Вестник Донского государственного технического университета, 2014, №1 (76)

ВЕСТНИК

ДОНСКОГО

ГОСУДАРСТВЕННОГО

ТЕХНИЧЕСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

2014

T. 14, № 1 (76)

Учредитель — Донской государственный технический университет
Главный редактор — председатель Редакционного совета Б. Ч. Месхи
Редакционный совет:
И. С. Алиев (Украина), Л. К. Гиллеспи (США), И. А. Долгов, Я. Журек (Польша), Ю. Ф. Лачуга,
Г. Г. Матишов, Нгуен Донг Ань (Вьетнам)
Редакционная коллегия:
куратор
— И. В. Богуславский,

зам. главного редактора
— В. П. Димитров,

ответственный секретарь
— М. Г. Комахидзе

Инженерное дело, технологии и технические науки:
ведущий редактор по направлению — В. Л. Гапонов
Редколлегия направления:
А. П. Бабичев, Г. И. Бровер, Ю. И. Ермольев, В. П. Жаров, В. Л. Заковоротный, В. А. Кохановский,
В. Ф. Лукьянов, Р. А. Нейдорф, Д. Я. Паршин, М. Е. Попов, А. А. Рыжкин, М. А. Тамаркин,
А. К. Тугенгольд, И. А. Хозяев, М. П. Шишкарёв

Математические и естественные науки:
ведущий редактор по направлению — И. Б. Севостьянов (США)
Редколлегия направления:
В. В. Илясов, А. А. Лаврентьев, И. Я. Никифоров, Д. А. Пожарский, А. Н. Соловьёв

Науки об обществе:
ведущий редактор по направлению — И. Б. Котова
Редколлегия направления:
К. А. Бармута, Н. И. Басина, Т. А. Бондаренко, Н. Д. Елецкий, Н. Ф. Ефремова, Л. А. Минасян,
О. М. Морозова, Е. В. Муругова, Т. В. Симонян

Над номером работали: И. В. Бойко, М. П. Смирнова (англ. версия)
Подписано в печать 01.04.2014.
Формат 6084/8. Гарнитура Tahoma. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 26,1. Тираж 1000 экз. Заказ № 224. Цена свободная.
Адрес редакции:
344000, Россия, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, тел. (863) 2-738-565.
Адрес полиграфического предприятия:
344000, Россия, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, тел. (863) 2-738-741, 2-738-322.
http://science.donstu.ru
Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-35012 от 16.01.09.

 Донской государственный технический университет, 2014

Теоретический

и научно-практический журнал

Рекомендован ВАК для публикаций

основных научных результатов диссертаций

на соискание учёных степеней доктора

и кандидата наук (решение Президиума

ВАК Минобрнауки России

от 19 февраля 2010 года № 6/6)

Издаётся с 1999 г.

Выходит 4 раза в год

Январь — март 2014 г.

VESTNIK

of

DON STATE
TECHNICAL
UNIVERSITY

2014

Vol. 14, № 1 (76)

Founder — Don State Technical University
Editor-in-Chief — Editorial Board Chairman B. C. Meskhi
Editorial Board:
I. S. Aliyev (Ukraine), I. A. Dolgov, L. K. Gillespie (USA), Y. F. Lachuga, G. G. Matishov,
Nguyen Dong Ahn (Vietnam), J. Zurek (Poland)
curator
— I. V. Boguslavskiy,

deputy chief editor
— V. P. Dimitrov,

executive editor
— M. G. Komakhidze

Engineering, Technology and Technical Sciences:
managing editor — V. L. Gaponov
Editorial Board:
A. P. Babichev, G. I. Brover, I. A. Khozyayev, V. A. Kokhanovskiy, V. F. Lukyanov, R. A. Neydorf,
D. Y. Parshin, M. E. Popov, A. A. Ryzhkin, M. P. Shishkarev, M. A. Tamarkin, A. K. Tugengold,
Y. I. Yermolyev, V. L. Zakovorotniy, V. P. Zharov

Mathematical and Natural Sciences:
managing editor — I. B. Sevostianov (USA)
Editorial Board:
V. V. Ilyasov, A. A. Lavrentyev, I. Y. Nikiforov, D. A. Pozharskiy, A. N. Solovyev

