Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 ч. Ч.3. Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля

УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73
И60

Авторы: А.П. Рябшо, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юрть

Рецензенты: афедра высшей математии № 1 Белорссоо национальноо техничесоо ниверситета; заведющий отделом теории чисел Инститта математии Национальной аадемии наБеларси дотор физиоматематичесих на, профессор В.И. БерниВсе права на данное издание защищены. Воспроизведение всей нии или любой
ее части не может быть осществлено без разрешения издательства.

Индивидальные задания по высшей математие :
чеб. пособие. В 4 ч. Ч. 3. Ряды. Кратные и риволинейные интералы. Элементы теории поля / А. П. Рябшо [и др.] ; под общ. ред. А. П. Рябшо. – 6-е изд. –
Минс: Выш. ш., 2013. – 367 с. : ил.
ISBN 978-985-06-2222-8.

Это третья ниа омплеса чебных пособий по рсвысшей
математии, направленных на развитие и ативизацию самостоятельной работы стдентов техничесих взов. Содержатся теоретичесие
сведения и наборы задач для адиторных и индивидальных заданий. 
Предыдщее издание вышло в 2009 .
Для стдентов инженерно-техничесих специальностей взов. Бдет полезно стдентам эономичесих специальностей, а таже преподавателям взов, олледжей  и технимов. 
УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73

 

ISBN 978-985-06-2222-8 (ч. 3)
© Оформление. УП «Издательство
ISBN 978-985-06-2000-2
“Вышэйшая шола”», 2013

И60

УДКѝ517(076.1)(075.8)
ББКѝ22.1я73
И60

Авторы:ѝА.П.ѝРябушко,ѝВ.В.ѝБархатов,ѝВ.В.ѝДержавец,ѝИ.Е.ѝЮруть

Рецензенты:ѝ кафедраѝ высшейѝ математикиѝ №ѝ 1ѝ Белорусскогоѝ национальногоѝтехническогоѝуниверситета;ѝзаведующийѝотделомѝтеорииѝчиселѝИнститутаѝматематикиѝНациональнойѝакадемииѝнаукѝБеларусиѝдокторѝфизикоматематическихѝнаук,ѝпрофессорѝВ.И.ѝБерник

Всеѝправаѝнаѝданноеѝизданиеѝзащищены.ѝВоспроизведениеѝвсейѝкнигиѝилиѝлюбой
ееѝчастиѝнеѝможетѝбытьѝосуществленоѝбезѝразрешенияѝиздательства.

Индивидуальныеѝзаданияѝпоѝвысшейѝматематикеѝ:
учеб.ѝпособие.ѝВѝ4ѝч.ѝЧ.ѝ3.ѝРяды.ѝКратныеѝиѝкриволинейныеѝинтегралы.ѝЭлементыѝтеорииѝполяѝ/ѝА. П.ѝРябушкоѝ[иѝдр.] ;ѝподѝобщ.ѝред.ѝА. П.ѝРябушко.ѝ–ѝ5-еѝизд.,
испр.ѝ–ѝМинскѝ:ѝВыш.ѝшк.,ѝ2009.ѝ–ѝ367ѝс.ѝ:ѝил.
ISBNѝ978-985-06-1677-7.

Этоѝтретьяѝкнигаѝкомплексаѝучебныхѝпособийѝпоѝкурсуѝвысшей
математики,ѝнаправленныхѝнаѝразвитиеѝиѝактивизациюѝсамостоятельнойѝработыѝстудентовѝтехническихѝвузов.ѝСодержатсяѝтеоретические
сведенияѝиѝнаборыѝзадачѝдляѝаудиторныхѝиѝиндивидуальныхѝзаданий.ѝ
Предыдущееѝизданиеѝвышлоѝвѝ2007ѝг.
Дляѝстудентовѝинженерно-техническихѝспециальностейѝвузов.ѝБудетѝполезноѝстудентамѝэкономическихѝспециальностей,ѝаѝтакжеѝпреподавателямѝвузов,ѝколледжейѝѝиѝтехникумов.ѝ
УДКѝ517(076.1)(075.8)
ББКѝ22.1я73

ѝ

ISBNѝ978-985-06-1677-7ѝ(ч.ѝ3)
ISBNѝ978-985-06-1678-4
©ѝИздательствоѝ«Вышэйшаяѝшкола»,ѝ2009

И60

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемаяѝвниманиюѝчитателяѝкнигаѝпродолжаетѝкомплексѝучебныхѝпособийѝподѝобщимѝназваниемѝ«Индивидуальныеѝзаданияѝпоѝвысшейѝматематике».ѝОнѝнаписанѝвѝсоответствииѝсѝдействующимиѝпрограммамиѝкурсаѝвысшейѝматематики
вѝобъемеѝ380–450ѝчасовѝдляѝинженерно-техническихѝспециальностейѝ вузов.ѝѝ Этотѝкомплексѝ ѝ можетѝ бытьѝ использован
такжеѝвѝвузахѝдругихѝпрофилей,ѝвѝкоторыхѝколичествоѝчасов,
отведенноеѝ наѝ изучениеѝ высшейѝ математики,ѝ значительно
меньше.ѝ(Вѝпоследнемѝслучаеѝизѝпредлагаемогоѝматериалаѝрекомендуетсяѝсделатьѝнеобходимуюѝвыборку.)ѝКромеѝтого,ѝон
вполнеѝдоступенѝдляѝстудентовѝвечернихѝиѝзаочныхѝотделенийѝвузов.
Данныйѝ комплексѝ пособийѝ адресованѝ преподавателямѝ и
студентамѝиѝпредназначенѝдляѝпроведенияѝпрактическихѝаудиторныхѝзанятий,ѝсамостоятельныхѝ(миниконтрольных)ѝработ
иѝвыдачиѝиндивидуальныхѝдомашнихѝзаданийѝпоѝвсемѝразделамѝкурсаѝвысшейѝматематики.
Вѝтретьейѝкнигеѝкомплексаѝ«Индивидуальныеѝзаданияѝпо
высшейѝматематике»ѝсодержитсяѝматериалѝпоѝрядам,ѝкратным
иѝ криволинейнымѝинтеграламѝ иѝ элементамѝтеорииѝ поля.ѝ Ее
структураѝаналогичнаѝструктуреѝпервыхѝдвухѝкниг,ѝаѝнумерацияѝглав,ѝпараграфовѝ иѝрисунковѝ продолжаетѝсоответствующуюѝ нумерацию.ѝ Вѝ Приложенияхѝ приведеныѝ двухчасовые
контрольныеѝработыѝдляѝблочныхѝэкзаменов.
Авторыѝвыражаютѝискреннююѝблагодарностьѝрецензентамѝ–
коллективуѝкафедрыѝвысшейѝматематикиѝ№ѝ1ѝБелорусскогоѝнациональногоѝтехническогоѝуниверситета,ѝвозглавляемомуѝдокторомѝтехническихѝнаук,ѝпрофессоромѝН.А.ѝМикуликом,ѝиѝзаведующемуѝ отделомѝ теорииѝ чиселѝ Институтаѝ математикиѝ НациональнойѝакадемииѝнаукѝБеларусиѝдокторуѝфизико-математическихѝнаук,ѝпрофессоруѝВ.И.ѝБерникуѝ–ѝзаѝценныеѝзамечанияѝи
советы,ѝспособствовавшиеѝулучшениюѝкниги.
Всеѝ отзывыѝ иѝ пожеланияѝ просьбаѝ направлятьѝ поѝ адресу:
издательствоѝ «Вышэйшаяѝ школа»,ѝ пр.ѝ Победителей,ѝ 11,
220048,ѝМинск.
Авторы

