А. Ю. Веретенников, Е. В. Веретенникова

НЕКОТОРЫЕ ГЛАВЫ АНАЛИЗА
И ПРИЛОЖЕНИЕ
К ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

Москва 2016

УДК 519,2
ББК 22.1я73
         В 316

Рецензенты:
А. Н. Ширяев, доктор физико-математических наук, профессор,
академик РАН, главный научный сотрудник Математического
Института РАН им. В. А. Стеклова, заведующий кафедрой теории 
вероятностей, Московский государственный
университет им. М. В. Ломоносова
В. Н. Конаков, доктор физико-математических наук,
профессор, Высшая школа экономики

   Веретенников, Александр Юрьевич.
В 316
Некоторые главы анализа и приложение к финансовой 
математике / А. Ю. Веретенников, Е. В. Веретенникова. – 
Москва : Прометей, 2016. – 60 с. : ил.

Излагается введение в теорию европейских опционов без поня-
тия вероятности на основе простейшей линейной алгебры, этому 
посвящена вторая часть пособия. В первой части подготовлены 
необходимые инструменты для перехода к непрерывному време-
ни. Сюда включены также разделы, посвященные неравенству 
Коши – Буняковского и подходу Бернштейна к аппроксимацион-
ной теореме Вейерштрасса, также без упоминания вероятности. 
В целом текст будет доступен студентам математических специ-
альностей педагогических университетов и может служить той 
стартовой площадкой, с которой начнется их знакомство с эле-
ментами современной финансовой математики.

ISBN 978-5-9907452-5-4          
© Веретенников А. Ю.,
    Веретенникова Е. В., 2016     
© Издательство «Прометей», 2016

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ЧАСТЬ 1. НЕКОТОРЫЕ ГЛАВЫ АНАЛИЗА

1 Неравенство Коши – Буняковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Теорема Вейерштрасса о приближении полиномами  . . . . . . . . . . 9

3 Тригонометрическая теорема Вейерштрасса  . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Теорема Бернулли «в схеме серий» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Теорема де Муавра – Лапласа «в схеме серий» . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Экспоненциальные оценки в теореме де Муавра – Лапласа . . . 22

ЧАСТЬ 2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

7 Одношаговая биномиальная модель рынка . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Простейший пример портфеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.3 Эквивалентный портфель, арбитраж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.4 Цена опциона колл в одношаговой модели . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.5 Другое представление решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.6 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.7 Общий (европейский) опцион и его цена . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Двушаговая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.1 Двушаговая модель: общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.2 Однородная двушаговая модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.3 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9 Многошаговая биномиальная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10 Предельный переход в однородной многошаговой модели . . . . . 50

11 Формула Блэка – Шоулса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Введение
Данное пособие состоит из двух частей и задумано как начало серии учеб-
ных пособий, объединенных несколькими идеями. Каждая из этих двух частей 
содержит определенную главу курса математики (анализа и линейной алгебры), 
а итогом является знаменитая формула Блэка и Шоулса, играющая важную роль 
в современной финансовой математике.
Первая часть содержит одну стандартную тему из стандартного курса Анали-
за – теорему Вейерштрасса о приближении непрерывной функции на отрезке – 
и две классические темы из курса теории вероятностей – закон больших чисел 
и центральную предельную теорему, дополненные некоторыми экспоненциаль-
ными неравенствами. Особенность изложения состоит в том, что термин «вероят-
ность» не используется. Это сделано по двум причинам. Во-первых, как показывает 
преподавательский опыт, существует когорта студентов, вполне подготовленных 
к изучению данного материала, но слабо владеющая необходимыми элементами 
теории вероятностей. Конечно, идеально было бы всем им овладеть этими эле-
ментами на требуемом уровне, однако, иной раз это бывает трудно достижимо. 
В частности, хотя теория вероятностей давно уже является частью «строгой мате-
матики», такой как анализ и другие, тем не менее начальное изучение ее требует 
некоторых дополнительных усилий и просто привычки к новым терминам, часто 
имеющим другой смысл, взятый из повседневной жизни. Соответственно, одной 
из целей нашей первой части являлось продемонстрировать, что некоторые осно-
вополагающие вероятностные идеи могут быть изложены вообще без привлечения 
самого слова вероятность. Авторы надеются, что эти идеи окажутся доступными 
большему числу студентов. Во-вторых, это сделано с надеждой, что в дальнейшем 
знакомство с «настоящей» теорией вероятностей может быть существенно облег-
чено, поскольку многие существенные части чисто аналитической составляющей 
будут студенту уже знакомы. В некотором смысле это, конечно, эксперимент, опи-
рающийся на преподавательский опыт авторов. Последний включает в себя препо-
давание в нескольких вузах на двоих уже около восьми десятков лет.
Итак, первая часть начинается с напоминания некоторых сведений из стан-
дартного курса Анализа – теоремы Вейерштрасса в двух вариантах, полиноми-
альном и тригонометрическом, полиномами или тригонометрическими полино-
мами, при этом второй вариант выводится из первого. Доказательство первого 
доказывается с помощью знаменитого метода Бернштейна, однако, как уже было 
сказано, без упоминания о вероятности. В следующих двух параграфах изучается 
сходимость в теореме де Муавра – Лапласа и некоторые дополняющие ее экспо-
ненциальные оценки; сама теорема является классическим результатом теории 
вероятностей, однако, доказательство проводится методами Анализа; излагается 
также схема серий, которая необходима для приложения к финансовой модели. 

