Теория вероятностей в пакете MATLAB
Покупка
Издательство:
Горячая линия-Телеком
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 611
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
Профессиональное образование
ISBN: 978-5-9912-7005-2
Артикул: 638367.01.99
В учебном пособии изложены классические основы теории вероятностей на
базе пакета прикладных программ MATLAB. Курс состоит из двух тесно связан-
ных частей и включает 16 лекций (Часть I) и 16 семинарских занятий (Часть II).
Во второй части представлены две контрольные работы с ответами, по 90 задач
в каждой. Папка «Приложение к учебнику «Теория вероятностей в пакете MATLAB
» содержит MATLAB-файлы учебных программ 16-и семинарских занятий.
Данную папку можно скачать с сайта издательства.
Особенностью курса является активное использование изобразительных
и вычислительных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами
навыками подсчета вероятностей и моделирования методом Монте-Карло раз-
личного рода случайных величин и событий. В последних трех лекциях и семи-
нарах курса в рамках выборочного метода излагаются основы математической
статистики.
Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения ко-
торых входит дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика».
Он также может оказаться полезным для магистров, желающих расширить свои
знания по теории вероятностей и основам математической статистики, опираясь
на пакет прикладных программ MATLAB.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
К. Э. Плохотников, В. Н. Николенко ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ПАКЕТЕ MATLAB Рекомендовано УМО по образованию в области статистики и математических методов в экономике в качестве учебника для студентов, обучающихся по направлениям «Статистика», «Математические методы в экономике» и другим экономическим специальностям Москва Горячая линия – Телеком 2014
УДК 519.21
ББК 22.171
П39
Р е ц е н з е н т ы : доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. П. Пытьев; доктор физ.-мат. наук,
профессор Л.А. Севастьянов
Плохотников К. Э., Николенко В. Н.
П39 Теория вероятностей в пакете MATLAB. Учебник для вузов. – М.:
Горячая линия – Телеком, 2014. – 611с. + Папка с MATLAB-файлами (16
семинарских занятий, 196 файлов).
ISBN 978-5-9912-7005-2
В учебном пособии изложены классические основы теории вероятностей на
базе пакета прикладных программ MATLAB. Курс состоит из двух тесно связанных частей и включает 16 лекций (Часть I) и 16 семинарских занятий (Часть II).
Во второй части представлены две контрольные работы с ответами, по 90 задач
в каждой. Папка «Приложение к учебнику «Теория вероятностей в пакете MATLAB» содержит MATLAB-файлы учебных программ 16-и семинарских занятий.
Данную папку можно скачать с сайта издательства.
Особенностью курса является активное использование изобразительных
и вычислительных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами
навыками подсчета вероятностей и моделирования методом Монте-Карло различного рода случайных величин и событий. В последних трех лекциях и семинарах курса в рамках выборочного метода излагаются основы математической
статистики.
Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения которых входит дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика».
Он также может оказаться полезным для магистров, желающих расширить свои
знания по теории вероятностей и основам математической статистики, опираясь
на пакет прикладных программ MATLAB.
ББК 22.171
Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU
Электронное учебное издание
Плохотников Константин Эдуардович, Николенко Владимир Николаевич
Теория вероятностей в пакете MATLAB
Учебник для вузов
Издание подготовлено авторами и опубликовано в авторской редакции
Подписано в печать 31.12.2013. Формат 60×90/8 Уч. изд. л. 25.