МЕТОДИЧЕСКИЕѝРЕКОМЕНДАЦИИ

Охарактеризуемѝструктуруѝпособия,ѝметодикуѝегоѝиспользования,ѝорганизациюѝпроверкиѝиѝоценкиѝзнаний,ѝнавыковѝи
уменийѝстудентов.
Весьѝпрактическийѝматериалѝпоѝкурсуѝвысшейѝматематики
разделенѝнаѝглавы,ѝвѝкаждойѝизѝкоторыхѝдаютсяѝнеобходимые
теоретическиеѝ сведенияѝ (основныеѝ определения,ѝ формулировкиѝтеорем,ѝформулы),ѝиспользуемыеѝприѝрешенииѝзадачѝи
выполненииѝупражнений.ѝИзложениеѝэтихѝсведенийѝиллюстрируетсяѝрешеннымиѝпримерами.ѝ(Началоѝрешенияѝпримеров
обозначаетсяѝсимволомѝ,ѝаѝконецѝ–ѝ.)ѝЗатемѝдаютсяѝподборкиѝзадачѝсѝответамиѝдляѝвсехѝпрактическихѝаудиторныхѝзанятийѝ(АЗ)ѝиѝдляѝсамостоятельныхѝ(миниконтрольных)ѝработѝна
10–15ѝминутѝвоѝвремяѝэтихѝзанятий.ѝИ,ѝнаконец,ѝприводятся
недельныеѝиндивидуальныеѝдомашниеѝзаданияѝ(ИДЗ),ѝкаждое
изѝкоторыхѝсодержитѝ30ѝвариантовѝиѝсопровождаетсяѝрешениемѝтиповогоѝварианта.ѝЧастьѝзадачѝизѝИДЗѝснабженаѝответами.
Вѝконцеѝкаждойѝглавыѝпредлагаютсяѝдополнительныеѝзадачи
повышеннойѝтрудностиѝиѝприкладногоѝхарактера.
Вѝприложенииѝприведеныѝдвухчасовыеѝконтрольныеѝработыѝ(каждаяѝ–ѝпоѝ30ѝвариантов)ѝпоѝважнейшимѝтемамѝкурса.
НумерацияѝАЗѝсквознаяѝиѝсостоитѝизѝдвухѝчисел:ѝпервоеѝиз
нихѝуказываетѝнаѝглаву,ѝаѝвтороеѝ–ѝнаѝпорядковыйѝномерѝАЗѝв
этойѝглаве.ѝНапример,ѝшифрѝАЗ-12.1ѝозначает,ѝчтоѝАЗѝотноситсяѝкѝдвенадцатойѝглавеѝиѝявляетсяѝпервымѝпоѝсчету.ѝВѝтретьейѝчастиѝпособияѝсодержитсяѝ21ѝАЗѝиѝ10ѝИДЗ.
ДляѝИДЗѝтакжеѝпринятаѝнумерацияѝпоѝглавам.ѝНапример,
шифрѝИДЗ-12.2ѝозначает,ѝчтоѝИДЗѝотноситсяѝкѝдвенадцатой
главеѝиѝявляетсяѝвторым.ѝВнутриѝкаждогоѝИДЗѝпринятаѝследующаяѝнумерация:ѝпервоеѝчислоѝозначаетѝномерѝзадачиѝвѝданномѝ задании,ѝ аѝ второеѝ –ѝ номерѝ варианта.ѝ Такимѝ образом,
шифрѝИДЗ-12.2ѝ:ѝ16ѝозначает,ѝчтоѝстудентѝдолженѝвыполнять
16-йѝвариантѝизѝИДЗ-12.2,ѝкоторыйѝсодержитѝзадачиѝ1.16,ѝ2.16,
3.16ѝиѝт.д.

5

ПриѝвыдачеѝИДЗѝстудентамѝномераѝвыполняемыхѝвариантов
можноѝменятьѝотѝзаданияѝкѝзаданиюѝпоѝкакой-либоѝсистемеѝили
случайнымѝобразом.ѝБолееѝтого,ѝможноѝприѝвыдачеѝИДЗѝлюбомуѝстудентуѝсоставитьѝегоѝвариант,ѝкомбинируяѝоднотипныеѝзадачиѝизѝразныхѝвариантов.ѝНапример,ѝшифрѝИДЗ-12.2ѝ:ѝ1.2;ѝ2.4;
3.6;ѝ4.1;ѝ5.15ѝозначает,ѝчтоѝстудентуѝследуетѝрешатьѝвѝИДЗ-12.2
первуюѝзадачуѝизѝвариантаѝ2,ѝвторуюѝ–ѝизѝвариантаѝ4,ѝтретьюѝ–
изѝвариантаѝ6,ѝчетвертуюѝ–ѝизѝвариантаѝ1ѝиѝпятуюѝ–ѝизѝварианта
15.ѝТакойѝкомбинированныйѝметодѝвыдачиѝИДЗѝпозволяетѝиз
30ѝвариантовѝполучитьѝбольшоеѝколичествоѝновыхѝвариантов.
ВнедрениеѝИДЗѝвѝучебныйѝпроцессѝпоказало,ѝчтоѝцелесообразнееѝ выдаватьѝ ИДЗѝ неѝ послеѝ каждогоѝ АЗѝ (которых,ѝ как
правило,ѝдваѝвѝнеделю),ѝаѝодноѝнедельноеѝИДЗ,ѝвключающее
основнойѝматериалѝдвухѝАЗѝданнойѝнедели.ѝ
Дадимѝ некоторыеѝ общиеѝ рекомендацииѝ поѝ организации
работыѝстудентовѝвѝсоответствииѝсѝнастоящимѝпособием.
1.ѝВѝвузеѝстуденческиеѝгруппыѝпоѝ25ѝчеловек,ѝпроводятсяѝдва
АЗѝвѝнеделю,ѝпланируютсяѝеженедельныеѝнеѝобязательныеѝдля
посещенияѝ студентамиѝ консультации,ѝ выдаютсяѝ недельные
ИДЗ.ѝПриѝэтихѝусловияхѝдляѝсистематическогоѝконтроляѝсѝвыставлениемѝоценок,ѝуказаниемѝошибокѝиѝпутейѝихѝисправления
могутѝбытьѝиспользованыѝвыдаваемыеѝкаждомуѝпреподавателю
матрицыѝответовѝиѝбанкѝлистовѝрешений,ѝкоторыеѝкафедраѝзаготавливаетѝдляѝИДЗѝ(студентамѝониѝнеѝвыдаются).ѝЕслиѝматрицыѝответовѝсоставляютсяѝдляѝвсехѝзадачѝизѝИДЗ,ѝтоѝлистыѝрешенийѝразрабатываютсяѝтолькоѝдляѝтехѝзадачѝиѝвариантов,ѝгдеѝважноѝпроверитьѝправильностьѝвыбораѝметода,ѝпоследовательностиѝ действий,ѝ навыковѝ иѝ уменийѝ приѝ вычислениях.ѝ Кафедра
определяет,ѝдляѝкакихѝИДЗѝнужныѝлистыѝрешений.ѝЛистыѝрешенийѝ(одинѝвариантѝрасполагаетсяѝнаѝодномѝлисте)ѝиспользуютсяѝ приѝ самоконтролеѝ правильностиѝ выполненияѝ заданий
студентами,ѝприѝвзаимномѝстуденческомѝконтроле,ѝаѝчащеѝвсего
приѝ комбинированномѝ контроле:ѝ преподавательѝ проверяет
лишьѝправильностьѝвыбораѝметода,ѝаѝстудентѝпоѝлистуѝрешенийѝ–
своиѝвычисления.ѝЭтоѝпозволяетѝпроверитьѝИДЗѝѝ25ѝстудентов
заѝ15–20ѝминутѝсѝвыставлениемѝоценокѝвѝжурнал.
2.ѝВѝвузеѝстуденческиеѝгруппыѝпоѝ15ѝчеловек,ѝпроводятся
дваѝАЗѝвѝнеделю,ѝвѝрасписаниеѝдляѝкаждойѝгруппыѝвключены
обязательныеѝдваѝчасаѝвѝнеделюѝсамоподготовкиѝподѝконтролемѝпреподавателя.ѝПриѝэтихѝусловияхѝорганизацияѝиндиви