Social Sciences:
managing editor — I. B. Kotova
Editorial Board:
K. A. Barmuta, N. I. Basina, T. A. Bondarenko, L. A. Minasyan, O. M. Morozova, E. V. Murugova,
T. V. Simonyan, N. F. Yefremova, N. D. Yeletskiy

The issue is prepared by: I. V. Boyko, M. P. Smirnova (English version)
Passed for printing 01.04.2014.
Format 6084/8. Font «Tahoma». Offset printing.
C.p.sh. 26.1. Circulation 1000 cop. Order 224. Free price.
Editorial Board’s address:
Gagarin Sq. 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia. Phone: +7 (863) 273-85-65
Printery address:
Gagarin Sq. 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia. Phone: +7 (863) 273-87-41, 273-83-22
http://science.donstu.ru
Registration certificate ПИ № ФС 77-35012 от 16.01.09.

 Don State Technical University, 2014

Theoretical

and scientific-practical journal

Recommended by the State

Commission for Academic Degrees and Titles
for publications of the thesis research results

for Doctor’s and Candidate Degree (the solution

of the Presidium of the State Commission

for Academic Degrees and Titles

of the Russian Education and Science Ministry,

February 19, 2010, № 6/6)

Founded in 1999

4 issues a year

January — March 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Боев Н. В., Колосова А. В., Тодоров Н. Ф. Явные выражения давления в акустических 
волнах, многократно отражённых от поверхностей отражателей канонической формы.........
5

Братищев А. В. О представлении линейных операторов, коммутирующих с дифференцированием, в односвязной области.........................................................................................
15

Деундяк В. М., Романенко Е. А. Фредгольмовость составных двумерных интегральных 
операторов с однородными ядрами сингулярного типа в пространстве Lp ............................
22

Кренёв Л. И., Айзикович С. М., Митрин Б. И. Внедрение кругового штампа при заданной 
постоянной температуре на плоской подошве штампа в непрерывно неоднородное термоупругое полупространство................................................................................................
34

Нейдорф Р. А. Аппроксимационное построение математических моделей по точечным экспериментальным данным методом «cut-glue».....................................................................
45

Пожарский Д. А., Бедоидзе М. В. Трёхмерная контактная задача для двухслойного дополнительно нагруженного упругого основания (на англ. яз.).............................................
59

Чернышёв Ю. О., Сергеев А. С., Дубров Е. О., Рязанов А. Н. Исследование возможности применения бионических методов пчелиных колоний для реализации криптоанализа 
классических шифров перестановок..................................................................................
62

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Ахвердиев К. С., Приходько В. М., Митрофанов С. В., Копотун Б. Е. Стратифицированное течение трёхслойной смазки в зазоре упругодеформируемого упорного подшипника, 
обладающего повышенной несущей способностью.............................................................
76

Бережной С. Б., Война А. А., Курапов Г. В. Определение радиусов расположения центров шарниров зубчатой цепи на дугах обхвата эвольвентных звёздочек.............................
86

Бондаренко В. А., Богуславский И. В., Подуст С. С. Уточнение расчёта акустических 
экранов, устанавливаемых в производственном помещении..................................................
93

Бутов А. А., Карев М. А., Хрусталёв С. А. Стохастическое имитационное моделирование 
механизмов укорочения теломер клеток в процессах старения и развития патологических 
отклонений .....................................................................................................................
98

Голубь Б. И. Исследование поперечных смещений трубной заготовки в процессе её механической обработки на основе компьютерного моделирования ...........................................
110

Ермольев Ю. И., Бутовченко А. В., Дорошенко А. А. Модельное прогнозирование показателей функционирования воздушно решётной зерноочистительной машины от роста эффективности операции пневмосепарации ..........................................................................
122

Заковоротный В. Л., Ханукаев М. М. Устойчивость процесса алмазного выглаживания ...
135

Кузнецов Д. М., Гапонов В. Л., Буйло С. И. Исследование циклической термопрочности 
углеграфитовых материалов.............................................................................................
144

Кузьменко А. А., Синицын А. С. Робастная нелинейная система возбуждения синхронного 
генератора: интегральная адаптация ................................................................................
154

