Нелинейная механика












МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 531
ББК 22.2
Н49

ff       Издание осуществлено при поддержке
    р с~ггэ и Российского фонда фундаментальных — J J ----- исследований по проекту 00-01-14035






   Нелинейная механика/ Под род. В.М. Матросова, В.В. Румянцева, А.В. Карапетяна. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 432 с. — ISBN 5-9221-0091-2;

   Книга содержит обзорные и оригинальные статьи ведущих российских ученых по основным разделам нелинейной механики. Излагаются вопросы составления и анализа уравнений движения механических систем, вопросы корректности основных моделей механики, вопросы интегрируемости и детерминированного хаоса, вопросы устойчивости и теории возмущений. Рассматриваются разнообразные конкретные механические системы.
   Для специалистов по нелинейной механике, студентов и аспирантов.

ISBX 5-9221-0091-2

© ФИЗМАТЛИТ, 2001

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Книга содержит обзорные и оригинальные статьи ведущих российских ученых по основным разделам нелинейной механики. Излагаются вопросы составления и анализа уравнений движения механических систем с различными связями (в том числе и с односторонними с учетом ударных явлений), в различных силовых полях (в том числе при наличии сил сухого трения). Обсуждаются вопросы корректности тех или иных моделей механики, вопросы интегрируемости и детерминированного хаоса, вопросы устойчивости и теории возмущений. Исследуются разнообразные конкретные механические системы: задача трех тел с учетом их несферичности или упругости, задачи динамики космических аппаратов, задачи динамики твердых тел в различных силовых полях (в том числе с учетом ударных взаимодействий и сил сухого трения), задача динамики твердого тела со струнным приводом, орбитальные тросовые системы и т. д.
   Исследования по нелинейной механике интенсивно ведутся как в России, так и за рубежом. Авторы статей, составляющих сборник, занимают ведущее место в мире в этой области.
   В статьях используются и развиваются оригинальные результаты авторов, наптедщие отображение в публикациях в ведущих отечественных и зарубежных журналах и в выступлениях авторов на многочисленных международных и всероссийских конгрессах, съездах и симпозиумах. Подавляющее большинство авторов тома является руководителями проектов РФФИ, Федеральной целевой программы «Интеграция», программы “Российские университеты — фундаментальные направления”, МИФ, ИНТАС и др.


В.М. Матросов, В.В. Румянцев, А.В. Карапетян

ОБ ОБЩИХ УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ



В. В. Румянцев


   Известно, что одним из основных понятий аналитической механики Лагранжа является понятие виртуальных (возможных) перемещений, определяемых наложенными на механическую систему связями. Виртуальные перемещения образуют группу, знание свойств которой позволяет устанавливать законы движения систем.
   Связь дифферециальных уравнений движения с группой виртуальных перемещений наиболее полно установил А. Пуанкаре [1], выведя новые уравнения движения систем, стесненных стационарными связями, основанные на применении групп Ли. Из уравнений Пуанкаре следуют как частные случаи уравнения Лагранжа второго рода и уравнения Эйлера движения твердого тела.
   Немного позже [1] были опубликованы работы [30] Л. Больцмана и [31] Г. Гамеля, содержащие вывод уравнений движения в квазикоординатах, пригодные как для голономных, так и для неголономных систем и обобщающие уравнения Лагранжа и Эйлера. Эти уравнения впоследствии довольно широко применялись, но их связь с уравнениями Пуанкаре долгое время не усматривалась.
   В цикле работ [3-6] Н.Г. Четаев обобщил уравнения Пуанкаре на случаи нестационарных связей и зависимых координат, привел уравнения Пуанкаре к каноническому виду и разработал теорию их интегрирования, а также ввел важное понятие циклических перемещений и дал обобщение уравнений Рауса. Этими работами создан, по существу, новый раздел аналитической механики, основанный на уравнениях Пуанкаре-Четаева.
   Прекрасные результаты Пуанкаре и Четаева разрабатывались и обобщались во многих работах [7-23]. В частности, уравнения Пуанкаре и Четаева были применены для систем с бесконечным числом степеней свободы и распространены на неголономные системы. Дано также обобщение этих уравнений на замкнутые системы преобразований, когда структурные коэффициенты переменны. Показано, что обобщенные уравнения Пуанкаре и Четаева включают уравнения движения как в независимых, так и в зависимых переменных, как в голономных, так и в неголономных координатах (квазикоординатах) для голоиомиых и для неголономных систем, и в этом смысле являются общими уравнениями аналитической динамики.
   Данная работа представляет собою введение в теорию этих уравнений и их применений для решения задач механики.
© В.В. Румянцев, 2001

Об общих уравнениях динамики

5

   В основном она представляет собою сокращенный перевод на русский язык (с небольшими дополнениями) лекций [45] автора.
   Выполняя приятный долг, автор выражает глубокую благодарность О.А. Водопьяновой за качественный компьютерный набор рукописи этой работы.
   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проекту 96-01-00261 и фонда А. Гумбольдта.