МЕТОДИЧЕСКИЕѝРЕКОМЕНДАЦИИ

Охарактеризуемѝструктуруѝпособия,ѝметодикуѝегоѝиспользования,ѝорганизациюѝпроверкиѝиѝоценкиѝзнаний,ѝнавыковѝи
уменийѝстудентов.
Весьѝпрактическийѝматериалѝпоѝкурсуѝвысшейѝматематики
разделенѝнаѝглавы,ѝвѝкаждойѝизѝкоторыхѝдаютсяѝнеобходимые
теоретическиеѝ сведенияѝ (основныеѝ определения,ѝ формулировкиѝтеорем,ѝформулы),ѝиспользуемыеѝприѝрешенииѝзадачѝи
выполненииѝупражнений.ѝИзложениеѝэтихѝсведенийѝиллюстрируетсяѝрешеннымиѝпримерами.ѝ(Началоѝрешенияѝпримеров
обозначаетсяѝсимволомѝ,ѝаѝконецѝ–ѝ.)ѝЗатемѝдаютсяѝподборкиѝзадачѝсѝответамиѝдляѝвсехѝпрактическихѝаудиторныхѝзанятийѝ(АЗ)ѝиѝдляѝсамостоятельныхѝ(миниконтрольных)ѝработѝна
10–15ѝминутѝвоѝвремяѝэтихѝзанятий.ѝИ,ѝнаконец,ѝприводятся
недельныеѝиндивидуальныеѝдомашниеѝзаданияѝ(ИДЗ),ѝкаждое
изѝкоторыхѝсодержитѝ30ѝвариантовѝиѝсопровождаетсяѝрешениемѝтиповогоѝварианта.ѝЧастьѝзадачѝизѝИДЗѝснабженаѝответами.
Вѝконцеѝкаждойѝглавыѝпредлагаютсяѝдополнительныеѝзадачи
повышеннойѝтрудностиѝиѝприкладногоѝхарактера.
Вѝприложенииѝприведеныѝдвухчасовыеѝконтрольныеѝработыѝ(каждаяѝ–ѝпоѝ30ѝвариантов)ѝпоѝважнейшимѝтемамѝкурса.
НумерацияѝАЗѝсквознаяѝиѝсостоитѝизѝдвухѝчисел:ѝпервоеѝиз
нихѝуказываетѝнаѝглаву,ѝаѝвтороеѝ–ѝнаѝпорядковыйѝномерѝАЗѝв
этойѝглаве.ѝНапример,ѝшифрѝАЗ-12.1ѝозначает,ѝчтоѝАЗѝотноситсяѝкѝдвенадцатойѝглавеѝиѝявляетсяѝпервымѝпоѝсчету.ѝВѝтретьейѝчастиѝпособияѝсодержитсяѝ21ѝАЗѝиѝ10ѝИДЗ.
ДляѝИДЗѝтакжеѝпринятаѝнумерацияѝпоѝглавам.ѝНапример,
шифрѝИДЗ-12.2ѝозначает,ѝчтоѝИДЗѝотноситсяѝкѝдвенадцатой
главеѝиѝявляетсяѝвторым.ѝВнутриѝкаждогоѝИДЗѝпринятаѝследующаяѝнумерация:ѝпервоеѝчислоѝозначаетѝномерѝзадачиѝвѝданномѝ задании,ѝ аѝ второеѝ –ѝ номерѝ варианта.ѝ Такимѝ образом,
шифрѝИДЗ-12.2ѝ:ѝ16ѝозначает,ѝчтоѝстудентѝдолженѝвыполнять
16-йѝвариантѝизѝИДЗ-12.2,ѝкоторыйѝсодержитѝзадачиѝ1.16,ѝ2.16,
3.16ѝиѝт.д.

