Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ





        Е.В. ИЛЬИЧЕВ, Я.С. ГРИНБЕРГ



КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА И КВАНТОВЫЕ БИТЫ НА ОСНОВЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ ДЖОЗЕФСОНОВСКИХ структур

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебника







НОВОСИБИРСК
2013

УДК 530.145:519.72(075.8)
     И 468


Рецензенты:
О.В. Кибис, д-р физ.-мат. наук, проф.;
     А. Н. Омелъянчук, д-р физ.-мат. наук, чл.-кор. НАН Украины


Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики


      Ильичев Е.В.
И 468 Квантовая информатика и квантовые биты на основе сверхпроводниковых джозефсоновских структур : учебник / Е.В. Ильичев, Я.С. Гринберг. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2013. - 172 с. - (Серия «Учебники НГТУ»).

          ISBN 978-5-7782-2287-8

         Учебник посвящен изложению основ квантовой информатики и описанию недавно открытых макроскопических квантовых систем на основе сверхпроводников, так называемых джозефсоновских квантовых битов (кубитов). По уровню изложения он доступен студентам старших курсов, магистрантам и аспирантам физико-технических направлений высших учебных заведений, прослушавшим одно- или двухсеместровый курс квантовой механики. Подробно рассмотрены квантовая механика двухуровневых систем, основы квантовых методов передачи информации, основы физики сверхпроводников. Последняя глава посвящена детальному описанию физических свойств и технологии изготовления квантовых битов на основе сверхпроводниковых джозефсоновских переходов.
         Учебник предназначен для магистрантов и аспирантов физикотехнических направлений вузов, специализирующихся в области квантовой информатики, физики конденсированного состояния и низкотемпературного эксперимента.


УДК 530.145:519.72(075.8)


ISBN 978-5-7782-2287-8

                   © Ильичев Е.В., Гринберг Я.С., 2013
                  © Новосибирский государственный технический университет, 2013

Оглавление

Предисловие.................................................
Глава 1. Двухуровневые системы в квантовой механике.........
  Введение..................................................
  1.1. Гамильтонова матрица двухуровневой системы...........
  1.2. Двухуровневая система в классическом переменном поле.
  1.3. Матрицы Паули........................................
  1.4. Гармонический осциллятор.............................
  1.5. Двухуровневая система в квантовом поле...............
  1.6. Сфера Блоха..........................................
  1.7. Матрица плотности....................................
  Библиографический список к главе 1........................
Глава 2. Введение в основы квантовой информатики............
  Введение..................................................
  2.1. Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена................
  2.2. Современная трактовка парадокса ЭПР..................
  2.3. Неравенства Белла....................................
  2.4. Спин-спиновые корреляционные функции.................
  2.5. Для чего нужен квантовый компьютер...................
  2.6. Как работает квантовый компьютер.....................
     2.6.1. Сложение........................................
     2.6.2. умножение.......................................
  2.7. Квантовая криптография...............................
     2.7.1. Элементарные сведения из криптографии...........
     2.7.2. Фотон как квантовый бит.........................
     2.7.3. Передача ключа с помощью поляризованных фотонов Протокол ВВ84........................................
  2.8. Квантовая телепортация...............................
     2.8.1. Перепутанные состояния..........................
     2.8.2. Базис Белла.....................................
     2.8.3. Протокол квантовой телепортации.................
     2.8.4.   Экспериментальная реализация квантовой телепортации Заключение................................................
  Обзор литературы к главе 2................................
  Библиографический список к главе 2........................

