числа с заданной степенью точности из конечного подмножества. Выбор
ближайшего значения производится по следующим правилам: полученное число

a b
a b
a b
a
b
n
n
m
n
m
m
n
m
1
2
1
1
1

Университетская серия
11

1.2. Точные и приближенные числа. Правила округления чисел

заменяют на приближенное:

a b
a b
a b
n
n
m
n
m
1
2
1
1 ,
(1.2)

если

a
a
b
b
m
m
1
2
1
1
2

и на число

a b
a b
a
b
n
n
m
n
m
1
2
1
1
1
,
(1.3)

если

a
a
b
b
m
m
1
2
1
1
2

.

В случае, когда

a
a
b
b
m
m
1
2
1
1
2

,

пользуются следующим правилом четной цифры: если am — четное,
применяют выражение (1.2), если am — нечетное — выражение (1.3).

Итак, правило округления можно сформулировать так:

если отбрасываемые при округлении цифры составляют число,
которое меньше половины единицы последнего оставляемого
разряда, то оставляемые цифры остаются без изменения;
если больше половины единицы, то последняя оставляемая цифра
увеличивается на единицу;
если равно половине единицы, то последняя оставляемая цифра
увеличивается на единицу (нечетная) и остается без изменения
(четная).

ПРИМЕР 1.3
Округлить число a
16,250078500 до каждого разряда.

Решение.
Результат округления числа оформим в виде табл. 1.1.

12
Университетская серия

Глава 1. Элементы теории погрешностей

Таблица 1.1

Результат округления
Выражение
Комментарии

до десятков ~a
20
(1.4)
первая
отбрасываемая
цифра 6
(больше 5)

до единиц ~a
16
(1.3)
первая отбрасываемая цифра 2
(меньше 5)

до десятых ~a
16,3
(1.4)
первая отбрасываемая цифра 5,
после нее есть ненулевые цифры

до сотых ~a
16,25
(1.3)
первая отбрасываемая
цифра 0
(меньше 5)

до тысячных ~a
16,250
(1.3)
первая отбрасываемая
цифра 0
(меньше 5)

~a
16,2501
(1.4)
первая отбрасываемая
цифра 7
(больше 5)

~a
16,25 008
(1.4)
первая отбрасываемая
цифра 8
(больше 5)

~a
16,250 078
(1.3)
первая отбрасываемая цифра 5,
после нее стоят только нули, первая сохраняемая цифра не меняется, так как она четная

~a
16,2 500 785
(1.3)
первая отбрасываемая
цифра 0
(меньше 5)

1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел

Пусть A — точное значение величины (числа), a — приближенное
значение той же величины A
a . Истинной абсолютной погрешностью

и a
приближенного числа a называется модуль разности точного
и приближенного значений:

и a
A
a .
(1.4)

Пусть, например, A
1
3
. При вычислении результат деления 1 на 3

выразится как приближенное число a = 0,3333333. Тогда
и a
( )
.
1
30000000

Университетская серия
13

1.3. Математические характеристики точности приближенных чисел

Однако в действительности в большинстве случаев точное значение величины не известно, а значит, нельзя применять формулу (1.4),
т. е. нельзя найти истинную абсолютную погрешность. Поэтому вводят
другую величину, служащую некоторой оценкой (верхней границей для

и a ).
Предельной абсолютной погрешностью или просто абсолютной погрешностью
a приближенного числа a, представляющего неизвестное точное число A, называется такое возможно меньшее число, которого не превосходит истинная абсолютная погрешность
и a , т. е.

и a
A
a
a .
(1.5)

Для приближенного числа а величин
и a , удовлетворяющих неравенству (1.5), существует бесконечно много, но самой ценной из них
будет наименьшая из всех найденных. Из (1.5) на основании определения модуля имеем a
a
A
a
a , или сокращенно в виде равенства

A
a
a .
(1.6)

Выражение (1.6) определяет границы, в которых находится неизвестное точное число A (говорят, что приближенное число a выражает точное
A с абсолютной погрешностью). Нетрудно увидеть, что чем меньше
а ,
тем точнее определяются эти границы.
Например, если измерения некоторой величины дали результат
l
458 см, при этом точность этих измерений не превосходила 1 см,
то истинная (точная) длина L
458
1 см.

ПРИМЕР 1.4
Дано число A
1243
0 0005
,
,
. Найти абсолютную погрешность числа a1
124
,
для числа A.

Решение.
Из равенства (1.6) для числа A
1243
0 0005
,
,
(а
1,243;
a

0,0005) имеем двойное неравенство

1243
0 0005
1243
0 0005
,
,
,
,
A
,

т. е.

12425
12435
,
,
A
.
(*)

14
Университетская серия

Глава 1. Элементы теории погрешностей