5

ПриѝвыдачеѝИДЗѝстудентамѝномераѝвыполняемыхѝвариантов
можноѝменятьѝотѝзаданияѝкѝзаданиюѝпоѝкакой-либоѝсистемеѝили
случайнымѝобразом.ѝБолееѝтого,ѝможноѝприѝвыдачеѝИДЗѝлюбомуѝстудентуѝсоставитьѝегоѝвариант,ѝкомбинируяѝоднотипныеѝзадачиѝизѝразныхѝвариантов.ѝНапример,ѝшифрѝИДЗ-12.2ѝ:ѝ1.2;ѝ2.4;
3.6;ѝ4.1;ѝ5.15ѝозначает,ѝчтоѝстудентуѝследуетѝрешатьѝвѝИДЗ-12.2
первуюѝзадачуѝизѝвариантаѝ2,ѝвторуюѝ–ѝизѝвариантаѝ4,ѝтретьюѝ–
изѝвариантаѝ6,ѝчетвертуюѝ–ѝизѝвариантаѝ1ѝиѝпятуюѝ–ѝизѝварианта
15.ѝТакойѝкомбинированныйѝметодѝвыдачиѝИДЗѝпозволяетѝиз
30ѝвариантовѝполучитьѝбольшоеѝколичествоѝновыхѝвариантов.
ВнедрениеѝИДЗѝвѝучебныйѝпроцессѝпоказало,ѝчтоѝцелесообразнееѝ выдаватьѝ ИДЗѝ неѝ послеѝ каждогоѝ АЗѝ (которых,ѝ как
правило,ѝдваѝвѝнеделю),ѝаѝодноѝнедельноеѝИДЗ,ѝвключающее
основнойѝматериалѝдвухѝАЗѝданнойѝнедели.ѝ
Дадимѝ некоторыеѝ общиеѝ рекомендацииѝ поѝ организации
работыѝстудентовѝвѝсоответствииѝсѝнастоящимѝпособием.
1.ѝВѝвузеѝстуденческиеѝгруппыѝпоѝ25ѝчеловек,ѝпроводятсяѝдва
АЗѝвѝнеделю,ѝпланируютсяѝеженедельныеѝнеѝобязательныеѝдля
посещенияѝ студентамиѝ консультации,ѝ выдаютсяѝ недельные
ИДЗ.ѝПриѝэтихѝусловияхѝдляѝсистематическогоѝконтроляѝсѝвыставлениемѝоценок,ѝуказаниемѝошибокѝиѝпутейѝихѝисправления
могутѝбытьѝиспользованыѝвыдаваемыеѝкаждомуѝпреподавателю
матрицыѝответовѝиѝбанкѝлистовѝрешений,ѝкоторыеѝкафедраѝзаготавливаетѝдляѝИДЗѝ(студентамѝониѝнеѝвыдаются).ѝЕслиѝматрицыѝответовѝсоставляютсяѝдляѝвсехѝзадачѝизѝИДЗ,ѝтоѝлистыѝрешенийѝразрабатываютсяѝтолькоѝдляѝтехѝзадачѝиѝвариантов,ѝгдеѝважноѝпроверитьѝправильностьѝвыбораѝметода,ѝпоследовательностиѝ действий,ѝ навыковѝ иѝ уменийѝ приѝ вычислениях.ѝ Кафедра
определяет,ѝдляѝкакихѝИДЗѝнужныѝлистыѝрешений.ѝЛистыѝрешенийѝ(одинѝвариантѝрасполагаетсяѝнаѝодномѝлисте)ѝиспользуютсяѝ приѝ самоконтролеѝ правильностиѝ выполненияѝ заданий
студентами,ѝприѝвзаимномѝстуденческомѝконтроле,ѝаѝчащеѝвсего
приѝ комбинированномѝ контроле:ѝ преподавательѝ проверяет
лишьѝправильностьѝвыбораѝметода,ѝаѝстудентѝпоѝлистуѝрешенийѝ–
своиѝвычисления.ѝЭтоѝпозволяетѝпроверитьѝИДЗѝѝ25ѝстудентов
заѝ15–20ѝминутѝсѝвыставлениемѝоценокѝвѝжурнал.
2.ѝВѝвузеѝстуденческиеѝгруппыѝпоѝ15ѝчеловек,ѝпроводятся
дваѝАЗѝвѝнеделю,ѝвѝрасписаниеѝдляѝкаждойѝгруппыѝвключены
обязательныеѝдваѝчасаѝвѝнеделюѝсамоподготовкиѝподѝконтролемѝпреподавателя.ѝПриѝэтихѝусловияхѝорганизацияѝиндиви

дуальной,ѝ самостоятельной,ѝ творческойѝ работыѝ студентов,
оперативногоѝконтроляѝзаѝкачествомѝэтойѝработыѝзначительно
улучшается.ѝ Рекомендованныеѝ вышеѝ методыѝ пригодныѝ иѝ в
данномѝ случае,ѝ однакоѝ появляютсяѝ новыеѝ возможности.ѝ На
АЗѝбыстрееѝпроверяютсяѝиѝоцениваютсяѝИДЗ,ѝвоѝвремяѝобязательнойѝ самоподготовкиѝ можноѝ проконтролироватьѝ проработкуѝтеорииѝиѝрешениеѝИДЗ,ѝвыставитьѝоценкиѝчастиѝстудентов,ѝпринятьѝзадолженностиѝпоѝИДЗѝуѝотстающих.
НакапливаниеѝбольшогоѝколичестваѝоценокѝзаѝИДЗ,ѝсамостоятельныеѝ иѝ контрольныеѝ работыѝ вѝ аудиторииѝ позволяет
контролироватьѝ учебныйѝ процесс,ѝ управлятьѝ им,ѝ оценивать
качествоѝусвоенияѝизучаемогоѝматериала.
Всеѝ этоѝ даетѝ возможностьѝ отказатьсяѝ отѝ традиционного
итоговогоѝ семестровогоѝ (годового)ѝ экзаменаѝ поѝ материалу
всегоѝсеместраѝ(учебногоѝгода)ѝиѝввестиѝтакѝназываемуюѝрейтинг-блок-модульнуюѝ системуѝ (РБМС)ѝ оценкиѝ знанийѝ и
навыковѝстудентов,ѝсостоящуюѝвѝследующем.ѝМатериалѝсеместраѝ (учебногоѝ года)ѝ разбиваетсяѝ наѝ блокиѝ (модули),ѝ по
каждомуѝизѝкоторыхѝвыполняютсяѝАЗ,ѝИДЗѝиѝвѝконцеѝкаждогоѝциклаѝ–ѝдвухчасоваяѝписьменнаяѝколлоквиум-контрольнаяѝработа,ѝвѝкоторуюѝвходятѝ2–3ѝтеоретическихѝвопросаѝиѝ5–
6ѝзадач.ѝУчетѝоценокѝпоѝАЗ,ѝИДЗѝиѝколлоквиуму-контрольнойѝпозволяетѝвывестиѝобъективнуюѝобщуюѝоценкуѝзаѝкаждыйѝблокѝ(модуль)ѝиѝитоговуюѝоценкуѝпоѝвсемѝблокамѝ(модулям)ѝсеместраѝ(учебногоѝгода).ѝПоложениеѝоѝРБМСѝсм.ѝвѝч.ѝ1
данногоѝкомплексаѝучебныхѝпособийѝ(прил.ѝ5).
Вѝзаключениеѝотметим,ѝчтоѝусвоениеѝсодержащегосяѝвѝпособииѝ материалаѝ гарантируетѝ хорошиеѝ знанияѝ студентаѝ по
соответствующимѝ разделамѝ курсаѝ высшейѝ математики.ѝ Для
отличноѝ успевающихѝ студентовѝ можноѝ разработатьѝ специальныеѝзаданияѝнаѝвесьѝсеместр,ѝвключающиеѝзадачиѝнастоящегоѝпособия,ѝаѝтакжеѝдополнительныеѝболееѝсложныеѝзадачиѝиѝтеоретическиеѝупражненияѝ(дляѝэтойѝцели,ѝвѝчастности,
предназначеныѝдополнительныеѝзадачиѝвѝконцеѝкаждойѝглавы).ѝПреподавательѝможетѝвыдатьѝэтиѝзаданияѝвѝначалеѝсеместра,ѝустановитьѝграфикѝихѝвыполненияѝподѝсвоимѝконтролем,ѝ разрешитьѝ свободноеѝ посещениеѝ лекционныхѝ или
практическихѝ занятийѝ поѝ высшейѝ математикеѝ иѝ вѝ случае
успешнойѝработыѝвыставитьѝотличнуюѝоценкуѝдоѝэкзаменационнойѝсессии.

