Математическая теория устойчивости плоскопараллельных течений и развитие турбулентности

В.В. ВЕДЕНЕЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 
УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ 
ТЕЧЕНИЙ И РАЗВИТИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

© 2016, Â.Â. Âåäåíååâ
© 2016, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

Â.Â. Âåäåíååâ
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ òå÷åíèé è ðàçâèòèå òóðáóëåíòíîñòè: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Â.Â. Âåäåíååâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2016. – 152 ñ.

 ó÷åáíîì ïîñîáèè ïîñëåäîâàòåëüíî èçëàãàåòñÿ ëèíåéíàÿ òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ òå÷åíèé íåñæèìàåìîé
æèäêîñòè.
 Ðàññìîòðåíû êàê êëàññè÷åñêèå ðàçäåëû – íåâÿçêàÿ è âÿçêàÿ
òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè – òàê è ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ àëãåáðàè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè. Îòäåëüíîå âíèìàíèå óäåëåíî ðàçâèòèþ ëîêàëèçîâàííûõ âîçìóùåíèé è òåîðèè àáñîëþòíîé è êîíâåêòèâíîé íåóñòîé÷èâîñòè.
Èçëîæåíèå âåäåòñÿ ñ ïîäðîáíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè âñåõ òåîðåì è óòâåðæäåíèé, îòñóòñòâóþùèìè â äðóãîé ðóññêîÿçû÷íîé
ëèòåðàòóðå.
Îòäåëüíàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èìåþùèìñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûì
äàííûì îá óñòîé÷èâîñòè ðàçëè÷íûõ òå÷åíèé è îáñóæäåíèþ èõ
ñîîòâåòñòâèÿ òåîðåòè÷åñêèì ðåçóëüòàòàì. Èçëîæåíû ñîâðåìåííûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ñòàäèÿõ ïåðåõîäà ê òóðáóëåíòíîñòè è ðîëè
ëèíåéíîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè.
Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è íàó÷íûõ
ðàáîòíèêîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ, ôèçè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé.

ISBN 978-5-91559-218-5

ISBN 978-5-91559-218-5

Ðåöåíçåíòû:

Àêàäåìèê ÐÀÍ À.Ã. Êóëèêîâñêèé;

Âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê
ÍÈÖ «Êóð÷àòîâñêèé èíñòèòóò» Ñ.Í. Áóðìèñòðîâ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Глава 1. Установившиеся плоскопараллельные течения . . . . . . .
13
1.1. Точные решения уравнений Навье–Стокса . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.1. Плоское течение Пуазейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.2. Плоское течение Куэтта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2. Приближенные решения уравнений Навье–Стокса. . . . . . . . . .
15
1.2.1. Вывод уравнений Прандтля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2.2. Аэродинамический след за телом . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.3. Пограничный слой Блазиуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.4. Затопленная струя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20

Глава 2. Вывод уравнений для возмущений течения жидкости . .
23
2.1. Возмущения в виде бегущих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2. Теорема Сквайера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3. Уравнения Орра–Зоммерфельда и Рэлея . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Глава 3. Невязкая теория устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1. Необходимые и достаточные условия устойчивости . . . . . . . . .
31
3.1.1. Теорема Рэлея о точке перегиба. . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.2. Теорема Фьёртофта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.3. Нейтральная мода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.1.4. Контрпример достаточности условий Рэлея и Фьёртофта .
35
3.1.5. Случаи, когда наличие точки перегиба достаточно для существования нейтрального возмущения. . . . . . . . . . . . .
35
3.1.6. Существование растущей моды в окрестности нейтральной
36
3.1.7. Условия устойчивости: выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Оглавление

3.2. Теорема Ховарда о полукруге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.3. Уравнение Рэлея в окрестности критической точки. Регулярное и
сингулярное решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.4. Решение уравнения Рэлея в виде ряда по степеням α2 . . . . . .
43
3.5. Устойчивость течений с кусочно-линейными профилями скорости
46
3.6. Развитие произвольного возмущения с заданными начальными
условиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