ISBN 978-5-9912-7005-2 © К. Э. Плохотников, В.Н. Николенко, 2013
© Издательство «Горячая линия – Телеком», 2013
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 3 — ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ .................................................................................... 8 ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................. 9 ЛЕКЦИЯ №1 .............................................................................................. 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................................... 13 §1. Определение теории вероятностей ........................................................................................... 13 §2. Некоторые примеры ................................................................................................................... 14 §3. Устойчивость частот в массовых статистических совокупностях ........................................ 21 ЛЕКЦИЯ №2 .............................................................................................. 25 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .......................................... 25 §1. Событие. Вероятность события ................................................................................................ 25 §2. Непосредственный подсчет вероятности ................................................................................. 27 §3. Частота или статистическая вероятность события .................................................................. 33 §4. Случайная величина ................................................................................................................... 34 §5. Геометрическая вероятность ..................................................................................................... 35 §6. Принцип практической уверенности ........................................................................................ 37 ЛЕКЦИЯ №3 .............................................................................................. 42 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ........................................................................... 42 §1. Определение комбинаторики .................................................................................................... 42 §2. Размещения, перестановки и сочетания ................................................................................... 42 §3. Биномиальное распределение ................................................................................................... 47 §4. Идея метода проверки статистических гипотез ...................................................................... 49 ЛЕКЦИЯ №4 .............................................................................................. 52 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .......................................... 52 §1. Смысл и назначение основных теорем теории вероятностей ................................................ 52 §2. Теорема сложения вероятностей .............................................................................................. 58 ЛЕКЦИЯ №5 .............................................................................................. 67 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. II ..................................... 67 §1. Теорема умножения вероятностей ............................................................................................ 67 §2. Формула полной вероятности ................................................................................................... 75 §3. Теорема гипотез (формула Бейеса) ........................................................................................... 79 ЛЕКЦИЯ №6 .............................................................................................. 84 ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ..................................................................................................84 §1. Пространство элементарных исходов ...................................................................................... 84 §2. Соответствие теории множеств и теории вероятностей ......................................................... 85 ЛЕКЦИЯ №7 .............................................................................................. 95 СЕРИЯ ПОВТОРНЫХ ОПЫТОВ ............................................................................. 95 §1. Основные определения, характерные для серии испытаний.................................................. 95 §2. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа ........................................ 99 §3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности ....................................... 103 ЛЕКЦИЯ №8 ............................................................................................ 108 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............................... 108 §1. Ряд распределения. Многоугольник распределения ............................................................. 108 §2. Функция распределения .......................................................................................................... 112 §3. Вероятность попадания в заданный интервал ....................................................................... 117
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 4 — ЛЕКЦИЯ №9 ............................................................................................ 119 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОКАЗАТЕЛИ СРЕДНЕГО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН...................................................................................................119 §1. Плотность распределения ........................................................................................................ 119 §2. Числовые характеристики случайных величин ..................................................................... 125 §3. Показатели средней величины ................................................................................................ 126 ЛЕКЦИЯ №10 .......................................................................................... 134 МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ .....................................................................................................................134 §1. Моменты ................................................................................................................................... 134 §2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение .................................................................... 138 §3. Коэффициент асимметрии и эксцесс ...................................................................................... 140 ЛЕКЦИЯ №11 .......................................................................................... 147 НОРМАЛЬНОЕ, РАВНОМЕРНОЕ И ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .......... 147 §1. Нормальный закон распределения.......................................................................................... 147 §2. Равномерно распределенная случайная величина................................................................. 154 §3. Закон Пуассона ......................................................................................................................... 157 §4. Свойства математического ожидания и дисперсии .............................................................. 161 ЛЕКЦИЯ №12 .......................................................................................... 164 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .................................................................. 