Специальные главы высшей математики. Руководство к решению задач по теории вероятности

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________________

С.Н. ВЕРИЧЕВ, В.И. ИКРЯННИКОВ, В.И. БУТЫРИН

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ 
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета 

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК 

2009

УДК 519.2(075.8)

В 326

Рецензенты: 

канд. физ.-мат. наук, доцент А.А. Шалагинов,

д-р техн. наук, профессор В.Е. Левин

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики

Веричев С. Н.

В 326
Специальные главы высшей математики. Руководство к ре
шению задач по теории вероятностей : учеб. пособие / С.Н. Веричев, В.И. Икрянников, В.И. Бутырин. – Новосибирск : Изд-во 
НГТУ, 2009. – 100 с.

ISBN 978-5-7782-1267-1

Учебное пособие содержит в минимальном объеме теоретический 

материал по элементам теории вероятностей, необходимый для обучения студентов решению задач по данной дисциплине. Приведены 
примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения с ответами по каждой из глав. В конце пособия изложены вариант контрольной работы и условия задач по типовому расчету

Предназначено для студентов нематематических специальностей. 

Может быть полезно как преподавателям по элементам теории вероятностей, так и студентам для самостоятельного изучения предмета. 

УДК 519.2(075.8)

ISBN 978-5-7782-1267-1
© Веричев С.Н., Икрянников В.И.,

Бутырин В.И., 2009

© Новосибирский государственный 

технический университет, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие............................................................................................................4

Занятие 1. События, операции над событиями ....................................................5

Занятие 2. Классическая вероятность .................................................................10

Занятие 3. Задачи на применение формул комбинаторики...............................16

Занятие 4. Теорема сложения  и умножения вероятностей ..............................21

Занятие 5. Геометрическая вероятность .............................................................25

Занятие 6. Условная вероятность и независимость событий............................29

Занятие 7. Формула полной вероятности и Байеса............................................34

Занятие 8. Последовательность  независимых испытаний ...............................41

Занятие 9. Случайные величины. Функция распределения.

Плотность вероятности ......................................................................48

Занятие 10. Числовые характеристики  случайных величин ............................54

Занятие 11. Нормальный закон распределения. Центральная предельная 

теорема.................................................................................................59

Ответы к задачам ..................................................................................................63

Приложения...........................................................................................................72

Библиографический список .................................................................................75

Типовой расчет по теории вероятностей и математической статистике .........76

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящее учебное пособие является одной из частей курса «Спе
циальные главы высшей математики», подготовленного на кафедре 
инженерной математики НГТУ.

Первая часть по элементам теории вероятностей и статистической 

обработке экспериментальных данных, где изложена теоретическая 
часть, издана в 2003 году. Предлагаемое пособие скорректировано и 
доработано для проведения практических занятий. Материал пособия 
представлен в виде отдельных тем, которые, по мнению авторов, 
должны рассматриваться на занятиях. По каждой из тем в минимально 
необходимом объеме представлен теоретический материал, разобрано 
несколько типовых задач и предложены задачи для самостоятельного 
решения. Предлагаемые задачи подобраны из различных задачников, в 
том числе и учебных пособий, изданных в НГТУ. 

Формулы и задачи нумеруются по каждому занятию. Разработка 

подготовлена доцентами С.Н. Веричевым, В.И. Икрянниковым. Номера задач, которые имеют аналоги в других задачниках, имеют двойную 
нумерацию, например: № 1.20 (Е40) соответствует задаче № 20 из занятия 1 данного пособия и № 14.40 из [3], под редакцией П.Е. Ефимова; 2.12 (Б2.2) – задача № 12 из занятия 2 данного пособия и № 2.2, автор В.М. Бородихин [1] и т. д.

В конце учебного пособия приводятся один из вариантов кон
трольной работы и условия задач по типовому расчету (материалы из 
методической разработки НГТУ № 346, изданной на кафедре ВМ НЭТИ в 1990 году).