§ 1. Обобщенные уравнения Пуанкаре

   1.1.    Определяющие координаты, параметризация связей. Рассмотрим голономную механическую систему с к степенями свободы. Предположим, что для любого момента времени t положение системы задается определяющими координатами ж, (г = 1,..., п к) [6]
... ,ж„), v = 1,... ,N,
где г,, — радиус-вектор точки с массой mᵥ. Когда п = к, переменные Xi являются независимыми лагранжевыми координатами, а когда п > > к они являются зависимыми или избыточными координатами, подчиненными связям, выражаемым интегрируемой системой дифференциальных уравнений

   rjj = aij(t,жх,... ,xₙ)ii + ajo(t,xi... ,хп) = 0, j = к + 1,... ,n,

rank(ajj) = n — к, ii = dxi/dt. Здесь и далее производится суммирование по повторяющимся индексам.
   Введение избыточных координат полезно в ряде случаев для упрощения выражений кинематических и динамических величин [25].
   Для симметрии и краткости условимся обозначать t = Жо, Жо = 1, при этом предыдущие уравнения можно записать в виде

           = a,ij(x)xi = 0, г = 0,1, ...,n, j = к + 1,..., п, (1.1)

где ж = (ж₀,Ж1,... ,ж„).
   Достаточные условия интегрируемости уравнений (1.1) имеют, как известно [26], вид

         dajᵣ _ dajₛ, ₛ ₌ о, 1,... ,n, j = к + 1,..., n. (1.2) axₛ axᵣ

   Дополним уравнения (1.1) произвольно выбранными линейными формами

rjs = а₈{(х)х{, s = 0,1,..., fc, г = 0,1, ...,п,
т/о = 1, aoi = SOᵢ,

независимыми одна от другой и по отношению к формам (1.1), так что det (ay) 0, (i,j = 0,1,..., п), где 6ij — символ Кронекера.

В.В.Румянцев

   Разрешая уравнения (1.1) и (1.3) относительно ж,, получаем параметрическое представление связей

    ii =bis(x)riₛ, s = О,1,...,к, г = О,l,...,n, boₛ = 5qₛ, (1.4)

причем aₛibiᵣ = a,iᵣbₛi = Sₛᵣ.
   1.2.     Система операторов, параметры Пуанкаре. Параметризация (1.4) позволяет построить замкнутую систему инфинитезимальных линейных операторов

             Xₛf = b^, s = 0,l,...,fc, f(x)eC², (1.5)
                       UXS

определяющих виртуальные и действительные перемещения системы

   Sf = wᵣXᵣf, r = l,...,k, df = r/ₛXₛfdt, s = 0, l,...,k,      (1.6)

соответственно, где cvᵣ = aᵣi(x)8xi (г = 1,..., n, r = 1,..., к) и % являются параметрами виртуальных и действительных перемещений, введенными Пуанкаре [1].
   Система операторов (1.5) является замкнутой системой в том смысле, что ее коммутатор (скобка Пуассона) имеет вид

  [Xᵣ,Xₛ]f = XᵣXₛf-XₛXᵣf = c™Xₘf, m,r,s = 0,1,... ,к, (1.7) где структурные коэффициенты определяются формулами
      т   (<)a,,ₙ j daₘi \            / dbjₛ dbjᵣ \
    Crs ⁼ \ dXᵢ dXⱼ ) bⁱsbjr - amj dXᵢ bⁱs dXᵢ ) ’              (1.8)
i,j = 0,1,..., n,


причем c™ = —c™ (m, r, s = 0,1,..., к). Правая часть равенства (1.7) есть линейная комбинация операторов (1.5), поэтому сам коммутатор (1.7) является дифференциальным оператором первого порядка.
   Свойства коммутатора [6, 27]; он:
   1) билинеен —

         + ЬХц, Х₇] / = (аХл + ЬХц) Xyf - Х.₍ (аХа + ЬХ^ f =

= aXₐXyf + bXpXyf - aXyXₐf - bXyXpf = a [Xₐ, X₇] + b [Xp, X₇] /, где а и b — постоянные;
   2) антисимметричен —

[Xₐ,X^]f = -[X^,Xₐ]f-,

   3) удовлетворяет тождеству Якоби —

[Ха, [Х/з, Х₇] ] + [Хр, [Х₇,] + [х₇, [Ха, Х^\ ] = 0.