164 §1. Понятие о системе случайных величин ................................................................................. 164 §2. Система двух случайных величин .......................................................................................... 167 §3. Законы распределения случайных величин, входящих в систему....................................... 174 ЛЕКЦИЯ №13 .......................................................................................... 181 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................... 181 §1. Закон больших чисел ............................................................................................................... 181 §2. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева .......................................................................... 185 §3. Обобщенная теорема Чебышева, теорема Маркова .............................................................. 192 §4. Теоремы Бернулли и Пуассона ............................................................................................... 197 ЛЕКЦИЯ №14 .......................................................................................... 199 ВВЕДЕНИЕ В ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД СТАТИСТИКИ .................................... 199 §1. Генеральная и выборочная совокупности .............................................................................. 199 §2. Случайная выборка .................................................................................................................. 202 §3. Оценка параметров генеральной совокупности .................................................................... 206 §4. Оценки математического ожидания и дисперсии ................................................................. 209 §5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность ........................................................ 212 ЛЕКЦИЯ №15 .......................................................................................... 217 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И БИНОМИАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................... 217 §1. Распределение Стьюдента ....................................................................................................... 217 §2. Распределение “хи-квадрат” ................................................................................................... 223 §3. Оценка вероятности по частоте .............................................................................................. 228 ЛЕКЦИЯ №16 .......................................................................................... 233 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ...................................................... 233 §1. Статистическая гипотеза ......................................................................................................... 233 §2. Двухсторонний критерий оценки математического ожидания ............................................ 234 §3. Односторонние критерии оценки математического ожидания ............................................ 242 §4. Оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии........................................ 245 §5. Оценка дисперсии нормального распределения ................................................................... 248
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 5 — ЧАСТЬ II. СЕМИНАРЫ ........................................................................ 253 СЕМИНАР №1 ......................................................................................... 254 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ......................................................... 254 §1. Вводные задачи ........................................................................................................................ 254 §2. Устойчивость частот в массовых статистических совокупностях ......................................266 СЕМИНАР №2 ......................................................................................... 271 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................ 271 §1. Событие. Вероятность события .............................................................................................. 271 §2. Непосредственный подсчет вероятности ............................................................................... 272 §3. Частота или статистическая вероятность события ................................................................ 278 §4. Геометрическая вероятность ................................................................................................... 280 §5. Принцип практической уверенности ...................................................................................... 282 СЕМИНАР №3 ......................................................................................... 290 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ......................................................................... 290 §1. Размещения, перестановки и сочетания ................................................................................. 290 §2. Биномиальное распределение ................................................................................................. 295 §3. Идея метода проверки статистических гипотез .................................................................... 296 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 299 СЕМИНАР №4 ......................................................................................... 301 ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ......................................................... 301 §1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 301 §2. Примеры использования теоремы сложения вероятностей ................................................. 302 §3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 313 СЕМИНАР №5 ......................................................................................... 315 ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ ......................................................................... 315 §1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 315 §2. Задачи на тему теоремы умножения вероятностей ............................................................... 316 §3. Задачи на тему формулы полной вероятности ...................................................................... 323 §4. Задачи на тему теорема гипотез или формулы Бейеса ......................................................... 327 §5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 331 СЕМИНАР №6 ......................................................................................... 333 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ .............................................. 333 §1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 333 §2. Примеры пространств элементарных исходов ...................................................................... 333 §3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 342 СЕМИНАР №7 ......................................................................................... 346 СЕРИЯ ПОВТОРНЫХ ОПЫТОВ ........................................................................... 346 §1. Биномиальное распределение ................................................................................................. 346 §2. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа ...................................... 349 §3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности ....................................... 355 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 361 СЕМИНАР №8 ......................................................................................... 364 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............................... 364 §1. Ряд распределения. Многоугольник распределения ............................................................. 364 §2. Функция распределения .......................................................................................................... 368 §3. Вероятность попадания в заданный интервал ....................................................................... 373 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 375
