Равномерная аппроксимация рекуррентных и почти рекуррентных функций


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА



2013. Вып.4

УДК 517.518.6

© Л. И. Данилов

РАВНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РЕКУРРЕНТНЫХ


            И ПОЧТИ РЕКУРРЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ ¹


Рассматриваются классы функций f : R Ю- U со значениями в метрическом пространстве (U, р), преобразования Бохнера которых являются рекуррентными и почти рекуррентными функциями. Улучшены полученные ранее результаты о равномерной аппроксимации функций из рассматриваемых классов элементарными функциями из этих же классов. Эти результаты находят применение в исследовании вопроса о существовании удовлетворяющих ряду дополнительных условий почти рекуррентных сечений многозначных отображений. В последней части работы доказан вариант теоремы Лузина для рекуррентных функций.

Ключевые слова: рекуррентная функция, сечение, многозначное отображение, теорема Лузина.


            Введение


   В работе рассматриваются функции f : R ^ U со значениями в полном метрическом пространстве (U, р), для которых преобразования Бохнера R Э t ^ {[-l,l] Э т ^ f(t + т)}, l > 0, со значениями в пространствах измеримых функций, определенных на отрезках [—1,1], с метрикой, сходимость в которой эквивалентна сходимости по мере Лебега, и в пространствах Lp([—l,l],U), p ^ 1, являются рекуррентными и почти рекуррентными функциями. В первом случае функции f называются (почти) M-рекуррентными; а во втором — (почти) Lp -рекуррентными. В статье усилены и дополнены результаты из [1] (см. также [2]). В частности, приведен более сильный вариант теоремы о равномерной аппроксимации почти M-рекуррентных и почти Lfₒc-рекуррентных функций элементарными функциями из соответствующих пространств почти M-рекуррентных и почти Lfₒc.-рекуррентных функций (см. теорему 2). Теорема 2 позволяет доказать усиленный вариант утверждения (сформулированного в виде теоремы 7) о существовании удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям почти M-рекуррентных (почти Lpoc-рекуррентных) сечений многозначных почти M-рекуррентных (почти Lfₒc-рекуррентных) отображений. Равномерная аппроксимация измеримых функций элементарными функциями естественно используется при доказательстве существования измеримых сечений многозначных измеримых отображений (что было сделано еще в статье Рохлина [3]). При этом для многозначных отображений из разных классов (многозначных измеримых) функций вопрос о существовании у них сечений из соответствующих классов функций может быть сведен к вопросу о существовании равномерной аппроксимации функций из рассматриваемых классов элементарными функциями из этих же классов. Таким методом можно доказать существование почти периодических (и. и.) по Степанову сечений многозначных п. п. по Степанову отображений [4-8] (впервые существование таких сечений было доказано в [9] на основе результатов Фришковского [10]). Предложенный метод использовался в [11-13] и [14] для доказательства существования и. и. по Вейлю и п. п. по Безиковичу сечений многозначных п. п. (по Вейлю и по Безиковичу соответственно) отображений. В статье также на основе теоремы о равномерной аппроксимации M-рекуррентных и Lfₒc.-рекуррентных функций элементарными функциями из этих же пространств доказан вариант теоремы Лузина для рекуррентных функций (сформулированный в виде теоремы 10).
   В § 1 приведены необходимые определения, а также некоторые утверждения о (почти) рекуррентных функциях. Основные свойства (почти) рекуррентных функций изложены в [15,16].

   Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №12-01-00195).