Шидловский А.Б.

Диофантовы

приближения и

трансцендентные

числа

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 511.8
ББК 22.132
Ш 56

Ш и д л о в с к и й А. Б. Диофантовы приближения и трансцен-
дентные числа. — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 272 с. —
ISBN 978-5-9221-0720-4.

Книга посвящена изложению методов и основных результатов тео-
рии трансцендентных чисел.
Для студентов, аспирантов и преподавателей университетов и пе-
дагогических вузов, а также широкого круга математиков, интересую-
щихся проблемами теории чисел.
Рекомендовано учебно-методическим Советом по математике и ме-
ханике УМО по классическому университетскому образованию в ка-
честве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности «010101 Математика»
Табл. 2. Ил. 1. Библиогр. 165 назв.

ISBN 978-5-9221-0720-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007

c⃝ А. Б. Шидловский, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
6
Обозначения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8

Г л а в а 1. Алгебраические числа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10
§ 1. Числовое поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10
§ 2. Некоторые свойства многочленов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
12
§ 3. Алгебраические числа над числовым полем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
§ 4. Целые алгебраические числа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
20
§ 5. Алгебраическое поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
26
§ 6. Линейная независимость чисел алгебраического поля . .. .. .. .. .. .. .. .
33
§ 7. Алгебраическое поле над алгебраическим полем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
37
§ 8. Подполя алгебраического поля. Нормальное поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
40
§ 9. Норма и след алгебраического числа. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
42
§ 10. Базис и дискриминант алгебраического поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
44
§ 11. Разложение целых чисел алгебраического поля на множители. .. .. .
47
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
50
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
50

Г л а в а 2. Приближение
действительных
чисел
рациональными
числами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
51
§ 1. Постановка задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
51
§ 2. Принцип Дирихле. Теорема Дирихле. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
53
§ 3. Ряды Фарея . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
57
§ 4. Конечные цепные дроби . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61
§ 5. Подходящие дроби . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
63
§ 6. Бесконечные цепные дроби . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
68
§ 7. Приближение действительных чисел подходящими дробями их цеп-
ных дробей. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74
§ 8. Совместные приближения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
80
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
84
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
85

Оглавление

Г л а в а 3. Приближение
алгебраических
чисел
рациональными
числами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
87
§ 1. Теорема Лагранжа о квадратичных иррациональностях . .. .. .. .. .. .. .
87
§ 2. Теорема Лиувилля. Существование трансцендентных чисел . .. .. .. .
90
§ 3. Приближение алгебраических чисел алгебраическими числами . .. .
94
§ 4. Теоремы Туэ и Туэ–Зигеля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
97
§ 5. Многочлен Туэ . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
100
§ 6. Вронскиан . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
107
§ 7. Основное неравенство. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
110
§ 8. Доказательства теорем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
112
§ 9. Теорема Туэ о диофантовом уравнении . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
117
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
118
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
120

Г л а в а 4. Трансцендентность чисел e и π. Теорема Линдемана–
Вейерштрасса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122
§ 1. Иррациональность числа e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122
§ 2. Иррациональность числа π . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
124
§ 3. Трансцендентность числа e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
126
§ 4. Трансцендентность числа π . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
129
§ 5. Теорема Линдемана–Вейерштрасса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
137
§ 6. Дальнейшее развитие методов доказательства трансцендентности
чисел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
145
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
149
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
149

Г л а в а 5. Общие теоремы о трансцендентности и алгебраической
независимости значений E-функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
150
§ 1. E-функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
150
§ 2. Первая основная теорема . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
152
§ 3. Вспомогательные предложения о решениях систем линейных одно-
родных уравнений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
154
§ 4. Линейная приближающая форма . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
157
§ 5. Максимальный порядок нуля линейной формы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
160
§ 6. Одно свойство дробно-линейных форм от заданной совокупности
функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
162
§ 7. Система линейных приближающих форм . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
164
§ 8. Свойство линейных форм от совокупности функций, удовлетворя-
ющих линейным дифференциальным уравнениям . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
166
§ 9. Определитель системы линейных приближающих форм . .. .. .. .. .. .. .
168

Оглавление
5

§ 10. Система числовых линейных приближающих форм . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
175

§ 11. Оценки величин |Rk(ξ)| и Pk,i(ξ) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
177
§ 12. Ранг совокупности чисел f1(ξ), ..., fm(ξ) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
180
§ 13. Совокупность произведений степеней рассматриваемых функций . .
182
§ 14. Доказательство первой основной теоремы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
183
§ 15. Следствия из первой основной теоремы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
185
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
190
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
190