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 6 — КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 ПО МАТЕРИАЛАМ СЕМИНАРОВ №1 — №8................................................................................. 380 СЕМИНАР №9 ......................................................................................... 387 ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОКАЗАТЕЛИ СРЕДНЕГО СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН...................................................................................................387 §1. Плотность распределения ........................................................................................................ 387 §2. Показатели средней величины ................................................................................................ 396 §3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 406 СЕМИНАР №10 ....................................................................................... 411 МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ .....................................................................................................................411 §1. Моменты ................................................................................................................................... 411 §2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение .................................................................... 416 §3. Коэффициент асимметрии и эксцесс ...................................................................................... 418 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 428 СЕМИНАР №11 ....................................................................................... 430 НОРМАЛЬНОЕ, РАВНОМЕРНОЕ И ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .......... 430 §1. Нормальный закон распределения.......................................................................................... 430 §2. Равномерно распределенная случайная величина................................................................. 438 §3. Закон Пуассона ......................................................................................................................... 442 §4. Свойства математического ожидания и дисперсии .............................................................. 444 §5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 448 СЕМИНАР №12 ....................................................................................... 452 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .................................................................. 452 §1. Понятие о системе случайных величин ................................................................................. 452 §2. Система двух случайных величин .......................................................................................... 454 §3. Законы распределения случайных величин, входящих в систему....................................... 464 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 473 СЕМИНАР №13 ....................................................................................... 476 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................... 476 §1. Закон больших чисел ............................................................................................................... 476 §2. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева .......................................................................... 482 §3. Обобщенная теорема Чебышева, теорема Маркова .............................................................. 492 §4. Теоремы Бернулли и Пуассона ............................................................................................... 499 §5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 501 СЕМИНАР №14 ....................................................................................... 505 ВВЕДЕНИЕ В ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД СТАТИСТИКИ .................................... 505 §1. Генеральная и выборочная совокупности .............................................................................. 505 §2. Случайная выборка .................................................................................................................. 508 §4. Оценки математического ожидания и дисперсии ................................................................. 514 §5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность ........................................................ 518 §6. Дополнительные задачи........................................................................................................... 523 СЕМИНАР №15 ....................................................................................... 531 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И БИНОМИАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................... 531 §1. Распределение Стьюдента ....................................................................................................... 531 §2. Распределение “хи-квадрат” ................................................................................................... 539 §3. Оценка вероятности по частоте .............................................................................................. 548 §4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 554
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 7 — СЕМИНАР №16 ....................................................................................... 559 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ...................................................... 559 §1. Статистическая гипотеза ......................................................................................................... 559 §2. Двухсторонний критерий оценки математического ожидания ............................................ 560 §3. Односторонние критерии оценки математического ожидания ............................................ 574 §4. Оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии........................................ 578 §5. Оценка дисперсии нормального распределения ................................................................... 584 §6. Дополнительные задачи........................................................................................................... 590 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 ПО МАТЕРИАЛАМ СЕМИНАРОВ №9 — №16............................................................................... 597 ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1 ..................................... 608 ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №2 ..................................... 610
