Параметр в уравнениях и неравенствах с модулем

Т.Е. Романова, П.Ю. Романов

Параметр в уравнениях и неравенствах с 

модулем

Москва

Инфра-М

2017

Т.Е. Романова, П.Ю. Романов

Параметр в уравнениях и неравенствах с 

модулем

Учебное пособие

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2017

УДК 372.851

Рецензенты:

Доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой образовательных технологий и 

дистанционного обучения Челябинского государственного педагогического университета

Беликов В.А.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Магнитогорского 

государственного технического университета имени Г.И. Носова

Великих А.С.

Романова, Т.Е.

Параметр в уравнениях и неравенствах с модулем: учебное пособие / 

Т.Е. Романова, П.Ю. Романов. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2017. – 68 с.

ISBN 978-5-16-100938-3 (online)

Пособие посвящено методике обучения решению наиболее трудных задач школьного 
курса - задач с параметрами, которые стали неотъемлемой частью материалов единого 
государственного экзамена по математике в России.

В пособии изложены алгебраический и графический методы решения уравнений и 
неравенств первой степени, содержащих параметры. На примере уравнений и неравенств 
с модулем рассматриваются такие способы реализации данных методов как раскрытие 
модуля по определению, возведение
уравнения или неравенства в квадрат, 

равносильные преобразования, построение графиков в различных осях.

Цель данного пособия – помочь учителям и учащимся овладеть умениями решения 
уравнений, неравенств и их систем с параметрами. Пособие будет полезным для 
преподавателей математики, студентов математических
направлений подготовки, 

бакалавров, магистрантов, абитуриентов и старшеклассников.

ISBN 978-5-16-100938-3 (online)
Т.Е. Романова, П.Ю. Романов, 2017

Оглавление 
 
   Предисловие .......................................................................................................... 4 

1. Способ раскрытия модуля по определению…… ............................................. 4 

   1.1. Способ раскрытия  одного модуля .............................................................. 4 

   1.2. Способ одновременного раскрытия нескольких модулей ...................... 10 

   1.3. Способ последовательного раскрытия    нескольких модулей............... 13 

   1.4. Метод интервалов ........................................................................................ 16 

2. Способ раскрытия модуля возведением   в квадрат ...................................... 18 

3. Способ равносильных преобразований   при раскрытии модуля ................ 21 

4. Графический способ решения уравнений   и неравенств с параметром ..... 25 

5. Решение уравнений и неравенств   с дополнительными условиями ........... 43 

6. Примеры для самостоятельного решения ....................................................... 55 

    Ответы ................................................................................................................ 60 

    Литература ......................................................................................................... 64 

 
 
 

Предисловие 
 
До недавнего времени задачи, содержащие параметры, входили лишь в 
тексты экзаменационных работ математических специальностей ведущих вузов страны. 
Введение Единого государственного экзамена по математике показало, 
что задачи подобного рода стали неотъемлемой частью материалов итоговой 
аттестации школьников. Поэтому встал вопрос о необходимости целенаправленного обучения учащихся решению задач, содержащих параметры. 
Цель данного пособия – помочь учителям и учащимся овладеть умениями решения уравнений и неравенств с параметрами. Его содержание составили алгебраический и графический методы решения уравнений и неравенств первой степени, содержащих переменную под знаком абсолютной величины, реализующиеся через определенные способы (раскрытие модуля по 
определению, возведение  уравнения или неравенства  в квадрат, равносильные преобразования, построение графиков в различных осях). 
Такой подход неслучаен. Он обусловлен следующими факторами: 
• уравнения и неравенства с модулем можно решать несколькими способами, а в ряде случаев при решении одного уравнения или неравенства необходимо использование сразу нескольких из них; 
• овладение всеми способами решений, и, выявление их преимуществ и 
недостатков, позволяет  существенно сэкономить время за счет выбора 
наиболее эффективного для данной задачи способа решения; 
• убедиться в правильности полученных результатов можно за счет решения одной задачи разными методами или способами. 
 
1. Способ раскрытия модуля по определению 
 
Данный способ основан на определении модуля выражения: 

( ),
( )
0,
( )
( ),
( )
0.

f x
если f x
f x
f x
если f x
≥
= −
<
Он является одним из основных способов решения уравнений и неравенств с модулем, который реализуется через совокупность частных случаев. 
 