Лукьянов А. Д., Онойко Т. С., Верещетин П. П. Анализ возможности влияния изгибных 
колебаний заготовки на возникновение автоколебаний при глубоком сверлении маложёстких деталей из гетерогенного материала...........................................................................
162

Соловьёв А. Н., Ле Ван Зыонг. Конечно-элементное моделирование пьезоэлектрического 
устройства накопления энергии на основе кантеливера......................................................
169

Шишкарёв М. П., Кобзев К. О. Элементы теории отрицательно-нулевой обратной связи в 
адаптивных фрикционных муфтах.....................................................................................
180

Эркенов А. Ч., Мукутадзе М. А., Новгородова В. С., Черкасова Т. С. Расчётная модель 
двухслойного пористого подшипника конечной длины с учётом анизотропии пористых слоёв 
и нелинейных факторов ...................................................................................................
191

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

Шишкарёв М. П., Угленко А. Ю. Точность срабатывания адаптивной фрикционной муфты с раздельным силовым замыканием..............................................................................
200

Сведения об авторах....................................................................................................
204

CONTENT

PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

Boyev N. V., Kolosova A. V., Todorov N. F. Explicit expressions for pressure in acoustic waves 
multiply reflected from reflecting surfaces of canonical form ....................................................
5

Bratishchev А. V. On presentation of linear operators commuting with differentiation in simplyconnected domain.............................................................................................................
15

Deundyak V. M., Romanenko E. A. Fredholm property of composite two-dimensional integral 
operators with homogeneous singular-type kernels in Lp space ................................................
22

Krenev L. I., Aizikovich S. M., Mitrin B. I. Circular punch indentation into continuously inhomogeneous thermoelastic half space under given constant temperature at its flat bottom............
34

Neydorf R. А. Approximating mathematical model development according to point experimental 
data through “cut-glue” method ..........................................................................................
45

Pozharskii D. A., Bedoidze M. V. Three-dimensional contact problem for a two-layered extra 
loaded elastic base ............................................................................................................
59

Chernyshev Y. O., Sergeyev A. S., Dubrov E. O., Ryazanov A. N. Research on applicability 
of bionic techniques of artificial bee colonies for implementation of classical transposition cipher 
cryptanalysis.....................................................................................................................
62

TECHNICAL SCIENCES

Akhverdiyev K. S., Prikhodko V. M., Mitrofanov S. V., Kopotun B. E. Stratified three-layer 
lubricant flow in the gap of elastically deformable thrust bearing with increased carrying capacity.
76

Berezhnoy S. B., Voyna A. A., Kurapov G. V. Determining location radii of gear chain pivot 
locus on involute sprocket wraps .........................................................................................
86

Bondarenko V. A., Boguslavskiy I. V., Podust S. S. Calculation specification of acoustic 
screens located in production area.......................................................................................
93

Butov A. A., Karev M. A., Khrustalev S. A. Stochastic simulation modeling of cell telomere 
shortening mechanisms in ageing and disturbance development processes................................
98

Golub B. I. Study on tube shell transverse displacements under its machining based on computer 
simulation.........................................................................................................................
110

Yermolyev Y. I., Butovchenko A. V., Doroshenko A. A. Pattern forecasting of performance 
indices for air-and-screen cleaner from chaffing efficiency rise .................................................
122

Zakovorotniy V. L., Khanukayev M. M. Diamond burnishing process stability........................
135

Kuznetsov D. M., Gaponov V. L., Buylo S. I. Study on cyclic thermodurability of carbon materials.................................................................................................................................
144

Kuzmenko A. A., Sinitsyn A. S. Robust nonlinear synchronous generator excitation system: 
integral adaptation ............................................................................................................
154

Lukyanov A. D., Onoyko Т. S., Vereshchetin P. P. Capacity analysis of workpiece bending 
vibrations effect on self-excitation under deep-hole drilling of low-rigid parts made of heterogeneous material .....................................................................................................................
162

Solovyev A. N., Le Van Duong. Finite-element modelling of piezoelectric energy storage device 
based on cantilever ...........................................................................................................
169

Shishkarev M. P., Kobzev K. O. Theory elements of zero negative-feedback in adaptive friction 
clutches ...........................................................................................................................
180