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 8 — ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 9 — Введение Экономические реформы, направленные на ускорение перехода России к рыночным отношениям, не могут быть успешными без глубокой научной проработки проблем формирования и развития рынка товаров и услуг, преобразования хозяйственного механизма применительно к рынку и создания соответствующего методологического, правового, информационного обеспечения коммерческой деятельности предприятий и организаций разных форм собственности. Успех коммерческой деятельности во многом зависит от адекватной оценки рыночной ситуации, собственных возможностей и потенциала конкурентов, обоснованности прогноза последствий принятых решений, степени риска на рынке и т.п. Именно теория вероятностей и математическая статистика используют и развивают методологию анализа и прогнозирования подобной информации. В связи с повышенными требованиями, которые предъявляются к работе коммерсантов, менеджеров, экономистов, аналитиков и т.п., возникла необходимость их более глубокой теоретико-вероятностной и статистической подготовки. Задачи изучения дисциплины “Теория вероятностей” состоят в реализации требований, установленных в Государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования1, к подготовке специалистов в области прикладной информатики (код 230700). Изучение данной дисциплины предусматривает проведение лекционных и практических занятий. Всего в данном курсе предусмотрено 16 лекций и 16 семинарских занятий. Объем курса 32 + 32 = 64 часа. Лекционные занятия имеют своей целью ввести студентов в курс проблем теории вероятностей, разъяснить сущность основных категорий, методов, показателей теории вероятностей, а также математической статистики в части основ выборочного метода. Лекции призваны развивать у студентов теоретиковероятностное и статистическое мышление, дать понятие о роли и значении теории вероятностей и математической статистики в обществе, их методов и показателей в социально-экономических исследованиях. Лекции должны облегчать студентам самостоятельную работу над курсом, над учебной литературой и контрольными работами, указать направление и способы самостоятельного углубленного изучения курса. Цель практических занятий — научить студентов применять теоретические знания для решения практических задач, а также проверить усвоение студентами лекционного материала, другой учебной литературы, степень глубины и интенсивности их самостоятельной работы. На практических занятиях студент знакомится с таким современным специализированным пакетом прикладных программ, как MATLAB. На 1 http://www.osu.ru/docs/bachelor/fgos/230700b.pdf
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 10 — практических занятиях студенты в аудитории, оснащенной компьютерной техникой, под руководством преподавателя самостоятельно изучают текущий раздел дисциплины, используя пакет прикладных программ MATLAB. Пакет выступает в качестве универсального средства расчетов, характерных для теории вероятностей. Навык использования среды MATLAB формирует у студентов комплексное, систематическое мышление. Начиная с семинара №3, в конце семинаров приводится перечень задач с ответами для самостоятельной подготовки к контрольным работам, которых в данном курсе предполагается две. Контрольная работа №1 после освоения семинаров №1 — №8 и контрольная работа №2 после освоения оставшихся семинаров с №9 по №16. При разработке данного учебного пособия были использованы следующие учебники прошлых лет. 1. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей (Серия “теория вероятностей и математическая статистика”). — М., 1974. — 120с. 2. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Теория вероятностей, математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков: учебное издание. — М.: Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010. — 408с. 3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576с. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 2003. — 479с. 5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 573с. 6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. — М.: Наука, 1988. — 448с. 7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. — М., Высшая школа, 1979. — 400с. 8. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. — Мн.: ТетраСистемс, 2003. — 288с. Среди учебных пособий по теории вероятностей, которые ориентируются на пакет MATLAB, отметим учебник: 9. Иглин С.П. Теория вероятностей и математическая статистика на базе MATLAB. — http://iglin.exponenta.ru/All/Book2Disc/index.html В основу современной теории вероятностей легли результаты работ Б. Паскаля (1623 — 1662), П. де Ферма (1601 — 1665), Г. Галилея (1564 — 1642), Я. Бернулли (1654 — 1705), П.С. Лапласа (1749 — 1827), А. де Муавра (1667 — 1754) и других ученых. В XIX в. теория вероятностей сформировалась как стройная математическая дисциплина благодаря работам выдающегося русского ученого П.Л. Чебышева (1821 — 1894) и его учеников А.А. Маркова (1856 — 1922) и А.М. Ляпунова (1857 — 1918). В ХХ в. значительный вклад в развитие современной теории вероятностей внесли отечественные ученые: С.Н. Бернштейн, Б.В. Гнеденко, B.C. Пугачев,
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 11 — В.И. Романовский, Н.В. Смирнов, А.Я. Хинчин и др. Отметим особую роль А.Н. Колмогорова — создателя современной теории вероятностей, как специального раздела теории меры и интеграла. Широкую известность приобрели также фундаментальные работы зарубежных ученых: Р. Мизеса, Г. Крамера, Д. Неймана, Р. Фишера, М. Кендалла, А. Стьюарта и др. Благодаря быстрому развитию теории вероятностей во второй половине XX века, статистика стала полноценной математической теорией, ее использование стало повсеместным и общепринятым. Важность статистики проявляется в том, что она является наиболее развитой и продвинутой методологией при работе с большими совокупностями данных. Важность для статистики теории вероятностей выражается в том, что статистика придерживается так называемой вероятностной логики. С общеобразовательной школы мы привыкли к логике Аристотеля, в которой имеет место закон “исключенного третьего”. Согласно закону исключенного третьего, верно либо прямое, либо обратное утверждения, третье исключено. Например, ребенок спрашивает у отца: “Папа, если я брошу яблоко, оно упадет на Землю или улетит на небо?”. Папа, согласно логике Аристотеля, должен выбрать для ответа одно из двух: либо он ответит, что яблоко упадет на Землю, либо яблоко улетит на небо, третьего не дано. В статистике, согласно вероятностной логике, третье дано, т.е., возвращаясь к нашему примеру, яблоко вероятно упадет на Землю, вероятно, улетит на небо, вероятно зависнет между небом и Землей, а вероятно разделиться на n частей и т.п. Все эти вероятности отличаются друг от друга мерой, которую называют вероятностной, или вероятностью. В зависимости от значений этой меры мы ранжируем события в шкале “вероятно — невероятно”. Теория вероятностей есть просто свод формализованных способов и рецептов того, как вычислять числовую меру вероятности наступления тех или иных событий. Эта числовая мера и есть вероятность. Помимо теории вероятностей с ее событийно-частотной интерпретацией, можно говорить и об иных способах описания сложных явлений и процессов. В работах Ю.П. Пытьева разрабатывается теория возможностей. Данная теория лучше, чем теория вероятностей, приспособлена для математического моделирования сложных физических, технических, социальных, экономических объектов, субъективных суждений и пр. Возможность события, в отличие от вероятности, которая оценивает частоту его появления в серии статистических экспериментов, ориентирована на относительную оценку истинности данного события, его предпочтительности в сравнении с любым другим. Вместе с тем, чем больше возможность события, тем чаще оно происходит. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что существует два определения вероятности: частотное (статистическое) или эмпирическое (в смысле Р. Мизеса) и теоретико-множественное или аксиоматическое (в Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 464с.