7

12.ѝРЯДЫ

12.1.ѝЧИСЛОВЫЕѝРЯДЫ.ѝПРИЗНАКИѝСХОДИМОСТИѝ
ЧИСЛОВЫХѝРЯДОВ

Выражениеѝвида

,
(12.1)

гдеѝ
,ѝназываетсяѝчисловымѝрядом.ѝЧислаѝ
ѝ...ѝназываютсяѝчле
намиѝряда,ѝчислоѝ
ѝ–ѝобщимѝчленомѝряда.

Суммы
,ѝ
,ѝ...,ѝ

называютсяѝчастичнымиѝсуммами,ѝаѝ
ѝ–ѝn-йѝчастичнойѝсуммойѝрядаѝ(12.1).

Еслиѝ
ѝсуществуетѝиѝравенѝчислуѝS,ѝт.е.ѝSѝ=ѝ
,ѝтоѝрядѝ(12.1)ѝназы
ваетсяѝсходящимся,ѝаѝSѝ–ѝегоѝсуммой.ѝЕслиѝѝ
ѝѝнеѝсуществуетѝ(вѝчастнос
ти,ѝбесконечен),ѝтоѝрядѝ(12.1)ѝназываетсяѝрасходящимся.ѝРяд

называетсяѝn-мѝостаткомѝрядаѝ(12.1).
Еслиѝрядѝ(12.1)ѝсходится,ѝто
.

Примерѝ1.ѝДанѝрядѝ
.ѝУстановитьѝсходимостьѝэтогоѝрядаѝиѝнай
тиѝегоѝсумму.
Запишемѝn-юѝчастичнуюѝсуммуѝданногоѝрядаѝиѝпреобразуемѝее:

.

Поскольку

,

тоѝданныйѝрядѝсходитсяѝиѝегоѝсуммаѝS = 1. u1
u2
...
un
...
+
+
+
+
un

n
1
=

∞
∑
=

un
R
∈
u1,ѝu2,ѝun,

un

S1
u1
=
S2
u1
u2
+
=
Sn
u1
u2
...
un
+
+
+
=

Sn

Sn
n
∞
→
lim
Sn
n
∞
→
lim

Sn
n
∞
→
lim

rn
un
1
+
un
2
+
...
un
k
+
...
+
+
+
+
=

rn
n
∞
→
lim
S
Sn
–
(
)
n
∞
→
lim
0
=
=

1
n n
1
+
(
)
-------------------
n
1
=

∞
∑

Sn
1
1 2
⋅
---------1
2 3
⋅
---------...
1
n n
1
+
(
)
-------------------+
+
+
=
=

1
1-1
2-–
⎝
⎠
⎛
⎞
1
2-1
3--–
⎝
⎠
⎛
⎞
...
1
n--1
n
1
+
-----------–
⎝
⎠
⎛
⎞
+
+
+
1
1
n
1
+
-----------–
=
=

S
Sn
n
∞
→
lim
1
1
n
1
+
-----------–
⎝
⎠
⎛
⎞
n
∞
→
lim
1
=
=
=

дуальной,ѝ самостоятельной,ѝ творческойѝ работыѝ студентов,
оперативногоѝконтроляѝзаѝкачествомѝэтойѝработыѝзначительно
улучшается.ѝ Рекомендованныеѝ вышеѝ методыѝ пригодныѝ иѝ в
данномѝ случае,ѝ однакоѝ появляютсяѝ новыеѝ возможности.ѝ На
АЗѝбыстрееѝпроверяютсяѝиѝоцениваютсяѝИДЗ,ѝвоѝвремяѝобязательнойѝ самоподготовкиѝ можноѝ проконтролироватьѝ проработкуѝтеорииѝиѝрешениеѝИДЗ,ѝвыставитьѝоценкиѝчастиѝстудентов,ѝпринятьѝзадолженностиѝпоѝИДЗѝуѝотстающих.
НакапливаниеѝбольшогоѝколичестваѝоценокѝзаѝИДЗ,ѝсамостоятельныеѝ иѝ контрольныеѝ работыѝ вѝ аудиторииѝ позволяет
контролироватьѝ учебныйѝ процесс,ѝ управлятьѝ им,ѝ оценивать
качествоѝусвоенияѝизучаемогоѝматериала.
Всеѝ этоѝ даетѝ возможностьѝ отказатьсяѝ отѝ традиционного
итоговогоѝ семестровогоѝ (годового)ѝ экзаменаѝ поѝ материалу
всегоѝсеместраѝ(учебногоѝгода)ѝиѝввестиѝтакѝназываемуюѝрейтинг-блок-модульнуюѝ системуѝ (РБМС)ѝ оценкиѝ знанийѝ и
навыковѝстудентов,ѝсостоящуюѝвѝследующем.ѝМатериалѝсеместраѝ (учебногоѝ года)ѝ разбиваетсяѝ наѝ блокиѝ (модули),ѝ по
каждомуѝизѝкоторыхѝвыполняютсяѝАЗ,ѝИДЗѝиѝвѝконцеѝкаждогоѝциклаѝ–ѝдвухчасоваяѝписьменнаяѝколлоквиум-контрольнаяѝработа,ѝвѝкоторуюѝвходятѝ2–3ѝтеоретическихѝвопросаѝиѝ5–
6ѝзадач.ѝУчетѝоценокѝпоѝАЗ,ѝИДЗѝиѝколлоквиуму-контрольнойѝпозволяетѝвывестиѝобъективнуюѝобщуюѝоценкуѝзаѝкаждыйѝблокѝ(модуль)ѝиѝитоговуюѝоценкуѝпоѝвсемѝблокамѝ(модулям)ѝсеместраѝ(учебногоѝгода).ѝПоложениеѝоѝРБМСѝсм.ѝвѝч.ѝ1
данногоѝкомплексаѝучебныхѝпособийѝ(прил.ѝ5).
Вѝзаключениеѝотметим,ѝчтоѝусвоениеѝсодержащегосяѝвѝпособииѝ материалаѝ гарантируетѝ хорошиеѝ знанияѝ студентаѝ по
соответствующимѝ разделамѝ курсаѝ высшейѝ математики.ѝ Для
отличноѝ успевающихѝ студентовѝ можноѝ разработатьѝ специальныеѝзаданияѝнаѝвесьѝсеместр,ѝвключающиеѝзадачиѝнастоящегоѝпособия,ѝаѝтакжеѝдополнительныеѝболееѝсложныеѝзадачиѝиѝтеоретическиеѝупражненияѝ(дляѝэтойѝцели,ѝвѝчастности,
предназначеныѝдополнительныеѝзадачиѝвѝконцеѝкаждойѝглавы).ѝПреподавательѝможетѝвыдатьѝэтиѝзаданияѝвѝначалеѝсеместра,ѝустановитьѝграфикѝихѝвыполненияѝподѝсвоимѝконтролем,ѝ разрешитьѝ свободноеѝ посещениеѝ лекционныхѝ или
практическихѝ занятийѝ поѝ высшейѝ математикеѝ иѝ вѝ случае
успешнойѝработыѝвыставитьѝотличнуюѝоценкуѝдоѝэкзаменационнойѝсессии.

