О некоторых вероятностных моделях динамики роста популяций


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА


УДК 517.935 + 517.938



2013. Вып.4

© Л. И. Родина




                О НЕКОТОРЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЯХ ДИНАМИКИ РОСТА ПОПУЛЯЦИЙ ¹




Разработана новая вероятностная модель, которая применяется для описания динамики роста изолированной популяции. Найдены условия асимптотического вырождения с вероятностью единица для популяции, развитие которой задано управляемой системой со случайными коэффициентами, получены также условия существования управления, приводящего популяцию к вырождению. Исследуется динамический режим развития популяции, находящейся на грани исчезновения; это означает, что с вероятностью единица размер данной популяции окажется меньше минимального критического значения, после которого биологическое восстановление популяции невозможно. Результаты работы проиллюстрированы на примере развития двуполой популяции.

Ключевые слова: вероятностные модели динамики популяции, вероятность вырождения популяции, управляемые системы со случайными коэффициентами.





                Введение




   В работах [1-3] (см. также обзор в [4]) изучаются детерминированные математические модели динамики численности изолированной популяции, в которых гибель особей носит непрерывный характер, а появление особей новых генераций происходит в некоторые фиксированные моменты времени т^. В данной работе предложена новая вероятностная дискретно-непрерывная модель, в которой предполагается, что развитие популяции на интервалах времени (т^ ,т^+1), так же как и моменты зависят от различных изменений внешней среды, поэтому динамика популяции описывается управляемой системой со случайными коэффициентами. Для данной популяции исследованы различные динамические режимы развития, получены условия асимптотического вырождения с вероятностью единица и условия существования управления, приводящего популяцию к вырождению. Результаты работы могут найти применение в практических задачах, в которых управляющие воздействия направлены либо на увеличение размера популяции (сохранение редких видов животных, занесенных в красную книгу), либо на его уменьшение (управление численностью вредных насекомых, задачи эпидемиологии).
   Согласно А. Н. Колмогорову [5], детерминированные модели описывают динамику роста популяции для случая, когда ее численность достаточно велика, а при низких значениях эти модели неприменимы. Подобное допущение сделаем и для введенной в работе вероятностной модели. Будем предполагать, что популяция исчезает не только когда ее размер асимптотически стремится к нулю. Она также вырождается, если этот размер окажется меньше некоторого минимального критического значения х*, после которого восстановление популяции с биологической точки зрения невозможно, несмотря на то что решение системы, описывающей развитие данной популяции, после достижения минимального значения может возрастать. Если речь идет о популяциях млекопитающих, то говорят, что они находятся на грани исчезновения и данный вид может исчезнуть в том случае, если несколько лет подряд будет подвергаться неблагоприятным условиям (нехватка корма, истребление браконьерами).

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 12-01-00195-а).