Занятие 1. СОБЫТИЯ, ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

Произвольное подмножество A пространства элементарных исхо
дов 
называется событием A
. Совокупность всех тех элемен
тарных исходов 
, которые влекут осуществление события А, полно
стью последнее характеризуют. Обратно: произвольное множество А
элементов 
можно рассматривать как событие А, которое проис
ходит или нет в зависимости от того, принадлежит или нет множеству А элементарное событие 
, представляющее данный исход экспе
римента. 

Свойства операций над событиями

1. Коммутатив
ность

A
B
B
A


A
B
B
A



2. Ассоциативнос

ть

(
)
(
)
A
B
C
A
B
C




, 

(
)
(
)
A
B
C
A
B
C





3. Дистрибутивно

сть

(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C





,

(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C






4. A
A, 
\
A
A, 
\
\
A B
A
B
B A

.

5. Принцип двой
ственности
1) A
B
A
B


;  2) A
B
A
B


;

3) A
B
A
B

Пусть пространство элементарных исходов 
есть произвольное 

множество, а 
– некоторая система подмножеств множества 
. 

называется алгеброй, если выполнены следующие аксиомы:

1. 
.

2. Если A
и B
A
B

( A
B

).

3. Если A
A
.

События 
1
2
,
,
,
n
A A
A

образуют полную группу попарно несовмест
ных событий, если 

1

n

i
i

A

и 
,  
i
j
A
A
i
j

.

Пример 1. Монета подбрасывается три раза подряд. Необходимо: 
а) построить пространство элементарных исходов и описать собы
тие А, состоящее в том, что выпало не менее двух гербов;

б) решить, является ли алгеброй следующая система подмножеств: 

; ; ггг, грг, ггр, грр ;  ргг, ррг, ргр, ррр
.

Р е ш е н и е. 
а) 
Пространство 
элементарных 
исходов: 

ггг, грг, ггр, грр, ргг, ррг, ргр, ррр , событие А есть подмножество 
, образованное элементарными исходами, содержащими не менее 

двух букв «Г»: А = ггг, ггр, грг, ргг . 

б) Система подмножеств 
является алгеброй, так как удовлетво
ряет всем условиям в определении алгебры (проверьте самостоятельно).

Пример 2. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех за
нумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел 

, , 
i i k , где , , 
i j k – номера ящиков, в которые попали соответствен
но первый, второй и третий шары. События: А = {первый ящик пустой}, B = {в каждый ящик попало по одному шару}, С = {все шары 
попали в один ящик}. Построить множество элементарных исходов по 
описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным 
событиям.

Р е ш е н и е. Общее число исходов эксперимента будет равно 33, а 

именно: 

=
1,1,1 , 2,2,2 , 3,3,3 , 1,2,1 , 1,1,2 , 1,1,3 , 1,3,1 ,
, 3,2,3

, или 

( , , ) |1
3; 1
3; 1
3
i j k
i
j
k
,

А = ( , , )| 2
3,2
3,2
3
i j k
i
j
k
,

В = ( , , ) |1
3; 1
3; 1
3; 
i j k
i
j
k
i
j
k ,

С = ( , , ) |1
3
i i i
i
.

З А Д А Ч И

1.1. В пекарне выпекается n булок хлеба. Аi = {i-я булка хлеба под
горела}. Записать события:

а) ни одна из булок хлеба не подгорела;
б) хотя бы одна подгорела;
в) ровно одна булка хлеба подгорела.
Р е ш е н и е:
а) 
1
2
3
...
n
i
i

А
А
А
А
А





;

б) 
1
2
3
...
n
i
i

А
А
А
А
А





;

в) 
1
2
3
1
2
3
(
...
)
(
...
)
...
n
n
А
А
А
А
А
А
А
А










1
1
(
...
)
n
n
А
А
А




.