 1. 1. Способ раскрытия одного модуля 
 
Пример 1. Решить уравнение 3
3
4
x
ax
+
=
+  относительно х. 
Решение. Исходя из определения модуля выражения, исходное уравнение 

  равносильно совокупности двух смешанных систем: 

3
3
0,

3
3
4;

3
3
0,

3
3
4.

x
x
ax

x
x
ax

+
≥
+
=
+
+
<
−
−
=
+
5

Решая первую систему 
1,

(3
)
1,

x
a x
≥ −
−
=
приходим к выводу, что 
3
a =  является 

контрольным значением параметра. Поэтому при 
3
a ≠  имеем 

1,
1
.
3

x

x
a

≥ −
=
−
Найдем значения параметра а, при которых значения переменной х удо
влетворяют условию 
1
x ≥ − . Составим и решим неравенство 
1
1,
3
a ≥ −
−
 

4
0
3

a
a

−
≥
−
, откуда 
3,
4.

a
a
<
≥
Вынесем  полученные решения на развертку по параметру а (рис. 1). 
 

1

3

x

a

=

−

1

3

x

a

=

−

 
Рис. 1 
 

Вторая система равносильна системе 

1,
7
,
3.
3

x

x
если a
a

< −
= −
≠ −
+
Очевидно, что 
3
a = −  еще одно контрольное значение параметра. При 

3
4
a
− <
<   найденные значения переменной  х  удовлетворяют условию 
1
x < − . 
Нанесем полученные результаты на развертку по параметру (рис. 2). 
 

1

3
x
a
=
−

 
 
 Рис. 2 
 
Совместим полученные результаты на одной развертке (рис. 3). 
 

1

3
x
a
=
−

1

3
x
a
=
−

1

3
x
a
=
−

7

3
x
a
= −
+

 
 
Рис. 3 
 

Анализируя результаты на развертке (рис. 3), приходим к выводу, что 
если 
(
)
3;3
a∈ −
, то уравнение имеет два корня. В остальных случаях – один. 
При этом: если  
3
a = −  и 
4
a = , то корни уравнения  могут быть найдены по 

формуле 
1

3
x
a
=
−
 и  равны соответственно 1

6  и -1; если 
3
a = , то - по формуле  

7

3
x
a
= −
+  и равен 
7
6
−
. Внесем итоговые результаты на развертку по парамет
ру (рис.4) и запишем ответ. 
 

1

3
x
a
=
−
1
2

1
7
,
3
3
x
x
a
a
=
= −
−
+

7

3
x
a
= −
+

1
x = −
7
6
x = −
1
6
1

3
x
a
=
−

Рис. 4 

Ответ: 
3:
a ≤ −
1

3
x
a
=
−
; 

3
3:
a
− <
<
1

1
,
3
x
a
=
−

2

7
;
3
x
a
= −
+

3
4:
a
≤
<
7
;
3
x
a
= −
+

4:
a ≥
1
.
3
x
a
=
−
 

 
Пример 2. Решить уравнение 2
4
x
a
a
x
−
+
+
=  относительно переменной х. 
Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности двух систем 
 

0,

2(
)
4;

0,

2(
)
4;

x
a
x
a
a
x

x
a
a
x
a
x

−
≥
−
+
+
=
−
<
−
+
+
=
⇔

,

4;
3
,

3
4.

x
a

a
x

x
a

x
a

≥
+
=
<
=
−
Найденные из первой системы значения переменной х должны удовлетворять неравенству x
a
≥ . Только в этом случае их можно считать корнями 
исходного уравнения. Выясним, при каких значениях а выполняется нера
венство 
4

3

a
a
+
≥
. Решая его, находим  
2
a ≤ .  

Среди найденных из второй системы значений переменной х отберем те, 
которые  удовлетворяют неравенству 3
4
a
a
−
< . Получим  
2
a < . 
Следовательно: 

если 
2
a <  - уравнение имеет два различных корня 
1

4

3

a
x
+
=
 и 
2
3
4
x
a
=
− ; 

если 
2
a =  - уравнение имеет один корень, так как 
1
2
2
x
x
=
= ;  
если 
2
a >  - уравнение корней не имеет (рис. 5). 
 

1
4

3

a
x
+
=

2
x =

2
3
4
x
a
=
−

 
 
Рис. 5 
 

Ответ: 
2
a < : 
1

4

3

a
x
+
=
, 
2
3
4
x
a
=
− ; 

2
a = : 
2
x = ; 

2
a > : решений нет. 
 