Об общих уравнениях динамики

Г

   Билинейность и антисимметричность коммутатора очевидны, тождество Якоби доказывается просто.
   Система (1.5) представляет собою инфинитезимальную группу, коммутатор которой удовлетворяет свойствам 1)-3) [6].
   Так как операторы Xif,..., Xkf образуют инфинитезимальную ..                            ________ .. .. df .
группу виртуальных перемещении и не содержат производную —, а

V /   д''    д''    „      „ rv V 1 f о о ™         .   д''
Xoj =    +bio——, выводим, что Х₀,Ха / не будет содержать —,
       ut OXi                                           ut
и, следовательно, с$а = 0 (а = 1,..., к). Группа Xi,..., Xk является подгруппой инфинитезимальной группы Xq, Xi, ..., X/. действитель

ных перемещений.
   Отметим, что надлежащим выбором произвольных форм (1.3) можно упростить замкнутую систему (1.5) и получить инфинитезимальную группу Ли (алгебру Ли), для которой все (а, /3, у = = 0,1,..., к) являются постоянными.
   Пример 1.2.1 [6]. Предположим, что для системы (1.1)


det ||а„|| О, г, s = к + 1,... ,п,


тогда
ij = bⱼₐxₐ + bj₀, j = fc + 1,..., n.

   Если положить 7?o = 1, Va = iₐ (a = 1,..., fc), то, дифференцируя f(t, a?i,..., xₙ), получаем

      ^ = ^ + ^x =^+b^₊ᵥ (^ ₊ b-dt dt dxi dt ³ dxj \dxₐ ³ dxj)

отсюда следуют выражения операторов

х            df           df df
ut                 uXₐ

a = l,...,k, j = к + 1,... ,n.

Следовательно, [Xₐ,Xp\ = 0 и все = 0 (a,/3,у = 0,1,..., к). Пола-
гая ша = Sxₐ (a = 1,..., к), имеем


Sf = uₐXₐf, [Xₐ,X/3]f = 0, a,f3 = 1, ...,k.

Система операторов Xₐf образует подгруппу группы Ли операторов действительных перемещений Хо/, Xi/,..., X/./.
   Подчеркнем, что и Пуанкаре, и Четаев рассматривали лишь случай постоянных структурных коэффициентов с™ = const, когда операторы Xₛf образуют группу Ли (алгебру Ли). Однако в общем случае замкнутой системы (1.5) структурные коэффициенты с™ будут,

В.В.Румянцев

вообще говоря, переменными c™(t, ж), и этот случай не исключается далее из нашего рассмотрения.
   Отметим, что если уравнения (1.3) являются интегрируемыми, подобно уравнениям (1.1), т. е. условия (1.2) удовлетворяются также для j = 1,..., к, то существуют функции вида ttₛ = тгДж), удовлетворяющие (1.3), которые могут служить новыми определяющими координатами, причем T]ₛ = ttₛ (s = 1,..., к), и

dTts_ _   _ dxj _ Эх, _ ₜ
•л — ...  — asii        ₙ — Dis-
                UXi UXi          OTTS UT)s

   В этом случае система операторов (1.5) является абелевой группой функций

Xₛf = b^^ s = 0,l,. ..,к, г = 0,1,...,п, UXi uTVₛ

для которой все коэффициенты с™ = 0 (m, г, s = 0,1,..., к).
   Если же уравнения (1.3) не являются интегрируемыми, то величины ttₛ (ж) как функции времени и переменных не существуют, однако символы ttₛ удобно вводить в рассмотрение под названием квазикоординат, используя условные обозначения для квазискоростей щ = тди для дифференциалов квазикоординат dxₛ = f]ₛdt, а также для «частных производных по квазикоординатам» и для обратных соотношений

      — Vis -л ?
U7TS        UXi

UXi         U7TS

s = 0, l,...,fc. (1.9)

   При этом операторы (1.5) могут быть представлены в виде

Xₛf=^ s = 0, l,...,fc,                   (1.10)
dirₛ

с коммутатором (1.7), который принимает вид



д-x ᵣ д-x ₛ d'Kₛd'Kᵣ rs dKₘ


где в общем с™ 0.
   Если связи голономны и операции дифференцирования d и варьирования 5 перестановочны, то [6]

V di

)

- hr], +          + СгОа^а

Xifdt = 0.