Глава 4. Вязкая теория устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1. Возмущения при малых числах Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . .
62
4.2. Достаточные условия устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.3. Возмущения при больших числах Рейнольдса . . . . . . . . . . . .
67
4.3.1. Решения вне окрестности точки поворота . . . . . . . . . . .
67
4.3.2. Решения в окрестности точки поворота . . . . . . . . . . . . .
72
4.3.3. Вязкая поправка невязкого сингулярного решения . . . . .
77
4.3.4. Задача на собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.3.5. Результаты расчетов нейтральной кривой. . . . . . . . . . . .
82
4.3.6. Асимптотическое поведение ветвей нейтральной кривой и
структура собственных функций при R → ∞ . . . . . . . . .
84
4.4. Спектр собственных значений: обзор результатов расчетов . . . .
90

Глава 5. Экспериментальное подтверждение теоретических
результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.1. Эксперименты по переходу к турбулентности в пограничных
слоях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.2. Стадии перехода к турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
5.3. Обзор результатов для других течений . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.3.1. Плоское течение Пуазейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.3.2. Плоское течение Куэтта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
5.3.3. Осесимметричное течение Пуазейля . . . . . . . . . . . . . . .
110

Глава 6. Алгебраическая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
6.1. Уравнения Орра–Зоммерфельда и Сквайера для трехмерных
возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
6.2. Невязкая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
6.3. Вязкая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
6.3.1. Модельная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
6.3.2. Вязкий аналог алгебраической неустойчивости . . . . . . . .
122
6.3.3. Роль неортогональности собственных функций . . . . . . . .
124
6.3.4. Оптимальные возмущения: результаты расчетов для некоторых течений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.4. Роль экспоненциальной и алгебраической неустойчивости при переходе к турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

Оглавление
5

Глава 7. Абсолютная и конвективная неустойчивость . . . . . . . .
133

7.1. Метод Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
7.2. Метод перевала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
7.3. Развитие локализованного возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
7.4. Альтернативный критерий отбора седловых точек . . . . . . . . . .
142
7.5. Обзор результатов исследований для некоторых течений . . . . .
145

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга посвящена теории устойчивости течений вязкой
несжимаемой жидкости. Рассматриваются плоскопараллельные или
близкие к ним установившиеся слоистые течения. Устойчивость таких
течений является в настоящее время глубоко разработанной теорией,
по которой имеется масса научной литературы. В частности, на русском языке изданы монографии [1–5], этому же вопросу посвящена
глава XVI книги [6].
Вместе с тем, с одной стороны, б´ольшая часть этой литературы
является именно научной, т.е. уже предполагает глубокое знакомство
читателя с предметом. С другой стороны, книги [5,6], предназначенные,
в том числе, для студентов, содержат лишь изложение основных результатов теории устойчивости, без доказательства приводимых утверждений и теорем. Кроме того, на русском языке отсутствует учебная литература по абсолютной/конвективной неустойчивости и по алгебраической неустойчивости, сильно развившейся за последние десятилетия.
Настоящая книга написана на основе курса лекций, прочитанного
автором на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова в 2011–2012 и 2014–2015 учебных годах, и ориентирована на
впервые изучающих теорию гидродинамической устойчивости. Стараясь сделать ее именно учебной, автор избегал многочисленных ссылок
на авторов тех или иных теорем или формул. Все необходимые ссылки
можно найти в книгах и статьях, по материалам которых написана
настоящяя книга. В то же время, для того, чтобы сделать изложение
самодостаточным, в книге приведены доказательства большинства используемых утверждений, отсутствующие в другой русскоязычной литературе. Поскольку предмет в большей степени является математическим, ожидается, что читатель владеет математическим, комплексным
и функциональным анализом и теорией обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме первых трех курсов механико-математических
факультетов.

Предисловие
7

В основном, книга написана на основе материала двух монографий,
ставших классическими за рубежом, но не переведенных на русский
язык: [7] (главы 3, 4) и [8] (глава 6). Раздел 3.6 написан по материалу
статьи [9], раздел 4.2 — по [10]. Глава 5 написана по материалам
книг [4,6] и альбома [11]. Глава 7, в части изложения метода перевала,
следует [12].