..7
..9
..9
10
17
19
20
26
32
32
39
41
41
43
45
48
52
53
56 61 62
66
66 70

„75 „84 „84 „88 „88
..91 „97 101 103

5

Глава 3. Сверхпроводниковые джозефсоновские структуры........
  3.1. Основные свойства сверхпроводников....................
  Введение...................................................
     3.1.1. Незатухающие токи................................
     3.1.2. Идеальный диамагнетизм. Выталкивание магнитного поля из сверхпроводника. Эффект Мейсснера-Оксенфельда......
     3.1.3. Квантование магнитного потока....................
     3.1.4. Носители сверхпроводящего тока. Куперовские пары.
     3.1.5. Основное состояние сверхпроводника. Энергетическая щель в спектре элементарных возбуждений...............
  3.2. Эффект Джозефсона.....................................
     3.2.1. Стационарный эффект Джозефсона...................
     3.2.2. Нестационарный эффект Джозефсона.................
     3.2.3. Характеристики джозефсоновского контакта.........
  3.3. Сверхпроводящие устройства с джозефсоновскими контактами..
     3.3.1. Автономный джозефсоновский контакт...............
     3.3.2. Джозефсоновская генерация........................
     3.3.3. Сверхпроводящее кольцо с джозефсоновским контактом (ВЧ-СКВНД)............................................
     3.3.4. Сверхпроводящее кольцо с двумя джозефсоновскими контактами...............................................
     3.3.5. Ящик куперовских пар.............................
  Приложение.................................................
  Библиографический список к главе 3.........................
Глава 4. Сверхпроводниковые кубиты...........................
  4.1. Макроскопические квантовые системы....................
  4.2. Основные типы джозефсоновских ку биг..................
  4.3. Зарядовый кубит.......................................
  4.4. Фазовый и потоковый кубиты............................
  4.5. Технологические основы изготовления сверхпроводящих кубитов
  4.6. Квантовые измерения - общие сведения..................
  4.7. Стандартный квантовый предел..........................
  4.8. Общие требования к измерительным системам для сверхпроводящих кубит..............................................
  4.9. Адиабатическое измерение потокового кубита............
  Библиографический список к главе 4.........................

105
105
105
107

109
112
112

116
117
118
118
119
120
120
122

124

128
130
137
138
139
139
144
145
147
153
158
160

162
164
171

6

Предисловие

    Данный учебник посвящен изложению основ квантовой информатики и описанию недавно открытых макроскопических квантовых систем на основе сверхпроводников, так называемых джозефсоновских квантовых битов (кубитов). По уровню изложения он доступен студентам старших курсов, магистрантам и аспирантам физикотехнических направлений высших учебных заведений, прослушавшим одно- или двухсеместровый курс квантовой механики.
    Б первой главе приводятся основы квантово-механического описания двухуровневых систем и их взаимодействия с электромагнитным полем. Обосновывается введение формализма матрицы плотности для рассчетов открытых систем.
    Вторая глава посвящена концептуальным основам квантовой информатики, истории зарождения этого направления, а также ставшим уже классическими ключевым экспериментам, которые явились основой для последующего плодотворного развития этого направления. На конкретных примерах разбираются принципы работы квантового компьютера и объясняется его эффективность по сравнению с классическим. Приводятся элементарные сведения из квантовой криптографии, обсуждаются конкретные реализации секретной передачи информации. Описывается протокол экспериментальной реализации квантовой телепортации.
    Содержание первых двух глав является своеобразным введением в проблему квантовых методов передачи и обработки информации: оно никак не привязано к конкретной реализации квантовых битов и потому может изучаться независимо от двух последующих глав.
    В третьей главе приведены основные сведения из физики сверхпроводников. Рассмотрены свойства сверхпроводящих материалов, такие как эффект Мейснера и квантование магнитного потока. Особое внимание уделено эффекту Джозефсона. Описаны принципы работы сверхпроводниковых квантовых интерференционных датчиков -СКВИД.

7

    Б четвертой главе рассмотрены основные типы сверхпроводниковых квантовых битов (кубитов) на основе джозефсоновских структур. Описаны технологические методы изготовления таких структур, особенности их квантового поведения, способы измерения их характеристик. Содержание этой главы в целом более сложно для понимания по сравнению с предыдущими главами. Это, видимо, связано с тем, что на русском языке отсутствует специальная литература, посвященная сверхпроводниковым кубитам.
    Учебник предназначен для магистрантов и аспирантов физикотехнических направлений высших учебных заведений, специализирующихся в области квантовой информатики, физики конденсированного состояния и низкотемпературного эксперимента.
    Главы первая и четвертая написаны Е.В. Ильичевым. Главы вторая и третья написаны Я.С. Гринбергом.