Г л а в а 6. Трансцендентность и алгебраическая независимость зна-
чений некоторых гипергеометрических E-функций . .. .. .. .. .. .. .. .
192
§ 1. Гипергеометрические E-функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
192
§ 2. Решения некоторых линейных дифференциальных уравнений пер-
вого и второго порядков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
197
§ 3. Решения некоторых линейных дифференциальных уравнений про-
извольного порядка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
207
§ 4. Решения более общих линейных дифференциальных уравнений
произвольного порядка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
211
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
216
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
217

Г л а в а 7. Мера трансцендентности значений E-функций. .. .. .. .. .. .. .
218
§ 1. Мера трансцендентности чисел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
218
§ 2. Мера трансцендентности значений IE-функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
223
§ 3. Мера трансцендентности значений KE-функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
231
§ 4. Дальнейшее развитие метода . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
238
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
242
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
244

Г л а в а 8. Проблема Эйлера–Гильберта . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
245
§ 1. Седьмая проблема Гильберта . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
245
§ 2. Теорема Гельфонда–Шнейдера . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
249
§ 3. Дальнейшее развитие методов, связанных с проблемой Эйлера–
Гильберта . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
252
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
254
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
255

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
256

Предисловие

Содержание книги составляет несколько расширенный материал
специального курса, читавшегося автором в течение ряда лет на
механико-математическом факультете Московского университета сту-
дентам и аспирантам. Основная ее цель — ознакомить читателя с про-
блемами и методами теории трансцендентных чисел.
Первая глава является вспомогательной. В нее включены простей-
шие свойства алгебраических чисел и алгебраических полей, необ-
ходимые для понимания дальнейших глав книги. Она также может
оказаться полезной читателю, желающему ознакомиться только с на-
чальными понятиями теории алгебраических чисел. В данной главе
(как, впрочем, и в следующей) автор не претендует на оригинальность
изложения.
Вторая глава посвящена простейшим вопросам, связанным с при-
ближением действительных чисел рациональными числами. В ней рас-
сказывается об основных аппаратах этого раздела теории диофанто-
вых приближений: принципе Дирихле, рядах Фарея и цепных дробях.
С помощью этих аппаратов доказываются теоремы о приближении
действительных чисел, совместных приближениях и оценках линейных
форм. Включение этой главы в книгу диктуется тем, что основное
содержание книги — проблемы теории трансцендентных чисел — тесно
связано с задачами о приближении действительных и алгебраических
чисел.
В третьей главе рассматриваются проблемы приближения алгебраи-
ческих чисел рациональными и алгебраическими числами. Кроме про-
стейших теорем в ней изложен метод А. Туэ и доказываются теоремы
Туэ и Туэ–Зигеля. Автор считает, что начинающему математику проще
понять идейную и техническую стороны метода Туэ, изучив сначала
двумерный случай. После этого освоить доказательство теоремы Рота
будет нетрудно по имеющимся на русском языке публикациям.
В четвертой главе излагаются классические результаты Эрмита
и Линдемана о трансцендентности чисел e и π и арифметических
свойствах значений показательной функции в алгебраических точ-
ках. Метод Эрмита–Линдемана приводится в форме, приданной ему
Д. Гильбертом.
Главы 5–7 содержат материал, связанный с методом К. Зигеля
в теории трансцендентных чисел, его обобщениями и развитием за
последние полвека. В пятой главе изложены основы метода в его
современном состоянии и доказаны общие теоремы о трансцендентно-
сти и алгебраической независимости значений E-функций. В шестой