   Так как функция / произвольна, получаем соотношения


г     i     , i      •      -17
— - дгц = clₛᵣr}ᵣuₛ + clₛ^ₛ, г, г, s = 1,... Ж

(1-И)

Об общих уравнениях динамики

9

первоначально установленные Пуанкаре для случая, когда Cqₛ = 0.
   Отметим, что соотношение (1-11) подобно выражению для билинейного коварианта или внешней производной формы = а,дх,

(кщ(5х) — 5сщ((1х) = duii(5x') — dijidt,

принимая во внимание (1.1), (1-4), (1-6) и (1.8).
   Выражения для коэффициентов c'.ₛ проще получать из (1-11), чем использовать общие формулы (1.8) [25].
   1.3. Обобщенные уравнения Пуанкаре. Пуанкаре [1] и Четаев [3-5] использовали принцип Гамильтона для вывода уравнений движения, тогда как Четаев [6] использовал также принцип Даламбера-Лагранжа в его традиционной форме

(m^fy — Fy) • Лу, = 0, v = 1,..., N.       (1-12)

Мы используем принцип Даламбера-Лагранжа в определяющих координатах [6]


           / d dL  dL   „ \ ᵣ                       ,
            дудз---д----Qi)Sxi=0, г = 1,...,п,      (1.13)
           у at uXi uXi J


где L(t, x, ж) = T(t, x,x) + U(t, ж) — функция Лагранжа, T(t, ж, ж) —

кинетическая энергия, U(t, х) — силовая функция, О, = F” • обобщенная непотенциальная сила, ж = (жх,... ,ж„).

drᵥ дх{

   Согласно (1.5) и (1.6) имеем соотношения


6xi = <jjₛXₛXi = <jjₛbiₛ, i = 1,..., n, s = 1,... ,k,


вследствие которых в силу произвольности од из(1.13) следуют обобщенные уравнения движения Маджи [28]


⁼ s = l,...,k.              (1.14)
               у at uXi uXi J


Используя (1.4), выразим функцию Лагранжа в виде равенства
Ь*(£,ж,т?) = L(t,x,x), дифференцируя которую и учитывая (1.3), получаем соотношения [29]


dL _ dL*
       'о апч' dxi dq,,.

dL _ dL* , dL* (daₘⱼ , dgₘ₀\ dxi dxi dqₘ \ dxi           dxₜ ) ’


d dL dt dii

d (dL*\ dL* (daₘᵢₗ daₘᵢ\ ~т. л— °™' ⁺                          ,
dt \dr/ₘJ dqₘ \ dxj              dt )


                         =            r = 0,1,..., k.

В. В. Румянцев

  Подстановка этих соотношений в (1.14) приводит к обобщенным уравнениям Пуанкаре

d дБ*  тдБ*     ₘdL*   ᵥ                     , Z₁ ₁С.
—Д,.+с)'-----VXSL +QS, m,r,s = 1,...,к, (1.15)
dt di]ₛ dr)ₘ дг)т

гДе Q*ₛ = Qibis- Структурные коэффициенты

          т  (daₘj   daₘi \       . . .
          "Ute, дх, )Ь^
г                           1     (1.16)
т  (d&mj     ddₘi \  ddₘQ ddₘi
с°*“ |д^Г“^“Ло ⁺ ^ dT\bⁱs


представляются равенствами (1.8) при явном выделении переменной t = х₀.
   Уравнения (1.15) вместе с уравнениями (1.4) образуют совместную систему к + п дифференциальных уравнений движения первого порядка каждое с таким же числом неизвестных щ,..., гц., Xi,..., хп. Отметим, что уравнения (1.15) в избыточных координатах не содержат реакций связей (1.1) и имеют один и тот же внешний вид как в независимых координатах (п = к), так и в зависимых координатах (п > к').
   Обобщенные уравнения Пуанкаре (1-15) содержат как частные случаи:
   —     уравнения, выведенные Четаевым [3] в случаях с™ = const, Q* = = 0; уравнения, данные Пуанкаре [1] для случаев п = к, Xq = d/dt, CqI = 0, с™ = const, Q* = 0 (г, s = 1,..., fc);
   —    уравнения Лагранжа второго рода

d дБ dt dii

     — Qi, i — 1,..., &, oxi

когда n = k, t]ₛ = xₛ, Xₛ = -— и все с™ = 0;

   —    обобщенные уравнения Больцмана-Гамеля (см. [30, 31]) в квазикоординатах 7TS


d дБ* dt dkₛ

= сттГ + с™ dL + dL + Q* ^rs' Д ' c'0s a •      ' a    ' s >
        дтгт дтгт дтгд

m,r,s = 1,..., к, (1.17)

где Б* = Z*(t, жх,..., хп, 7Г1,..., TTfe), причем предполагается, что уравнения (1.3) неинтегрируемы, а операторы (1.5) имеют вид (1.10).
   Уравнения (1.17) имеют единую форму уравнений Больцмана в случае зависимых координат (после исключения неопределенных коэффициентов) и уравнений Больцмана-Гамеля в случае независимых