ГЛАВА 1
Двухуровневые системы в квантовой механике

Введение
    Из курса квантовой механики известно, что для описания квантового объекта вводится понятие вектора состояния и каждой наблюдаемой физической величине А ставится в соответствие линейный оператор А, который является эрмитовым, А = A t При этом все возможные значения наблюдаемой А даются собственными значениями соответствующего оператора А.
    Временная эволюция замкнутой квантовой системы описывается уравнением Шрёдингера

i й А |щ( ₜ)) = й (t )| Y( t)),     (1.1)
                       ttt

где Й (t) - оператор полной энергии системы (здесь i, h - мнимая единица и постоянная Планка соответственно), называемый гамильтонианом. Для гамильтониана Й, не зависящего от времени, уравнение (1.1) стандартным образом интегрируется и решение записывается как
.   .    ( i -А.
М t)) = exp I — ЙТ T(O) .
I Й I


    Напомним, что по определению матрица эрмитова оператора обладает следующим свойством: при транспонировании и одновременном комплексном сопряжении она не изменяется, т. е. (ai,к) = (Як,i)*• Из курса линейной алгебры известно, что такие матрицы обладают действительными собственными значениями, что, по крайней мере, кажется разумным для описания наблюдаемых величин.


9

Глава1.ДВУХУРОВНЕВЫЕ СИСТЕМЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

    Уравнение Шрёдингера описывает эволюцию вектора состояния
1„.,м            ~                          ( i Л
|Т(t)} во времени. Оператор эволюции U(t) = exp I - — Ht\ называется экспонентой оператора H . Экспонента оператора (как, впрочем, и любая разумная функция от оператора) определяется как соответствующий степенной ряд. Например, для оператора А его экспонента - Ап
записывается как exp(А) = X„=₀—• Тогда легко показать, что для опе-п!
ратора эволюции выполняется UU⁺ = 1, и такие операторы называются унитарными.
    Для квантовой системы, которая имеет только одно состояние с энергией Е, матрица гамильтониана выражается числом и очевидным образом выполняется H |Т(0)) = Е| Т(0)}. Тогда эволюция системы описывается выражением


|Т( t)} = С exp I- —-Et\,


(1.2)

где С - константа. Последнее выражение описывает некий колеба-Е
тельный процесс с частотой —, поэтому вектор состояния называют ¹                         —
также волновой функцией системы.
    Итак, мы нашли решение простейшего уравнения Шрёдингера, у которого амплитуда не меняется по величине, а фаза осциллирует во времени. По определению такие состояния называются стационарными, поскольку являются состояниями с определенной энергией, которая в нашем частном случае Е.
    В следующем параграфе мы рассмотрим свойства квантовой системы, которая имеет два возможных состояния.


1.1. Гамильтонова матрииадвухуровневой системы


     Если система имеет два состояния, то уравнение Шрёдингера для координат вектора состояния |Тг(t)^,|Т2(t)} записывается следующим образом:


Т1(t)}VHц(t) нₙ(t)Y Т2( t)) \ IH 21( t) H 22( t) Д

Т1( t)} ^ Т 2( t)) \,

(1.3)

10

1.1. ГАМИЛЬТОНОВА МАТРИНАДВУХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ

что эквивалентно системе уравнений


               iп ¹ l^i( *)> - н и( * )l ^i( *)>⁺н 1₂( * )| ^ ₂( *)); I*

               *h¹|^2(*)} - Н21(*)| Yi(*)} + Н₂₂(*)|Т₂(*)}.
                  I*


(1-4)

     Обсудим физический смысл уравнений (1.4). Предположим, что элементы гамильтоновой матрицы Н^ не зависят от времени и Н₁₂ - Н₂₁ - 0 . Очевидно, что решением системы (1.4) являются функции вида (1.2):
,   , i i А                             ( i А
           ¥( *)} - С1 exp I --Н и * I и ¥( *) - С 2 exp I -—Н 22 * I. (1.5)
X п )                      X п )