Erkenov A. C., Mukutadze M. A., Novgorodova V. S., Сherkasova T. S. Design model of 
double-layer porous finite-length bearing with regard to anisotropy of porous layers and nonlinear 
factors.............................................................................................................................
191

CONCISE INFORMATION

Shishkarev M. P., Uglenko A. Y. Operation accuracy of adaptive friction clutch with separate 
force closure.....................................................................................................................
200

Index.............................................................................................................................
207

Вестник ДГТУ. 2014. Т. 14, № 1 (76)

5

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 535.4
DOI: 10.12737/3499

Явные выражения давления в акустических волнах, многократно отражённых 
от поверхностей отражателей канонической формы*

Н. В. Боев, А. В. Колосова, Н. Ф. Тодоров

В рамках геометрической теории дифракции получены явные выражения давления в волнах, переотражённых произвольное конечное число N раз от кругового контура, граничных поверхностей цилиндрического и 
сферического отражателей. Выражения давления в точке приёма для отражателей канонической формы 
получены на основе решения двумерной и пространственной задач об определении давления в акустической 
волне, переотражённой от скопления препятствий в случае высоких частот колебаний. Задача в общей постановке исследована с помощью модификации физической теории дифракции Кирхгофа. В рамках предложенной модификации получены дифракционные интегралы, главные члены асимптотических разложений 
которых исследованы методом многомерной стационарной фазы. Полученные аналитические выражения 
давления в переотражённой волне соответствуют геометрической теории дифракции. Во всех трёх случаях 
эти выражения связаны с вычислением определителя порядка N (для двумерной задачи) и определителей 
порядка 2N (для пространственных отражателей). Проведён аналитический и численный анализ полученных 
выражений с учётом зависимости от расстояний между источником, приёмником волны и поверхностью отражателей. Установлены точки фокусировки акустической волны. Обсуждается проблема замены неплоских 
отражателей плоскими в прикладных задачах акустики.
Ключевые слова: акустические волны, многократное отражение волн, отражатели канонической формы.

Введение. В архитектурной акустике помещений используются цилиндрические и сферические 
отражатели (например, своды зданий и помещений). Вогнутые части таких отражателей допускают многократное рассеяние звуковых волн. Как правило, при численных расчётах неплоские граничные поверхности отражателей заменяются набором плоских граней вписанных или описанных 
многогранников, что, конечно, искажает истинное звуковое поле. Особенно это заметно при многократных отражениях волн. В настоящее время работ, посвящённых этой проблеме, сравнительно мало. В [1] рассмотрено двукратное отражение волн от двух круговых цилиндров (в рамках 
двумерной задачи), а в [2, 3] — от сферических отражателей (пространственная задача).

Поэтому исследование многократного рассеяния высокочастотных волн на поверхностях 

пространственных отражателей и их скоплений имеет как теоретическое, так и практическое значение в прикладной акустике. В [4, 5, 6] разработан общий подход к исследованию проблемы 
многократных отражений высокочастотных волн в рамках геометрической теории дифракции 
(ГТД) на основе дифракционных интегралов физической теории дифракции Кирхгофа. В данной 
работе общая теория применяется для отражателей цилиндрической и сферической формы.
Постановка задачи. Рассмотрим вписанный в окружность правильный 2N-угольник в бесконечной акустической среде. Пусть из точки 
0
x , находящейся на продолжении одной из сторон дан
ного 2N-угольника, от точечного источника давления падает высокочастотная монохроматическая 

акустическая волна (зависимость по времени 
ω
i
t
e 
, ω — частота колебаний). Она падает на во
гнутую часть граничного контура акустически твёрдого отражателя в виде полуокружности по 
прямой, на которой находится выделенная сторона многоугольника (рис. 1, 2). На полуокружно
* Работа выполнена при поддержке внутреннего гранта ЮФУ, номер проекта 21301-24/2013-76.

Физико-математические науки

6

сти находятся N вершин многоугольника 
1
2
,
,
,
N
y
y
y




, которые в ГТД являются точками зер
кального отражения волны. При такой траектории многократно отражённого луча луч, приходя
щий в точку приёма 
1
N
x

из последней точки зеркального отражения 
N
y  , будет параллелен ис
ходному падающему лучу. При этом будем рассматривать случай, когда расстояние 
0L
от источ
ника 
0
x
до первой точки зеркального отражения 
1
y  и расстояние 
N
L
от точки 
N
y  до приёмника 

1
N
x

равны между собой (рис. 1, 2).