Вторая часть пособия является адаптацией учебного материала из раздела 
Финансовая Математика в дискретном времени и одновременно приложением 
теорем из первого раздела к весьма практической модели. Дается описание про-
стейшего финансового рынка, состоящего из одной ценной бумаги – акции – 
и безрискового бонда или банковского счета. Отметим, что все термины будут 
разъяснены и никакое предварительное знание элементов экономики или фи-
нансовой теории не предполагается. В каждый (дискретный) момент времени 
цена акции случайным образом растет или падает, каждый раз имея выбор из 
двух возможных значений. В такой модели рынка, называемой биномиальной, 
вводится понятие опциона (ценной бумаги) «европейский колл» и обсуждается 
понятие справедливой цены для него на основе принципа «отсутствия арби-
тража». С помощью простейших линейных уравнений выводится справедли-
вая цена для одношаговой и многошаговой моделей. Одной из вершин теории 
и целью данной части пособия является знаменитая формула Блэка – Шоулса 
(Нобелевская премия по экономике 1997 – R. C. Merton and M. S. Scholes) не-
прерывного времени. Для обоснования этого предельного перехода использу-
ются результаты первой части.
Отметим, что само по себе исключение вероятности во второй части не пре-
тендует на оригинальность, так как, например, первоначальный вывод Блэка – 
Шоулса основывался исключительно на уравнении теплопроводности, то есть на 
чисто детерминированной науке. Тем не менее само это уравнение с небольшой 
натяжкой можно считать вариантом центральной предельной теоремы, только из-
ложенной на другом языке. 
Почему авторы считают такой курс полезным для МПГУ? Включение подоб-
ного типа курсов – зачастую несколько более сложного уровня – стало традици-
онным для большинства университетов в нашей стране и во всем мире и пользу-
ется большой популярностью у студентов, в частности, из-за финансовой направ-
ленности. Вот поэтому мы и предлагаем данный лекционный курс.
Почему такой курс полезен студентам-математикам? Он дает возможность из-
учить еще одну главу математики и показывает перспективное направление для 
приложений. Конечно, не надо думать, что, освоив эту главу, можно явиться на 
биржу и покорить ее. Однако это факт, что все дилеры на бирже формулой Блэ-
ка – Шоулса владеют или, как минимум, она имеется в их компьютерах. Стало 
быть, материал данных лекций имеет и большой практический смысл. 

А. Ю. Веретенников1, Е. В. Веретенникова2, Москва, 2014

1 
Университет Лидса, Великобритания; Национальный исследовательский университет 
Высшая школа экономики, Институт проблем передачи информации и Московский 
государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия.
2 
Московский педагогический государственный университет, Москва, Россия.

f
g

 1

0
fg dx ≤
 1

0
f 2 dx
1/2  1

0
g2 dx
1/2
.

a, b
a2 + b2 > 0


(af + bg)2 dx = 0.

f 2 dx
1/2 
g2 dx
1/2
> 0.

˜f(x) :=
f(x)


f 2 dx
1/2 ,
˜g(x) :=
g(x)


g2 dx
1/2 .


˜f 2(x) dx = 1,

˜g2(x) dx = 1.

h±(x) := ˜f(x) ± ˜g(x).