Предисловие
7

главе общие теоремы применяются к конкретным функциям. Для это-
го развиваются методы доказательства алгебраической независимости
функций, являющихся решениями линейных дифференциальных урав-
нений. В седьмой главе изложены количественные аспекты метода.
В ней доказываются общие теоремы об оценке мер линейной незави-
симости, трансцендентности и взаимной трансцендентности значений
E-функций.
Последняя, восьмая, глава посвящена методам, возникшим при ре-
шении 7-й проблемы Гильберта, и их дальнейшему развитию. Ограни-
ченный объем книги не позволил дать подробное изложение этих ме-
тодов и результатов, полученных с их помощью. Подробное изложение
указанных методов и связанных с ними результатов по своему объему
могло бы составить содержание отдельной книги. Поэтому автор огра-
ничился только небольшим обзором исследований в этом направлении
и доказательством теоремы Гельфонда–Шнейдера о трансцендентности
чисел вида αβ.
Поскольку книга предназначена для широкого круга читателей,
автор проводит все доказательства достаточно подробно. Некоторые
дополнительные результаты приводятся без доказательств. В конце
каждой главы содержатся замечания о ряде работ, связанных с мате-
риалом главы, а также задачи (как иллюстративного характера, так
и требующие для своего решения известных усилий).
В каждой главе леммы, теоремы и формулы имеют независимую
нумерацию. При ссылках на леммы и теоремы из предшествующих глав
указываются номера соответствующих глав, а при ссылках на формулы
предшествующих глав номер соответствующей главы ставится перед
номером формулы. Например, (3.21) обозначает формулу (21) из гл. 3.
В конце книги приведен обширный список литературы, не претен-
дующий, однако, на полноту.
Автор выражает благодарность А. А. Шмелеву и Ю. В. Нестеренко,
прочитавшим рукопись, Й. П. Кубилюсу и В. И. Нечаеву, взявшим на
себя труд по ее рецензированию. Их ценные замечания способствовали
улучшению книги. Автор благодарит коллектив кафедры теории чисел
Московского педагогического государственного университета за пло-
дотворное обсуждение рукописи. Ю. В. Нестеренко автор благодарен
также за просмотр корректуры.
А. Шидловский

Обозначения

{a}
— символ множества с элементами a
{x}
— дробная часть числа x
[x]
— целая часть числа x
N
— множество натуральных чисел
Z
— кольцо целых рациональных чисел
Z+
— множество целых рациональных неотрица-
тельных чисел
Q
— поле рациональных чисел
R
— поле действительных чисел
Rm
— m-мерное евклидово пространство
C
— поле комплексных чисел
P
— числовое поле
AP
— поле всех алгебраических чисел над полем P
A
— поле всех алгебраических чисел
K
— фиксированное алгебраическое поле над Q
[K : Q]
— степень алгебраического толя K над Q
|α|
— максимум модулей чисел, сопряженных для
числа α в поле K
ZA
— кольцо всех целых алгебраических чисел
ZK
— кольцо целых алгебраических чисел алгебра-
ического поля K
I
— некоторое мнимое квадратичное поле
V
— произвольное поле или кольцо
V[x1, ... , xm]
— кольцо многочленов от x1, ..., xm над полем
(кольцом) V
V(x1, ... , xm)
— поле рациональных функций от x1, ..., xm
над полем V
deg f(x)
— степень многочлена f(x)
degx f(x1, ... , xm)
— степень многочлена f(x1, ... , xm) по сово-
купности переменных x = (x1, ... , xm)
degxk f(x1, ... , xm)
— степень многочлена f(x1, ... , xm) по пере-
менной xk
Hf
— высота многочлена f = f(x1, ... , xm)
degP α
— степень над P алгебраического числа α над
полем P
deg α
— степень алгебраического числа α
Hα
— высота алгебраического числа α

Обозначения
9

HK
— высота линейной формы или многочлена из
K[x1, ... , xm] относительно алгебраического
поля K
E
— класс E-функций, удовлетворяющих линей-
ным дифференциальным уравнениям с коэф-
фициентами из C(z)
∥ai,k∥i,k
— матрица с элементами ai,k
|ai,k|i,k
— определитель с элементами ai,k
L(α1, ... , αm; H)
— мера линейной независимости чисел α1, ...,
αm
Φ(α; n; H)
— мера трансцендентности числа α
Φ(α1, ... , αm; n; H)
— мера взаимной трансцендентности чисел α1,
..., αm
(a, b)
— наибольший общий делитель целых чисел a
и b

α
— максимум модулей чисел, сопряженных с α
N(α)
— норма алгебраического числа α
S(α)
— след алгебраического числа α

n
m


— число сочетаний из n элементов по m

[α, n]
— произведение α(α + 1) ... (α + n − 1);
[α, 0] = 1

Г л а в а 1

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

§ 1. Числовое поле

Числовое поле есть частный случай общего алгебраического поня-
тия поля.
Числовым полем называется поле, элементы которого являются
действительными или комплексными числами.
Для того чтобы выяснить, будет ли некоторое множество чисел
числовым полем, не требуется проверять, удовлетворяет ли оно всем
аксиомам поля, поскольку арифметические свойства чисел обеспечива-
ют выполнение всех аксиом поля при выполнении небольшого числа
условий.
Те о р е м а 1. Множество P действительных или комплексных
чисел является числовым полем, если оно содержит более одного
числа и вместе с числами α и β ему принадлежат α − β, а при β ̸= 0
и α/β.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как P содержит более одного числа, то
существует α ∈ P, α ̸= 0. Тогда α/α = 1 ∈ P и α − α = 0 ∈ P. Поэтому
для любого β ∈ P, β ̸= 0, имеем: 0 − β = −β ∈ P и 1/β ∈ P. Значит, для
любых α, β ∈ P: α − (−β) = (α + β) ∈ P, а при β ̸= 0 и α/ 1

β = α · β ∈ P.