1.2. Описать «словесно» изображенные на рисунке события (вы
полнены штриховкой). Представить событие A
B в виде суммы не
совместных событий.

1.3. Электрическая цепь (блок-схема) составлена из некоторых 

элементов по схеме, приведенной на рисунке. 

Разрыв цепи (событие А) может произойти вследствие выхода из 

строя элементов 1, 2, 3 (события 
1
A , 
2
A , 
3
A ). Выразить событие А

через события 
1
A , 
2
A , 
3
A .

1.4. При движении автомобиля под его левые и правые колеса по
падают препятствия. Пусть событие А – попадание препятствия под 
левое колесо, событие В – попадание препятствия под правое колесо. 
Какой смысл имеют события: а) A ; б) B ; в) A
B ; г) A
B ; д) AB ?

1.5. Пусть события 
, , 
A B C – попадание случайной точки в соот
ветствующие круги 
, , 
A B C на плоскости (возможны их пересечения). 

Изобразить события A
B
C ; ABC ; ABC ; ABC
; A . Предста
вить событие A
B
C в виде суммы несовместных событий.

1.6. Среди студентов, собравшихся на лекцию, наудачу отбирают 

одного. Пусть событие A заключается в том, что выбранный студент 
оказался юношей. Событие B – выбранный студент не курит, событие 
C – он живет в общежитии. Описать событие ABC ; при каком условии будет иметь место тождество ABC
A? 

1.7. В условии предыдущей задачи: когда будет верно равенство 

A
B, будет ли оно иметь место, если все юноши курят?
1.8. Событие А – хотя бы одно из четырех изделий бракованное, 

событие В – бракованных изделий не менее двух. Что означают события A и B ?

1.9. Когда возможно равенство AB
A ? Проиллюстрировать гео
метрически на схеме.

1.10. Доказать, что события 
, 
A AB и A
B образуют полную 

группу.

1.11. Доказать, что событие (
)(
)
(
)(
)
A
B A
B
A
B A
B
– досто
верно.

1.12. Монета подбрасывается три раза подряд. Построить про
странство 
элементарных исходов и описать событие A, состоя
щее в том, что выпало не менее двух гербов; является ли алгеброй 
следующая система подмножеств:
, , ггг, грг, ггр, грр ,

ргг, ррг, ргр, ррр
?

1.13. Рабочий изготовил n деталей. Пусть событие 
iA состоит в 

том, что i -я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, 
заключающееся в том, что: а) ни одна деталь не имеет дефектов; б) хотя бы одна деталь имеет дефект; в) ровно одна деталь имеет дефект; 
г) не более двух деталей имеют дефект; д) по крайней мере, две детали 
имеют дефект; е) точно две детали с дефектом.

1.14. К механизмам управления некоторого агрегата относятся ру
левое управление и две тормозные системы. Событие A – исправно 
рулевое управление, события 
1
B
и 
2
B
– исправны первая и вторая 

тормозные системы. Событие С означает работоспособность агрегата 
в том случае, если исправно рулевое управление и хотя бы одна из 
тормозных систем. Выразить события С и C через события А, 
1
B

и 
2
B .

1.15. Пусть события A и B – случайные события. Доказать, что 

события A, AB , A
B образуют полную группу.

1.16. Найти случайное событие X из равенства: (
)(
)
A
X
A
X

(
)
(
)
X
A
X
A
B .

1.17. Эксперимент состоит в двукратном подбрасывании игральной 

кости. Построить пространство элементарных событий. Описать события: A– оба раза выпало число очков, кратное трем; B – произведение 
очков делится на шесть. Найти соотношения между этими событиями.

1.18. Пусть 
, 
A B – произвольные события. Упростить выражение: 

(
)(
)(
)
A
B
A
B
A
B .

1.19. Пусть A и B – наблюдаемые события в эксперименте. Пока
зать, что событие A
B можно разложить на сумму несовместных со
бытий следующими способами: 

а) 
(
)
A
B
A
B
AB ; б) A
B
AB
AB
AB ;

в) A
B
A
BA.

