Амплитудные уравнения для трехмерной бидиффузионной конвекции в окрестности точек бифуркации Хопфа


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып. 3

УДК 517.995.8, 532.529.2

© С. Б. Козицкий




                АМПЛИТУДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОЙ БИДИФФУЗИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК БИФУРКАЦИИ ХОПФА




Рассматривается трехмерная бидиффузионная конвекция в бесконечном плоском слое несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа. Методом многомасштабных разложений выведена система амплитудных уравнений для горизонтальных вариаций амплитуды конвективных ячеек квадратного типа. Уделено внимание взаимодействию конвекции с горизонтальным вихрем. Обсуждаются различные частные случаи получившихся уравнений.

Ключевые слова: бидиффузионная конвекция, термохалинная конвекция, амплитудные уравнения, метод многомасштабных разложений.




                Введение




   Физические системы, в которых существенную роль играет конвекция, обусловленная двойной диффузией, часто встречаются в природе. В таких системах присутствуют две компоненты, коэффициенты диффузии которых существенно различны. Это могут быть тепло и соль в морской воде, тепло и гелий в звездных атмосферах либо два реагента в химическом реакторе. В результате различного пространственного распределения этих компонент в поле силы тяжести возникает конвекция, которая может принимать различные формы и приводить к разнообразным явлениям [1]. Широко известны, например, солевые пальцы, возникающие в подсоленной и подогретой сверху воде. Понятно, что результаты, полученные для бидиффузионной конвекции, скажем, в океане, могут быть применимыми и для бидиффузионной конвекции в астрофизических системах или в химическом реакторе.
   Бидиффузионная (термохалинная) конвекция играет важную роль в процессах тепло-массопереноса в океане и также существенно влияет на различные мелкомасштабные процессы, например, на формирование тонкой вертикальной термохалинной структуры [2]. Подобные феномены на настоящий момент изучены недостаточно хорошо. Одним из эффективных способов исследования этих явлений является построение простых математических моделей, в основе которых лежит вывод так называемых амплитудных уравнений методом многомасштабных разложений. Такой подход позволяет избежать громоздких численных расчетов и обычно выводит исследователя на непосредственный физический смысл того или иного явления.
   В литературе существуют многочисленные работы, посвященные теоретическим моделям систем с бидиффузионной конвекцией. В 80-90-е гг. появился ряд работ, в которых изучается процесс формирования структур в окрестности точек бифуркации Хопфа для трансляционноинвариантных по горизонтали систем. Осцилляции в таких системах могут привести к возникновению различных типов волн (например, стоячих, бегущих, модулированных, хаотических), которые хорошо описываются в рамках обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау [3, 4]. Вид этих уравнений часто постулируется из общих соображений (типа соображений симметрии); предполагается, что коэффициенты в них должны быть выведены асимптотическими методами из исходных уравнений в частных производных, описывающих конкретную физическую систему. Однако полный и обоснованный вывод амплитудных уравнений для систем с бидиффузионной конвекцией пока слабо представлен в литературе. Отчасти это может объясняться сравнительно большим объемом выкладок, необходимых для строгого вывода уравнений и формул для их коэффициентов. А работ, посвященных амплитудным уравнениям для трехмерной бидиффузионной конвекции, автору найти пока не удалось.