Последнее справедливо и при β = 0.
Итак, результат первых четырех арифметических действий над чис-
лами из P является числом из P. Отсюда по свойствам действительных
и комплексных чисел следует, что для P выполняются все остальные
аксиомы поля.
Примерами числовых полей могут служить поле рациональных чи-
сел Q, поле действительных чисел R, поле комплексных чисел C.
В дальнейшем всюду будем пользоваться приведенными общеприняты-
ми обозначениями для этих полей. Кроме того, N будет обозначать
множество всех натуральных чисел, Z — кольцо целых рациональных
чисел, а Z+ — множество всех целых неотрицательных рациональных
чисел.
Кроме указанных выше числовых полей существует бесконечное
множество других числовых полей.
Числовым полем является множество чисел {Q(α)}, где α — фик-
сированное число из R или C, а Q(x) пробегает всевозможные ра-
циональные функции с рациональными коэффициентами, не имеющие

§ 1. Числовое поле
11

полюса в точке x = α. Для этого множества условия теоремы 1 выпол-
няются очевидно.
П р и м е р 1. Положим

α = i,
Q(x) = F(x)

H(x),
H(i) ̸= 0,

где F(x) и H(x) — многочлены с коэффициентами из Q. Тогда имеем

F(i) = a1 + b1i,
H(i) = a2 + b2i,
a1, b1, a2, b2 ∈ Q,

Q(i) = F(i)

H(i) = a1 + b1i

a2 + b2i.

Умножая числитель и знаменатель дроби в правой части последнего
равенства на a2 − b2i, получим

Q(i) = (a1 + b1i)(a2 − b2i)

a2
2 + b2
2
= a + bi,
a, b ∈ Q.

Итак, {Q(i)} = {a + bi}. Значит, множество чисел {a + bi}, где a
и b пробегают все числа из Q, образует числовое поле. Это поле
называется гауссовым полем.
П р и м е р 2. Аналогично, если положить

α =
√

2 ,
Q(x) = F(x)

H(x),
H(
√

2 ) ̸= 0,

то

F(
√

2 ) = a1 + b1
√

2 ,
H(
√

2 ) = a2 + b2
√

2 ,
a1, b1, a2, b2 ∈ Q,

Q(
√

2 ) = a + b
√

2 ,
a, b ∈ Q.

Таким образом {Q(
√

2 )} = {a + b
√

2 }. Поэтому множество чисел
{a + b
√

2 }, где a и b пробегают все числа из Q, образует числовое
поле.
Среди всех числовых полей поле Q рациональных чисел выделяется
своим свойством минимальности, как это видно из нижеследующей
теоремы.
Те о р е м а 2. Если P — числовое поле, то Q ⊂ P.
До к а з а т е л ь с т в о. Так как P — поле, то 0 ∈ P и 1 ∈ P, а поэтому
имеем: 0 − 1 = −1 ∈ P и 1 + 1 = 2 ∈ P, 0 − 2 = −2 ∈ P и 2 + 1 = 3 ∈ P
и т. д., т. е. Z ⊂ P. Но тогда и все частные чисел из Z содержатся в P,
а это означает, что Q ∈ P.
В этой главе рассматриваются только числовые поля. Поэтому
вместо «числовое поле» будем писать коротко «поле». Буква P будет
обозначать произвольное числовое поле.