7

12.ѝРЯДЫ

12.1.ѝЧИСЛОВЫЕѝРЯДЫ.ѝПРИЗНАКИѝСХОДИМОСТИѝ
ЧИСЛОВЫХѝРЯДОВ

Выражениеѝвида

,
(12.1)

гдеѝ
,ѝназываетсяѝчисловымѝрядом.ѝЧислаѝ
ѝ...ѝназываютсяѝчле
намиѝряда,ѝчислоѝ
ѝ–ѝобщимѝчленомѝряда.

Суммы
,ѝ
,ѝ...,ѝ

называютсяѝчастичнымиѝсуммами,ѝаѝ
ѝ–ѝn-йѝчастичнойѝсуммойѝрядаѝ(12.1).

Еслиѝ
ѝсуществуетѝиѝравенѝчислуѝS,ѝт.е.ѝSѝ=ѝ
,ѝтоѝрядѝ(12.1)ѝназы
ваетсяѝсходящимся,ѝаѝSѝ–ѝегоѝсуммой.ѝЕслиѝѝ
ѝѝнеѝсуществуетѝ(вѝчастнос
ти,ѝбесконечен),ѝтоѝрядѝ(12.1)ѝназываетсяѝрасходящимся.ѝРяд

называетсяѝn-мѝостаткомѝрядаѝ(12.1).
Еслиѝрядѝ(12.1)ѝсходится,ѝто
.

Примерѝ1.ѝДанѝрядѝ
.ѝУстановитьѝсходимостьѝэтогоѝрядаѝиѝнай
тиѝегоѝсумму.
Запишемѝn-юѝчастичнуюѝсуммуѝданногоѝрядаѝиѝпреобразуемѝее:

.

Поскольку

,

тоѝданныйѝрядѝсходитсяѝиѝегоѝсуммаѝS = 1. u1
u2
...
un
...
+
+
+
+
un

n
1
=

∞
∑
=

un
R
∈
u1,ѝu2,ѝun,

un

S1
u1
=
S2
u1
u2
+
=
Sn
u1
u2
...
un
+
+
+
=

Sn

Sn
n
∞
→
lim
Sn
n
∞
→
lim

Sn
n
∞
→
lim

rn
un
1
+
un
2
+
...
un
k
+
...
+
+
+
+
=

rn
n
∞
→
lim
S
Sn
–
(
)
n
∞
→
lim
0
=
=

1
n n
1
+
(
)
-------------------
n
1
=

∞
∑

Sn
1
1 2
⋅
---------1
2 3
⋅
---------...
1
n n
1
+
(
)
-------------------+
+
+
=
=

1
1-1
2-–
⎝
⎠
⎛
⎞
1
2-1
3--–
⎝
⎠
⎛
⎞
...
1
n--1
n
1
+
-----------–
⎝
⎠
⎛
⎞
+
+
+
1
1
n
1
+
-----------–
=
=

S
Sn
n
∞
→
lim
1
1
n
1
+
-----------–
⎝
⎠
⎛
⎞
n
∞
→
lim
1
=
=
=

Рядѝвида

(12.2)
представляетѝсобойѝсуммуѝчленовѝгеометрическойѝпрогрессииѝсоѝзнаменателемѝq.ѝИзвестно,ѝчтоѝприѝѝ|qѝ|ѝ< 1ѝрядѝ(12.2)ѝсходитсяѝиѝегоѝсуммаѝSѝ=ѝa/(1–q).
Еслиѝ| q |ѝ≥ 1,ѝтоѝрядѝ(12.2)ѝрасходится.

Теоремаѝ1ѝ(необходимыйѝпризнакѝсходимостиѝряда).ѝЕслиѝчисловойѝрядѝ(12.1)

сходится,ѝтоѝ
= 0.

Обратноеѝутверждениеѝневерно.ѝНапример,ѝвѝгармоническомѝряде

общийѝчленѝстремитсяѝкѝнулю,ѝоднакоѝрядѝрасходится.

Теоремаѝ2ѝ(достаточныйѝпризнакѝрасходимостиѝряда).ѝЕслиѝ
= а ≠ 0,

тоѝрядѝ(12.1)ѝрасходится.
Сходимостьѝилиѝрасходимостьѝчисловогоѝрядаѝнеѝнарушается,ѝеслиѝвѝнем
отброситьѝлюбоеѝконечноеѝчислоѝчленов.ѝНоѝегоѝсумма,ѝеслиѝонаѝсуществует,
приѝэтомѝизменяется.

Примерѝ2.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

Запишемѝобщийѝчленѝданногоѝряда:

.

Тогда

,

т.е.ѝрядѝрасходится.Рассмотримѝнекоторыеѝдостаточныеѝпризнакиѝсходимостиѝчисловыхѝрядов
сѝположительнымиѝчленами.

Теоремаѝ3ѝ(признакиѝсравнения).ѝЕслиѝданыѝдваѝряда

(12.3)

(12.4)

иѝдляѝвсехѝ
ѝвыполняютсяѝнеравенстваѝ
,ѝто:

1)ѝизѝсходимостиѝрядаѝ(12.4)ѝследуетѝсходимостьѝрядаѝ(12.3);
2)ѝизѝрасходимостиѝрядаѝ(12.3)ѝследуетѝрасходимостьѝрядаѝ(12.4).

a
aq
aq2
...
aqn
1
–
...
+
+
+
+
+

un
n
∞
→
lim

1
1
2-...
1
n--...
+
+
+
+
1
n--
n
1
=

∞
∑
=

un
n
∞
→
lim

n
3n
1
+
--------------
n
1
=

∞
∑

un
n
3n
1
+
--------------=

un
n
∞
→
lim
ѝ
n
3n
1
+
--------------n
∞
→
lim
1
3-0
≠
=
=

u1
u2
...
un
...,
+
+
+
+

v1
v2
...
vn
...
+
+
+
+

n
n0
≥
0
un
<
vn
≤

9

Вѝкачествеѝрядовѝдляѝсравненияѝцелесообразноѝвыбиратьѝряд,ѝпредставля
ющийѝсуммуѝчленовѝгеометрическойѝпрогрессииѝ
,ѝаѝтакжеѝгармони
ческийѝ(расходящийся)ѝряд.ѝ

Примерѝ3.ѝДоказатьѝсходимостьѝряда

.
(1)

Дляѝустановленияѝсходимостиѝрядаѝ(1)ѝвоспользуемсяѝнеравенством

иѝсравнимѝданныйѝрядѝсоѝсходящимсяѝрядомѝ
,ѝ
.ѝСогласно

признакуѝсравненияѝ(см.ѝтеоремуѝ3,ѝп.ѝ1)ѝрядѝ(1)ѝсходится.Примерѝ4.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

Такѝкакѝ
ѝдляѝлюбогоѝ
,ѝтоѝчленыѝданногоѝрядаѝбольшеѝсо
ответствующихѝчленовѝрасходящегосяѝгармоническогоѝряда.ѝЗначит,ѝисходныйѝрядѝрасходится.Теоремаѝ4ѝ(признакѝД’Аламбера).ѝПустьѝдляѝрядаѝ(12.1)ѝ
ѝ(начинаяѝсѝне
которогоѝ
)ѝиѝсуществуетѝпредел

.