0 ≤

h2
±(x) dx =

˜f 2(x) dx

±2

˜f(x)˜g(x) dx +

˜g2(x) dx

= 2 ± 2

˜f(x)˜g(x) dx.

±

˜f(x)˜g(x) dx ≤ 1,




˜f(x)˜g(x) dx
 ≤ 1,


f 2 dx
1/2
= 0,

g2 dx
1/2
> 0.

fδ(x) := f(x) + δ.

ϵ > 0
|2f| ≤ ϵ2 + f 2

ϵ2

f


f 2dx = 0
2|

fdx| ≤ ϵ2

ϵ > 0
2|

fdx| = 0
δ > 0

f 2
δ (x)dx =

f 2(x)dx+2δ

f(x)dx+δ2 = δ2 > 0

 1

0
fδg dx ≤

f 2
δ dx
1/2 
g2 dx
1/2
.

δ → 0
fδ(x) → f(x)
x


f 2
δ dx →

f 2 dx,
&

fδg dx →

fg dx,
δ → 0.


f 2
δ dx −

f 2 dx =

(f 2
δ − f 2) dx

=

(fδ − f)(fδ + f ) dx = δ

(2f + δ) dx.


fδg dx −

fg dx =

(fδ − f)g dx = δ

g dx → 0,
δ → 0.


f 2 dx
1/2
> 0,

g2 dx
1/2
= 0


f 2 dx
1/2
= 0,

g2 dx
1/2
= 0

f 2 = 0

ϵ > 0

2|fg| ≤ ϵ2g2 + f 2/ϵ2.

2|

fgdx| ≤ ϵ2

g2dx + 0.

ϵ > 0
ϵ → 0

2|

fgdx| ≤ 0,
|

fgdx| = 0.

λ ∈ R

φ(λ) :=

(λ f + g)2 dx ≡ λ2

f 2 dx

+ 2λ

fg dx +

g2 dx

.

φ(λ) ≥ 0

0 ≥ D :=

2

fg dx
2
− 4

f 2 dx
 
g2 dx

,

f

[0, 1]

an := sup
0≤x≤1
|f(x) −

f(k/n)Ck
nxk(1 − x)n−k| → 0, n → ∞.

x, x′ ∈ [0, 1]
|x − x′| ≤ δ

|f(x) − f(x′)| ≤ ε
supx |f| ≤ L

an ≤


k:|x−k/n|≤δ
|f(x) − f(k/n)|Ck
nxk(1 − x)n−k

+


k:|x−k/n|>δ
|f(x) − f(k/n)|Ck
nxk(1 − x)n−k ≡ S1 + S2.



k Ck
nxk(1 − x)n−k =
(x + (1 − x))n = 1

S1 ≤ ε


k
Ck
nxk(1 − x)n−k = ε.

|f(x) − f(k/n)| ≤ 2L

S2 ≤ 2L


k:|x−k/n|>δ
Ck
nxk(1 − x)n−k

≤ 2L


k:|x−k/n|>δ
Ck
nxk(1 − x)n−k |x − k/n|2

δ2

≤ 2L

δ2


k:|x−k/n|>δ
Ck
nxk(1 − x)n−k|x − k/n|2

≤
2L

(nδ)2

n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−k|k − nx|2.

n

(nδ)2
n → ∞

n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−k|k − nx|2 = (nx)2
n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−k

−2nx

n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−kk +

n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−kk2

= (nx)2 − 2nx

n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−kk +

n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−kk2.

j = k − 1

n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−kk =

n


k=1
Ck
nxk(1 − x)n−kk

=

n


k=1

n!

(k − 1)!(n − k)!xk(1 − x)n−k

= n

n−1


j=0

(n − 1)!

j!(n − 1 − j)!xj+1(1 − x)n−1−j

= nx

n−1


j=0

(n − 1)!

j!(n − 1 − j)!xj(1 − x)n−1−j

= nx

n−1


j=0
Cj
n−1xj(1 − x)n−1−j = nx.

n


k=0
Ck
nxk(1 − x)n−kk2 =

n


k=1
Ck
nxk(1 − x)n−kk2

=

n


k=1
Ck
nxk(1 − x)n−kk(k − 1)

+

n


k=1
Ck
nxk(1 − x)n−kk =

n


k=2
Ck
nxk(1 − x)n−kk(k − 1) + nx.