Гл. 1. Алгебраические числа

§ 2. Некоторые свойства многочленов

Напомним некоторые определения из алгебры. Пусть V — произ-
вольное поле или кольцо (не обязательно числовое).
Многочлен f(x) с коэффициентами из поля (кольца) V называет-
ся многочленом над полем (кольцом) V, или коротко многочленом
над V.
Аналогично, рациональная функция Q(x) с коэффициентами из
поля V называется рациональной функцией над полем V, или коротко
рациональной функцией над V.
Степень многочлена f(x) будем обозначать deg f(x). Кольцо много-
членов над V обозначается V[], а поле рациональных функций над
полем V — V( ).
Аналогично, многочлен f(x1, ... , xm) от нескольких переменных
x1, ... , xm с коэффициентами из V называется многочленом над V,
а рациональная функция Q(x1, ... , xm) от x1, ... , xm с коэффициен-
тами из V — рациональной функцией над полем V.
Аналогично обозначаются кольцо V[x1, ... , xm] многочленов над V
от x1, ... , xm и поле V(x1, ... , xm) рациональных функций над по-
лем V от x1, ... , xm.
Степень многочлена f(x1, ... , xm) по совокупности переменных
x1, ... , xm будем обозначать degx f(x1, ... , xm), x = (x1, ... , xm),
а степень по xk — degxk f(x1, ... , xm).
В этой главе в основном рассматриваются многочлены и рациональ-
ные функции над числовым полем P или некоторым числовым кольцом.
Высотой Hj многочлена f = f(x1, ... , xm) ∈ P[x1, ... , xm] назы-
вают наибольший из модулей его коэффициентов.
Многочлен f(x) над V положительной степени называется приво-
димым над полем V, или коротко приводимым над V, если существу-
ют два многочлена f1(x), f2(x) ∈ V[x] положительной степени, такие,
что
f(x) = f1(x)f2(x).

В противном случае многочлен f(x) называется неприводимым много-
членом над полем V или коротко неприводимым над V.
Вместо «неприводимый или приводимый многочлен над Q» гово-
рят коротко «неприводимый или приводимый многочлен».
Согласно определению всякий многочлен первой степени над V
неприводим над V.
Ясно, что понятия приводимости или неприводимости зависят от
поля, относительно которого рассматривается многочлен. Один и тот
же многочлен может быть неприводим относительно одного поля и при-
водим относительно другого поля.
П р и м е р. Многочлен f(x) = x2 + 1 неприводим над Q или R, но
приводим над C, так как x2 + 1 = (x + i)(x − i).

§ 2. Некоторые свойства многочленов
13

Аналогично определяются приводимость и неприводимость много-
членов от нескольких переменных над полем V.
Л е м м а 1. При любом n ∈ N существует неприводимый много-
член f(x) степени n.
До к а з а т е л ь с т в о. Достаточно построить пример неприводимого
многочлена при любом n ∈ N.
Докажем, что многочлен f(x) = xn − 2 неприводим при любом
n ∈ N.
При n = 1 утверждение тривиально. Пусть теперь n > 1. Положим
θ =
n√

2 , где правая часть есть арифметическое значение корня. Обо-
значим η = e2πi/n первообразный корень n-й степени из единицы. Тогда
числа
θηm,
m = 0, 1, ... , n − 1,
(1)

представляют собой все n корней многочлена xn − 2.
Допустим противное, т. е. многочлен xn − 2 приводим. Тогда

xn − 2 = (arxr + ... + a0)(bsxs + ... + b0),
ai, bj ∈ Q,
i = 0, 1, ... , r,
j = 0, 1, ... , s,
arbs = 1,
r ⩾ 1,
s ⩾ 1,
s + r = n.

Разделив все члены сомножителей в правой части первого равенства
соответственно на ar и bs, в согласии с равенством arbs = 1 получим,
что

xn − 2 =

n−1


m=0
(x − θηm) = (xr + cr−1xr−1 + ... + c0) ×

× (xs + ds−1xs−1 + ... + d0),
ci, dj ∈ Q,
i = 0, 1, ... , r − 1,
j = 0, 1, ... , s − 1.

Число c0 есть произведение некоторых r из n чисел (1). Поэтому

c0 = θrηl,
0 < r < n,
l ∈ Z+.

Отсюда имеем, что ηl = ±1, так как иначе ηl было бы комплексным
числом, а это невозможно, поскольку c0 ∈ R и θr ∈ R. Тогда θr =
= 2r/n = ±c0, т. е.

2r/n = a/b,
a ∈ N,
b ∈ N,
(a, b) = 1,

откуда
bn2r = an.
(2)

Но (a, b) = 1 и поэтому (an, bn) = 1. Из равенства (2) находим, что
b = 1 и
2r = an.
(3)

Число a ∈ N и поэтому a ⩾ 2, тогда из равенства (3) следует, что
2r ⩾ 2n. Но последнее неравенство противоречит неравенству r < n.
Полученное противоречие доказывает утверждение леммы.