Рис. 1. N-кратное отражение высокочастотной акустической волны от граничного контура твёрдого препятствия в виде 

вогнутого полуцилиндра

После отделения временного множителя в волновом уравнении задача сводится к иссле
дованию амплитуды давления рассеянного поля. При этом точечный источник, находящийся в 
точке 
0
x , порождает в точке y пространства давление

 



1

0
0
exp
inc
p
y
x
y
ik x
y





,

и в двумерном случае:
 



1/2

0
0
exp
inc
p
y
x
y
ik x
y





,

где
ω /
k
c

— волновое число и c — скорость акустической волны.

Анализ проблемы проводится в рамках плоской задачи многократного переотражения 

волны от вогнутой части полуокружности радиуса R и пространственной задачи при той же плоской траектории луча в сечении, перпендикулярном образующей кругового цилиндра (рис. 1) и в 
диаметральном сечении сферического отражателя (рис. 2).

Вестник ДГТУ. 2014. Т. 14, № 1 (76)

7

Цель исследования — выписать явные аналитические выражения амплитуды давления в 

точке приёма волны. Во всех трёх случаях эти выражения связаны с вычислением определителя 
порядка N (двумерная задача) и определителей порядка 2N (пространственная).

Рис. 2. N-кратное отражение высокочастотной акустической волны от граничного контура твёрдого препятствия в виде 

вогнутой полусферы

Метод решения. В самой общей постановке двумерная и пространственная задачи об определении давления в акустической волне, переотражённой от скопления препятствий, в случае высоких частот исследованы в [4, 5, 6]. В этих работах на основе модификации физической теории 
дифракции Кирхгофа [7] получены дифракционные интегралы, главные члены асимптотических 
разложений которых исследованы методом многомерной стационарной фазы [8]. Полученные 
аналитические выражения давления в переотражённой волне соответствуют ГТД.

Выпишем аналитические выражения для давления в точке приёма. Двумерная задача [4]:










0

1

0

π
exp
δ
4

det

N

n
N

n

N
N

N
N

n

i k
L
N

p x

L
D



























.
(1)

Здесь

,
,
1,
N
nm
D
d
n m
N


— симметричная матрица Гессе со следующими элементами:

1
1

1

2
,

ρ cos γ

nn
n
n

n
n

d
L
L








1

,
1
1,
,
n n
n
n
n
d
d
L





0,
nm
d

,
n
m

1,
n
m


1,
n
m


δ
sign
N
N
D


и ρn — радиус кривизны контура в точке 
n
y  контура.

Трёхмерная задача [5, 6]:










2

0

1

1

2

0

0
0
1
1
1

π
exp
δ
2
4
cos γ
,

det

,
,
1,
1,
.

N

n
N
N
n

N
n
N

n

N
N

n

n
n
n
N
N
N

i
k
L
N

p x

L
D

L
x
y
L
y
y
n
N
L
y
x

























































(2)

Физико-математические науки

8

Здесь
2
2
δ
sign
N
N
D

— разность между числом положительных и отрицательных собственных 

значений матрицы Гессе 


2
,
,
1, 2
N
nm
D
d
n m
N


, которая является симметричной со следующи
ми ненулевыми элементами 
,
nm
d
n
m

.

Диагональные элементы:






  







  


2
1
1
0
0

2
1,2
1
1
1

2
1
1
0
0

2 , 2
1
2

1
,
2
,
,
1,
,

1
,
2
,
,
1,
.

n

n
n
n
n
n
n
n
n

n

n
n
n
n
n
n
n
n

d
L
L
q
i
k
q
k
n
N

d
L
L
q
j
k
q
k
n
N















































Внедиагональные элементы:








 






 






 




1
1
0
0

2
1, 2
1

1
0
0

2
1, 2
1
1
1
1

1
0
0

2
1, 2
2
1
1
1

1
0
0

2 , 2
1
1
1
1

,
,
,
1,
,

,
,
,
,
1,
1,

,
,
,
,
1,
1,

,
,
,
,
1,

n
n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n

d
L
L
q
i
q
j
n
N

d
L
q
i
q
i
i
i
n
N

d
L
q
i
q
j
j
i
n
N

d
L
q
j
q
i
i
j
n






























 













