Тогда:
1)ѝприѝqѝ<ѝ1ѝданныйѝрядѝсходится;
2)ѝприѝqѝ>ѝ1ѝрядѝрасходится.
Приѝqѝ=ѝ1ѝпризнакѝД’Аламбераѝнеѝдаетѝответаѝнаѝвопросѝоѝсходимостиѝили
расходимостиѝряда:ѝонѝможетѝиѝсходиться,ѝиѝрасходиться.ѝВѝэтомѝслучаеѝсходимостьѝрядаѝисследуютѝсѝпомощьюѝдругихѝпризнаков.

Примерѝ5.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

aqn

n
0
=

∞
∑

1

n 3n
⋅
------------
n
1
=

∞
∑
1
1 3
⋅
---------1

2 32
⋅
------------...
1

n 3n
⋅
------------...
+
+
+
+
=

un
1

n 3n
⋅
------------1

3n
-----ѝ n
2
≥
(
)
<
=

1

3n
----
n
1
=

∞
∑
q
1
3-1
<
=

1

n2
1
–
------------------
n
2
=

∞
∑

1

n2
1
–
------------------1
n-->
n
2
≥

un
0
>

n
n0
=

un
1
+
un
-------------q
=
n
∞
→
lim

n2

2n
1
–
------------
n
1
=

∞
∑

Рядѝвида

(12.2)
представляетѝсобойѝсуммуѝчленовѝгеометрическойѝпрогрессииѝсоѝзнаменателемѝq.ѝИзвестно,ѝчтоѝприѝѝ|qѝ|ѝ< 1ѝрядѝ(12.2)ѝсходитсяѝиѝегоѝсуммаѝSѝ=ѝa/(1–q).
Еслиѝ| q |ѝ≥ 1,ѝтоѝрядѝ(12.2)ѝрасходится.

Теоремаѝ1ѝ(необходимыйѝпризнакѝсходимостиѝряда).ѝЕслиѝчисловойѝрядѝ(12.1)

сходится,ѝтоѝ
= 0.

Обратноеѝутверждениеѝневерно.ѝНапример,ѝвѝгармоническомѝряде

общийѝчленѝстремитсяѝкѝнулю,ѝоднакоѝрядѝрасходится.

Теоремаѝ2ѝ(достаточныйѝпризнакѝрасходимостиѝряда).ѝЕслиѝ
= а ≠ 0,

тоѝрядѝ(12.1)ѝрасходится.
Сходимостьѝилиѝрасходимостьѝчисловогоѝрядаѝнеѝнарушается,ѝеслиѝвѝнем
отброситьѝлюбоеѝконечноеѝчислоѝчленов.ѝНоѝегоѝсумма,ѝеслиѝонаѝсуществует,
приѝэтомѝизменяется.

Примерѝ2.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

Запишемѝобщийѝчленѝданногоѝряда:

.

Тогда

,

т.е.ѝрядѝрасходится.Рассмотримѝнекоторыеѝдостаточныеѝпризнакиѝсходимостиѝчисловыхѝрядов
сѝположительнымиѝчленами.

Теоремаѝ3ѝ(признакиѝсравнения).ѝЕслиѝданыѝдваѝряда

(12.3)

(12.4)

иѝдляѝвсехѝ
ѝвыполняютсяѝнеравенстваѝ
,ѝто:

1)ѝизѝсходимостиѝрядаѝ(12.4)ѝследуетѝсходимостьѝрядаѝ(12.3);
2)ѝизѝрасходимостиѝрядаѝ(12.3)ѝследуетѝрасходимостьѝрядаѝ(12.4).

a
aq
aq2
...
aqn
1
–
...
+
+
+
+
+

un
n
∞
→
lim

1
1
2-...
1
n--...
+
+
+
+
1
n--
n
1
=

∞
∑
=

un
n
∞
→
lim

n
3n
1
+
--------------
n
1
=

∞
∑

un
n
3n
1
+
--------------=

un
n
∞
→
lim
ѝ
n
3n
1
+
--------------n
∞
→
lim
1
3-0
≠
=
=

u1
u2
...
un
...,
+
+
+
+

v1
v2
...
vn
...
+
+
+
+

n
n0
≥
0
un
<
vn
≤

9

Вѝкачествеѝрядовѝдляѝсравненияѝцелесообразноѝвыбиратьѝряд,ѝпредставля
ющийѝсуммуѝчленовѝгеометрическойѝпрогрессииѝ
,ѝаѝтакжеѝгармони
ческийѝ(расходящийся)ѝряд.ѝ

Примерѝ3.ѝДоказатьѝсходимостьѝряда

.
(1)

Дляѝустановленияѝсходимостиѝрядаѝ(1)ѝвоспользуемсяѝнеравенством

иѝсравнимѝданныйѝрядѝсоѝсходящимсяѝрядомѝ
,ѝ
.ѝСогласно

признакуѝсравненияѝ(см.ѝтеоремуѝ3,ѝп.ѝ1)ѝрядѝ(1)ѝсходится.Примерѝ4.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

Такѝкакѝ
ѝдляѝлюбогоѝ
,ѝтоѝчленыѝданногоѝрядаѝбольшеѝсо
ответствующихѝчленовѝрасходящегосяѝгармоническогоѝряда.ѝЗначит,ѝисходныйѝрядѝрасходится.Теоремаѝ4ѝ(признакѝД’Аламбера).ѝПустьѝдляѝрядаѝ(12.1)ѝ
ѝ(начинаяѝсѝне
которогоѝ
)ѝиѝсуществуетѝпредел

.

Тогда:
1)ѝприѝqѝ<ѝ1ѝданныйѝрядѝсходится;
2)ѝприѝqѝ>ѝ1ѝрядѝрасходится.
Приѝqѝ=ѝ1ѝпризнакѝД’Аламбераѝнеѝдаетѝответаѝнаѝвопросѝоѝсходимостиѝили
расходимостиѝряда:ѝонѝможетѝиѝсходиться,ѝиѝрасходиться.ѝВѝэтомѝслучаеѝсходимостьѝрядаѝисследуютѝсѝпомощьюѝдругихѝпризнаков.