Пример 3. Решить неравенство 
2
4
x
x
a
a
+
−
>
−  относительно переменной  х. 
Решение. Запишем неравенство в виде равносильной ему совокупности 

систем неравенств  

,

2(
)
4
;

,

2(
)
4
;

x
a

x
x
a
a

x
a

x
x
a
a

≥
+
−
>
−
<
−
−
>
−
⇔

,

4 ;
3
,

3
4.

x
a

a
x

x
a

x
a

≥
+
>
<
<
−
Для нахождения решений первой системы сравним выражения a  и 
4

3

a +
. 

Для этого составим и оценим разность 
4
2
4.
3
3

a
a
a
+
−
−
=
 Очевидно, что 

2
a =  является контрольным значением параметра. В связи с этим:  

1. Если 
2
a < , то 2
4
0
3
a −
< , следовательно 
4

3

a
a
+
> . Тогда на числовой оси 

решение неравенств будет выглядеть следующим образом (рис. 6):  
 

4

3

a +

 
 
Рис. 6 
 

Таким образом, если 
2
a < , то 
4 ;
.
3
a
x
+
∈
∞
2. Если 
2
a = , то 2
4
0
3
a −
= , следовательно 
4
2
3

a
a
+
=
= . Тогда на числовой 

оси решение неравенств будет выглядеть следующим образом  (рис. 7): 
 

 
 
Рис. 7 
 
Таким образом, если 
2,
a =
 то 
(
)
2;
.
x∈
∞  

3. Если 
2
a > , то 2
4
0
3
a −
> , следовательно 
4

3

a
a
+
<
. Тогда на числовой оси 

решение неравенств будет выглядеть  следующим образом (рис. 8): 
 

4

3

a +

 
Рис. 8 
 
Таким образом, если 
2
a > , то 
[
)
;
.
x
a
∈
∞  
Нанесем полученные результаты на развертку по параметру (рис. 9). 
 

4
;
3
а
x
+
∈
∞
(
)
2 ;
x ∈
∞

[
)
;
x
a
∈
∞

 
Рис. 9 
 
Для нахождения решений второй системы неравенств найдем разность 

(3
4)
4
2
a
a
a
−
−
=
−
 и оценим ее в зависимости от контрольного значения параметра 
2.
a =
 
1. Если 
2
a < , то 4
2
0
a
−
> , и следовательно 3
4
.
a
a
−
<
 Тогда на числовой 
оси решение неравенств будет выглядеть следующим образом (рис. 10): 
 

3
4
a −
 
Рис. 10 
Таким образом, если 
2,
a <
 то 
(
;3
4)
x
а
∈ −∞
−
. 
2. Если 
2
a = , то 4
2
0
a
−
=  и  следовательно 
3
4
2
a
a
=
−
= . Тогда на числовой 
оси решение неравенств будет выглядеть следующим образом (рис. 11): 
 

Рис. 11 
 
Таким образом, если 
2,
a =
 то 
(
)
;2 .
x∈ −∞
 
3. Если 
2
a > , то 4
2
0
a
−
<  и  следовательно 3
4
a
a
−
> . Тогда на числовой 
оси решение неравенств будет выглядеть следующим образом (рис. 12): 
 

3
4
a −
 
 
Рис. 12 
 
Таким образом, если 
2,
a >
 то 
(
)
;3
4
x
a
∈ −∞
−
. 
Внесем полученные результаты на развертку по параметру (рис. 13) и 
запишем ответ. 
 

(
)
4
;3
4
;
3
а
x
а
+
∈ −∞
−
∪
∞
(
)
(
)
;2
2;
x∈ −∞
∪
∞

x
R
∈

 
 
Рис. 13 
 

Ответ: 
2:
a <
(
)
4
;3
4
;
;
3
a
x
a
+
∈ −∞
−
∪
∞
2:
a =
(
)
(
)
;2
2;
;
x∈ −∞
∪
∞

2:
a >
.
x
R
∈

1. 2. Способ одновременного раскрытия нескольких модулей 
 
Данный способ используют в случае, когда уравнение или неравенство 
содержит несколько модулей. Преимущество данного способа состоит в его  
простоте – многократном выполнении логически несложных операций, связанных с раскрытием модуля по определению. Однако, получаемые при этом 
совокупности систем иногда требуют больших временных затрат на их решение. 
Пример 4. Решить уравнение 
4
x
a
x
a
−
+
+
=  относительно переменной х. 
Решение. Исходное уравнение равносильно следующей  совокупности 
систем  

 

( )

( )

( )

( )

0,

0,
1

4;

0,

0,
2

4;

0,

0,
3

4;

0,

0,
4

4.

x
a

x
a

x
a
x
a

x
a

x
a

x
a
x
a

x
a

x
a

x
a
x
a

x
a

x
a

x
a
x
a

−
≥
+
≥
−
+
+
=
−
≥
+
<
−
−
−
=
−
<
+
≥
− +
+
+
=
−
<
+
<
− +
−
−
=
Решим последовательно каждую из четырех смешанных систем. 
 

