Необходимые и достаточные условия докритичности линейных управляемых систем


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 517.977

© В. В. Лукьянов

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДОКРИТИЧНОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ¹

Рассматривается линейная управляемая система с векторным управлением и непрерывными коэффициентами. Для такой системы получено эффективное достаточное условие докритичности в предположении достаточной гладкости параметров системы. Для автономной управляемой системы получено необходимое условие докритичности. В работе также изучается связь докритических и вполне управляемых линейных систем. Доказано, что линейная система вполне управляема на отрезке, если она является докритической хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка. Доказано также, что вполне управляемая автономная линейная система со скалярным управлением является докритической.

Ключевые слова: линейные управляемые системы, докритические системы, условия докритичности.

Введение

   В работе [1] рассматривалась оптимальная по быстродействию линейная управляемая система с векторным управлением. На такую систему было распространено понятие докритической системы, известное ранее для линейных управляемых систем со скалярным управлением (см., например, [2]). В указанной работе подробно изучены структура оптимальных в смысле быстродействия управлений, структура множества управляемости и структура границы множества управляемости докритических систем, а также дано оптимальное в смысле быстродействия программное управление для любой начальной фазовой точки, принадлежащей докритическому множеству управляемости системы.
   Настоящая работа продолжает исследования [1]. Здесь получено эффективное (выраженное через исходные параметры системы) достаточное условие докритичности для линейной неавтономной управляемой системы при условии достаточной гладкости ее параметров. Для линейной автономной системы получено необходимое условие докритичности. Изучена связь докритических и вполне управляемых систем.
   Ниже приведены используемые в этой работе обозначения:
N — множество натуральных чисел;
Z । — множество неотрицательных целых чисел;
Rn — стандартное евклидово пространство размерности n, элементы пространства Rn представляют собой векторы-столбцы;
Rn* — пространство, сопряженное к Rn; элементы Rn* представляют собой векторы-строки; |x| — евклидова норма элемента x в пространстве Rn;
M(n, m) — пространство непрерывньix линейных операторов из Rm в Rn, далее элементы M(n, m) отождествляются с их матрицами относительно стандартных базисов в Rm и Rn;
AT — матрица, транспонированная к матрице A;
Sn⁻¹ = {x G Rn : |x| = 1} — сфера pазмерности n — 1.

§ 1. Условия докритичности

   Рассмотрим линейную управляемую систему

Х = A(t)x + B (t)u,                        (1.1)


   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 12-01-00195).