Перестроение неструктурированных четырехугольных и смешанных сеток


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 519.63


© А. С. Караваев, С. П. Копысов


            ПЕРЕСТРОЕНИЕ НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫХ И СМЕШАННЫХ СЕТОК ¹


В статье рассматриваются методы перестроения неструктурированных четырехугольных и смешанных сеток. Описываются варианты определения шаблонов перестроения «на девять ячеек» в случае неструктурированной четырехугольной сетки, обеспечивающие выпуклость ячеек конечной сетки. Для контроля максимально допустимого угла сетки предложены шаблоны перестроения ячеек плохого качества. Разработан алгоритм перестроения неструктурированной смешанной сетки, приведены примеры работы алгоритма, показывающие улучшение качества сетки в сравнении с известными методами.

Ключевые слова: неструктурированные сетки, смешанные сетки, перестроение сеток, шаблоны перестроений, геометрически адаптивные сетки.


            Введение


   Перестроение сетки используется для уточнения границы (геометрически адаптивные сетки) или искомого решения на определенной подобласти, в некоторых случаях их можно рассматривать как один из способов построения новой расчетной сетки. Необходимыми условиями такой операции являются конформность сетки (согласованность узлов в соседних ячейках) и сохранение выпуклости ячеек после перестроения. Важным условием является также постоянство максимальных и минимальных величин углов в ячейках при перестроении.
   Как правило, в методе конечных элементов для задач на плоскости используется деление области на треугольные и четырехугольные ячейки. При этом расчетные сетки содержат ячейки одного типа, однако применение смешанных сеток, состоящих из ячеек обоих типов, находит всё большее применение. Последние могут возникать в результате работы непрямых методов построения четырехугольных сеток, а также путем перестроения начальной сетки, содержащей ячейки только одного вида. Соответственно, алгоритмы перестроения сеток можно разделить на две группы. К первой относятся методы, генерирующие полностью треугольную или четырехугольную сетку, они являются основными и наиболее часто используются в расчетах. Вторая группа — это алгоритмы, в результате работы которых получается сетка, состоящая из треугольных и четырехугольных ячеек. Такие способы перестроения применяются в приложениях, где использование смешанных сеток является допустимым; как правило с помощью таких перестроений улучшают качество ячеек исходной сетки.
   Для методов перестроения треугольных сеток [1-3] существует два основных варианта или шаблона перестроения: бисекция — деление на два треугольника (по «большой» стороне или «новому» узлу) и регулярное перестроение — на четыре треугольника. В отношении четырехугольных сеток известно несколько схем перестроения, удовлетворяющих отмеченным выше требованиям. Однако, данные методы ориентированы на структурированные сетки, когда узлы и ячейки сетки строго упорядочены, размер и форма четырехугольников близки к идеальным показателям. Среди способов перестроения неструктурированной четырехугольной сетки основными можно считать перестроения на четыре и девять ячеек, предложенные Р. Шнейдером [4]. Используя идеи Шнейдера, сходную методику перестроения по шаблонам предложил Р. Гаримелла [5]. Также можно отметить работу М. Эбейды, Д. Оуэнса и др. [6] по модифицированию перестроения на четыре ячейки Шнейдера для случая неструктурированных сеток. Способы перестроения смешанных сеток на данный момент практически не изучены.

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 13-01-00101, 12-07-31114).