(1): 

,

,

2.

x
a

x
a

x

≥
≥ −
=
Откуда  2
,

2
;

a

a

≥
≥ −
⇔
[
]
2;2 .
a∈ −
 

Следовательно, если 
[
]
2;2
a∈ −
, то 
2
x =  является корнем уравнения. 

(2):

,

,

2.

x
a

x
a

a

≥
< −
= −
Откуда 
2,

2;

x
x

≥ −
<
⇔
[
)
2;2 .
x∈ −
 

Следовательно, если 
2
a = − , то решениями уравнения являются все 

[
)
2;2 .
x∈ −
 
 

(3): 

,

,

2.

x
a

x
a

a

<
≥ −
=
Откуда  
2,

2;

x
x
<
≥ −
⇔
[
)
2;2 .
x∈ −
 

Следовательно, если 
2
a = , то решениями уравнения являются все  

[
)
2;2 .
x∈ −
 
 

(4): 

,

,

2.

x
a

x
a

x

<
< −
= −
Откуда 
2,

2;

a
a

> −
<
⇔
(
)
2;2
a∈ −
. 

Следовательно, если 
(
)
2;2
a ∈ −
, то 
2
x = −  является корнем уравнения. 
Внесем полученные результаты на одну развертку по параметру (рис. 
14). 
 

1
2
x = −
2
2
x =

 
Рис. 14 
 
Ответ: 
2,
2
a
a
< −
> : решений нет; 

2
a = ± :            
[
]
2;2 .
x∈ −
 

(
)
2;2
a ∈ −
:       
2.
x = ±  
 
Пример 5. Решить неравенство 2
2
3
x
a
x
a
a
+
−
−
>
 относительно переменной х. 
Решение.  Применив способ одновременного раскрытия модулей, получим следующую совокупность систем: 
0,
2
0,

2(
)
(
2 )
3 ;

0,
2
0,

2(
)
(
2 )
3 ;

0,
2
0,

2(
)
(
2 )
3 ;

0,
2
0,

2(
)
2
3 ;

x
a
x
a

x
a
x
a
a

x
a
x
a
x
a
x
a
a

x
a
x
a

x
a
x
a
a

x
a
x
a
x
a
x
a
a

+
≥
−
≥
+
−
−
>
+
<
−
<
−
+
+
−
>
+
≥
−
<
+
+
−
>
+
<
−
≥
−
+
+
−
>
⇔  

,
(1)
2 ;

,

2 ,
(2)

7 ;

,

2 ,
(3)

;

,

2 ,
(4)

7 .

x
a
x
a

x
a
x
a
x
a

x
a
x
a
x
a

x
a
x
a
x
a

> −
≥
< −
<
< −
≥ −
<
>
< −
≥
< −
12

Решения всех неравенств зависят от  значения параметра. Поэтому рассмотрим случаи когда 
0
a > ,  
0
a =  или 
0
a < (в зависимости от контрольного 
значения 
0
a = ).  
1.  При 
0
a >  множества решений систем неравенств представлены на рис.  
15.  
 

(1) 
[
)
2 ;
x
a
∈
∞  

(2) 
(
)
; 7
x
a
∈ −∞ −
 

(3) 
(
)
;2
x
a
a
∈
 

(4) 
  
Решений нет 
 
 Рис. 15 
 
Решением совокупности неравенств являются все 
(
)
[
)
; 7
;
x
a
a
∈ −∞ −
∪
∞ . 
2.  При 
0
a =  решением совокупности неравенств являются все действительные числа за исключением нуля. 
3.  При 
0
a <  множества решений систем неравенств представлены на рис. 
16. 
 

(1) 
(
)
;
x
a
∈ −
∞  

(2) 
(
)
;2
x
a
∈ −∞
 

(3) 
 
 
Решений нет 

(4) 
[
)
2 ;
x
a
a
∈
−
 
 
Рис. 16