Тогда, по аналогии с одномерным случаем, Е₁ - Н₁₁ и Е₂ - Н₂₂ являются возможными энергиями системы. Более того, если в начальном состоянии система находилась в состоянии с энергией Е₁, то, согласно закону эволюции вектора состояния (1.5), она остается в этом состоянии любой момент времени.
    Теперь пусть Н12, Н21 - ненулевые действительные числа. Тогда из эрмитовостл матрицы Гамильтона следует, что они равны. Для удобства обозначим Н12 - Н21 - А. В этом случае система уравнений (1.4) переписывается как

i П I'M *)} - Е 1( * )| ^1( *)} + А|Т 2( *)); I*
                (1.6) iП¹1¥2(*)) -А(*)|¥ 1(*)) + Е2(*)|¥2(*)).
                  I*

Эта система решается аналитически стандартным способом. Возьмем .                                Г i ^                   Г i ^
пробные функции ¥₁( *)} - С₁ exp I— Е* I и ¥₂( *)) - С ₂exp I— Е* I, X п )                                                     х п )
где Е - это энергия системы, которую необходимо найти. Подстановка после сокращения экспоненциальных членов дает

(Е - Е ₁)С ₁ -А С ₂ - 0;
(1.7)
-АС₁ + (Е - Е₂)С₂ - 0.


11

Глава1.ДВУХУРОВНЕВЫЕ СИСТЕМЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

У этой системы алгебраических уравнений относительно С₁ и С₂ ненулевые решения будут иметь место, если ее определитель равен 0:


(Е - Е!)(Е - Е ₂)-А² - 0.


(1.8)

    Полученное квадратное уравнение имеет корни:

Е _(Е1 + Е 2)
Е 1,2  ---2----

⁽ Е1 ⁻ Е 2⁾² ₊А².
    4

(1-9)

    Прежде чем анализировать полученные результаты, рассмотрим два важных частных случая.
    1. Пусть Е1 - Е2 - Ео . Такая система называется вырожденной. Из

вестными вырожденными системами являются, например, молекула аммиака или сверхпроводящий интерферометр, о свойствах которых мы будем говорить ниже. Из уравнения (1.9) для вырожденной систе

      Внешний параметр

Рис. 1.1. Вырожденные энергетические состояния в двухъям-ном потенциале

мы получаем Е₁,₂ - Е₀ ± А. С математической точки зрения результат вполне естественный. Для нахождения собственных значений стационарных состояний гамильтонова матрица диаго-нализуется. Понятно, что вычисленные собственные значения зависят от недиагональных элементов исходной матрицы. С точки зрения физики, по крайней мере интуитивно, результат необычный. Действительно, рассмотрим систему, потенциал которой изображен на рис. 1.1. Допустим, что потенциал симметричный. Следова

тельно, энергии низших

автоматически означает

энергетических уровней в ямах равны, что

вырожденность рассматриваемой системы.

Пусть система замкнута и температура равна 0. Тогда влиянием энергетических уровней потенциала (рис. 1.1) с большими энергиями на динамику системы можно пренебречь. Обозначим состояние в левой яме как Цив правой как 12). Тогда без потери общности волновой

вектор системы записывается как |Y₁(t)} - С ₁(t)Ц + С₂(t)|2). Из курса

квантовой механики мы помним, что вероятность обнаружения системы в состоянии Ц равняется |С ₁(t)|², вероятность обнаружения сис-

12

1.1. ГАМИЛЬТОНОВА МАТРИНАДВУХУРОВНЕВОЙ СИСТЕМЫ

темы в состоянии 12^ соответственно равняется |С₂ (t)|² и соблюдается условие нормировки |С ₁(t)|² + |С₂(t)|² = 1. Поскольку коэффициенты Сi(t) и С₂(t) можно считать координатами вектора |Т(t)} в базисе векторов 11 и 12), их динамика описывается уже известной нам системой уравнений:

i h—С ₁ (t) = Е₀ С₁ (t) + Л С₂ (t);

dt

i h —C ₂( t) = Л С ₁( t) + Е ₀ С ₂( t).