Примерѝ5.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

aqn

n
0
=

∞
∑

1

n 3n
⋅
------------
n
1
=

∞
∑
1
1 3
⋅
---------1

2 32
⋅
------------...
1

n 3n
⋅
------------...
+
+
+
+
=

un
1

n 3n
⋅
------------1

3n
-----ѝ n
2
≥
(
)
<
=

1

3n
----
n
1
=

∞
∑
q
1
3-1
<
=

1

n2
1
–
------------------
n
2
=

∞
∑

1

n2
1
–
------------------1
n-->
n
2
≥

un
0
>

n
n0
=

un
1
+
un
-------------q
=
n
∞
→
lim

n2

2n
1
–
------------
n
1
=

∞
∑

Посколькуѝ
,ѝ
,ѝто

.

Следовательно,ѝданныйѝрядѝсходится.Теоремаѝ5ѝ(радикальныйѝпризнакѝКоши).ѝЕсли,ѝначинаяѝсѝнекоторогоѝ
,

ѝиѝ
,ѝтоѝприѝ
ѝрядѝ(12.1)ѝсходится,ѝаѝприѝ
ѝрасходится.

Приѝqѝ=ѝ1ѝрадикальныйѝпризнакѝКошиѝнеприменим.

Примерѝ6.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

ВоспользуемсяѝрадикальнымѝпризнакомѝКоши:

.

Следовательно,ѝданныйѝрядѝсходится.Теоремаѝ6ѝ(интегральныйѝпризнакѝКоши).ѝПустьѝчленыѝрядаѝ(12.1)ѝположи
тельны,ѝмонотонноѝубываютѝиѝфункцияѝ
,ѝнепрерывнаяѝприѝ
,ѝта
кова,ѝчтоѝ
.ѝТогдаѝрядѝ(12.1)ѝиѝинтегралѝ
ѝодновременноѝсходятся

илиѝрасходятся.

Например,ѝ посколькуѝ
ѝ сходитсяѝ приѝ
ѝ иѝ расходится

приѝ
,ѝтоѝрядѝДирихлеѝ
ѝсходитсяѝприѝ
ѝиѝрасходитсяѝприѝ
.

СходимостьѝмногихѝрядовѝможноѝисследоватьѝпутемѝсравненияѝихѝсѝсоответствующимѝрядомѝДирихле.

Примерѝ7.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

un
n2

2n
1
–
------------=
un
1
+
n
1
+
(
)2

2n
-------------------=

un
1
+
un
-------------n
∞
→
lim
n
1
+
(
)2 2n
1
–
⋅

n2 2n
⋅
-------------------------------------n
∞
→
lim
1
2-1
1
n--+
⎝
⎠
⎛
⎞ 2

n
∞
→
lim
1
2-1
<
=
=
=

n
n0
=

un
0
>
un
n
q
=
n
∞
→
lim
q
1
<
q
1
>

n
1
+
8n
1
–
--------------⎝
⎠
⎛
⎞ n

n
1
=

∞
∑

q
n
1
+
8n
1
–
--------------⎝
⎠
⎛
⎞ n
n
n
∞
→
lim
ѝ n
1
+
8n
1
–
--------------n
∞
→
lim
ѝ 1
1 n
⁄
+
8n
1 n
⁄
–
---------------------n
∞
→
lim
1
8-1
<
=
=
=
=

y
f x
( )
=
x
a
1
≥
≥

f n
( )
un
=
f x
( ) x
d

a

∞
∫

1

xα
------ xѝ α
R
∈
(
)
d

1

∞
∫
α
1
>

α
1
≤
1

nα
-----
n
1
=

∞
∑
α
1
>
α
1
≤

2n

n2
1
+
(
)
2
----------------------
n
1
=

∞
∑

11

Положим,ѝчтоѝ
.ѝЭтаѝфункцияѝудовлетворяетѝвсемѝтребо
ваниямѝинтегральногоѝпризнакаѝКоши.ѝТогдаѝнесобственныйѝинтеграл

,

т.е.ѝсходится,ѝаѝзначит,ѝданныйѝрядѝтакжеѝсходится.Числовойѝ рядѝ (12.1),ѝ членыѝ unѝ которогоѝ послеѝ любогоѝ номераѝ Nѝ (n>N)
имеютѝразныеѝзнаки,ѝназываетсяѝзнакопеременным.
Еслиѝряд
(12.5)

сходится,ѝтоѝрядѝ(12.1)ѝтакжеѝсходитсяѝ(этоѝлегкоѝдоказывается)ѝиѝназывается
абсолютноѝсходящимся.ѝЕслиѝрядѝ(12.5)ѝрасходится,ѝаѝрядѝ(12.1)ѝсходится,ѝто
рядѝ(12.1)ѝназываетсяѝусловноѝ(неабсолютно)ѝсходящимся.
Приѝисследованииѝрядаѝнаѝабсолютнуюѝсходимостьѝиспользуютсяѝпризнакиѝсходимостиѝрядовѝcѝположительнымиѝчленами.

Примерѝ8.ѝИсследоватьѝнаѝсходимостьѝрядѝ
.

Рассмотримѝряд,ѝсоставленныйѝизѝабсолютныхѝвеличинѝчленовѝданного

ряда,ѝт.е.ѝрядѝ
.ѝТакѝкакѝ
,ѝтоѝчленыѝисходного

рядаѝнеѝбольшеѝчленовѝрядаѝДирихлеѝ
,ѝкоторый,ѝкакѝизвестно,

сходится.ѝСледовательно,ѝнаѝоснованииѝпризнакаѝсравненияѝ(см.ѝтеоремуѝ3,
п.ѝ1)ѝданныйѝрядѝсходитсяѝабсолютно.ѝРядѝвида

,
(12.6)

гдеѝ
,ѝназываетсяѝзнакочередующимсяѝрядом.

Теоремаѝ 7ѝ (признакѝ Лейбница).ѝ Еслиѝ дляѝ знакочередующегосяѝ рядаѝ (12.6)

ѝиѝ
,ѝтоѝрядѝ(12.6)ѝсходитсяѝиѝегоѝсуммаѝSѝудов
летворяетѝусловиюѝ
.

Следствие.ѝ Остатокѝ rnѝ рядаѝ (12.6)ѝ всегдаѝ удовлетворяетѝ условию

.

f x
( )
2x

x2
1
+
(
)2
---------------------=

2x

x2
1
+
(
)2
---------------------- x
d

1

∞
∫
2x

x2
1
+
(
)2
---------------------- x
d

1

B
∫
B
∞
→
lim
–
1

x2
1
+
(
)
------------------
1

B

B
∞
→
lim
1
2-=
=
=

u1
u2
...
un
...
+
+
+
+

nα
sin

n2
---------------ѝ α
R
∈
(
)

n
1
=

∞
∑

nα
sin

n2
------------------ѝ α
R
∈
(
)

n
1
=

∞
∑
nα
sin
1
≤

1

n2
-----ѝ α
2
=
(
)

n
1
=

∞
∑

u1
u2
–
u3–...
–1
(
)n
1
– un
...
+
+
+

un
0
>

u1
u2
...
un
...
>
>
>
>
un
n
∞
→
lim
0
=

0
S
u1
<
<

rn
un
1
+
<