ВВЕДЕНИЕ

Движения вязких несжимаемых жидкостей, повсеместно
встречающихся в природе и технике, описываются системой уравнений,
состоящей из уравнения неразрывности

∂u
∂x + ∂v

∂y + ∂w

∂z = 0

и уравнений Навье–Стокса

ρ
„∂u

∂t + u∂u

∂x + v∂u

∂y + w∂u

∂z

«
= −∂p

∂x + µ
„∂2u

∂x2 + ∂2u

∂y2 + ∂2u

∂z2

«
,

ρ
„∂v

∂t + u ∂v

∂x + v∂v

∂y + w∂v

∂z

«
= −∂p

∂y + µ
„ ∂2v

∂x2 + ∂2v

∂y2 + ∂2v

∂z2

«
,

ρ
„∂w

∂t + u∂w

∂x + v∂w

∂y + w∂w

∂z

«
= −∂p

∂z + µ
„∂2w

∂x2 + ∂2w

∂y2 + ∂2w

∂z2

«
.

Здесь u, v, w — компоненты вектора скорости; p — давление; ρ и µ —
плотность и динамическая вязкость жидкости. Эта система, дополненная граничными и начальными условиями, имеет множество решений специального вида, описывающих ламинарные (слоистые) течения,
многие из которых имеют важное практическое значение. К таким
решениям относятся:
• Пограничные слои — возникающие вблизи поверхности твердых тел
тонкие слои, в которых скорость меняется от нуля на поверхности
тела до скорости внешнего течения. Течение в пограничном слое
определяет действующие на тело силы и характер его обтекания
жидкостью.

Введение
9

• Слои смешения — переходные зоны между слоями жидкостей, движущихся с разными скоростями. Слои смешения представляют собой вязкий аналог тангенциальных разрывов и встречаются при обтекании различных тел, в атмосфере, многих технических устройствах. Движение в слоях смешения определяет перемешиваемость
жидкостей, теплообмен между ними, атмосферные явления.
• Затопленные струи, встречающиеся в авиации, технических приложениях, многочисленных устройствах.
• Ламинарные течения жидкости в трубах.
• Аэродинамические следы за движущимися в жидкости телами. Например, вихревые следы за самолетами и скорость их диссипации
определяют безопасные расстояния между самолетами и частоту
взлетов-посадок в аэропортах.
• Движение тонких пленок жидкости по поверхности твердых тел,
важное во многих технологических процессах.
Однако, ламинарные течения могут физически существовать лишь
в том случае, если они устойчивы, т. е. случайные малые возмущения
таких течений, всегда имеющиеся в реальности (из-за слабой неоднородности потоков жидкости, влияния внешних факторов, тепловых
флуктуаций и пр.), затухают со временем. В противном случае рост
возмущений вызывает разрушение ламинарного течения и может приводить либо к возникновению вместо него более сложных регулярных
движений (так называемых «вторичных течений»), либо к хаотичному
турбулентному движению. Поскольку свойства таких движений (силы,
действующие на тела, перемешивание, теплообмен, возникновение отрывов и пр.) принципиально отличны от свойств ламинарных течений,
устойчивость последних имеет важное значение в технических приложениях и природных явлениях.
Так, сопротивление плохо обтекаемых тел, например, шара при движении в жидкости (рис. 1) определяется характером пограничного слоя:
турбулентный слой отрывается от поверхности шара ниже по потоку,
что приводит к гораздо более низкому сопротивлению. Другой пример — переход к турбулентности в пограничном слое на хорошо обтекаемых телах (рис. 2); в таком случае турбулизация, наоборот, повышает
силу сопротивления. Развитие неустойчивости и переход к турбулентности в струе показаны на рис. 3. Рисунок 4 демонстрирует возникновение изолированных зон турбулентности в течении вязкой жидкости в
круглой трубе1); после перехода к развитому турбулентному течению

1) Willis A. P. et al. Experimental and theoretical progress in pipe flow transition // Phil. Trans. R. Soc. A. — 2008. — V. 366. — P. 2671–2684.