(1.10)

dt

    Прежде чем решать эту систему, остановимся на некоторых простых соображениях. Для Л = 0, как мы видели раньше, система распадается на два независимых уравнения. Это означает, что если система в начальный момент времени находилась в состоянии |1), то с вероятностью единица она будет обнаружена в этом же состоянии в любой момент времени. То же самое можно сказать и о состоянии 12}. Физически это можно понять так, что барьер между ямами потенциала (рис. 1.1) таков, что состояние Ц не «чувствует» состояния |2^. Такие состояния называют локализованными.
    В случае Л д 0 состояния становятся делокализованными. Действительно, в системе (1.10) из условия С₂(t) = 0 немедленно вытекает, что С1 (t) = 0. Значит, если система в начальный момент времени находилась в состоянии Ц, то найдется измерение в какой-то момент времени t, определяющее состояние системы как состояние 12). Тогда можно сделать заключение: если по каким-то причинам существует вероятность перехода между состояниями |1) и 12), то энергия системы изменяется. Вместо ожидаемого значения Е0 у системы появляются два энергетических уровня Е ₁,₂ = Е₀ ± Л.
    Появление Л д 0 связано с изменением свойств барьера между двумя ямами. В этом случае появляется конечная вероятность для перехода системы из состояния Ц в |2) и наоборот. Такие события называются квантовым туннелированием, Л - туннельным матричным элементом, а изменение энергетического спектра - туннельным расщеплением.
    Из-за симметрии потенциала состояния Ц и |2) различаются только начальными условиями. Следовательно, по крайней мере на

13

Глава1.ДВУХУРОВНЕВЫЕ СИСТЕМЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

больших временах, вероятности найти систему в одном или другом состоянии выравниваются. Из вышесказанного можно заключить, что усредненные по времени величины С1(t) и С— (t) равны, и для сред-
i2   i2 I
них значении из условия нормировки следует, что |С11 = |С21 = —. Тогда усредненный по времени вектор состояния выражается как Д)= I11 + III-
    Рассуждения о величине усредненных по времени СА(t) и С —(t) сделаны качественно. Подобные заключения, по меткому выражению выдающегося русского математика Б.И. Арнольда, находятся на «физическом уровне строгости». Математически динамика С1(t) и С— (t) определяется системой уравнений (1.10), решением которой мы сейчас и займемся.
    Складывая и вычитая уравнения системы (1.10), получаем эквивалентную систему

i h 4 (С i (t) + С — (t)) = (Е о + Л)( С i (t) + С — (t));
                    at
(1.11)
ih⁴(С1 (t) - С — (t)) = (Ео - Л)(С1 (t) - С — (t)),
                    at


которая легко решается относительно С₄( t) + С —(t) и С₄( t) - С —(t) :
. . . ...       ( i . А ...               ....       ( i . А
С}(t) + С —(t) = a exp I—(Е о +Л) 11 и С г( t) - С —(t) = b exp I— (Е о-Л)11.
У h )                               У h )
Складывая и вылитая эти выражения окончательно, имеем
            Сi( t) = a exp (-i (Ео + Л)£ ^ + b exp (-i (Ео  - Л) t ^;  (1.1—)
                  —    у h ) — у h                  )

            С — (t) = a exp f - i (Ео + Л)t ^ - b exp f-i (Ео - Л)t^, (1.1—a)
                  —    У h ) — у h                  )


где a и b - константы интегрирования. Эти решения отличаются друг от друга только знаком второго слагаемого.
    Предположим, что в момент времени t = о система находилась в состоянии |1), т. е. Сфо) = 1 и С—(о) = о. Полагая t = о в уравнениях (1.1—) и (1.1—а), получаем С1 (t) = a — = 1, С —(t) = a - = о . Отсюда

14