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 12 — смысле А.Н. Колмогорова). На рис.1 приведены два базовых способа толкования понятия “вероятность”. Под частотным или эмпирическим подходом имеется в виду осуществление соответствующего статистического эксперимента, содержащего как можно больше испытаний (при сохранении всех условий эксперимента, которые мы в состоянии отследить). Вероятность в этом случае оценивается с помощью частоты появления интересующего нас события. При этом под частотой понимается отношение числа появления данного события к общему числу испытаний. При аксиоматическом подходе формулируется набор аксиом, из которых в дальнейшем выводится теория вероятностей, рассматриваемая в этом случае как математическая наука. Рис.1. Два базовых толкования понятия “вероятность” На протяжении всего курса оба базовых толкования понятия “вероятность” будут постоянно приниматься в расчет при решении различного рода задач, а также во множестве примеров, разобранных в курсе. Частотный или эмпирический подход будет востребован в связи с широким использованием в курсе пакета прикладных программ MATLAB. Данный пакет хорошо приспособлен для моделирования случайных событий с помощью метода статистических испытаний или, как его еще принято называть, метода Монте-Карло. ВЕРОЯТНОСТЬ Частотный или эмпирический подход к определению вероятности (в смысле Р. Мизеса) Теоретико множественный или аксиоматический подход к определению вероятности (в смысле А.Н. Колмогорова
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 13 — Лекция №1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Приводится набор определений теории вероятностей. Излагается ряд примеров, иллюстрирующих феномен случая, случайной изменчивости в контексте некоторого фиксированного комплекса условий. Случай в приведенных примерах полностью моделируется методом статистических испытаний или методом Монте-Карло. На ряде примеров иллюстрируется, что означает устойчивость частот появления интересующего нас события. §1. Определение теории вероятностей В предисловии к первому изданию книги А.Н. Колмогорова2, которая было опубликована в 1933 г., изложена знаменитая программа аксиоматизации теории вероятностей. Целью предлагаемой работы является аксиоматическое обоснование теории вероятностей. Ведущей мыслью автора было при этом естественное включение основ теории вероятностей, считавшихся еще недавно совершенно своеобразными, в ряд общих понятий современной математики. В известном учебнике Е.С. Вентцель3 реализация данной программы кладется в определение теории вероятностей. Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Приведем еще одно определение теории вероятностей. Теория вероятностей изучает модели экспериментов, результат которых нельзя предсказать точно, определенно4. В последнем определении особо выделена роль эксперимента, т.е. комплекс условий, который, как предполагается в теории вероятностей, сопровождает опыт и более или менее фиксирован при переходе от текущего опыта к последующему. В вышеупомянутой книге А.Н. Колмогорова приведен следующий перечень условий применения теории вероятностей к реальному опыту. 1) Предполагают данным некоторый комплекс условий, допускающий неограниченное число повторений. 2) Изучают определенный круг событий, которые могут наступать в результате осуществление заданного комплекса условий. 3) Если после реализации заданного комплекса условий осуществившийся на практике вариант окажется принадлежащим к некоторому множеству A, то говорят, что наступило событие A. 2 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1974. 120с. 3 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. 576с. 4 Ротарь В.И. Теория вероятностей: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 1992. 368с.
Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB — 14 — §2. Некоторые примеры Рассмотрим некоторые примеры того, как и где появляется случайность, непредсказуемость, неопределенность. Пример №1. Пусть человек камнем пытается поразить некоторую цель. Почему ему, как правило, не удается это сделать с первого раза? Для ответа на поставленный вопрос построим математическую модель данной задачи. Введем систему координат и свяжем ее с поверхностью Земли, причем ось x направим вдоль поверхности, а ось y — вертикально вверх. Рис.1. Траектория движения камня, брошенного под углом к горизонту Определим цель, которую требуется поразить, в виде метки на поверхности Земли. Рассмотрим движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту. Пусть камень стартует в точке (x0,y0) с некоторой начальной скоростью v0 под углом к горизонту. Не будем учитывать множество сопутствующих факторов, например, сопротивление воздуха, случайные порывы ветра и пр. В этом случае, согласно механике, траектория движения камня имеет следующий вид: , sin ) ( , cos ) ( 2 2 1 0 0 0 0 gt t v y t y y t v x t x x (1) где t — время, g — ускорение свободного падения. Построим траекторию (1) средствами MATLAB. Данная программа представлена в тексте семинара №1. На рис.1 приведен итоговый график. Данный конкретный график был построен, когда x0 = 0, y0 = 1,5 м, v0 = 10 м/сек, = /4 (450). Считаем, что цель в точности соответствует точке на