 




1
0
0

2 , 2
2
1
1
1

1,

,
,
,
,
1,
1.
n
n
n
n
n
n
n
n
n

N

d
L
q
j
q
j
j
j
n
N





















Здесь 
 
 

1
2
,

n
n
k
k
(
1,
n
N

) — главные кривизны поверхностей, а 
,
,
n
n
n
i
j
k




— орты локальной Де
картовой системы координат, определяемой касательными к главным линиям кривизны и норма
лями к поверхностям дефектов в точках зеркального отражения 
n
y  , 
1,
n
N

. Координаты ортов 

заданы в некоторой глобальной Декартовой системе координат, 



0
cos α ,
cos β ,
cos γ
n
n
n
n
q



 



—

направление падения волны в точке 
n
y  , а γn

 — угол между направлением падения волны и нор
малью к поверхности в точке 
n
y  .

Отражатели канонической формы. При рассматриваемой траектории плоского луча его параметры определяются соотношениями вписанного в окружность 2N-угольника:

1
γ
π
,
2

n

N

N




1,
,
n
N


γ
γ ,
n



cos γ
c


, 
0
,
N
L
L
Rc
x





,
,
x
Rc
 

2
,
nL
Rc

1,
1
n
N


.

В дальнейшем будем исследовать величину давления в переотражённой волне в точке 
1
N
x
 . В 

случае двумерной задачи из общей формулы (1) следует, что












1
1
1

2
2

1
det

N

окр

окр
N
N
p
x
Rc
x
Rc
D
















,
(3)






0
det
2
det
,

N
окр

N
N
D
Rc
D



(4)

где 



0
,
,
1,
N
nm
D
d
n m
N


— матрица ленточной структуры со следующими ненулевыми элемен
тами:





1

11
1
3
1
,
NN
d
d
z
z



 


,
x
z
Rc



1,
z  
 , 
2,
nn
d
 
2,
1
n
N


;

,
1
1,
1,
n n
n
n
d
d




1,
1
n
N


.

Разложением по элементам первой и последней строк вычисление определителя 
0
N
D
сводится к 

вычислению определителей Δn
ленточной структуры порядка N −2 и N −3. Определитель Δn

Вестник ДГТУ. 2014. Т. 14, № 1 (76)

9

порядка n имеет ненулевые элементы Δ
2,
1,
,
ii
i
n
 

,
1
1,
Δ
Δ
1,
i
i
i
i




1,
1
i
n


и вычислен 

методом математической индукции: 

 

Δ
1
1

n

n
n
 

.

Для определителя 


окр

N
D
в (3) и давления (4) получаем явные выражения:







2
(
)
1
det
4
1
1
,
2

N

окр

N
D
z
Nz
z
Rc













(5)






1
2

1
2
1
окр
N
Rc p
x
z
Nz






.
(6)

В случае пространственной задачи основу расчётов составляет выражение (2). Первым рассмотрим цилиндрический отражатель (рис. 1). В этом случае




 









1
1
2
1
2

1
2
det
,

N
цил

цил
N
N
p
x
Rc
x
Rc
D








(7)

где матрица Гессе 



2

цил
N
D
— симметричная, имеет ленточную структуру со следующими ненулевы
ми элементами:

11
2
1, 2
1;
N
N
d
d



22
2
, 2 ;
N
N
d
d


2
1, 2
1;
n
n
d


2 , 2 ;
n
n
d
2,
1
n
N


;
(8)

2
1, 2
1;
n
n
d


2 , 2
2;
n
n
d

1,
1
n
N


.

Определитель матрицы 



2

цил
N
D
такой структуры равен произведению двух определителей [9], каж
дый из которых порядка N:










2
1
2

2
det
2
det
det

N
цил
ц
ц

N
N
N
D
Rc
D
D



.
(9)

Причём матрица 


1ц

N
D
совпадает с матрицей Гессе 
0
N
D
двумерной задачи (4), а матрица 



 



2
2
,
,
1,

ц

N
nm
D
d
n m
N


в (9) является ленточной со следующими элементами:

11

3
,
1

NN

z
d
d
z






2,
nn
d

2,
1
n
N


,

,
1
1,
1,
n n
n
n
d
d



 
1,
1.
n
N



Значение определителя 


2ц

N
D
получено методом математической индукции:






2

2
4
.