Введение

Рис. 1. Фотография обтекания сферы водой, визуализация воздушными пузырьками. Число Рейнольдса R = 15 000: ламинарный пограничный
слой отрывается от сферы перед экватором, оставаясь после отрыва
ламинарным на длине, почти равной радиусу (а). Число Рейнольдса
R = 30 000, на сферу надета проволока, турбулизующая пограничный
слой, который отрывается ниже по потоку, чем если бы пограничный
слой был ламинарным; сопротивление шара при этом резко падает (б)

сопротивление трубопроводов возрастает. Ряд атмосферных явлений
объясняется неустойчивостью слоев смешения масс воздуха, движущихся с различными скоростями (рис. 5).
Настоящая книга посвящена устойчивости ламинарных течений.
В гл. 1 рассматриваются точные и приближенные решения уравнений
Навье–Стокса, описывающие установившиеся ламинарные течения. В
гл. 2 выводятся уравнения Орра–Зоммерфельда и Рэлея, описывающие

Введение
11

Рис. 2. Обтекание вращающегося снаряда воздухом, пограничный слой подкрашен дымом. В передней части тела пограничный слой ламинарный,
далее развиваются две моды неустойчивости: кольцевые волны Толлмина–Шлихтинга и спиральные вихри. В результате развития этих
неустойчивостей пограничный слой становится турбулентным

Рис. 3. Разрушение ламинарной струи газа, визуализированной дымом, и переход к турбулентности при R = 13 000

Рис. 4. Визуализация турбулентного порыва в течении Пуазейля в круглой
трубе при числе Рейнольдса R = 1800

Введение

малые возмущения ламинарных течений. Главы 3 и 4 посвящены исследованию поведения малых возмущений без учета и с учетом вязкости.
В гл. 5 приводятся данные экспериментальных исследований устойчивости ламинарных течений, которые сравниваются с теоретическими
результатами. Глава 6 посвящена алгебраической неустойчивости, которая вызывает возникновение турбулентности в случаях, когда малые
возмущения затухают при больших временах. Наконец, гл. 7 посвящена абсолютной и конвективной неустойчивости, которые определяют
характер поведения локализованных возмущений и объясняют сохранение ламинарности ряда течений в случаях, когда они неустойчивы.

Рис. 5. Развитие неустойчивости слоя смешения в атмосфере в виде регулярной структуры облаков

Вне рамок данной книги остались такие важные в теории гидродинамической устойчивости вопросы, как тепловая конвекция, устойчивость течений тонких пленок жидкостей, влияние сжимаемости, течения около искривленных поверхностей, осесимметричные течения.
Этим темам посвящено большое количество специальной литературы.

Г Л А В А
1

УСТАНОВИВШИЕСЯ
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

В книге рассматривается устойчивость установившихся
плоскопараллельных течений1). Однако, прежде чем переходить к исследованию устойчивости, изучим сначала возможные виды таких течений. Для этого рассмотрим точные и приближенные решения уравнений Навье–Стокса, описывающие слоистые течения.

1.1.
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ–СТОКСА

Уравнения Навье–Стокса для установившегося двумерного течения вязкой несжимаемой жидкости имеют следующий вид:

∂u
∂x + ∂v

∂y = 0,

ρ
„
u∂u

∂x + v∂u

∂y

«
= −∂p

∂x + µ
„∂2u

∂x2 + ∂2u

∂y2

«
,

ρ
„
u ∂v

∂x + v∂v

∂y

«
= −∂p

∂y + µ
„ ∂2v

∂x2 + ∂2v

∂y2

«
.

(1.1)

Здесь u и v — компоненты скорости; p — давление; ρ и µ — плотность
и вязкость жидкости.
Рассмотрим решения, имеющие только одну компоненту скорости
u(x, y), а v(x, y) ≡ 0. Первое уравнение (1.1) немедленно дает u = u(y),
а третье — p = p(x). Тогда второе уравнение (1.1) сводится к

∂p
∂x = µ∂2u

∂y2 .

1) Под плоскопараллельным течением понимается плоское течение, все векторы скорости в котором параллельны друг другу.