Одна задача группового преследования в примере Понтрягина


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 517.977

© Д. В. Сахаров

ОДНА ЗАДАЧА ГРУППОВОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ




                В ПРИМЕРЕ ПОНТРЯГИНА ¹




Рассматривается задача преследования группой преследователей одного убегающего в стационарном примере Л.С. Понтрягина при условии, что все участники игры обладают одинаковыми возможностями, корни характеристического уравнения простые и чисто мнимые, терминальные множества — выпуклые компакты, множество допустимых управлений — произвольный выпуклый компакт. Получены достаточные условия разрешимости задачи преследования, приведены иллюстрирующие примеры.

Ключевые слова: дифференциальная игра, групповое преследование, пример Понтрягина.




                Введение




   Важное направление современной теории дифференциальных игр связано с разработкой методов решения игровых задач преследования-уклонения с участием нескольких объектов [1-6]. Задача преследования группой преследователей одного убегающего при условии, что динамические и инерционные возможности участников совпадают, впервые была рассмотрена Б.Н. Пшеничным в работе [2]. Для случая простых движений были получены необходимые и достаточные условия поимки.
   Естественным обобщением этой задачи является пример Л.С. Понтрягина [5] со многими участниками, имеющими одинаковые возможности. В работах [7,8] рассматривался стационарный пример Л.С. Понтрягина в случае чисто мнимых корней, множество допустимых управлений — шар с центром в нуле, терминальное множество — начало координат. Нестационарный пример Л.С. Понтрягина рассматривался в [9-11]. Задача о многократной поимке в примере Л.С. Понтрягина рассматривалась в [12].
   В данной работе для примера Л.С. Понтрягина с равными возможностями всех участников в предположении, что корни характеристического уравнения являются простыми и чисто мнимыми, терминальные множества — выпуклые компакты, множество допустимых управлений — произвольный выпуклый компакт, получены достаточные условия разрешимости задачи преследования. Работа примыкает к исследованиям [13-15].




                § 1. Постановка задачи




В пространстве Rk (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г n + 1 лица: n преследователей Pi,..., Pₙ и убегающего E. Закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид
                       xil⁾ + a₁x(⁻¹¹ + ... + aixi = ui, ui G U.              (1)
E

                       y⁽l⁾ + aiy⁽l⁻¹⁾ + ... + aiy = v, v G U.                (2)

   Здесь x далее xi, y, ui, v G Rk, i G I = {1,..., n}, ai,..., ai G R, U — выпуклый компакт из Rk.
   При t = t₀ заданы начальные условия

xia⁾(to)= x'⁰,, y⁽a⁾(to)= y°ₐ, a = 0,...,l - 1,

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 12-01-00195, 12-01-31077).