1

ц

N

z
N
D

z






Давление 


1
цил
N
p
x

преобразуем:







1
1
2

1
2
1
цил
N
p
x
Rc z
Nz
z
N
















.
(10)

Для сферического отражателя (рис. 2) давление в переотражённой волне определяется выражением:




 









1
1
2
1
2

1
2
det
,

N
сф

сф
N
N
p
x
Rc
x
Rc
D








(11)

в котором матрица Гессе 



2

сф
N
D
имеет такую же структуру, как и в случае цилиндрического отра
жателя (8). Причём в определителе










2
1
2

2
det
2
det
det

N
сф
сф
сф

N
N
N
D
Rc
D
D



(12)

Физико-математические науки

10

матрица 


1сф

N
D
совпадает также с 
0
N
D , а матрица 





2сф

N
nm
D
d

существенно отличается диаго
нальными элементами от матрицы 


2ц

N
D
:

11

1
2 cos 2γ ,
1

NN

z
d
d
z







2cos 2γ ,
nn
d

 
2,
1
n
N


,

,
1
1,
1,
n n
n
n
d
d



 
1,
1
n
N


.

Раскладывая определитель 


2
det

сф

N
D
(12) по первой и последней строкам, получаем:



2
2

2
3
4
det
Δ
2 Δ
Δ
,

сф

N
N
N
N
D
G
G






(13)

где 
1
2cos 2γ ,
1

z
G
z








Δ
1
det
,

n

n
n
D
 
2,
3,
4
n
N
N
N




.

Матрица 

, ,
1,
n
ij
D
d
i
j
n


— симметричная с элементами:

2cos 2γ ,
ii
d


1,
i
n

, 
,
1
1,
1,
i i
i
i
d
d




2,
1
i
N


.

Следуя [9], 




det
sin
1 γ
sin γ.
n
D
n



С учётом этого выражение (13) приводится к виду:














1
2
2
2
det
1
sin2γ
sin2
1 γ
2
sin2
2 γ
sin2
3 γ
.

N
сф

N
D
G
N
G
N
N









 







(14)

Аналитически доказано, что выражение (14) преобразуется к виду:






2

2

4
det
.

1

сф

N

z
D

z

 



Определитель матрицы Гессе (12) для полусферы имеет вид:






1

2

2
2
4

1
1
det
16
,

(2
)
(1
)

N

сф
N
N

Nz
D
z

Rc
z








а давление (11) в точке приёма:








1
1
2
2

1
2
1
.
сф
N
p
x
Rc
z
Nz







(15)

Остановимся на анализе проблемы замены неплоских отражателей плоскими при многократных 
отражениях акустической волны. На примере рассматриваемых задач и полученных явных аналитических выражений (6), (10), (15) проведём сравнительный анализ амплитуды давления в многократно отражённой акустической волне от граничных поверхностей неплоских отражателей и 
от плоских отражателей. Исследуем проблему для системы плоских отражателей, которые располагаются в касательных плоскостях к поверхностям отражателей в точках зеркального отражения 





1
2
,
,
,
N
y
y
y
. При такой благоприятной замене неплоских отражателей плоскими не меняется 

траектория луча, и изучается влияние на амплитуду переотражённого сигнала только степени
искривленности граничной поверхности. Вместе с тем при замене поверхности отражателя плоскими гранями многогранника в общем случае искажаются и траектории лучей. Если траектория 
луча не изменяется, то в общем случае двумерной (1) и пространственной (2) задач предельным 
переходом (при стремлении кривизны контура или главных кривизн поверхности к нулю) в определителе матриц Гессе [4, 5] доказано следующее. При любой траектории луча в виде ломаной 
(плоской или пространственной) линии амплитуда переотражённой N раз волны от системы плоских отражателей определяется выражениями:

 в двумерной задаче



1
2

1

0

N

пл
N
n

n

p
x
L









 




,