1.20. Электрическая цепь составлена по схеме, представленной на 

рисунке. 

Событие 
элемент с номером  вышел из строя
k
A
k
, событие B

разрыв цепи . Выразить событие B через событие 
k
A . 

1.21. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до пер
вого попадания. Выигрывает тот, кто первым забросит мяч. События: 

первый попадает при  -м броске
k
A
k
, 

второй  попадает при  -м броске
k
B
k
, 

первый выигрывает
A
, 
второй выигрывает
B
. 

Первый баскетболист бросает первым. Определить состав множест
ва элементарных исходов и записать события , 
A B в алгебре событий.

Занятие 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 

Пусть 
– пространство элементарных исходов, 
–
-алгебра со
бытий. Вероятностью события А называют числовую функцию 
( )
P A , 

определенную на 
-алгебре событий 
. Эта функция отображает 

множество, состоящее из событий, в множество действительных чисел 

1
:
P
R и удовлетворяет следующим аксиомам.

1. Для любого события A
: 
( )
0
P A
. 

2. Вероятность достоверного события равна: 
( )
1
P
.

3. Если 
i
j
A
A

Ø (т. е. события 
iA и 
j
A – несовместны), 
i
j , 

то 

1
1

(
)
i
i
i
i

P
A
P A

.

Пусть пространство элементарных исходов 
1
2
,
,
,
n

, 

каждый из исходов 
i равновероятен, т. е. 
(
)
,  
1, 
i
P
p
i
n , сверше
ние события А есть свершение элементарных исходов: 
1
2
,
,
,
k
i
i
i

, 

т. е. событие А
состоит из 
k
элементарных исходов 
A

1
2
,
,
,
k
i
i
i

. Тогда, согласно классической схеме, вероятность 

события А есть число, являющееся отношением числа исходов, благоприятствующих свершению события А, к общему числу исходов экс
перимента: 
( )
k
P A
n .

Гипергеометрическое распределение (урновая схема). Пусть дана 

совокупность из n объектов, среди которых 
1n объектов первого типа 

и 
2
n
объектов второго типа ( 1
2
n
n
n) (например, бракованные из
делия и годные изделия). Выбирается наугад k
n объектов. Какова

вероятность того, что среди них окажется 
1k объектов первого типа и 

2
k объектов второго типа ( 1
2
k
k
k )?

Выбрать k объектов из n можно
k
n
C
способами. Выбрать 
1k объ
ектов первого типа из имеющихся 
1n объектов можно 
1
1
k
n
C
способами, 

аналогично выбрать 
2
k
объектов второго типа из 
2
n имеющихся мож
но 
2
2
k
n
C
способами. Тогда искомая вероятность 

1
2

1
2
( )

k
k

n
n

k
n

C C

P A

C

.

З А Д А Ч И

2.1. В ящике десять одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 

2…10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что 
среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь № 1; б) детали № 1 и № 2.

Р е ш е н и е. а) Общее число возможных элементарных исходов ис
пытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть деталей из десяти, т. е. 
6
10
C
.

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас 

событию: среди отобранных шести деталей есть деталь № 1 и, следовательно, остальные пять деталей имеют другие номера. Число таких 
исходов, очевидно, равно числу способов, которыми можно отобрать 
пять деталей из оставшихся девяти, т. е. 
5
9
C . Искомая вероятность рав
на отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому 
событию, к общему числу возможных элементарных исходов: 

5
9
6
10

3
5

C
P

C

.

б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас собы
тию (среди отобранных деталей есть детали № 1 и № 2, следовательно, 
четыре детали имеют другие номера), равно числу способов, которыми 
можно извлечь четыре детали из оставшихся восьми, т. е. 
4
8
C . Искомая 

вероятность 

4
8
6
10

1
3

C
P

C

.